高中5.3 诱导公式课后测评

这是一份高中5.3 诱导公式课后测评，共19页。

TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc123246874" 【考点1：诱导公式(2kπ＋α(k∈Z))】 PAGEREF _Tc123246874 \h 1
\l "_Tc123246875" 【考点2：诱导公式(π＋α)】 PAGEREF _Tc123246875 \h 1
\l "_Tc123246876" 【考点3：诱导公式(-α)】 PAGEREF _Tc123246876 \h 2
\l "_Tc123246877" 【考点4：诱导公式(π-α)】 PAGEREF _Tc123246877 \h 2
\l "_Tc123246878" 【考点5：诱导公式(eq \f(π,2)-α)】 PAGEREF _Tc123246878 \h 3
\l "_Tc123246879" 【考点6：诱导公式(eq \f(π,2)+α)】 PAGEREF _Tc123246879 \h 3
\l "_Tc123246880" 【考点7：诱导公式的综合】 PAGEREF _Tc123246880 \h 4
【考点1：诱导公式(2kπ＋α(k∈Z))】
【知识点：诱导公式2kπ＋α(k∈Z)】
1．（2022春·安徽合肥·高一校联考期末）cs420°=（ ）
A．32B．−32C．12D．−12
2．（2021春·福建莆田·高一莆田第四中学校考阶段练习）cs−23π6的值为（ ）
A．−12B．12C．−32D．32
3．（2022·全国·高三专题练习）sin−660∘的值是（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
4．（2022春·江苏南通·高一江苏省南通中学校考期末）sin(−2040°)=（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
【考点2：诱导公式(π＋α)】
【知识点：诱导公式(π＋α)】
1．（2022春·山东青岛·高一山东省莱西市第一中学校考阶段练习）sin163π=（ ）
A．−32B．−12C．12D．32
2．（2022春·北京朝阳·高一校考期中）sin240∘=（ ）
A．−12B．−32C．32D．12
3．（2021秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知sinθ=513，θ∈0,π2，则tanπ+θ=____________.
4．（2021秋·辽宁阜新·高二校考期末）cs19π6 =__________．
【考点3：诱导公式(-α)】
【知识点：诱导公式(-α)】
1．（2022春·山东泰安·高一校考阶段练习）tan570°+sin300°=（ ）
A．536B．36C．−36D．−536
2．（2022春·河南洛阳·高一孟津县第一高级中学校考阶段练习）cs5π3+tan225°+sin19π6=____________.
【考点4：诱导公式(π-α)】
【知识点：诱导公式(π-α)】
1．（2022春·陕西宝鸡·高一校联考阶段练习）若csπ7−α=33，则cs67π+α=（ ）
A．−33B．33C．63D．−63
2．（2022春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）“A+B=π”是“sinA=sinB”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2022·全国·高一假期作业）已知fx=csπ−xsinπ+xsin2π−x−1，则f2023π6=（ ）
A．3B．−3C．33D．−33
4．（2022·上海·高三统考学业考试）已知sinα=22，那么sin(π−α)的值是____________.
5．（2022春·广东广州·高一广州市第九十七中学校考阶段练习）已知sinπ−α=2csα，则cs2α−sinαcsα=______．
【考点5：诱导公式(eq \f(π,2)-α)】
【知识点：诱导公式(eq \f(π,2)-α)】
1．（2022春·陕西宝鸡·高一校联考阶段练习）若函数y=a2x+4+3（a>0且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则sin3π2−θ=（ ）
A．−55B．−255C．55D．255
2．（2022·全国·高一假期作业）若csα+π6=45，则sinπ3−α=（ ）
A．45B．35C．−35D．−45
【考点6：诱导公式(eq \f(π,2)+α)】
【知识点：诱导公式(eq \f(π,2)+α)】
1．（2021春·新疆阿克苏·高二校考期末）已知sin(π2+α)=15，那么csα等于（ ）
A．−25B．−15C．15D．25
2．（2022春·江苏苏州·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，且csα=23.把角α的终边烧端点O按逆时针方向旋转π2弧度，这时终边对应的角是β，则sinβ=（ ）
A．−23B．23C．−53D．53
3．（2022春·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，则sinθ+π2=（ ）
A．−7210B．7210C．−210D．±55
4．（2022秋·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考期末）角α终边上一点P(−3,4)，则cs3π2+α+sin(π−α)tan(2023π−α)=___________.
【考点7：诱导公式的综合】
【知识点：诱导公式的综合】
1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．利用诱导公式化简三角函数的要求
(1)化简过程是恒等变形；
(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
[方法技巧]
应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项
(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．
1．（2022春·重庆·高一阶段练习）在平面直角坐标系中,角α的顶点坐标原点,始边为x的非负半轴,终边经过点−1,2.
(1)求sinα⋅tanα的值;
(2)求sinα+π2⋅cs7π2−α⋅tan2π−α⋅cs−3π2+αsin2π−α⋅tan−α−π⋅sinπ+α的值.
2．（2022春·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）已知角α满足sinα−csα=−55.
(1)求tanα的值；
(2)若角α是第三象限角，fα=sinα−πtan5π+αcsπ+αtan2π−αcs−3π2−α，求fα的值.
3．（2022春·广东茂名·高一统考期末）已知sin5π6−α=13．
(1)求csα−π3；
(2)若−π6<α<π3，求csπ6+α．
4．（2022春·广东茂名·高一统考期末）已知csα=−45，且tanα>0．
(1)求tanα的值；
(2)求2sin(π−α)+sinπ2+αcs(2π−α)+cs(−α)的值．
5．（2022春·重庆·高一阶段练习）在平面直角坐标系中,角α的顶点坐标原点,始边为x的非负半轴,终边经过点−1,2.
(1)求sinα⋅tanα的值;
(2)求sinα+π2⋅cs7π2−α⋅tan2π−α⋅cs−3π2+αsin2π−α⋅tan−α−π⋅sinπ+α的值.
6．（2022春·山东济南·高一校考阶段练习）已知f(α)=cs(π−α)sin(−α−π)sinα−π2cs3π2+αtan(π−α).
(1)化简fα；
(2)若角α为第二象限角，且sinα=13，求fα的值.角
2kπ＋α(k∈Z)
正弦
sin α
余弦
cs α
正切
tan α
角
π＋α
正弦
－sin_α
余弦
－cs_α
正切
tan_α
角
－α
正弦
－sin_α
余弦
cs_α
正切
－tan_α
角
π－α
正弦
sin_α
余弦
－cs_α
正切
－tan_α
角
eq \f(π,2)－α
正弦
cs_α
余弦
sin_α
正切
角
eq \f(π,2)＋α
正弦
cs_α
余弦
－sin_α
正切
专题5.3 诱导公式
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc123246874" 【考点1：诱导公式(2kπ＋α(k∈Z))】 PAGEREF _Tc123246874 \h 1
\l "_Tc123246875" 【考点2：诱导公式(π＋α)】 PAGEREF _Tc123246875 \h 2
\l "_Tc123246876" 【考点3：诱导公式(-α)】 PAGEREF _Tc123246876 \h 3
\l "_Tc123246877" 【考点4：诱导公式(π-α)】 PAGEREF _Tc123246877 \h 4
\l "_Tc123246878" 【考点5：诱导公式(eq \f(π,2)-α)】 PAGEREF _Tc123246878 \h 6
\l "_Tc123246879" 【考点6：诱导公式(eq \f(π,2)+α)】 PAGEREF _Tc123246879 \h 7
\l "_Tc123246880" 【考点7：诱导公式的综合】 PAGEREF _Tc123246880 \h 8
【考点1：诱导公式(2kπ＋α(k∈Z))】
【知识点：诱导公式2kπ＋α(k∈Z)】
1．（2022春·安徽合肥·高一校联考期末）cs420°=（ ）
A．32B．−32C．12D．−12
【答案】C
【分析】根据诱导公式cs(α+k⋅360°)=csα,k∈Z化简即可.
【详解】cs420°=cs(360°+60°)=cs60°=12.
故选：C
2．（2021春·福建莆田·高一莆田第四中学校考阶段练习）cs−23π6的值为（ ）
A．−12B．12C．−32D．32
【答案】D
【分析】由诱导公式一即可值
【详解】cs−23π6=cs−23π6+4π=csπ6=32
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）sin−660∘的值是（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简可求得结果.
【详解】sin−660∘=sin−660∘+720∘=sin60∘=32.
故选：C.
4．（2022春·江苏南通·高一江苏省南通中学校考期末）sin(−2040°)=（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
【答案】C
【分析】根据诱导公式先化简再求值即可．
【详解】解：sin(−2040°)=sin−2040°+6×360°=sin120°=32，
故选：C．
【考点2：诱导公式(π＋α)】
【知识点：诱导公式(π＋α)】
1．（2022春·山东青岛·高一山东省莱西市第一中学校考阶段练习）sin163π=（ ）
A．−32B．−12C．12D．32
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简即可求解.
【详解】sin163π=sin4π+4π3=sin4π3=sinπ+π3=−sinπ3=−32，
故选：A.
2．（2022春·北京朝阳·高一校考期中）sin240∘=（ ）
A．−12B．−32C．32D．12
【答案】B
【分析】利用诱导公式进行化简并求值
【详解】∵sin240∘=sin180∘+60∘=−sin60∘=−32
故选：B
3．（2021秋·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知sinθ=513，θ∈0,π2，则tanπ+θ=____________.
【答案】512
【分析】先利用平方关系和商数关系求出tanθ，再利用诱导公式即可得解.
【详解】解：因为sinθ=513，θ∈0,π2，
所以csθ=1−sin2θ=1213，所以tanθ=512，
所以tanπ+θ=tanθ=512.
故答案为：512.
4．（2021秋·辽宁阜新·高二校考期末）cs19π6 =__________．
【答案】−32
【分析】根据给定条件，利用诱导公式结合特殊角的三角函数值求解作答.
【详解】cs19π6=cs2π+76π=cs76π=csπ+π6=−csπ6=−32.
故答案为：−32
【考点3：诱导公式(-α)】
【知识点：诱导公式(-α)】
1．（2022春·山东泰安·高一校考阶段练习）tan570°+sin300°=（ ）
A．536B．36C．−36D．−536
【答案】C
【分析】由诱导公式可得答案.
【详解】tan570+sin300=tan360+210+sin360−60
=tan180+30−sin60=tan30−sin60=33−32=−36.
故选：C
2．（2022春·河南洛阳·高一孟津县第一高级中学校考阶段练习）cs5π3+tan225°+sin19π6=____________.
【答案】1
【分析】由诱导公式和特殊角的三角函数值，直接得到答案.
【详解】依题意，根据诱导公式，原式=cs−π3+tan45∘+sin7π6=12+1+−12=1.
故答案为：1
【考点4：诱导公式(π-α)】
【知识点：诱导公式(π-α)】
1．（2022春·陕西宝鸡·高一校联考阶段练习）若csπ7−α=33，则cs67π+α=（ ）
A．−33B．33C．63D．−63
【答案】A
【分析】利用诱导公式化成含有已知条件的式子，即可求出cs67π+α的值.
【详解】cs67π+α=csπ−π7−α=−csπ7−α=−33.
故选：A.
2．（2022春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）“A+B=π”是“sinA=sinB”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合诱导公式和列举法可直接求解
【详解】若A+B=π，则A=π−B，sinA=sinπ−B=sinB；但sinA=sinB时，A=B+2kπ,k∈Z或A=π−B+2kπ,k∈Z，故“A+B=π”是“sinA=sinB”的充分不必要条件.
故选：A
3．（2022·全国·高一假期作业）已知fx=csπ−xsinπ+xsin2π−x−1，则f2023π6=（ ）
A．3B．−3C．33D．−33
【答案】D
【分析】利用三角函数的诱导公式求解.
【详解】解：fx=csπ−xsinπ+xsin2π−x−1，
=csxsinxsin2x−1=−csxsinxcs2x=−tanx，
则f2023π6=−tan2023π6=−tan337π+π6=−tanπ6=−33，
故选：D
4．（2022·上海·高三统考学业考试）已知sinα=22，那么sin(π−α)的值是____________.
【答案】22##122
【分析】直接通过诱导公式进行化简求值即可
【详解】∵ sinα=22，∴sinπ−α=sinα=22.
故答案为：22
5．（2022春·广东广州·高一广州市第九十七中学校考阶段练习）已知sinπ−α=2csα，则cs2α−sinαcsα=______．
【答案】−15##-0.2
【分析】先根据诱导公式进行化简，求出tanα的值，再将cs2α−sinαcsα分母写为sin2α+cs2α，再将分子分母同除以cs2α化为关于tanα的式子，代入即可求出值.
【详解】解:由题知sinπ−α=2csα，
即sinα=2csα，
∴tanα=2，且csα≠0，
∴cs2α−sinαcsα=cs2α−sinαcsαsin2α+cs2α
=1−tanαtan2α+1
=−15.
故答案为:−15
【考点5：诱导公式(eq \f(π,2)-α)】
【知识点：诱导公式(eq \f(π,2)-α)】
1．（2022春·陕西宝鸡·高一校联考阶段练习）若函数y=a2x+4+3（a>0且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则sin3π2−θ=（ ）
A．−55B．−255C．55D．255
【答案】C
【分析】求出点A的坐标，利用三角函数的定义以及诱导公式可求得sin3π2−θ的值.
【详解】当2x+4=0，即x=−2时，y=4，所以A−2,4，
所以csθ=−2−22+42=−55，由诱导公式可得sin3π2−θ=−csθ=55.
故选：C.
2．（2022·全国·高一假期作业）若csα+π6=45，则sinπ3−α=（ ）
A．45B．35C．−35D．−45
【答案】A
【分析】利用诱导公式进行变形，即可求解.
【详解】因为sinπ3−α=sinπ2−(α+π6)=cs(α+π6)=45，
故选：A.
【考点6：诱导公式(eq \f(π,2)+α)】
【知识点：诱导公式(eq \f(π,2)+α)】
1．（2021春·新疆阿克苏·高二校考期末）已知sin(π2+α)=15，那么csα等于（ ）
A．−25B．−15C．15D．25
【答案】C
【分析】直接利用诱导公式，π2+α的诱导公式需要改变函数名称，正弦变为余弦，再定符号即可．
【详解】由已知sin(π2+α)=csα=15.
故选：C．
2．（2022春·江苏苏州·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，且csα=23.把角α的终边烧端点O按逆时针方向旋转π2弧度，这时终边对应的角是β，则sinβ=（ ）
A．−23B．23C．−53D．53
【答案】B
【分析】依题意可得β=α+π2，再利用诱导公式计算可得.
【详解】依题意β=α+π2，因为csα=23，
sinβ=sinπ2+α=csα=23，
故选：B
3．（2022春·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，则sinθ+π2=（ ）
A．−7210B．7210C．−210D．±55
【答案】D
【分析】由题意可得tanθ=2，化切为弦，结合平方关系可得cs2θ=15，再由诱导公式求得sinπ2+θ的值．
【详解】因角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则有tanθ=2，即sinθcsθ=2．再由sin2θ+cs2θ=1⇒5cs2θ=1，可得cs2θ=15.
又由诱导公式，sinπ2+θ=csθ=±55.
故选：D．
4．（2022秋·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考期末）角α终边上一点P(−3,4)，则cs3π2+α+sin(π−α)tan(2023π−α)=___________.
【答案】65
【分析】首先根据三角函数定义求出正弦值以及正切值，再对式子利用诱导公式化简即可.
【详解】因为角α终边上一点P(−3,4)，根据三角函数定义，可知sinα=45， tanα=−43.而根据诱导公式cs32π+α=sinα、sinπ−α=sinα，
tan2023π−α=tanπ−α=−tanα，则cs32π+α+sinπ−αtan2023π−α=sinα+sinα−tanα
将函数值代入可得2sinα−tanα=2×4543=65.
故答案为：65
【考点7：诱导公式的综合】
【知识点：诱导公式的综合】
1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”
2．利用诱导公式化简三角函数的要求
(1)化简过程是恒等变形；
(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
[方法技巧]
应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项
(1)已知角求值问题．关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)对给定的式子进行化简或求值问题．要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．
1．（2022春·重庆·高一阶段练习）在平面直角坐标系中,角α的顶点坐标原点,始边为x的非负半轴,终边经过点−1,2.
(1)求sinα⋅tanα的值;
(2)求sinα+π2⋅cs7π2−α⋅tan2π−α⋅cs−3π2+αsin2π−α⋅tan−α−π⋅sinπ+α的值.
【答案】(1)−455
(2)−55
【分析】(1)根据角α终边经过点−1,2,得出sinα,csα,tanα的值,即可求出sinα⋅tanα;
(2)根据诱导公式进行化简,代入角α的三角函数值即可.
【详解】（1）解:由题知角α终边经过点−1,2,
∴r=x2+y2=(−1)2+22=5,
∴sinα=yr=25=255,
csα=xr=−15=−55,
tanα=yx=2−1=−2,
∴sinα⋅tanα=−455;
（2）由(1)知csα=−55,
则原式 sinα+π2⋅cs7π2−α⋅tan2π−α⋅cs−3π2+αsin2π−α⋅tan−α−π⋅sinπ+α
=csα⋅−sinα⋅−tanα⋅−sinα−sinα⋅−tanα⋅−sinα
=csα
=−55.
2．（2022春·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）已知角α满足sinα−csα=−55.
(1)求tanα的值；
(2)若角α是第三象限角，fα=sinα−πtan5π+αcsπ+αtan2π−αcs−3π2−α，求fα的值.
【答案】(1)答案见解析
(2)55
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式列方程组求解即可；
（2）利用诱导公式求解即可.
【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有sinα−csα=−55sin2α+cs2α=1，
消去sinα得5cs2α−5csα−2=0，解得csα=255或csα=−55，
当角α是第一象限角时，csα=255,sinα=55,tanα=12，
因为角α是第三象限角，csα=−55,sinα=−255,tanα=2.
（2）由题意可得fα=−sinαtanα−csα−tanαsinα=−csα，
因为角α是第三象限角，
所以csα=−55，所以fα=55.
3．（2022春·广东茂名·高一统考期末）已知sin5π6−α=13．
(1)求csα−π3；
(2)若−π6<α<π3，求csπ6+α．
【答案】(1)13
(2)223
【分析】（1）将5π6−α看作一个整体，则α−π3=π2−5π6−α，使用诱导公式求解即可；
（2）将5π6−α看作一个整体，则π6+α=π−5π6−α，使用诱导公式，结合α的范围和同角三角函数平方关系求解即可.
【详解】（1）csα−π3=csπ2−5π6−α=sin5π6−α=13.
（2）∵−π6<α<π3，∴−π3<−α<π6，∴π2<5π6−α<π，
∴cs5π6−α<0，cs5π6−α=−1−sin25π6−α=−1−19=−223，
csπ6+α=csπ−5π6−α=−cs5π6−α=223.
4．（2022春·广东茂名·高一统考期末）已知csα=−45，且tanα>0．
(1)求tanα的值；
(2)求2sin(π−α)+sinπ2+αcs(2π−α)+cs(−α)的值．
【答案】(1)34；
(2)54.
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解；
（2）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系化简求值.
【详解】（1）∵csα=−45，tanα>0，∴α为第三象限角．
∴sinα=−1−cs2α=−35，
∴tanα=sinαcsα=34.
（2）原式=2sinα+csαcsα+csα
=tanα+12
=34+12=54.
5．（2022春·重庆·高一阶段练习）在平面直角坐标系中,角α的顶点坐标原点,始边为x的非负半轴,终边经过点−1,2.
(1)求sinα⋅tanα的值;
(2)求sinα+π2⋅cs7π2−α⋅tan2π−α⋅cs−3π2+αsin2π−α⋅tan−α−π⋅sinπ+α的值.
【答案】(1)−455
(2)−55
【分析】(1)根据角α终边经过点−1,2,得出sinα,csα,tanα的值,即可求出sinα⋅tanα;
(2)根据诱导公式进行化简,代入角α的三角函数值即可.
【详解】（1）解:由题知角α终边经过点−1,2,
∴r=x2+y2=(−1)2+22=5,
∴sinα=yr=25=255,
csα=xr=−15=−55,
tanα=yx=2−1=−2,
∴sinα⋅tanα=−455;
（2）由(1)知csα=−55,
则原式 sinα+π2⋅cs7π2−α⋅tan2π−α⋅cs−3π2+αsin2π−α⋅tan−α−π⋅sinπ+α
=csα⋅−sinα⋅−tanα⋅−sinα−sinα⋅−tanα⋅−sinα
=csα
=−55.
6．（2022春·山东济南·高一校考阶段练习）已知f(α)=cs(π−α)sin(−α−π)sinα−π2cs3π2+αtan(π−α).
(1)化简fα；
(2)若角α为第二象限角，且sinα=13，求fα的值.
【答案】(1)−1tanα
(2)fα=22
【分析】（1）由诱导公式化简；
（2）由平方关系求得csα，再由商数关系得tanα，从而得结论．
【详解】（1）f(α)=cs(π−α)sin(−α−π)sinα−π2cs3π2+αtan(π−α) =−csαsinα−csαsinα(−tanα)=−1tanα.
（2）∵sinα=13，sin2α+cs2α=1，角α为第二象限角，
∴csα=−223，∴tanα=−122.
∴fα=22.角
2kπ＋α(k∈Z)
正弦
sin α
余弦
cs α
正切
tan α
角
π＋α
正弦
－sin_α
余弦
－cs_α
正切
tan_α
角
－α
正弦
－sin_α
余弦
cs_α
正切
－tan_α
角
π－α
正弦
sin_α
余弦
－cs_α
正切
－tan_α
角
eq \f(π,2)－α
正弦
cs_α
余弦
sin_α
正切
角
eq \f(π,2)＋α
正弦
cs_α
余弦
－sin_α
正切