必修 第一册3.2 函数的基本性质同步练习题

这是一份必修 第一册3.2 函数的基本性质同步练习题，共25页。

TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc16651" 【考点1：函数的单调性及单调区间】 PAGEREF _Tc16651 \h 1
\l "_Tc25743" 【考点2：已知函数的单调性求参或求自变量】 PAGEREF _Tc25743 \h 4
\l "_Tc3150" 【考点3：利用函数的单调性求最值】 PAGEREF _Tc3150 \h 7
\l "_Tc9036" 【考点4：判断或证明函数的奇偶性】 PAGEREF _Tc9036 \h 9
\l "_Tc15010" 【考点5：函数奇偶性的应用】 PAGEREF _Tc15010 \h 12
\l "_Tc6462" 【考点6：函数单调性与奇偶性的综合应用】 PAGEREF _Tc6462 \h 15
【考点1：函数的单调性及单调区间】
【知识点：函数的单调性及单调区间】
1、函数单调性的定义
2．复合函数单调性的规律
若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．
3．函数单调性的性质
(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减．
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．
(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,fx)单调性相反；函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝eq \r(fx)单调性相同．
1．（2021秋•东海县期中）函数f（x）=1x的单调减区间是（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）和（0，+∞）
2．（2021秋•邗江区期中）下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（ ）
A．y=−1xB．y＝2x+1C．y＝x2D．y＝x0
（多选）3．（2021秋•滦南县校级月考）下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0”的是（ ）
A．f（x）=−2xB．f（x）＝﹣3x+1
C．f（x）＝x2+4x+3D．f（x）＝x﹣1
4．（2021秋•滦南县校级月考）函数y=1x2+4x−5的单调递增区间是 ．
5．（2021秋•朝阳区校级月考）已知函数f（x）＝x|x|﹣2x的单调增区间为 ．
6．（2021秋•鼓楼区校级月考）已知函数f(x)=x+1x+3．
（1）讨论函数f（x）在（﹣2，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）当m∈（﹣2，2）时，有f（﹣2m+3）＜f（m2），求m的范围．
【考点2：已知函数的单调性求参或求自变量】
【知识点：已知函数的单调性求参或求自变量】
1．（2021•河北区学业考试）已知函数f（x）＝x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，10]∪[40，+∞）B．（﹣∞，﹣40]∪[﹣10，+∞）
C．[10，+∞）D．[40，+∞）
2．（2021秋•河西区期末）若函数f（x）=x+1x−k在区间（﹣2，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．{﹣2}C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，﹣2）
3．（2021秋•辽宁期中）已知函数f(x)=x2−2ax，x≥1ax−1，x＜1是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，23）B．（0，23]C．（0，1）D．（0，1]
4．（2021秋•凉山州期末）已知f（x）＝ax2+1是定义在R上的函数，若对于任意1≤x1＜x2≤3，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞−2，则实数a的取值范围是（ ）
A．{0}B．[0，+∞）C．[−13，+∞)D．[−13，0)
5．（2021秋•滦南县校级月考）若函数f（x）＝x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]单调递减，则实数a的取值范围为 ．
6．（2021秋•武汉期末）若函数f（x）＝ax2+2x﹣1在区间（﹣∞，6）上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
【考点3：利用函数的单调性求最值】
【知识点：利用函数的单调性求最值】
1．函数的最值
2.函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．
1．（2022春•爱民区校级期末）若函数f(x)=2x+mx+1在区间[0，1]上的最大值为52，则实数m＝（ ）
A．3B．52C．2D．52或3
2．（2022春•阎良区期末）设函数f(x)=2xx−2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m＝（ ）
A．4B．6C．10D．24
3．（2021秋•南充期末）函数f(x)=kx−1(k＞0)在[4，5]上的最大值为1，则k的值为 ．
4．（2021秋•山西期末）函数f（x）=x+1x−1，x∈[2，6]的最大值为 ．
5．（2022春•渭滨区校级期中）已知函数f(x)=2x−1x2+2．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在[﹣2，2]上的最大值与最小值．
【考点4：判断或证明函数的奇偶性】
【知识点：判断或证明函数的奇偶性】
1．函数的奇偶性
2.判断函数奇偶性的方法：
(1)定义法：
(2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称.
3.函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．
1．（2020秋•蓬江区期末）函数f（x）＝x+4x（x≠0）是（ ）
A．奇函数，且在（2，+∞）上单调递增
B．奇函数，且在（2，+∞）上单调递减
C．偶函数，且在（2，+∞）上单调递增
D．偶函数，且在（2，+∞）上单调递减
2．（2021秋•铜鼓县校级月考）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A．y＝xB．y＝|x|C．y＝﹣x2+1D．y=−2x
3．（2021秋•海安市校级月考）设函数f（x）=x−2x+2，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f（x﹣2）﹣1B．f（x﹣2）+1C．f（x+2）﹣1D．f（x+2）+1
4．（2022春•杨陵区校级期末）若函数f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函数，则g（x）＝2ax3+bx2+9x是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
5．（2022春•云浮期末）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）+g（x）为R上的奇函数
B．f（x）﹣g（x）为R上的奇函数
C．f(x)g(x)为R上的偶函数
D．|f（x）g（x）|为R上的偶函数
【考点5：函数奇偶性的应用】
【知识点：函数奇偶性的应用】
利用奇偶性解题的类型及方法：
(1)求解析式：利用奇偶性将待求值转化到方程问题上，进而得解．
(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
1．（2021秋•滨海新区校级月考）定义在R上的奇函数，当时x＜0，f（x）＝2x2﹣x，则f（2）＝（ ）
A．6B．10C．﹣6D．﹣10
2．（2021秋•高州市校级月考）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d是R上的奇函数，g（x）＝f（x）+1，已知g（2）＝5，则g（﹣2）＝（ ）
A．﹣5B．5C．﹣3D．3
3．（2021•东湖区校级一模）已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（ ）
A．−13B．13C．−12D．12
4．（2017秋•周村区期末）已知函数y＝f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（ ）
A．f（x）＝﹣x（x+2）B．f（x）＝x（x﹣2）
C．f（x）＝﹣x（x﹣2）D．f（x）＝x（x+2）
5．（2018秋•南木林县校级期中）若函数f（x）（f（x）≠0）为奇函数，则必有（ ）
A．f（x）•f（﹣x）＞0B．f（x）•f（﹣x）＜0
C．f（x）＜f（﹣x）D．f（x）＞f（﹣x）
6．（2016秋•蕲春县期中）已知f（x）＝ax−5bx+2（a，b∈R），且f（5）＝5，则f（﹣5）＝ ．
7．（2015秋•萧山区校级期中）函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＝x（x﹣1），则当x＞0时，f（x）＝ ．
8．（2018秋•太湖县校级期中）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0．则f（3），f（﹣2），f（1）的大小顺序是 ．
【考点6：函数单调性与奇偶性的综合应用】
【知识点：函数单调性与奇偶性的综合应用】
函数奇偶性与单调性综合的两种题型及解法：
1．（2021秋•美兰区校级月考）定义在[﹣1，1]上的函数y＝f（x）是减函数，且是奇函数，若f（a2﹣a﹣1）+f（4a﹣5）＞0，求实数a的取值范围．
2．（2021秋•顺义区校级月考）设y＝f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）＝x（x﹣2），求
（1）x＜0时，f（x）的解析式；
（2）画出f（x）的图象，并由图直接写出它的单调区间．
3．（2014秋•贞丰县期末）函数f(x)=ax+bx2+1是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f(12)=25．
（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
4．（2011•广东模拟）已知函数f（x）是定义在R上的单调奇函数，且f（1）＝﹣2．
（Ⅰ）求证函数f（x）为R上的单调减函数；
（Ⅱ）解不等式f（x）+f（2x﹣x2﹣2）＜0． 增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M
对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
奇函数
偶函数
定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
图象特征
关于原点对称
关于y轴对称
比较大
小问题
一般解法是利用函数奇偶性，把不在同一单调区间的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，利用其单调性比较大小
抽象不等
式问题
其解题步骤为：①将所给的不等式化归为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题
专题3.2 函数的基本性质
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\l "_Tc16651" 【考点1：函数的单调性及单调区间】 PAGEREF _Tc16651 \h 1
\l "_Tc25743" 【考点2：已知函数的单调性求参或求自变量】 PAGEREF _Tc25743 \h 4
\l "_Tc3150" 【考点3：利用函数的单调性求最值】 PAGEREF _Tc3150 \h 7
\l "_Tc9036" 【考点4：判断或证明函数的奇偶性】 PAGEREF _Tc9036 \h 9
\l "_Tc15010" 【考点5：函数奇偶性的应用】 PAGEREF _Tc15010 \h 12
\l "_Tc6462" 【考点6：函数单调性与奇偶性的综合应用】 PAGEREF _Tc6462 \h 15
【考点1：函数的单调性及单调区间】
【知识点：函数的单调性及单调区间】
1、函数单调性的定义
2．复合函数单调性的规律
若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．
3．函数单调性的性质
(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减．
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．
(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,fx)单调性相反；函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝eq \r(fx)单调性相同．
1．（2021秋•东海县期中）函数f（x）=1x的单调减区间是（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）和（0，+∞）
【分析】根据题意，求出函数的导数，由导数与函数单调性的关系分析可得f（x）的递减区间，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）=1x，其定义域为{x|x≠0}其导数f′（x）=−1x2，
分析可得：当x＞0时，f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
当x＜0时，f′（x）＜0，即函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数；
综合可得：函数f（x）=1x的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）；
故选：D．
2．（2021秋•邗江区期中）下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（ ）
A．y=−1xB．y＝2x+1C．y＝x2D．y＝x0
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=−1x，为反比例函数，在（﹣∞，0）上为增函数，不符合题意；
对于B，y＝2x+1，为一次函数，在（﹣∞，0）上为增函数，不符合题意；
对于C，y＝x2，为二次函数，在（﹣∞，0）上为减函数，符合题意；
对于D，y＝x0＝1，（x≠0），在（﹣∞，0）上不是减函数，不符合题意；
故选：C．
（多选）3．（2021秋•滦南县校级月考）下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0”的是（ ）
A．f（x）=−2xB．f（x）＝﹣3x+1
C．f（x）＝x2+4x+3D．f（x）＝x﹣1
【分析】由题意可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，然后结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为对任意x1，x2∈（0，+∞），都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
A：根据反比例函数性质可知f（x）=−2x在（0，+∞）上单调递增，符合题意；
B：根据一次函数的性质可知，f（x）＝﹣3x+1在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；
C：根据二次函数的性质可知f（x）＝x2+4x+3在（0，+∞）上单调递增，符合题意；
D：根据一次函数的性质可知，f（x）＝x﹣1在（0，+∞）上单调递增，符合题意．
故选：ACD．
4．（2021秋•滦南县校级月考）函数y=1x2+4x−5的单调递增区间是 （﹣∞，﹣5） ．
【分析】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性求解即可．
【解答】解：要使函数有意义，则x2+4x﹣5＞0，解得x＜﹣5或x＞1，
所以函数y=1x2+4x−5的定义域为（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞），
所以y＝x2+4x﹣5的单调递减区间为（﹣∞，﹣5），
因为y=1x在定义域内单调递减，
所以数y=1x2+4x−5的单调递增区间是（﹣∞，﹣5），
故答案为：（﹣∞，﹣5）．
5．（2021秋•朝阳区校级月考）已知函数f（x）＝x|x|﹣2x的单调增区间为 （﹣∞，﹣1）和（1，+∞） ．
【分析】分别讨论x≥0，和x＜0的情况，结合二次函数的单调性，从而求出函数的单调区间．
【解答】解：x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，对称轴x＝1，开口向上，在（1，+∞）递增，
x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x，对称轴x＝﹣1，开口向下，在（﹣∞，﹣1）递增，
∴函数的递增区间是：（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．
6．（2021秋•鼓楼区校级月考）已知函数f(x)=x+1x+3．
（1）讨论函数f（x）在（﹣2，+∞）上的单调性，并用定义证明；
（2）当m∈（﹣2，2）时，有f（﹣2m+3）＜f（m2），求m的范围．
【分析】（1）根据题意，由作差法分析可得答案；
（2）根据题意，结合函数的单调性可得﹣2m+3＜m2，解可得m的取值范围，结合m∈（﹣2，2），分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数f(x)=x+1x+3在（﹣2，+∞）上的单调递增；
证明：设﹣2＜x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝x1+1x1+3−x2−1x2+3=（x1﹣x2）[1−1(x1+3)(x2+3)]，
又由﹣2＜x1＜x2，则1＜x1+3＜x2+3，
则有f（x1）﹣f（x2）＜0，
故函数f(x)=x+1x+3在（﹣2，+∞）上的单调递增；
（2）根据题意，由（1）的结论，当m∈（﹣2，2）时，有﹣2m+3＞﹣1，m2≥0，
若f（﹣2m+3）＜f（m2），则有﹣2m+3＜m2，
解可得：m＜﹣3或m＞1，
又由m∈（﹣2，2），则1＜m＜2，即m的取值范围为（1，2）．
【考点2：已知函数的单调性求参或求自变量】
【知识点：已知函数的单调性求参或求自变量】
1．（2021•河北区学业考试）已知函数f（x）＝x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，10]∪[40，+∞）B．（﹣∞，﹣40]∪[﹣10，+∞）
C．[10，+∞）D．[40，+∞）
【分析】根据题意，求出二次函数f（x）＝x2﹣kx﹣8的对称轴，结合函数单调性的定义可得k2≤5或k2≥20，再求出k的取值范围即可．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣kx﹣8为二次函数，其开口向上，对称轴为x=k2，
若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上具有单调性，
则k2≤5或k2≥20，解得k≤10或k≥40，
所以实数k的取值范围是（﹣∞，10]∪[40，+∞）；
故选：A．
2．（2021秋•河西区期末）若函数f（x）=x+1x−k在区间（﹣2，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．{﹣2}C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，﹣2）
【分析】根据函数的单调性得到关于k的不等式组，解出即可．
【解答】解：f（x）=x+1x−k=1+k+1x−k，
若f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，
则k+1＜0k≤−2，故k≤﹣2，
故选：C．
3．（2021秋•辽宁期中）已知函数f(x)=x2−2ax，x≥1ax−1，x＜1是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，23）B．（0，23]C．（0，1）D．（0，1]
【分析】利用二次函数、一次函数的单调性以及函数的整体单调性，可得a＞0a≤1a−1≤1−2a，从而可解a的取值范围．
【解答】解：根据题意，函数f(x)=x2−2ax，x≥1ax−1，x＜1是R上的增函数，
则a＞0a≤1a−1≤1−2a，得0＜a≤23，
故实数a的取值范围为（0，23]，
故选：B．
4．（2021秋•凉山州期末）已知f（x）＝ax2+1是定义在R上的函数，若对于任意1≤x1＜x2≤3，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞−2，则实数a的取值范围是（ ）
A．{0}B．[0，+∞）C．[−13，+∞)D．[−13，0)
【分析】由题意可知f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2，故令g（x）＝f（x）+2x，1≤x≤3，则函数g（x）在区间[1，3]上单调递增，再分类讨论求解即可．
【解答】解：因为对于任意1≤x1＜x2≤3，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞−2，
所以f（x1）﹣f（x2）＜﹣2（x1﹣x2），即f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2，
故令函数g（x）＝f（x）+2x，1≤x≤3，
所以函数g（x）＝f（x）+2x＝ax2+2x+1在区间[1，3]上单调递增，
所以当a＝0，显然满足，
当a＞0时，函数g（x）的对称轴为x=−1a，故需满足−1a≤1，解得a＞0，
当a＜0函数g（x）的对称轴为x=−1a，故需满足3≤−1a，解得−13≤a＜0，
综上，实数a的取值范围是[−13，+∞|），
故选：C．
5．（2021秋•滦南县校级月考）若函数f（x）＝x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]单调递减，则实数a的取值范围为 （﹣∞，−32] ．
【分析】二次函数f（x）＝x2+（2a﹣1）x+1的单调递减区间为（﹣∞，−2a−12]，从而得到（﹣∞，2]⊆（﹣∞，−2a−12]，从而解得．
【解答】解：∵二次函数f（x）＝x2+（2a﹣1）x+1的单调递减区间为（﹣∞，−2a−12]，
又∵函数f（x）＝x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]单调递减，
∴（﹣∞，2]⊆（﹣∞，−2a−12]，
即2≤−2a−12，
解得，a≤−32，
故答案为：（﹣∞，−32]．
6．（2021秋•武汉期末）若函数f（x）＝ax2+2x﹣1在区间（﹣∞，6）上单调递增，则实数a的取值范围是 [−16，0] ．
【分析】根据题意，分a＝0与a≠0两种情况讨论，结合二次函数的性质可得关于a的不等式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ax2+2x﹣1在区间（﹣∞，6）上单调递增，
当a＝0时，f（x）＝2x﹣1，符合题意，
当a≠0时，f（x）为二次函数，其对称轴为x=−1a，必有−1a≥6a＜0，
解可得−16≤a＜0，即a的取值范围为[−16，0]；
故答案为：[−16，0]．
【考点3：利用函数的单调性求最值】
【知识点：利用函数的单调性求最值】
1．函数的最值
2.函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．
1．（2022春•爱民区校级期末）若函数f(x)=2x+mx+1在区间[0，1]上的最大值为52，则实数m＝（ ）
A．3B．52C．2D．52或3
【分析】将函数f(x)=2x+mx+1化为f（x）＝2+m−2x+1，x∈[0，1]，讨论m＝2，m＞2和m＜2时函数的单调性，运用单调性可得最小值，解方程即可得到所求值．
【解答】解：函数f(x)=2x+mx+1，即f（x）＝2+m−2x+1，x∈[0，1]，
当m＝2时，f（x）＝2不成立；
当m﹣2＞0，即m＞2时，f（x）在[0，1]递减，可得f（0）为最大值，
即f（0）=0+m1=52，解得m=52，成立；
当m﹣2＜0，即m＜2时，f（x）在[0，1]递增，可得f（1）为最大值，
即f（1）=2+m2=52，解得m＝3，不成立；
综上可得m=52．
故选：B．
2．（2022春•阎良区期末）设函数f(x)=2xx−2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m＝（ ）
A．4B．6C．10D．24
【分析】将函数f（x）分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解．
【解答】解：因为f(x)=2(x−2)+4x−2=2+4x−2，
所以f（x）在[3，4]上是减函数．
所以m＝f（4）＝4，M＝f（3）＝6．
所以M+m＝6+4＝10．
故选：C．
3．（2021秋•南充期末）函数f(x)=kx−1(k＞0)在[4，5]上的最大值为1，则k的值为 3 ．
【分析】利用函数f(x)=kx−1(k＞0)在[4，5]上的单调性，结合题意可求得答案．
【解答】解：∵函数f(x)=kx−1(k＞0)在[4，5]上为减函数，
∴f（x）max＝f（4）=k4−1=k3=1，
∴k＝3，
故答案为：3．
4．（2021秋•山西期末）函数f（x）=x+1x−1，x∈[2，6]的最大值为 3 ．
【分析】分离常数后，易知函数f（x）在[2，6]上单调递减，进而求得最大值．
【解答】解：f(x)=x+1x−1=x−1+2x−1=1+2x−1在[2，6]上单调递减，
∴f（x）max＝f（2）＝3．
故答案为：3．
5．（2022春•渭滨区校级期中）已知函数f(x)=2x−1x2+2．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在[﹣2，2]上的最大值与最小值．
【分析】（1）求出导函数，令f′（x）＞0，解不等式即可得到单调递增区间，令f′（x）＜0，解不等式即可得到单调递减区间；
（2）结合（1）中单调区间，求出极值与端点值，比较即可得到最值．
【解答】解：（1）因为f(x)=2x−1x2+2，则f'(x)=−2x2−2x−4(x2+2)2=−2(x+1)(x−2)(x2+2)2，
令f′（x）＞0，则﹣1＜x＜2，所以f（x）在（﹣1，2）上单调递增，
令f′（x）＜0，则x＞2或x＜﹣1，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递减，
所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，2），单调递减区间为（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）；
（2）由（1）知f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（﹣1，2）上单调递增，
则f（x）在x＝﹣1处取得极小值，也是最小值f(x)min=f(−1)=2×(−1)−1(−1)2+2=−1，
而f(2)=2×2−122+2=12，f(−2)=2×(−2)−1(−2)2+2=−56，
因为f（2）＞f（﹣2），
所以f(x)max=f(2)=12，
所以f（x）在[﹣2，2]上的最大值为12，最小值为﹣1．
【考点4：判断或证明函数的奇偶性】
【知识点：判断或证明函数的奇偶性】
1．函数的奇偶性
2.判断函数奇偶性的方法：
(1)定义法：
(2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称.
3.函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．
1．（2020秋•蓬江区期末）函数f（x）＝x+4x（x≠0）是（ ）
A．奇函数，且在（2，+∞）上单调递增
B．奇函数，且在（2，+∞）上单调递减
C．偶函数，且在（2，+∞）上单调递增
D．偶函数，且在（2，+∞）上单调递减
【分析】根据题意，分析函数f（x）的奇偶性和单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x+4x（x≠0），
有f（﹣x）＝﹣x−4x=−f（x），是奇函数，
设2＜x1＜x2，则有f（x1）﹣f（x2）＝（x1﹣x2）x1x2−4x1x2，
又由2＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2−4x1x2＞0，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x）在（2，+∞）上单调递增；
故选：A．
2．（2021秋•铜鼓县校级月考）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）
A．y＝xB．y＝|x|C．y＝﹣x2+1D．y=−2x
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x是正比例函数，是奇函数，不符合题意，
对于B，y＝|x|=x，x≥0−x，x＜0，是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意，
对于C，y＝﹣x2+1，是二次函数，是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，不符合题意，
对于D，y=−2x，是反比函数，是奇函数，不符合题意；
故选：B．
3．（2021秋•海安市校级月考）设函数f（x）=x−2x+2，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f（x﹣2）﹣1B．f（x﹣2）+1C．f（x+2）﹣1D．f（x+2）+1
【分析】化简函数f（x）＝1−4x+2，分别写出每个选项对应的解析式，利用奇函数的定义判断．
【解答】解：由题意得，f（x）＝1−4x+2．
对A，f（x﹣2）﹣1=−4x是奇函数；
对B，f（x﹣）+1＝2−4x，关于（0，2）对称，不是奇函数；
对C，f（x+2）﹣1=−4x+4，定义域为（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+∞），不关于原点对称，不是奇函数；
对D，f（x+2）+1＝2−4x+4，定义域为（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+∞），不关于原点对称，不是奇函数；
故选：A．
4．（2022春•杨陵区校级期末）若函数f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函数，则g（x）＝2ax3+bx2+9x是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
【分析】根据题意，由二次函数的性质求出b的值，即可得g（x）的解析式，分析其奇偶性可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函数，而f（x）为二次函数，
则有b＝0，
则g（x）＝2ax3+9x，其定义域为R，有g（﹣x）＝﹣g（x），g（x）为奇函数，
故选：A．
5．（2022春•云浮期末）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）+g（x）为R上的奇函数
B．f（x）﹣g（x）为R上的奇函数
C．f(x)g(x)为R上的偶函数
D．|f（x）g（x）|为R上的偶函数
【分析】由已知结合函数奇偶性的定义即可判断．
【解答】解：因为f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
所以f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）≠﹣[f（x）+g（x）]，
故f（x）+g（x）为非奇非偶函数，A错误；
同理，f（x）﹣g（x）为非奇非偶函数，B错误；
设F（x）=f(x)g(x)，则F（﹣x）=f(−x)g(−x)=−f(x)g(x)=−F（x），
所以F（x）为奇函数，C错误；
设函数H（x）＝|f（x）g（x）|，
因为f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
则由函数奇偶性的定义得，H（﹣x）＝|f（﹣x）g（﹣x）|＝|﹣f（x）g（x）|＝|f（x）g（x）|＝H（x），D正确．
故选：D．
【考点5：函数奇偶性的应用】
【知识点：函数奇偶性的应用】
利用奇偶性解题的类型及方法：
(1)求解析式：利用奇偶性将待求值转化到方程问题上，进而得解．
(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
1．（2021秋•滨海新区校级月考）定义在R上的奇函数，当时x＜0，f（x）＝2x2﹣x，则f（2）＝（ ）
A．6B．10C．﹣6D．﹣10
【分析】由题意，利用利用函数的奇偶性求函数的值．
【解答】解：定义在R上的奇函数，当时x＜0，f（x）＝2x2﹣x，
则f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣（2×4+2 ）＝﹣10，
故选：D．
2．（2021秋•高州市校级月考）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d是R上的奇函数，g（x）＝f（x）+1，已知g（2）＝5，则g（﹣2）＝（ ）
A．﹣5B．5C．﹣3D．3
【分析】根据函数的奇偶性可得b＝0，d＝0，先利用g（2）＝f（2）+1＝5，得出f（2）和f（﹣2），然后求解g（﹣2）＝f（﹣2）+1的值．
【解答】解：∵f（x）＝ax3+bx2+cx+d是R上的奇函数，
∴b＝0，d＝0，
∴g（x）＝ax3+cx+1，g（2）＝8a+2c+1＝5，
∴f（2）＝8a+2c＝4，∴g（﹣2）＝f（﹣2）+1＝﹣3．
故选：C．
3．（2021•东湖区校级一模）已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（ ）
A．−13B．13C．−12D．12
【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）＝f（x），由此求得b的值．且定义域关于原点对称，故a﹣1＝﹣2a，由此求得a的值，从而得到a+b的值．
【解答】解：对于函数知f（x）＝ax2+bx，
依题意得：f（﹣x）＝f（x），∴b＝0．
又 a﹣1＝﹣2a，∴a=13，
∴a+b=13．
故选：B．
4．（2017秋•周村区期末）已知函数y＝f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（ ）
A．f（x）＝﹣x（x+2）B．f（x）＝x（x﹣2）
C．f（x）＝﹣x（x﹣2）D．f（x）＝x（x+2）
【分析】利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式要先取x＜0则﹣x＞0，代入当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，求出f（﹣x），再根据奇函数的性质得出f（﹣x）＝﹣f（x）两者代换即可得到x＜0时，f（x）的解析式
【解答】解：任取x＜0则﹣x＞0，
∵x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，
∴f（﹣x）＝x2+2x，①
又函数y＝f（x）在R上为奇函数
∴f（﹣x）＝﹣f（x）②
由①②得x＜0时，f（x）＝﹣x（x+2）
故选：A．
5．（2018秋•南木林县校级期中）若函数f（x）（f（x）≠0）为奇函数，则必有（ ）
A．f（x）•f（﹣x）＞0B．f（x）•f（﹣x）＜0
C．f（x）＜f（﹣x）D．f（x）＞f（﹣x）
【分析】先根据奇函数的定义可得到f（﹣x）＝﹣f（x），又因为f（x）•f（﹣x）＝f（x）[﹣f（x）]＝﹣[f（x）]2＜0，从而可判断答案．
【解答】解：∵函数f（x）（f（x）≠0）为奇函数
∴f（﹣x）＝﹣f（x）
∴f（x）•f（﹣x）＝f（x）[﹣f（x）]＝﹣[f（x）]2＜0
故选：B．
6．（2016秋•蕲春县期中）已知f（x）＝ax−5bx+2（a，b∈R），且f（5）＝5，则f（﹣5）＝ ﹣1 ．
【分析】由已知中函数f(x)=ax−5bx+2(a，b∈R)，我们可以构造函数g（x）＝f（x）﹣2=ax−5bx，根据奇函数+奇函数＝奇函数，我们可以判断g（x）是一个奇函数，由f（5）＝5，依次求出g（5），g（﹣5），即可得到f（﹣5）的值．
【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣2=ax−5bx，
则g（x）是一个奇函数
∵f（5）＝5，
∴g（5）＝3，
∴g（﹣5）＝﹣3，
∴f（﹣5）＝﹣1
故答案为：﹣1
7．（2015秋•萧山区校级期中）函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＝x（x﹣1），则当x＞0时，f（x）＝ x（x+1） ．
【分析】先由函数是偶函数得f（﹣x）＝f（x），然后将所求区间利用运算转化到已知区间上，代入到x＜0时，f（x）＝x（x﹣1），即可得x＞0时，函数的解析式．
【解答】解：∵函数y＝f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
∵当x＜0时，f（x）＝x（x﹣1），
∴当x＞0时，﹣x＜0，
∴f（x）＝f（﹣x）＝﹣x（﹣x﹣1）＝x（x+1），
故答案为：x（x+1）．
8．（2018秋•太湖县校级期中）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0．则f（3），f（﹣2），f（1）的大小顺序是 f（1）＞f（﹣2）＞f（3） ．
【分析】先由奇偶性将问题转化到[0，+∞），再由函数在区间上的单调性比较．
【解答】解：∵f（x）是偶函数，
∴f（﹣2）＝f（2），
又∵任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0，
∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，
又∵1＜2＜3，
∴f（1）＞f（2）＞f（3），
故答案为：f（1）＞f（﹣2）＞f（3）．
【考点6：函数单调性与奇偶性的综合应用】
【知识点：函数单调性与奇偶性的综合应用】
函数奇偶性与单调性综合的两种题型及解法：
1．（2021秋•美兰区校级月考）定义在[﹣1，1]上的函数y＝f（x）是减函数，且是奇函数，若f（a2﹣a﹣1）+f（4a﹣5）＞0，求实数a的取值范围．
【分析】将f（a2﹣a﹣1）+f（4a﹣5）＞0变为f（a2﹣a﹣1）＞﹣f（4a﹣5），
利用奇函数，变为f（a2﹣a﹣1）＞f（﹣4a+5），再由单调性转化为直接关于a的不等式求解即可．
【解答】解：f（a2﹣a﹣1）+f（4a﹣5）＞0⇔f（a2﹣a﹣1）＞﹣f（4a﹣5），
因为函数y＝f（x）是奇函数，所以上式变为f（a2﹣a﹣1）＞f（﹣4a+5），
又因为定义在[﹣1，1]上的函数y＝f（x）是减函数，所以−1≤a2−a−1≤1−1≤5−4a≤1a2−a−1＜−4a+5
解得：1≤a＜−3+332
2．（2021秋•顺义区校级月考）设y＝f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）＝x（x﹣2），求
（1）x＜0时，f（x）的解析式；
（2）画出f（x）的图象，并由图直接写出它的单调区间．
【分析】（1）由已知中，x≥0时，f（x）＝x（x﹣2），我们可由x＜0时，﹣x＞0，代入求出f（﹣x），进而根据y＝f（x）是偶函数，得到x＜0时，f（x）的解析式；
（2）根据分段函数分段画的原则，结合（1）中函数的解析式，我们易画出函数的图象，结合图象，我们根据从左到右图象上升，函数为增函数，图象下降，函数为减函数的原则，得到函数的单调性．
【解答】解（1）当x＜0，﹣x＞0
则f（﹣x）＝（﹣x）（﹣x﹣2）＝x（x+2）
∵y＝f（x）是偶函数，
∴x＜0时，f（x）＝x（x+2）．
（2）由（1）中函数的解析式，我们可以画出函数的图象如下图所示：
由图象可得：
x∈（﹣∞，﹣1）和x∈（0，1）为增函数．x∈（﹣1，0）和x∈（1，+∞）为减函数．
3．（2014秋•贞丰县期末）函数f(x)=ax+bx2+1是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f(12)=25．
（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
【分析】（1）根据奇函数的性质，f（﹣x）＝﹣f（x），及f(12)=25．及构造关于a，b的方程，解方程可求出实数a，b的值，进而得到函数f（x）的解析式；
（2）根据（1）中函数的解析式，任取区间（﹣1，1）上两个的实数，然后分析它们所对应的函数值的大小，进而根据函数单调性的定义，即可得到结论．
【解答】解：（1）若函数f(x)=ax+bx2+1是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，
则f（﹣x）=−ax+bx2+1=−f（x）=−ax+bx2+1
解得b＝0
又∵f(12)=25．
∴12a(12)2+1=25，
解得a＝1，
故f(x)=xx2+1
（2）任取区间（﹣1，1）上两个的实数m，n，且m＜n
则f（m）﹣f（n）=mm2+1−nn2+1=(m−n)(1−mn)(m2+1)(n2+1)
∵m2+1＞0，n2+1＞0，m﹣n＜0，1﹣mn＞0
∴f（m）﹣f（n）＜0
即f（m）＜f（n）
∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数
4．（2011•广东模拟）已知函数f（x）是定义在R上的单调奇函数，且f（1）＝﹣2．
（Ⅰ）求证函数f（x）为R上的单调减函数；
（Ⅱ）解不等式f（x）+f（2x﹣x2﹣2）＜0．
【分析】（I）欲证函数f（x）为R上的单调减函数，根据题意，只须证明函数f（x）不是R上的增函数即可；
（II）本题中函数是一个抽象函数，由于给出了它是奇函数与在区间上单调两个条件故可以利用奇函数的性质将f（x）+f（2x﹣x2﹣2）＜0变为f（x）＜f（﹣2x+x2+2），再利用单调性将抽象不等式变为二次不等式，实数x的取值范围易求．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵函数f（x）是奇函数
∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝f（﹣1）＞f（1）
∴函数f（x）不是R上的增函数（2分）
又函数f（x）R上单调∴函数f（x）R上的单调减函数（4分）
（Ⅱ）f（x）+f（2x﹣x2﹣2）＜0，∴f（x）＜﹣f（2x﹣x2﹣2）＝f（﹣2x+x2+2）（6分）
由（Ⅰ）知函数f（x）为上的单调减函数x＞﹣2x+x2+2（8分）
x2﹣3x+2＜得（x﹣1）（x﹣2）＜0，（10分）1＜x＜2∴原不等式的解集{x|1＜x＜2}（12分）增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M
对于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
奇函数
偶函数
定义
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
图象特征
关于原点对称
关于y轴对称
比较大
小问题
一般解法是利用函数奇偶性，把不在同一单调区间的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，利用其单调性比较大小
抽象不等
式问题
其解题步骤为：①将所给的不等式化归为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题