数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式课后测评

这是一份数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式课后测评，共22页。
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc24404" 【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】 PAGEREF _Tc24404 \h 1
\l "_Tc3482" 【考点2：由基本不等式证明不等式】 PAGEREF _Tc3482 \h 1
\l "_Tc28925" 【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 PAGEREF _Tc28925 \h 9
\l "_Tc18045" 【考点4：利用基本不等式解决实际问题】 PAGEREF _Tc18045 \h 14
【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】
【知识点：基本不等式】
一．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
（1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
二．几个重要的不等式：
（1）a2+b2≥2ab，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；
（2）ba+ab≥2，ab>0，当且仅当a＝b时取等号；
（3）ab≤a+b22，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；
（4）a2+b22≥a+b22，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；
三. 利用基本不等式求最值问题：
已知x>0，y>0，则：
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).（简记：积定和最小）
（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(p2,4).（简记：和定积最大）
1．（2022春•甘孜州期末）y=x+4x(x≥1)​的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2022春•青铜峡市校级期末）已知正数x，y满足x+y＝4，则xy的最大值（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（2022秋•渝中区校级月考）已知正实数a，b满足4a+b+1b+1=1，则a+2b的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
4．（2022春•尖山区校级期末）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（ ）
A．8B．82C．9D．92
5．（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则(a+1b)(b+1a)的最小值为（ ）
A．22+2B．4C．254D．22+1
6．（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足1a+1b=m，若(a+1b)(b+1a)的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A．{2}B．[2，+∞）C．（0，2]D．（0，+∞）
7．（2022春•温州期末）若正数a，b满足a+b＝ab，则a+2b的最小值为（ ）
A．6B．42C．3+22D．2+22
8．（2022春•朝阳区校级期末）已知x＞53，求y=x2+x+1x−1的最小值 ．
9．（2022春•丽江期末）若正数a，b满足a+2b＝ab，则2a+b的最小值为 ．
10．（2022春•台州期末）已知非负实数x，y满足13x+y+12y+2=1，则x+y的最小值为 ．
11．（2022春•石家庄期末）已知ab＞0，a+b＝1，则a+4bab的最小值为 ．
12．（2022春•长春期末）已知a，b都是非零实数，若a2+4b2＝3，则1a2+1b2的最小值为 ．
13．（2022春•岚山区校级月考）已知x＞12，y＞3，且2x+y＝7，则12x−1+4y−3的最小值为 ．
14．（2022•烟台三模）当x＞0时，3xx2+4的最大值为 ．
15．（2022春•西青区校级月考）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则4x+x+3y3y的最小值为 ．
16．（2022春•温州期中）已知a＞b＞0，当2a+4a+b+1a−b取到最小值时，则a＝ ．
17．（2022•南京模拟）（1）已知x＞3，求4x−3+x的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且x+y＝1，求1x+3y的最小值．
18．（2021秋•新泰市校级期末）已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．
（1）求1a+2b的最小值；
（2）求a2+4b2+5ab的最大值．
【方法技巧1】
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
（2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
【方法技巧2】
通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：
（1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
（2）把确定的定值(常数)变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
（4）利用基本不等式求解最值．
【考点2：由基本不等式证明不等式】
1．（2022春•郫都区校级期末）若实数x、y满足x2+y2＝1+xy，则下列结论中，正确的是（ ）
A．x+y≤1B．x+y≥2C．x2+y2≥1D．x2+y2≤2
2．（2022春•尖山区校级月考）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（ ）
A．ab≥1B．a+b≥2C．a2+b2≥2D．1a+1b≤2
3．（2022春•肥东县月考）对于不等式①4+6＞25，②x+1x≥2（x≠0），③a2+b2≥22(a+b)(a、b∈R)，下列说法正确的是（ ）
A．①③正确，②错误B．②③正确，①错误
C．①②错误，③正确D．①③错误，②正确
【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】
1．（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设2x+3y=1，若3x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．{x|x≤﹣6或x≥4}B．{x|x≤﹣4或x≥6}C．{x|﹣6＜x＜4}D．{x|﹣4＜x＜6}
2．（2021秋•兰山区校级期中）已知a＞0，b＞0，a+2b＝ab，若不等式2a+b≥2m2﹣9恒成立，则m的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．7
3．（2021秋•新兴县校级月考）已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式mx+1y≥2恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．2≤m＜2B．m≥1C．0＜m≤1D．1＜m≤2
4．（2022春•合肥期末）若两个正实数x，y满足4x+1y=1，且不等式x+4y＞m2−6m恒成立，则实数m的取值范围是 ．
5．（2021秋•河南月考）已知x、y为两个正实数，且不等式ax+y≤12x+2y恒成立，则实数a的取值范围是 ．
6．（2021秋•黑龙江期末）已知x＞0，y＞0且1x+9y=1，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围．
7．（2020秋•安庆期末）已知正实数x，y满足4x+4y＝1．
（1）求xy的最大值；
（2）若不等式4x+1y≥a2+5a恒成立，求实数a的取值范围．
8．（2021秋•玄武区校级月考）已知正数x，y满足2x+y﹣xy＝0．
（1）求2x+y的最小值；
（2）若x(y+2)−42＞m2+5m恒成立，求实数m的取值范围．
9．（2021秋•华龙区校级期中）已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．
（1）求1x+9y的最小值；
（2）若4x+1﹣mxy≥0恒成立，求m的最大值．
【考点4：利用基本不等式解决实际问题】
【知识点：利用基本不等式解决实际问题】
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.
1．（2022春•浦东新区校级月考）某工厂的产值第二年比第一年的增长率是P1，第三年比第二年的增长率是P2，而这两年的平均增长率为P，在P1+P2为定值的情况下，P的最大值为 （用P1、P1表示）．
2．（2021秋•阳春市校级月考）用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
3．（2021秋•信阳校级期末）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
（Ⅰ）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m，求1x+2y的最小值．
专题2.2 基本不等式
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\l "_Tc24404" 【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】 PAGEREF _Tc24404 \h 1
\l "_Tc3482" 【考点2：由基本不等式证明不等式】 PAGEREF _Tc3482 \h 1
\l "_Tc28925" 【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 PAGEREF _Tc28925 \h 9
\l "_Tc18045" 【考点4：利用基本不等式解决实际问题】 PAGEREF _Tc18045 \h 14
【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】
【知识点：基本不等式】
一．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
（1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
二．几个重要的不等式：
（1）a2+b2≥2ab，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；
（2）ba+ab≥2，ab>0，当且仅当a＝b时取等号；
（3）ab≤a+b22，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；
（4）a2+b22≥a+b22，a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号；
三. 利用基本不等式求最值问题：
已知x>0，y>0，则：
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p).（简记：积定和最小）
（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(p2,4).（简记：和定积最大）
1．（2022春•甘孜州期末）y=x+4x(x≥1)​的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】利用基本不等式的性质可求得答案．
【解答】解：由已知函数 y=x+4x，
∵x≥1，∴4x＞0​，
∴x+4x≥2x×4x=4​，
当且仅当x=4x​，即x＝2​时等号成立，
∴​当x＝2​时，函数y=x+4x​有最小值是4，
故选：C．
2．（2022春•青铜峡市校级期末）已知正数x，y满足x+y＝4，则xy的最大值（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】直接利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y＝4，
∴xy≤(x+y)24=424=4，
当且仅当x＝y＝2时，等号成立．
故选：B．
3．（2022秋•渝中区校级月考）已知正实数a，b满足4a+b+1b+1=1，则a+2b的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】根据a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b+1b+1）﹣1，结合基本不等式求解即可．
【解答】解：∵正实数a，b满足4a+b+1b+1=1，
∴a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b+1b+1）﹣1＝5+4(b+1)a+b+a+bb+1−1≥5+24(b+1)a+b⋅a+bb+1−1＝8，当且仅当a+b＝2（b+1）时等号成立，
故选：B．
4．（2022春•尖山区校级期末）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（ ）
A．8B．82C．9D．92
【分析】由条件可得1x+2y=1，x+2y＝（x+2y）（1x+2y=）＝5+2xy+2yx，运用基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】解：x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，可得：1x+2y=1，
则x+2y＝（x+2y）（1x+2y=）＝5+2xy+2yx≥5+22xy⋅2yx=5+4＝9，当且仅当x＝y＝3，取得最小值9．
故选：C．
5．（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则(a+1b)(b+1a)的最小值为（ ）
A．22+2B．4C．254D．22+1
【分析】由题可知(a+1b)(b+1a)=ab+1ab+2，再利用基本不等式求解即可．
【解答】解：∵正实数a、b满足a+b＝4，
∴(a+1b)(b+1a)=ab+1ab+2≥2ab⋅1ab+2＝4．
当且仅当ab=1ab，即ab＝1，a+b＝4时取等号，
∴(a+1b)(b+1a)的最小值为4．
故选：B．
6．（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足1a+1b=m，若(a+1b)(b+1a)的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A．{2}B．[2，+∞）C．（0，2]D．（0，+∞）
【分析】由题意可得(a+1b)(b+1a)=ab+1ab+2≥＝4，将1a+1b=m化为a+1a=m，再利用基本不等式可求得m的范围．
【解答】解：因为a，b为正实数，所以(a+1b)(b+1a)=ab+1ab+2≥2+2＝4，
当ab=1ab，即ab＝1时等号成立，此时b=1a，
又因为1a+1b=m，所以a+1a=m，
所以由基本不等式可知a+1a≥2（a＝1时等号成立），
所以m≥2．
故选：B．
7．（2022春•温州期末）若正数a，b满足a+b＝ab，则a+2b的最小值为（ ）
A．6B．42C．3+22D．2+22
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：因为正数a，b满足a+b＝ab，
所以1b+1a=1，
则a+2b＝（a+2b）（1a+1b）＝3+2ba+ab≥3+22，
当且仅当2ba=ab且1a+1b=1，即a＝1+2，b＝1+22时取等号，
所以a+2b的最小值为3+22．
故选：C．
8．（2022春•朝阳区校级期末）已知x＞53，求y=x2+x+1x−1的最小值 ．
【分析】根据配方法可得y＝x﹣1+3x−1+3，利用基本不等式即可求最小值．
【解答】解：因为x﹣1＞0，
所以y=x2+x+1x−1=(x−1)2+3(x−1)+3x−1=x−1+3x−1+3
≥2(x−1)⋅3x−1+3=3+23，
当且仅当x−1=3x−1即x=3+1时等号成立．
故答案为：3+23．
9．（2022春•丽江期末）若正数a，b满足a+2b＝ab，则2a+b的最小值为 ．
【分析】将等式a+2b＝ab转化为2a+1b=1，本题化为基本不等式的常见模型，“1”代换法的模型，接下来用“1”代换法做下去即可．
【解答】解：将等式a+2b＝ab两边同除以ab，得2a+1b=1，
2a+b＝（2a+b）（2a+1b）＝4+2ab+2ba+1≥5+22ab⋅2ba=9，
当且仅当2ab=2ba时，
即a＝b＝3时，2a+b的最小值为9．
故答案为：9．
10．（2022春•台州期末）已知非负实数x，y满足13x+y+12y+2=1，则x+y的最小值为 ．
【分析】由x+y=13（3x+y+2y+2）−23，利用基本不等式求出最小值即可．
【解答】解：∵实数x，y非负，∴3x+y＞0，2y+2＞0，
∴x+y=13（3x+y+2y+2）−23=13（3x+y+2y+2）（13x+y+12y+2）−23
=13（1+3x+y2y+2+2y+23x+y+1）−23≥13（2+23x+y2y+2⋅2y+23x+y）−23=43−23=23，
当且仅当3x+y2y+2=2y+23x+y，即x=23，y＝0时取等号，
∴x+y的最小值为23．
故答案为：23．
11．（2022春•石家庄期末）已知ab＞0，a+b＝1，则a+4bab的最小值为 ．
【分析】首先构造常数，然后运用基本不等式直接求解．
【解答】解：∵ab＞0，a+b＝1，∴a＞0，b＞0，∴a+4bab=(a+b)(1b+4a)=ab+4ba+5≥9，当且仅当ab=4ba，即a=23，b=13时，等号成立，
∴a+4bab的最小值为9，
故答案为：9．
12．（2022春•长春期末）已知a，b都是非零实数，若a2+4b2＝3，则1a2+1b2的最小值为 ．
【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式求解最小值即可．
【解答】解：a，b都是非零实数，若a2+4b2＝3，则1a2+1b2=（1a2+1b2）⋅13•（a2+4b2）=13（5+4b2a2+a2b2）
≥13（5+4）＝3，当且仅当a=2b，b=22，a＝1时，取等号．
故答案为：3．
13．（2022春•岚山区校级月考）已知x＞12，y＞3，且2x+y＝7，则12x−1+4y−3的最小值为 ．
【分析】由已知12x−1+4y−3=（12x−1+4y−3）（2x﹣1+y﹣3）×13，然后结合基本不等式可求．
【解答】解：因为x＞12，y＞3，且2x+y＝7，
所以2x﹣1+y﹣3＝3，
则12x−1+4y−3=（12x−1+4y−3）（2x﹣1+y﹣3）×13=13（5+y−32x−1+8x−4y−3）≥13（5+2y−32x−1⋅8x−4y−3）＝3，
当且仅当y−32x−1=8x−4y−3且2x+y＝7，即x=32，y＝4时取等号，此时12x−1+4y−3取得最小值3．
故答案为：3．
14．（2022•烟台三模）当x＞0时，3xx2+4的最大值为 ．
【分析】根据基本不等式即可求解．
【解答】解：当x＞0时，3xx2+4=3x+4x≤32x⋅4x=34，当且仅当x=4x，即x＝2时等号成立，
即3xx2+4的最大值为34．
故答案为：34．
15．（2022春•西青区校级月考）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则4x+x+3y3y的最小值为 ．
【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且x+2y＝2，
则4x+x+3y3y=4x+8y2x+x+3y3y=3+4yx+x3y≥3+433，当且仅当4yx=x3y且x+2y＝2，即y=3−12，x＝3−3时取等号，
故答案为：3+433．
16．（2022春•温州期中）已知a＞b＞0，当2a+4a+b+1a−b取到最小值时，则a＝ ．
【分析】先把2a+4a+b+1a−b等价转化为a+b+4a+b+a−b+1a−b，再利用基本不等式即可求出最小值及此时a的值．
【解答】解：a＞b＞0，
2a+4a+b+1a−b
=a+b+4a+b+a−b+1a−b
≥2(a+b)⋅4a+b+2(a−b)⋅1a−b=6，
当且仅当a+b=4a+b，a﹣b=1a−b，即a=32，b=12时，取等号，
∴当2a+4a+b+1a−b取到最小值时，则a=32．
故答案为：32．
17．（2022•南京模拟）（1）已知x＞3，求4x−3+x的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且x+y＝1，求1x+3y的最小值．
【分析】（1）配凑可得4x−3+x=4x−3+(x−3)+3，再利用基本不等式，即可求解；
（2）利用基本不等式中的“乘1法”，即可得解．
【解答】解：（1）∵x＞3，∴x﹣3＞0，
∴4x−3+x=4x−3+(x−3)+3≥24x−3×(x−3)+3=4+3=7，
当且仅当4x−3=x−3，即x＝5时取等号，
∴4x−3+x的最小值为7．
（2）∵x，y∈R+，
∴1x+3y=(x+y)(1x+3y)=4+(yx+3xy)≥4+2×yx⋅3xy=4+23，
当且仅当y=3x，即x=3−12，y=3−32时取等号，
∴1x+3y的最小值为4+23．
18．（2021秋•新泰市校级期末）已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．
（1）求1a+2b的最小值；
（2）求a2+4b2+5ab的最大值．
【分析】（1）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出；
（2）利用a＝2﹣2b将a2+4b2+5ab＝﹣2（b−12）2+92，再利用二次函数求最大值即可得出．
【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+2b＝2，
∴1a+2b=12(a+2b)(1a+2b)=12(1+2ab+2ba+4)≥12(5+22ab⋅2ba)=92，
当且仅当2ab=2ba，即a＝b时等式成立，
∴1a+2b的最小值为92．
（2）∵a＞0，b＞0，a+2b＝2，
∴a＝2﹣2b＞0，可得0＜b＜1，
a2+4b2+5ab＝（2﹣2b）2+4b2+5（2﹣2b）b＝﹣2b2+2b+4＝﹣2（b−12）2+92，
当b=12时，a2+4b2+5ab有最大值为92．
【方法技巧1】
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
（2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
【方法技巧2】
通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：
（1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
（2）把确定的定值(常数)变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
（4）利用基本不等式求解最值．
【考点2：由基本不等式证明不等式】
1．（2022春•郫都区校级期末）若实数x、y满足x2+y2＝1+xy，则下列结论中，正确的是（ ）
A．x+y≤1B．x+y≥2C．x2+y2≥1D．x2+y2≤2
【分析】由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（x+y2）2，x2+y2﹣1＝xy≤x2+y22，分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．
【解答】解：对于A，B，由x2+y2＝1+xy可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（x+y2）2，即 14(x+y)2≤1，
∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2，故A错，B错，
对于C，D，由x2+y2＝1+xy可得，x2+y2﹣1＝xy≤x2+y22，
∴x2+y2≤2，故C错，D对，
故选：D．
2．（2022春•尖山区校级月考）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（ ）
A．ab≥1B．a+b≥2C．a2+b2≥2D．1a+1b≤2
【分析】由已知结合基本基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝2，
所以ab≤（a+b2）2＝1，当且仅当a＝b＝1时取等号，A错误；
因为（a+b）2＝a+b+2ab=2+2ab≤2+a+b＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，
所以a+b≤2，B错误；
因为a2+b22≥(a+b2)2=1，当且仅当a＝b＝1时取等号，
所以a2+b2≥2，C正确；
1a+1b=12（a+ba+a+bb）=12（2+ba+ab）≥12(2+2)=2，当且仅当a＝b＝1时取等号，D错误．
故选：C．
3．（2022春•肥东县月考）对于不等式①4+6＞25，②x+1x≥2（x≠0），③a2+b2≥22(a+b)(a、b∈R)，下列说法正确的是（ ）
A．①③正确，②错误B．②③正确，①错误
C．①②错误，③正确D．①③错误，②正确
【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别判断各选项即可．
【解答】解：因为(4+6)2−(25)2=10+24−20=24−10＜0，
所以4+6＜25，故①错误；
当取x＝﹣1时，显然x+1x=−2≥2不成立，故②错误；
因为a2+b2≥2ab（a，b∈R），所以2（a2+b2）≥（a+b）2，
所以a2+b2≥22(a+b)2=22|a+b|≥22(a+b)，故③正确．
故选：C．
【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】
1．（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设2x+3y=1，若3x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．{x|x≤﹣6或x≥4}B．{x|x≤﹣4或x≥6}C．{x|﹣6＜x＜4}D．{x|﹣4＜x＜6}
【分析】由x＞0，y＞0，2x+3y=1，得3x+2y＝（2x+3y）（3x+2y），以此变形可解决此题．
【解答】解：由x＞0，y＞0，2x+3y=1，得3x+2y＝（2x+3y）（3x+2y）=4yx+9xy+12≥24yx⋅9xy+12＝24，
当且仅当4yx=9xy且2x+3y=1，即x＝4且y＝6时等号成立．
又因为3x+2y＞m2+2m恒成立，m2+2m＜24，解得m∈（﹣6，4）．
故选：C．
2．（2021秋•兰山区校级期中）已知a＞0，b＞0，a+2b＝ab，若不等式2a+b≥2m2﹣9恒成立，则m的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．7
【分析】由已知利用乘1法，然后结合基本不等式可求2a+b的最小值，由已知得（2a+b）min≥2m2﹣9，解不等式可求m的范围，进而可求．
【解答】解：因为a＞0，b＞0，a+2b＝ab，即1b+2a=1，
所以2a+b＝（2a+b）（1b+2a）＝5+2ba+2ab≥5+22ba⋅2ab=9，当且仅当2ba=2ab且1b+2a=1，即a＝b＝3时取等号，
若不等式2a+b≥2m2﹣9恒成立，则（2a+b）min≥2m2﹣9，
所以9≥2m2﹣9，
解得﹣3≤m≤3，m的最大值为3．
故选：C．
3．（2021秋•新兴县校级月考）已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式mx+1y≥2恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．2≤m＜2B．m≥1C．0＜m≤1D．1＜m≤2
【分析】根据题意可得12（x+y）＝1，且x＞0，y＞0，从而mx+1y=12（x+y）（mx+1y）=12（m+1+myx+xy）≥12（m+1+2myx⋅xy）=12（m+1+2m），进一步利用基本不等式并结合不等式mx+1y≥2恒成立即可求解．
【解答】解：由xy＞0，x+y＝2，得12（x+y）＝1，且x＞0，y＞0，
又m＞0，所以mx+1y=12（x+y）（mx+1y）=12（m+1+myx+xy）≥12（m+1+2myx⋅xy）=12（m+1+2m），
当且仅当x+y=2myx=xy，即x=2mm+1，y=2m+1时等号成立，
又不等式mx+1y≥2恒成立，
所以12（m+1+2m）≥2，即（m）2+2m−3≥0，解得m≥1，即m≥1，
故选：B．
4．（2022春•合肥期末）若两个正实数x，y满足4x+1y=1，且不等式x+4y＞m2−6m恒成立，则实数m的取值范围是 ．
【分析】先利用乘1法，配凑基本不等式的应用条件求x+4y的最小值，然后由x+4y＞m2−6m恒成立，可得（x+4y）min＞m2﹣6m，解不等式可求．
【解答】解：正实数x，y满足4x+1y=1，
则x+4y=（x+4y）（4x+1y）＝8+xy+16yx≥8+8＝16．
当且仅当xy=16yx且4x+1y=1，即y＝4，x＝64时取等号，此时取得最小值16，
因为不等式x+4y＞m2−6m恒成立，
则16＞m2﹣6m，
解可得﹣2＜m＜8．
故答案为：﹣2＜m＜8.
5．（2021秋•河南月考）已知x、y为两个正实数，且不等式ax+y≤12x+2y恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【分析】先将原不等式化简成a≤（x+y）（12x+2y）恒成立，再利用基本不等式求得右边的最小值即可得到a的取值范围．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，
又∵不等式ax+y≤12x+2y恒成立，
可得a≤（x+y）（12x+2y）恒成立，
而（x+y）（12x+2y）=12+2xy+y2x+2≥52+22xy⋅y2x=92（当且仅当2xy=y2x时取“＝”），
∴a≤92，
故答案为：a≤92．
6．（2021秋•黑龙江期末）已知x＞0，y＞0且1x+9y=1，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围．
【分析】利用“1”的代换以及基本不等式求出x+y的最小值，然后根据恒成立，即可求出m的范围．
【解答】解：因为x＞0，y＞0且1x+9y=1，
则x+y＝（x+y）（1x+9y）＝1+9+yx+9xy≥10+2yx⋅9xy=16，
当且仅当yx=9xy，即x＝4，y＝12时取等号，此时x+y的最小值为16，
又m≤x+y恒成立，只需m≤（x+y）min＝16，
所以实数m的取值范围为m≤16．
7．（2020秋•安庆期末）已知正实数x，y满足4x+4y＝1．
（1）求xy的最大值；
（2）若不等式4x+1y≥a2+5a恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由已知结合基本不等式即可直接求解xy的最大值；
（2）先利用乘1法求出4x+1y的最小值，然后结合二次不等式的求法即可求解a的范围．
【解答】（1）解：4x+4y＝1，所以 14=x+y≥2xy，解得 xy≤164，
当且仅当 x=y=18 取等号，
∴xy 的最大值为 164．
（2）解：4x+1y=(4x+1y)(4x+4y)=20+16yx+4xy≥20+216yx⋅4xy=36，
当且仅当 x=16，y=112 取等号，
∴a2+5a≤36，解得﹣9≤a≤4．
即a的取值范围是﹣9≤a≤4．
8．（2021秋•玄武区校级月考）已知正数x，y满足2x+y﹣xy＝0．
（1）求2x+y的最小值；
（2）若x(y+2)−42＞m2+5m恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由已知利用基本不等式即可直接求解；
（2）原式可化为（x﹣1）（y﹣2）＝2，然后利用换元法，结合基本不等式可求x（y+2）﹣42的最小值，然后结合不等式恒成立与最值关系的转化可求．
【解答】解：（1）2x+y=xy=12×(2x)×y≤12×(2x+y)24，
解得2x+y≥8，
当且仅当2x＝y，即x＝2，y＝4时取等，
所以2x+y的最小值为8；
（2）原式可化为（x﹣1）（y﹣2）＝2，
令s＝x﹣1，t＝y﹣2，
条件可化为st＝2，
因为x(y+2)−42＞m2+5m，
所以m2+5m＜[x(y+2)−42]min，
所以x(y+2)−42=(s+1)(t+4)−42=st+t+4s+4−42=6+t+4s−42≥6+4st−42=6，
当且仅当t＝4s，即s=22，t=22时取等，
所以m2+5m＜6，解得﹣6＜m＜1，
所以m的范围﹣6＜m＜1．
9．（2021秋•华龙区校级期中）已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．
（1）求1x+9y的最小值；
（2）若4x+1﹣mxy≥0恒成立，求m的最大值．
【分析】（1）由x+y＝2，得x2+y2=1，又x＞0，y＞0，所以1x+9y=（x2+y2）（1x+9y）＝5+y2x+9x2y从而可利用基本不等式进行求解；
（2）由4x+1﹣mxy≥0恒成立可得m≤4x+1xy恒成立，又x+y＝2，所以4x+1xy=4x+12(x+y)xy=9x+y2xy=12（1x+9y），结合（1）所得的结论即可确定m的最大值．
【解答】解：（1）由x+y＝2，得x2+y2=1，又x＞0，y＞0，
所以1x+9y=（x2+y2）（1x+9y）＝5+y2x+9x2y≥5+2y2x⋅9x2y=8，
当且仅当y2x=9x2y，即x=12，y=32时等号成立，
所以1x+9y的最小值为8；
（2）由4x+1﹣mxy≥0恒成立，得m≤4x+1xy恒成立，
又x+y＝2，所以4x+1xy=4x+12(x+y)xy=9x+y2xy=12（1x+9y），
由（1）可知1x+9y≥8，所以12（1x+9y）≥4，当且仅当y2x=9x2y，即x=12，y=32时等号成立，
即4x+1xy≥4，故m的最大值是4．
【考点4：利用基本不等式解决实际问题】
【知识点：利用基本不等式解决实际问题】
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.
1．（2022春•浦东新区校级月考）某工厂的产值第二年比第一年的增长率是P1，第三年比第二年的增长率是P2，而这两年的平均增长率为P，在P1+P2为定值的情况下，P的最大值为 （用P1、P1表示）．
【分析】直接利用不等式的基本性质的应用求出结果．
【解答】解：根据题意：（1+p）2＝（1+p1）（1+p2），
整理得：1+p=(1+p1)(1+p2)≤1+p1+1+p22=1+p1+p22，
故p≤p1+p22，当且仅当p1＝p2时，等号成立；
故答案为：p1+p22．
2．（2021秋•阳春市校级月考）用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
【分析】根据已知条件，求出x+y＝18，再结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：设矩形菜园的长为x（m），宽为y（m），
则2（x+y）＝36，x+y＝18，
矩形菜园的面积为xy（m2），．
由xy≤x+y2=182=9，可得xy≤81，当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，等号成立，
故这个矩形的长、宽都为9（m）时，菜园的面积最大，最大面积为81（m2）．
3．（2021秋•信阳校级期末）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．
（Ⅰ）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？
（Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m，求1x+2y的最小值．
【分析】（Ⅰ）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥22xy即可得出；
（II）由已知得x+2y＝30，利用基本不等式（1x+2y）•（x+2y）＝5+2yx+2xy≥5+22yx⋅2xy，进而得出．
【解答】解：（Ⅰ）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．
又∵x+2y≥22xy=24，
当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．
∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．
（Ⅱ）由已知得x+2y＝30，
又∵（1x+2y）•（x+2y）＝5+2yx+2xy≥5+22yx⋅2xy=9，
∴1x+2y≥310，
当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．
∴1x+2y的最小值是310．