江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷（含答案解析）

这是一份江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷（含答案解析），共21页。试卷主要包含了如图，在四边形中，分别是的中点，关于函数的描述，正确的是，分式与的最简公分母是，化简的结果是，计算的结果是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共6页，全卷满分100分，考试时间为100分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效。
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。）
1．下列以数学家命名的图形中，是中心对称图形的是（ ）．
A．笛卡尔心形线B．赵爽弦图
C．莱洛三角形D．斐波那契螺旋线
2．下列结论中正确的是（ ）．
A．为了调查中央电视台“经典咏流传”节目的收视率，采取普查的方式
B．嫦娥六号探测器发射前的零部件检查，采取抽样调查的方式
C．“随机选择一个南京景点游玩，恰好选中阅江楼”是随机事件
D．“打开电视，播放体育赛事”是必然事件
3．当，下列分式的化简结果为的是（ ）．
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）．
A．B．C．D．
5．如图，在四边形中，分别是的中点．下列结论：
①四边形是平行四边形；
②当时，四边形是菱形；
③当时，四边形是矩形．
其中所有正确结论的序号是（ ）．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
6．关于函数的描述，正确的是（ ）．
A．它的自变量取值范围是全体实数
B．它的图象关于原点成中心对称
C．它的图象关于直线成轴对称
D．在自变量的取值范围内，y随x的增大而增大
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．
8．分式与的最简公分母是．
9．化简的结果是．
10．计算的结果是．
11．若，则．
12．在一个不透明的袋子中装有若干个白球和10个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验．然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
根据试验所得数据，估计白球有个．
13．已知，，，用“”表示的大小关系为．
14．如图，在和中，M，N分别为对角线交点，已知，且与的周长分别为22与21，则四边形的周长为．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两个顶点A，B坐标分别为，，则C点的坐标为．
16．已知有两张全等的矩形纸片，长是，宽是．如图将这两张纸片叠合得到菱形．设菱形的面积为，则s的取值范围是．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．（1）化简：；
（2）解方程：．
19．（1）填空：______，______（填“”、“”或“=”）；
（2）若，，求证．
20．如图，将绕点O按逆时针旋转得到，其中A与D是对应点，B与E是对应点，请借助于该图形用符号语言写出关于旋转的3条不同的性质．
21．随着社会的发展，旅游业已成为全球经济中发展势头最强劲的产业之一．阅读以下统计图，并回答问题．
（1）在2016～2023年这8年中，农村居民国内旅游总花费超过7000亿元的年份的频率是_____．
（2）下列结论中，所有正确结论的序号是_______．
①2022年中国城镇和农村居民国内旅游花费的总和比2020年的总和多；
②2016～2019年中国城镇和农村居民旅游总花费逐步增长；
③2023年中国城镇居民旅游总花费的年增长率高于农村居民旅游总花费的年增长率．
（3）请结合上图提供的信息，写出一个与我国国内旅游花费相关的正确结论．
22．已知矩形的面积为10，长为x，宽为y．
（1）直接写出y与x的函数表达式（标注自变量x的取值范围）；
（2）若，是该函数图象上的两个点，则______；
（3）若，是该函数图象上的两个点，且，试说明．
23．甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速开往乙地，实际行驶的速度比原计划的速度增加，结果提前到达，求汽车实际行驶的时间？
甲同学所列的方程为，；
乙同学所列的方程为：．
（1）甲同学所列方程中的x表示______；乙同学所列方程中的y表示_______．
（2）选择甲、乙两同学中的一个方法解答这个题目．
24．如图，在中，分别以为边向内作和，且，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若点E在对角线上，且所在直线平分，当四边形的面积为6时，的面积为_______．
25．如图，一次函数与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为，．
（1）方程的解是______，不等式的解集是_______；
（2）在图中用直尺和圆规作出一次函数的图象；
（3）直接写出的解集．
26．如图，菱形边长为6，，点P在边上，且，点Q是边上的一个动点，点Q从点A运动到点D．连接，将线段绕点P顺时针旋转得线段．
（1）当点Q与点A重合时，在图中用直尺和圆规作出旋转后的线段；
（2）在点Q运动过程中，求证：点在某一固定线段上运动；
（3）直接写出线段长度的取值范围．
摸球试验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
“摸出白球”的次数
55
618
3032
5957
30104
59995
参考答案
1．B
【分析】此题考查中心对称图形的判断，掌握中心对称图形的定义及性质是解题关键．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据这一定义分析即可得出答案．
【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．是中心对称图形，符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
2．C
【分析】本题考查的是全面调查与抽样调查、随机事件，正确理解它们的概念是解题的关键．根据全面调查与抽样调查、随机事件的概念判断即可．
【详解】解：A、为了调查中央电视台“经典咏流传”节目的收视率，采取抽样调查的方式，故本选项结论错误，不符合题意；
B、嫦娥六号探测器发射前的零部件检查，采取全面调查的方式，故本选项结论错误，不符合题意；
C、“随机选择一个南京景点游玩，恰好选中阅江楼”是随机事件，结论正确，符合题意；
D、“打开电视，播放体育赛事”是随机事件，故本选项结论错误，不符合题意；
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算即可得到答案．
【详解】解：A．已是最简分式，无法约分化简，故选项错误，不符合题意；
B．已是最简分式，无法约分化简，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．已是最简分式，无法约分化简，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
4．D
【分析】根据二次根式的性质和除法公式解答即可．
本题考查了二次根式的性质和除法公式，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】A. ，错误，不符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. ，错误，不符合题意；
D. ，正确，符合题意，
故选D．
5．A
【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形、菱形的判定定理是解题的关键．①根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行四边形的判定定理证明结论；②根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；③根据矩形的判定定理解答．
【详解】解：①，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
同理，，，
，，四边形是平行四边形；故①正确，符合题意；
②，分别是，的中点，是的中位线，，，
当时，，
四边形是菱形；
当与满足条件时，四边形是菱形，
故②正确，符合题意；
③，，
，，
当时，
，，，平行四边形是矩形，
当时，四边形不一定是矩形，
故③错误，不符合题意；
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，中心对称与轴对称，理解函数图象是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，可判断A选项；根据函数图象和判断B、C选项；根据函数的增减性和判断D选项．
【详解】解：A、它的自变量取值范围是，故不符合题意；
B、它的图象关于原点不成中心对称，故不符合题意；
C、它的图象不关于直线对称，不符合题意；
D、在自变量的取值范围内，随的增大而增大，故符合题意；
故选：D．
7．
【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可得出答案．
【详解】解：，．故答案为：．
8．
【分析】本题考查了最简公分母，熟知通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母是解题的关键．根据最简公分母的定义解答即可．
【详解】解：分式与的分母分别是、，最简公分母是．
故答案为：．
9．
【分析】本题考查的是分式的约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．先确定分式的分子、分母的公因式，再约分即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
10．
【分析】根据二次根式的性质计算即可．
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】，
故答案为：．
11．1
【分析】根据得，结合，解答即可．
本题考查了已知代数式的值，求值，通分，整体变形是解题的关键．
【详解】解：根据得，
故，
故答案为：1．
12．15
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解；
【详解】解：观察表格发现随着摸球次数的增多摸出黑球频率逐渐稳定在0.6附近，
故摸到黑球的概率估计值为0.6，
设白球个，则：
，
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
故答案为：15．
13．
【分析】本题主要考查了无理数的估算和实数的大小比较，正确得出的范围是解答本题的关键．根据的范围，得出，，三个数的范围，据此得出大小关系．
【详解】解：，，，
即；
，
，，
即；
，，
即．，，的大小关系为：，
故答案为：．
14．23
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，，，，，根据三角形的周长公式得到的周长，的周长，求得，，于是得到结论．
【详解】解：在和中，
，，，，，，
的周长，的周长，
，，
四边形的周长，
故答案为：23．
15．##
【分析】本题主要考查了正方形的性质，解题关键是正确构造全等三角形．作轴于，由正方形的两个顶点，坐标分别为，，得，得，，即可得．
【详解】解：作轴于，
由正方形的两个顶点，坐标分别为，，
，
又，
，
，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．当两张纸片叠合成如图1的正方形时面积最小，根据正方形的面积公式计算即可；当两张纸片叠合成如图2时，菱形的面积最大，先证得出，设，在中根据勾股定理即可求出的值，再根据菱形的面积公式计算即可，从而得出的取值范围．
【详解】解：当两张纸片叠合成如图1时，菱形的面积最小，
此时菱形为正方形，
矩形的宽是，
，
正方形的面积为；
当两张纸片叠合成如图2时，菱形的面积最大，
矩形和矩形全等，
，，
又，
，
，
设，
则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
即，
，
的取值范围是，
故答案为：．
17．（1）；（2）
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的加减运算的运算法则与运算顺序是解题的关键．
（1）化为最简二次根式，然后合并解题；
（2）先运用平方差公式和完全平方公式展开，然后合并解题即可．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
18．（1）；（2）
【分析】本题考查分式的化简和解分式方程，掌握计算顺序是解题的关键．
（1）先把括号内的分式同分，然后把除法转化为乘法约分即可；
（2）先去分母转化为一元一次方程，然后解方程求解，最后进行验根即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：，
方程两边同乘，得，
解这个一元一次方程，得．
检验：当时，，
∴是原方程的解．
19．（1）=，=；（2）见解析
【分析】（1）利用二次根式的性质证明解答即可；
（2）利用二次根式的性质证明解答即可．
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
故．
同理可证，．
故答案为：=，=．
（2）∵，，
∴．
∵，，
∴．
20．①；②，，；③
【分析】本题主要考查了作图旋转变换以及扇形面积的计算的知识，解答本题的关键是找出旋转中心，正确地画出旋转图形是求线段扫过面积的基础，此题难度不大．利用旋转变换的性质解答即可．
【详解】解：根据旋转不改变图形的形状及大小得：①；
根据旋转不改变线段的长短得：②，，；
根据旋转角相等可得：③．
21．（1）
（2）②③
（3）2016至2019年中国城镇和农民居民国内旅游总花费稳步增长，后因疫情原因有所下降，到2023年中国城镇和农民居民国内旅游总花费再呈大幅度增长，已超过2016年的水平
【分析】本题考查频率计算，通过条形统计图分析数据情况等．
（1）根据题意可知共有5个月份符合题意，继而得到本题答案；
（2）根据题意逐一对序号进行分析，即可得到本题答案；
（3）通过条形图从任意角度写出结论即可．
【详解】（1）解：∵农村居民国内旅游总花费超过7000亿元的年份有：，
∴农村居民国内旅游总花费超过7000亿元的年份的频率是：，
故答案为：；
（2）解：由条形图可知：
2022年中国城镇和农村居民国内旅游花费的总和：（亿元），
2020年中国城镇和农村居民国内旅游花费的总和：（亿元），
∵，
∴①不正确，
∵2016～2019年中国城镇和农村居民旅游总花费分别为：
（亿元），（亿元），（亿元），（亿元），
∵，
∴2016～2019年中国城镇和农村居民旅游总花费逐步增长，即②正确，
∵2023年中国城镇居民旅游总花费的年增长率：
2023年中国农村居民旅游总花费的年增长率：
∵，
∴2023年中国城镇居民旅游总花费的年增长率高于农村居民旅游总花费的年增长率，
即③正确，
故答案为：②③；
（3）解：通过条形图可知：
2016至2019年中国城镇和农民居民国内旅游总花费稳步增长，后因疫情原因有所下降，到2023年中国城镇和农民居民国内旅游总花费再呈大幅度增长，已超过2016年的水平．
22．（1）；（2）；（3）见解析
【分析】本题主要考查了函数表达式及求函数值．
（1）利用矩形的面积公式得出y与x之间的函数关系式即可；
（2）分别把1和3代入解析式计算，即可比较大小；
（3）同理（2）即可验证．
【详解】（1）解：矩形的面积为10，长为x，宽为y，
，
；
（2）解：，是该函数图象上，
，
，
；
（3）解：∵和在该函数图象上，，
∴，，．
∴．
∵，，
∴．
∴．即．
23．（1）汽车原计划行驶的时间，汽车实际行驶的速度；（2）
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
（1）根据题目中的方程即可得到结论；
（2）设汽车原计划需行驶的时间为，则汽车实际行驶的时间为，根据题意列方程，解方程即可得到结论．
【详解】（1）解：甲同学所列方程中的表示汽车原计划需行驶的时间；乙同学所列方程中的表示汽车实际行驶的时间，
故答案为：汽车原计划需行驶的时间；汽车实际行驶的时间；
（2）解：选择甲同学的方法，
设汽车原计划需行驶的时间为，则汽车实际行驶的时间为，
根据题意得，，
解得：，
经检验，是原方程的解，
，
答：汽车实际行驶的时间为．
24．（1）见解析；（2）18
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理证明四边形为平行四边形．
（2）利用平行四边形的性质，三角形面积特性，计算解答即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形面积特性，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和三角形面积的特性是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，，．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
即．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：连接，交于点Q，
∵四边形的面积为6，四边形是平行四边形．
∴，，，．
延长交于点N，
∵所在直线平分，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
．
25．（1）或，或
（2）见详解
（3）或
【分析】（1）根据两个函数图象交点的横坐标结合图象解答即可；
（2）根据与之间是平移关系，是向下平移个单位，画出图象即可；
（3）根据图象：结合一次函数以及反比例函数的性质，得出图象成中心对称图形，再结合图象性质，直接写出不等式解集即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象的对称性质是关键．
【详解】（1）解：两个函数图象交点的横坐标分别为，，
方程的解是：，，
不等式的解集是：或．
故答案为：，；或．
（2）解：作图如下：
（3）解：依题意，
上图成中心对称图形，一次函数与反比例函数的交点的横坐标为
∴结合图象：不等式的解集为：或．
26．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）以点A为圆心，以为半径画弧，交于点，连接线段，则线段即为所求；
（2）以点A为圆心，以为半径画弧，交于点，连接，结合菱形边长为6，，得到，继而得到等边，连接，并延长交于点F，根据旋转性质，得，继而得到等边，证明得到，继而得到，从而证明，得到平行四边形，继而得到，得证在点Q运动过程中，点在固定线段上运动；
（3）根据菱形边长为6，，，四边形是平行四边形，得，过点D作于点G，则，根据垂线段最短，得到线段的最小值为，最大值为，确定范围即可．
【详解】（1）解：以点A为圆心，以为半径画弧，交于点，
连接线段，
则线段即为所求；
（2）证明：以点A为圆心，以为半径画弧，交于点，
连接，
∵菱形边长为6，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
连接，并延长交于点F，
根据旋转性质，得，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴在点Q运动过程中，点在固定线段上运动．
（3）解：∵菱形边长为6，，，四边形是平行四边形，
∴，
过点D作于点G，
则，
根据垂线段最短，得到线段的最小值为，
最大值为，
故．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，三角形全等的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短是解题的关键．