数学7.1 复数的概念课时作业

这是一份数学7.1 复数的概念课时作业，共10页。
1．复数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(\r(3),2)))i的虚部为( )
A．2 B．－eq \f(\r(3),2)
C．2－eq \f(\r(3),2) D．0
2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.eq \f(2,3)
C．－eq \f(2,3) D．2
3．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C
B．A＝B
C．A∩(∁SB)＝∅
D．(∁SA)∪(∁SB)＝C
4．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
5．已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝( )
A．2 B．3
C．－3 D．9
6．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
7．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．
8．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为______．
9．分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)eq \f(x2－x－6,x＋1)＋(x2－2x－3)i＝0.
10．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点位于复平面的第一象限．
拓展练
1．复数z＝eq \f(1,a－1)＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )
A．1或－1 B．1
C．－1 D．0或－1
2．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A.eq \f(1,2) B．2
C．0 D．1
3．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
4．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cs θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－7，\f(9,16))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,16)，7))
C．[－1,1] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，7))
5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．
6．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹方程是__________．
7．定义运算eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3x＋2y i,－y 1))，求实数x，y的值．
培优练
已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m的值．
课时跟踪检测（十三）数系的扩充和复数的概念
基础练
1．复数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(\r(3),2)))i的虚部为( )
A．2 B．－eq \f(\r(3),2)
C．2－eq \f(\r(3),2) D．0
解析：选C 由复数定义知C正确．故选C.
2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.eq \f(2,3)
C．－eq \f(2,3) D．2
解析：选D 复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，即b＝2.故选D.
3．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C
B．A＝B
C．A∩(∁SB)＝∅
D．(∁SA)∪(∁SB)＝C
解析：选D 集合A，B，C的关系如图，可知只有(∁SA)∪(∁SB)＝C正确．故选D.
4．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
解析：选C 易知1＋3i的实部为1，－1－ai的虚部为－a，则a＝－1.故选C.
5．已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝( )
A．2 B．3
C．－3 D．9
解析：选B 因为z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,a2－7＝2，))解得a＝3.故选B.
6．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
解析：易知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－3a＝a2，,－a2＝4a，))解得a＝－4.
答案：－4
7．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．
解析：由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m＝0，,m2－1＞1，))解得m＝2.
答案：2
8．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为______．
解析：因为复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得a＝2.
答案：2
9．分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)eq \f(x2－x－6,x＋1)＋(x2－2x－3)i＝0.
解：(1)∵x，y∈R，
∴由复数相等的定义得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1＝x－y，,y＋1＝－x－y，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－2.))
(2)∵x∈R，∴由复数相等的定义得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2－x－6,x＋1)＝0，,x2－2x－3＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3或x＝－2，且x≠－1，,x＝3或x＝－1，))∴x＝3.
10．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点位于复平面的第一象限．
解：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2>0，解得m＝－1或m＝－2，故当m＝－1或m＝－2时，复数表示实数．
(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．
由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，求得m＝3，故当m＝3时，复数z是纯虚数．
(3)由lg(m2－2m－2)>0，且m2＋3m＋2>0，解得m3，故当m3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限．
拓展练
1．复数z＝eq \f(1,a－1)＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )
A．1或－1 B．1
C．－1 D．0或－1
解析：选C 因为复数z＝eq \f(1,a－1)＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－1＝0，,a－1≠0，))解得a＝－1.故选C.
2．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A.eq \f(1,2) B．2
C．0 D．1
解析：选D 由复数相等的充要条件知，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,x－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1，))
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.故选D.
3．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
解析：选B 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2＋mn＋2＝0，,2n＋2＝0.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3，,n＝－1.))∴z＝3－i.故选B.
4．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cs θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－7，\f(9,16))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(9,16)，7))
C．[－1,1] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,16)，7))
解析：选D 由z1＝z2得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2cs θ，,4－m2＝λ＋3sin θ，))消去m得λ＝4sin2θ－3sin θ＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θ－\f(3,8)))2－eq \f(9,16).由于－1≤sin θ≤1，故－eq \f(9,16)≤λ≤7.故选D.
5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．
解析：若复数为纯虚数，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a－1|－1≠0，,a2－a－2＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≠0且a≠2，,a＝2或a＝－1，))∴a＝－1.
故复数不是纯虚数时a≠－1.
答案：(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
6．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹方程是__________．
解析：由复数相等的充要条件知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋2a＋2xy＝0，,a＋x－y＝0，))消去a，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2
7．定义运算eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3x＋2y i,－y 1))，求实数x，y的值．
解：由定义运算eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc，
得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3x＋2y i,－y 1))＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝3x＋2y，,x＋3＝y，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝0，,x＋3＝y，))得x＝－1，y＝2.
培优练
已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m的值．
解：设a为方程的一个实数根，则有
a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0.
由复数相等的充要条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋a＋3m＝0，,2a＋1＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,12)，,a＝－\f(1,2).))故实数m的值为eq \f(1,12).