人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.3 幂函数课后测评

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.3 幂函数课后测评，共25页。

TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc31268" 【考点1：幂函数的解析式或函数值】 PAGEREF _Tc31268 \h 1
\l "_Tc20963" 【考点2：幂函数的定义域、值域】 PAGEREF _Tc20963 \h 1
\l "_Tc28428" 【考点3：幂函数的图象】 PAGEREF _Tc28428 \h 2
\l "_Tc6386" 【考点4：幂函数的单调性】 PAGEREF _Tc6386 \h 4
\l "_Tc13713" 【考点5：幂函数的奇偶性】 PAGEREF _Tc13713 \h 6
【考点1：幂函数的解析式或函数值】
【知识点：幂函数的概念】
形如y＝xα(a∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数．对于幂函数，只讨论α＝1，2，3，eq \f(1,2)，－1时的情形．
1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知f(x)为幂函数， 且f(8)=14， 则f(4)=（ ）
A．12B．1316C．134D．116
2．（2022·全国·高一单元测试）若函数fx=xα的图象经过点9,13，则f19=（ ）
A．13B．3C．9D．8
3．（2022·江苏·扬州中学高二开学考试）已知幂函数fx的图象过点2,14，则f7=___________.
4．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．
5．（2021·上海市控江中学高一期中）已知m为常数，函数y=(2m2+m−2)x2m+1为幂函数，则m的值为______;
【考点2：幂函数的定义域、值域】
【知识点：幂函数的定义域、值域】
1．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数fx的图象过点2,2，则fx的定义域为（ ）
A．RB．0,+∞
C．0,+∞D．−∞,0∪0,+∞
2．（2023·全国·高三专题练习）下列幂函数中，定义域为R的是（ ）
A．y=x−1B．y=x−12C．y=x13D．y=x12
3．（2021·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A．y=x13B．y=x12C．y=x53D．y=x23
4．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，值域是R的幂函数是（ ）
A．y=x13B．y=13xC．y=x23D．y=23x
5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx=−3xx≥ax2(xA．(−1,0)B．(−1,0]C．[−1,0)D．[−1,0]
6．（2022·江西·金溪一中高二期末（文））已知幂函数fx=3−2m⋅xm2的定义域为0,+∞，则实数m=______．
7．（2022·全国·高一课时练习）（1）函数y=x45的定义域是________，值域是________；
（2）函数y=x−25的定义域是________，值域是________；
（3）函数y=x32的定义域是________，值域是________；
（4）函数y=x−34的定义域是________，值域是________．
【考点3：幂函数的图象】
【知识点：五种幂函数的图象】
幂函数图象的规律
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；
(2)幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；
(3)如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；
(4)当α为奇数时，幂函数的图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图象关于y轴对称．
1．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高三开学考试）下列关于幕函数y=xα的命题中正确的有（ ）
A．幂函数图象都通过点(0,0),(1,1)
B．当幂指数α=1,3,−1时，幂函数y=xα的图象都经过第一、三象限
C．当幂指数α=1,3,−1时，幂函数y=xα是增函数
D．若α<0，则函数图象不通过点(0,0),(1,1)
2．（2022·全国·高一课时练习）函数y=x54的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高一课时练习）图中C1，C2，C3分别为幂函数y=xα1，y=xα2，y=xα3在第一象限内的图象，则α1，α2，α3依次可以是（ ）
A．12，3，−1B．−1，3，12C．12，−1，3D．−1，12，3
4．（2022·全国·高一课时练习）幂函数y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在第一象限的图像如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 （ ）
A．a>b>c>dB．d>b>c>aC．d>c>b>aD．b>c>d>a
5．（2023·全国·高三专题练习）函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间0,1上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点A1,0，B0,1，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，y=xb的图像三等分，即有BM=MN=NA，那么a−1b=________.
【考点4：幂函数的单调性】
【知识点：幂函数的单调性】
当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
1．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）当x∈0,+∞时，幂函数y=m2−m−1x−5m−3为减函数，则实数m的值为（ ）
A．m=2B．m=−1
C．m=−1或m=2D．m≠1±52
2．（2022·全国·模拟预测（文））设fx=xαα∈−1,12,1,2,3，则“函数fx的图象经过点−1,1”是“函数fx在−∞,0上递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高二期末）已知幂函数fx的图像过点18,4，则fx（ ）
A．是奇函数，在0,+∞上是减函数B．是偶函数，在0,+∞上是减函数
C．是奇函数，在−∞,0上是增函数D．是偶函数，在−∞,0上是减函数
（多选）4．（2022·安徽省宿松中学高二开学考试）下列命题中正确的是( )
A．幂函数y=x−13在0,+∞内是减函数
B．函数y=xx−1在区间1,+∞内是减函数
C．如果函数y=x+1x在a,b上是增函数，那么它在−b,−a上是减函数
D．若定义在R上的函数y=fx的图象关于直线x=a对称，且fx在直线x=a的右侧单减，则函数fx在直线x=a的左侧单增
5．（2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）当x∈0,+∞时，幂函数y=m2−m−1xm2−2m−3为减函数，则m=_________．
6．（2022·全国·高一学业考试）已知幂函数fx=xα的图象经过点3,3，则α=______，若f−a>fa+1，则实数a的取值范围是______．
7．（2022·全国·高一课时练习）比较下列各组数的大小：
(1)−2−3，−2.5−3；
(2)−8−78，−1978；
(3)1234，1534，1214．
【考点5：幂函数的奇偶性】
【知识点：幂函数的奇偶性】
幂函数y＝xα(a∈R)，当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
1．（2021·全国·高一课时练习）已知幂函数y=xpq（p，q∈Z且p，q互质）的图象如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且pq>0B．q为偶数，p为奇数，且pq<0
C．q为奇数，p为偶数，且pq>0D．q为奇数，p为偶数，且pq<0
（多选）2．（2021·贵州毕节·高一期中）下列函数中为奇函数的是（ ）
A．y=xB．y=xC．y=xD．y=x5
（多选）3．（2022·全国·高一课时练习）幂函数fx=m2−5m+7xm2−6在0,+∞上是增函数，则以下说法正确的是（ ）
A．m=3
B．函数fx在−∞,0上单调递增
C．函数fx是偶函数
D．函数fx的图象关于原点对称
（多选）4．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数fx的图象经过点9,3，则（ ）
A．函数fx为增函数B．函数fx为偶函数
C．当x≥4时，fx≥2D．当x2>x1>0时，fx1+fx225．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）已知幂函数y=m2+m−1xm+1的图象关于y轴对称，则m=_________．
6．（2022·全国·高一单元测试）已知a∈{−4,−1,−12,13,12,1,2,3}，若函数f(x)=xa在(0,+∞)上单调递减，且为偶函数，则a=______．
7．（2023·全国·高三专题练习）函数fx=m2−m−1x4m9+m5−1是幂函数，对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，若a，b∈R，且a+b>0，则fa+fb的值：
①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断．
上述结论正确的是__（填序号）．
8．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数y=xm2−2m−3m∈N∗的图象关于y轴对称，且在0,+∞上单调递减，则满足a+1−m3<3−2a−m3的a的取值范围为________.
9．（2021·全国·高三专题练习）若a+1−23>3−2a−23，求实数a的取值范围.
10．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)满足条件f(2−a)>f(a−1) ，试求实数a的取值范围．
11．（2021·全国·高一专题练习）已知幂函数f(x)=(m2−5m+7)xm−1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)=f(x)−ax−3在[1，3]上，①单调，②不单调，这两个条件中选择一个条件，求实数a的取值范围． 函数性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
函数性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
单调性
增
x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减
增
增
x∈(0，＋∞)时，减；
x∈(－∞，0)时，减
函数性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
专题3.3 幂函数
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
\l "_Tc31268" 【考点1：幂函数的解析式或函数值】 PAGEREF _Tc31268 \h 1
\l "_Tc20963" 【考点2：幂函数的定义域、值域】 PAGEREF _Tc20963 \h 3
\l "_Tc28428" 【考点3：幂函数的图象】 PAGEREF _Tc28428 \h 6
\l "_Tc6386" 【考点4：幂函数的单调性】 PAGEREF _Tc6386 \h 9
\l "_Tc13713" 【考点5：幂函数的奇偶性】 PAGEREF _Tc13713 \h 13
【考点1：幂函数的解析式或函数值】
【知识点：幂函数的概念】
形如y＝xα(a∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数．对于幂函数，只讨论α＝1，2，3，eq \f(1,2)，－1时的情形．
1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）已知f(x)为幂函数， 且f(8)=14， 则f(4)=（ ）
A．12B．1316C．134D．116
【答案】B
【分析】根据幂函数及f(8)=14求其解析式，进而求f(4).
【详解】因为f(x)为幂函数，
设f(x)=xα，则f(8)=14=8α=23α，
所以−2=3α，可得α=−23，则f(4)=4−23=1316.
故选：B
2．（2022·全国·高一单元测试）若函数fx=xα的图象经过点9,13，则f19=（ ）
A．13B．3C．9D．8
【答案】B
【分析】将9,13代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可.
【详解】解：由题意知f9=13，所以9α=13，即32α=3−1，
所以α=−12，所以fx=x−12，所以f19=19−12=3.
故选：B
3．（2022·江苏·扬州中学高二开学考试）已知幂函数fx的图象过点2,14，则f7=___________.
【答案】17
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可求解.
【详解】设f(x)=xα，
由fx的图象过点2,14，可得2α=14，解得α=−2
∴fx=x−2，故f7=17.
故答案为：17.
4．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________．
【答案】y=x12
【分析】设幂函数y=fx=xa，由幂函数的图象经过点4,2，知4a=2，由此能求出这个幂函数的解析式．
【详解】设幂函数y=fx=xa，
∵幂函数y=f(x)的图象经过点4,2，
∴4a=2，∴a=12，
∴这个幂函数的解析式为y=x12．
故答案为：y=x12．
5．（2021·上海市控江中学高一期中）已知m为常数，函数y=(2m2+m−2)x2m+1为幂函数，则m的值为______;
【答案】−32或1
【分析】根据幂函数的定义可得2m2+m−2=1，解方程即可.
【详解】解：因为函数y=(2m2+m−2)x2m+1为幂函数，则2m2+m−2=1，
即2m2+m−3=0，解得m=−32或m=1.
故答案为：−32或1.
【考点2：幂函数的定义域、值域】
【知识点：幂函数的定义域、值域】
1．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数fx的图象过点2,2，则fx的定义域为（ ）
A．RB．0,+∞
C．0,+∞D．−∞,0∪0,+∞
【答案】C
【分析】设fx=xα，点代入即可求得幂函数解析式，进而可求得定义域.
【详解】设fx=xα，因为fx的图象过点2,2，
所以2α=2，解得α=12，则fx=x，
故fx的定义域为0+∞．
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）下列幂函数中，定义域为R的是（ ）
A．y=x−1B．y=x−12C．y=x13D．y=x12
【答案】C
【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0
【详解】对选项A，则有：x≠0
对选项B，则有：x>0
对选项C，定义域为：R
对选项D，则有：x≥0
故答案选：C
3．（2021·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A．y=x13B．y=x12C．y=x53D．y=x23
【答案】D
【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解.
【详解】由y=x13=3x可知，x∈R,y∈R，定义域、值域相同；
由y=x12=x可知x∈[0,+∞)，y∈[0,+∞)，定义域、值域相同；
由y=x53=3x5可知，x∈R,，定义域、值域相同y∈R；
由y=x23=3x2可知，x∈R，y∈[0,+∞)，定义域、值域不相同.
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，值域是R的幂函数是（ ）
A．y=x13B．y=13xC．y=x23D．y=23x
【答案】A
【分析】根据幂函数的定义与性质，对选项中的函数进行分析、判断即可．
【详解】由题意可得选项B、D的函数为指数函数，故排除B、D；
对于A：函数y=x13=3x，定义域为R，所以值域为R，满足条件；
对于C：函数y=x23=3x2，定义域为R，在第一象限内单调递增，又x2≥0，所以值域为0，+∞，不满足条件；
故选：A
5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx=−3xx≥ax2(xA．(−1,0)B．(−1,0]C．[−1,0)D．[−1,0]
【答案】D
【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.
【详解】函数y=−3x在[a,+∞)上单调递减，其函数值集合为(−∞,−3a]，
当a>0时，y=x2的取值集合为[0,+∞)，f(x)的值域(−∞,−3a]∪[0,+∞)≠R，不符合题意，
当a≤0时，函数y=x2在(−∞,a)上单调递减，其函数值集合为(a2,+∞)，
因函数f(x)的值域为R，则有−3a≥a2，解得−1≤a≤0，
所以实数a的取值范围为[−1,0].
故选：D
6．（2022·江西·金溪一中高二期末（文））已知幂函数fx=3−2m⋅xm2的定义域为0,+∞，则实数m=______．
【答案】1
【分析】由幂函数的定义列出方程，求出m=1或m=2，通过检验定义域可知m=1满足要求.
【详解】由题意得到3−2m=1，解得：m=1或m=2，
当m=1时，fx=x，定义域为0,+∞，符合题意；
当m=2时，fx=x，定义域为R，不符合题意．
故m=1．
故答案为：1
7．（2022·全国·高一课时练习）（1）函数y=x45的定义域是________，值域是________；
（2）函数y=x−25的定义域是________，值域是________；
（3）函数y=x32的定义域是________，值域是________；
（4）函数y=x−34的定义域是________，值域是________．
【答案】 R 0,+∞ −∞,0∪0,+∞ 0,+∞ 0,+∞ 0,+∞ 0,+∞ 0,+∞
【分析】画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域
【详解】（1）幂函数y=x45图像如图所示，定义域为R，值域为0,+∞,
（2）幂函数y=x−25图像如图所示，定义域为−∞,0∪0,+∞，值域为0,+∞,
（3）幂函数y=x32图像如图所示，定义域为0,+∞，值域为0,+∞,
（4）幂函数y=x−34图像如图所示，定义域为0,+∞，值域为0,+∞,
故答案为：（1）R;0,+∞,
（2）−∞,0∪0,+∞;0,+∞,
（3）0,+∞;0,+∞,
（4）0,+∞;0,+∞.
【考点3：幂函数的图象】
【知识点：五种幂函数的图象】
幂函数图象的规律
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；
(2)幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；
(3)如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；
(4)当α为奇数时，幂函数的图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图象关于y轴对称．
1．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高三开学考试）下列关于幕函数y=xα的命题中正确的有（ ）
A．幂函数图象都通过点(0,0),(1,1)
B．当幂指数α=1,3,−1时，幂函数y=xα的图象都经过第一、三象限
C．当幂指数α=1,3,−1时，幂函数y=xα是增函数
D．若α<0，则函数图象不通过点(0,0),(1,1)
【答案】B
【分析】根据幂函数的性质，结合α取值的情况，一一判断各选项的正误，可得答案.
【详解】对于A，当α<0时，幂函数图象不通过点(0,0)，A错误；
对于B，幂指数α=1,3,−1时，幂函数分别为y=x,y=x3,y=x−1 ，三者皆为奇函数，
图象都经过第一、三象限，故B正确；
对于C，当α=−1时，幂函数y=x−1在(−∞,0),(0,+∞)上皆单调递减，C错误；
对于D，若α<0，则函数图象不通过点(0,0)，通过(1,1)点，D错误，
故选：B
2．（2022·全国·高一课时练习）函数y=x54的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合函数定义域以及幂函数性质，即可判断
【详解】由题意知，函数y=x54=4x5，则满足x5≥0，解得x≥0，故函数的定义域为0,+∞，又54>1，结合幂函数的性质，可得选项C符合题意．
故选：C
3．（2022·全国·高一课时练习）图中C1，C2，C3分别为幂函数y=xα1，y=xα2，y=xα3在第一象限内的图象，则α1，α2，α3依次可以是（ ）
A．12，3，−1B．−1，3，12C．12，−1，3D．−1，12，3
【答案】D
【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案.
【详解】由题图知：α1<0，0<α2<1，α3>1，
所以α1，α2，α3依次可以是−1，12，3．
故选：D
4．（2022·全国·高一课时练习）幂函数y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在第一象限的图像如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 （ ）
A．a>b>c>dB．d>b>c>aC．d>c>b>aD．b>c>d>a
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；
【详解】根据幂函数的性质，
在第一象限内，x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：b>c>d>a，
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间0,1上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点A1,0，B0,1，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，y=xb的图像三等分，即有BM=MN=NA，那么a−1b=________.
【答案】0
【分析】根据BM=MN=NA，可的点M与N的坐标，进而可得参数值，计算可得解.
【详解】BM=MN=NA，点A1,0，B0,1，
所以M13,23，N23,13，
将两点坐标分别代入y=xa，y=xb，
得a=lg1323，b=lg2313=1lg1323=1a，
∴a−1b=a−a=0，
故答案为：0.
【考点4：幂函数的单调性】
【知识点：幂函数的单调性】
当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
1．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）当x∈0,+∞时，幂函数y=m2−m−1x−5m−3为减函数，则实数m的值为（ ）
A．m=2B．m=−1
C．m=−1或m=2D．m≠1±52
【答案】A
【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.
【详解】因为函数y=m2−m−1x−5m−3既是幂函数又是0,+∞的减函数，
所以m2−m−1=1−5m−3<0解得：m=2.
故选：A.
2．（2022·全国·模拟预测（文））设fx=xαα∈−1,12,1,2,3，则“函数fx的图象经过点−1,1”是“函数fx在−∞,0上递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由幂函数的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】函数fx的图象经过点−1,1，则fx=−1α=1，
因为α∈−1,12,1,2,3，所以α=2，所以fx=x2，
所以fx在−∞,0上递减，
而fx在−∞,0上递减，函数fx的图象不一定经过点−1,1，
如：fx=x−1.
所以“函数fx的图象经过点−1,1”是“函数fx在−∞,0上递减”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高二期末）已知幂函数fx的图像过点18,4，则fx（ ）
A．是奇函数，在0,+∞上是减函数B．是偶函数，在0,+∞上是减函数
C．是奇函数，在−∞,0上是增函数D．是偶函数，在−∞,0上是减函数
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义求解出函数的解析式，再根据解析式分析函数的奇偶性和单调性可得出答案.
【详解】依题意可得，fx=xα，18α=4∴fx=x−23，
故fx是偶函数，且在0,+∞上是减函数．选项B正确.
故选：B.
（多选）4．（2022·安徽省宿松中学高二开学考试）下列命题中正确的是( )
A．幂函数y=x−13在0,+∞内是减函数
B．函数y=xx−1在区间1,+∞内是减函数
C．如果函数y=x+1x在a,b上是增函数，那么它在−b,−a上是减函数
D．若定义在R上的函数y=fx的图象关于直线x=a对称，且fx在直线x=a的右侧单减，则函数fx在直线x=a的左侧单增
【答案】ABD
【分析】根据幂函数的性质可判断A；分离常数化简B中函数，根据反比例型函数性质可判断B；根据对勾函数的奇偶性可判断C；根据轴对称性与函数单调性的关系可判断D．
【详解】对于选项A，y=x−13在0,+∞内是减函数，故A正确；
对于选项B，y=xx−1=1+1x−1，其图象关于1,1中心对称，在−∞,1和1,+∞均是减函数，故B正确；
对于选项C，y=x+1x是奇函数，故它若在a,b上是增函数，则在关于原点对称的区间−b,−a上也应是增函数，故C错误；
对于选项D，若定义在R上的函数y=fx的图象关于直线x=a对称，且fx在直线x=a的右侧单减，则函数fx在直线x=a的左侧单增，故D正确．
故选：ABD．
5．（2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）当x∈0,+∞时，幂函数y=m2−m−1xm2−2m−3为减函数，则m=_________．
【答案】2
【分析】利用幂函数定义即可得到结果.
【详解】∵函数为幂函数，则m2−m−1=1，解得m=−1或m=2，
又因为函数在(0,+∞)上单调递减，
可得m2−2m−3<0，可得m=2，
故答案为：2
6．（2022·全国·高一学业考试）已知幂函数fx=xα的图象经过点3,3，则α=______，若f−a>fa+1，则实数a的取值范围是______．
【答案】 12；−1,−12
【分析】将点3,3代入fx=xα，即可求出α=12；再由函数fx=x在0,+∞上单调递增，即可解出实数a的取值范围.
【详解】由题意可得，3α=3，所以α=12，
所以幂函数fx=x．
可知函数fx=x在0,+∞上单调递增，
由f−a>fa+1，得−a≥0a+1≥0−a>a+1，
解得：−1≤a<−12．
故答案为：12；−1,−12.
7．（2022·全国·高一课时练习）比较下列各组数的大小：
(1)−2−3，−2.5−3；
(2)−8−78，−1978；
(3)1234，1534，1214．
【答案】(1)−2−3<−2.5−3
(2)−8−78<−1978
(3)1534<1234<1214
【分析】（1）利用幂函数的单调性进行比较大小.
（2）利用幂函数的单调性、不等式的性质进行比较大小.
（3）利用幂函数的单调性、分数指数幂的性质进行大小比较.
（1）
因为幂函数y=x−3在−∞,0上单调递减，且−2>−2.5，所以−2−3<−2.5−3．
（2）
因为幂函数y=x78在0,+∞上为增函数，且−8−78=−1878，18>19，所以1878>1978，所以−1878<−1978，所以−8−78<−1978．
（3）
1234=1814，1534=112514，1125<18<12，因为幂函数y=x14在0,+∞上单调递增，所以1534<1234<1214．
【考点5：幂函数的奇偶性】
【知识点：幂函数的奇偶性】
幂函数y＝xα(a∈R)，当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
1．（2021·全国·高一课时练习）已知幂函数y=xpq（p，q∈Z且p，q互质）的图象如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且pq>0B．q为偶数，p为奇数，且pq<0
C．q为奇数，p为偶数，且pq>0D．q为奇数，p为偶数，且pq<0
【答案】D
【分析】根据函数的单调性可判断出pq<0；根据函数的奇偶性及p，q互质可判断出p为偶数，q为奇数.
【详解】观察图象，由图象在第一象限内是单调递减的可知pq<0
由图象关于y轴对称可知函数为偶函数，从而p为偶数，
又因为p，q互质，所以q为奇数.
故选：D.
（多选）2．（2021·贵州毕节·高一期中）下列函数中为奇函数的是（ ）
A．y=xB．y=xC．y=xD．y=x5
【答案】AD
【分析】利用函数奇偶性的定义判断.
【详解】A. f−x=−x=−fx，fx是奇函数，故正确；
B. f−x=−x=x=fx，fx是偶函数，故错误；
C. y=x的定义域为[0,+∞)，不关于原点对称，故不奇函数，故错误；
D. f−x=−x5=−x5=−fx，fx是奇函数，故正确；
故选：AD
（多选）3．（2022·全国·高一课时练习）幂函数fx=m2−5m+7xm2−6在0,+∞上是增函数，则以下说法正确的是（ ）
A．m=3
B．函数fx在−∞,0上单调递增
C．函数fx是偶函数
D．函数fx的图象关于原点对称
【答案】ABD
【分析】根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得m=3，即可得到fx，从而判断可得；
【详解】解：因为幂函数fx=m2−5m+7xm2−6在0,+∞上是增函数，
所以m2−5m+7=1m2−6>0，解得m=3，所以fx=x3，
所以f−x=−x3=−x3=−fx，故fx=x3为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以fx在−∞,0上单调递增；
故选：ABD
（多选）4．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数fx的图象经过点9,3，则（ ）
A．函数fx为增函数B．函数fx为偶函数
C．当x≥4时，fx≥2D．当x2>x1>0时，fx1+fx22【答案】ACD
【分析】设幂函数f(x)的解析式，代入点(9,3)，求得函数f(x)的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数f(x)的定义域可判断B项，结合函数f(x)的解析式，利用平方差证明不等式fx1+fx22【详解】解：设幂函数fx=xα，则f9=9α=3，解得α=12，所以fx=x12，
所以fx的定义域为0,+∞，fx在0,+∞上单调递增，故A正确，
因为fx的定义域不关于原点对称，所以函数fx不是偶函数，故B错误，
当x≥4时，fx≥f4=412=2，故C正确，
当x2>x1>0时，fx1+fx222−fx1+x222=x1+x2+2x1x24−x1+x22=2x1x2−x1−x24= −x1−x224<0，
又fx≥0，所以fx1+fx22故选：ACD.
5．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）已知幂函数y=m2+m−1xm+1的图象关于y轴对称，则m=_________．
【答案】1
【分析】根据幂函数的定义得到方程，即可求出m，再代入验证即可；
【详解】解：因为y=m2+m−1xm+1为幂函数，所以m2+m−1=1，解得m=1或m=−2，
当m=1时y=x2为偶函数，函数图象关于y轴对称，符合题意；
当m=−2时y=x−1为奇函数，函数图象关于原点对称，不符合题意；
即m=1；
故答案为：1
6．（2022·全国·高一单元测试）已知a∈{−4,−1,−12,13,12,1,2,3}，若函数f(x)=xa在(0,+∞)上单调递减，且为偶函数，则a=______．
【答案】−4
【分析】根据幂函数的单调性知a<0，即可确定a的可能值，讨论a并判断对应f(x)奇偶性，即可得结果.
【详解】由题知：a<0，
所以a的值可能为−4，−1，−12．
当a=−4时，f(x)=x−4=x14(x≠0)为偶函数，符合题意．
当a=−1时，f(x)=x−1=1x(x≠0)为奇函数，不符合题意．
当a=−12时，f(x)=x−12=1x，定义域为(0,+∞)，则f(x)为非奇非偶函数，不符合题意．
综上，a=−4．
故答案为：−4
7．（2023·全国·高三专题练习）函数fx=m2−m−1x4m9+m5−1是幂函数，对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，若a，b∈R，且a+b>0，则fa+fb的值：
①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断．
上述结论正确的是__（填序号）．
【答案】①
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，根据函数的单调性确定m的值，结合幂函数的性质判断fa+fb的值即可．
【详解】解：由于函数fx=m2−m−1x4m9+m5−1是幂函数，故m2−m−1=1，解得m=2或m=−1．
由于对任意的x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2>0，所以函数fx在(0,+∞)上为增函数，
当m=2时，fx=x211+25−1=x2079符合题意，
当m=−1时，fx=x−6不符合题意，
故fx=x2079，且函数fx为奇函数．
由于a，b∈R，且a+b>0，
所以a>−b，由于函数为单调递增函数和奇函数，故fa>f−b，
所以fa>−fb，
所以fa+fb>0，
故答案为：①
8．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数y=xm2−2m−3m∈N∗的图象关于y轴对称，且在0,+∞上单调递减，则满足a+1−m3<3−2a−m3的a的取值范围为________.
【答案】−∞,−1∪23,32
【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到m=1，代入不等式得到a+113<3−2a13，根据函数的单调性解得答案.
【详解】幂函数y=xm2−2m−3m∈N∗在0,+∞上单调递减，故m2−2m−3<0，解得−1m∈N∗，故m=0，1，2.
当m=0时 ，y=x−3不关于y轴对称，舍去；
当m=1时 ，y=x−4关于y轴对称，满足；
当m=2时 ，y=x−3不关于y轴对称，舍去；
故m=1，a+1−13<3−2a−13，函数y=x−13在−∞,0和0,+∞上单调递减，
故a+1>3−2a>0或0>a+1>3−2a或a+1<0<3−2a，解得a<−1或23故答案为：−∞,−1∪23,32
9．（2021·全国·高三专题练习）若a+1−23>3−2a−23，求实数a的取值范围.
【答案】−∞,−1∪−1,23∪4,+∞
【分析】首先设幂函数fx=x−23，得到函数fx为偶函数，且在−∞,0为增函数， 0,+∞为减函数，再利用单调性解不等式a+1−23>3−2a−23即可.
【详解】设幂函数fx=x−23，定义域为x≠0，
因为f−x=−x−23=−x2−13=x−23=fx，
所以函数fx=x−23为偶函数.
由幂函数的单调性可知：fx=x−23在0,+∞为减函数，
又因为函数fx=x−23为偶函数，所以fx=x−23在−∞,0为增函数.
因为a+1−23>3−2a−23，
所以a+1≠03−2a≠0a+1<3−2a，解得a>4或−1所以a的取值范围是−∞,−1∪−1,23∪4,+∞.
【点睛】本题主要考查根据幂函数的单调性解不等式，同时考查了幂函数的奇偶性，属于中档题.
10．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)满足条件f(2−a)>f(a−1) ，试求实数a的取值范围．
【答案】(1)fx=x2
(2)−∞,32
【分析】（1）将点(2,2)代入f(x)=xα，求出α，即可得出答案；
（2）判断函数的奇偶性和在0,+∞上的单调性，再根据函数单调性解不等式即可.
（1）
解：因为幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,2)，则有2α=2，
所以α=2，
所以fx=x2；
（2）
解：因为f−x=x2=fx，所以函数fx=x2为偶函数，
又函数fx=x2在0,+∞上递增，且 f2−a>fa−1，
所以2−a>a−1 ，
所以4−4a+a2>a2−2a+1，
解得a<32，
所以满足条件 f2−a>fa−1 的实数 a 的取值范围为 −∞,32.
11．（2021·全国·高一专题练习）已知幂函数f(x)=(m2−5m+7)xm−1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)=f(x)−ax−3在[1，3]上，①单调，②不单调，这两个条件中选择一个条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)f(x)=x2
(2)选①a⩽2或a⩾6；选②2【分析】（1）根据幂函数f(x)=(m2−5m+7)xm−1为偶函数可得m2−5m+7=1且m−1为偶数，解之即可得出答案；
（2）选①，求出函数的对称轴，根据二次函数的单调性列出不等式，从而可得出答案；
选②，求出函数的对称轴，根据二次函数的单调性列出不等式，从而可得出答案.
(1)
解：因为幂函数f(x)=(m2−5m+7)xm−1为偶函数，
所以m2−5m+7=1且m−1为偶数，解得m=3，
所以f(x)=x2；
(2)
解：选①时，g(x)=f(x)−ax−3=x2−ax−3在[1，3]上单调，则二次函数的对称轴x=a2满足a2⩽1或a2⩾3；
解得a⩽2或a⩾6；
选②时，g(x)=x2−ax−3在[1，3]上不单调，则二次函数的对称轴x=a2满足1解得2y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
函数性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
单调性
增
x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减
增
增
x∈(0，＋∞)时，减；
x∈(－∞，0)时，减
函数性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇