人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换精练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换精练，共22页。

TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc123582695" 【考点1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】 PAGEREF _Tc123582695 \h 1
\l "_Tc123582696" 【考点2：二倍角公式】 PAGEREF _Tc123582696 \h 3
\l "_Tc123582697" 【考点3：三角函数式的化简求值】 PAGEREF _Tc123582697 \h 4
\l "_Tc123582698" 【考点4：三角恒等变换的综合问题】 PAGEREF _Tc123582698 \h 6
【考点1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】
【知识点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】
1．（山西省部分学校2023届高三上学期期末数学试题）已知sinα−π4=24，则sinα1−tanα的值为（ ）
A．−34B．34C．−32D．32
2．（2023·高一课时练习）若sinα−β⋅csα−csα−β⋅sinα=m，且β为第三象限角，则csβ等于（ ）．
A．1−m2B．−1−m2
C．1+m2D．−1+m2
3．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）sin40°sin55°+sin50°sin35°的值为______.
4．（2022春·北京海淀·高三海淀实验中学校考期末）已知α为第二象限角，tanα=−43，则sinα−π4的值为___________.
5．（2023·高一课时练习）若tanα=−43，sinβ=35，且α、β∈π2,π，则sinα−β=________．
6．（2023·高一课时练习）已知csx+csy=12，sinx−siny=13，求csx+y的值．
7．（2023·高一课时练习）若m∈R，点Atanα,0，Btanβ,0是二次函数fx=mx2+2m−3x+m−2图象上的点，求函数y=tanα+β的最小值．
8．（2022春·河南·高一河南省实验中学阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
(1)如果A，B两点的纵坐标分别为45,1213，求csα和sinβ的值；
(2)在（1）的条件下，求cs(β−a)的值．
【考点2：二倍角公式】
【知识点：二倍角公式】
1．（2022·四川资阳·统考二模）已知sinα+π6=13，则sin2α+5π6的值为（ ）
A．−79B．−429C．429D．79
2．（河北省部分学校2023届高三上学期期末数学试题）已知3sin2θ+5sinθ−2=0，则cs2θ=（ ）
A．79B．89C．23D．13
3．（2021春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知22sinβ2−csβ2=−63，则sinβ的值是（ ）
A．−33B．−79C．29D．−13
4．（2023·高一课时练习）若sin2xcsx=sinxcs2x，则x的一个可能的值是_______．
5．（2023届普通高中毕业生十二月全国大联考数学试题）已知cs2α+3csα=1，则tan2α+3tanα=______.
6．（2022春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知α∈π2,π，sinα=55，则sin2α=__________．
7．（2022·上海金山·统考一模）函数y=3sin2x+23sinxcsx+cs2x,x∈0,π2的值域为___________.
8．（2022春·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考期中）已知cs(α−π6)=34，则sin(2α+π6)+cs2(α2−π12)的值为__.
9．（2020春·上海普陀·高二曹杨二中校考开学考试）已知csx−π4=210,x∈π2,34π，求：
(1)sinx−π4的值；
(2)cs2x的值．
【考点3：三角函数式的化简求值】
【知识点：三角函数式的化简求值】
1.三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．
2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．
[方法技巧] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
1．（2022春·安徽六安·高三六安二中校考阶段练习）化简cs40°1+3tan10°的结果是（ ）
A．1B．32C．2D．12
2．（河北省部分学校2023届高三上学期期末数学试题）已知3sin2θ+5sinθ−2=0，则cs2θ=（ ）
A．79B．89C．23D．13
3．（2022春·江苏南京·高三期末）若sinα=2sinβ,sinα+β⋅tanα−β=1，则tanαtanβ=（ ）
A．2B．32C．1D．12
4．（2022·广东广州·统考一模）若α,β∈π2,π，且1−cs2α1+sinβ=sin2αcsβ，则下列结论正确的是（ ）
A．2α+β=5π2B．2α−β=3π4
C．α+β=7π4D．α−β=π2
5．（2022秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）已知θ∈0,π2，tanθ+π4=−23tanθ，则sinθcs2θsinθ+csθ=__．
6．（2022春·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考期中）已知cs(α−π6)=34，则sin(2α+π6)+cs2(α2−π12)的值为__.
7．（2022春·陕西西安·高一高新一中校考期末）设函数fx=sinx+3csx+1，若实数a,b,c使得afx+bfx−c=1对任意x∈R恒成立，求bcsca的值.
8．（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）（1）求4cs40∘−3tan50∘的值；
（2）已知2tanθ=−3tanθ+π4，求cs2θ−π4的值.
【考点4：三角恒等变换的综合问题】
【知识点：三角恒等变换的综合问题】
[方法技巧]
三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用
(1)图象变换问题
先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acs(ωx＋φ)＋t的形式，再进行图象变换．
(2)函数性质问题
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：
①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acs(ωx＋φ)＋t的形式；
②利用公式T＝eq \f(2π,ω)(ω>0)求周期；
③根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；
④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acs(ωx＋φ)＋t的单调区间．
1．（2022春·陕西西安·高一高新一中校考期末）已知函数fx=2cs2x−1sin2x+12cs4x.
(1)求函数fx的对称中心；
(2)若α∈0,π，且fα4−π8=22，求tanα+π3的值.
2．（2022春·河南郑州·高一校考期末）已知函数f(x)=2cs2ωx+23sinωxcsωx+a(ω>0,a∈R)的最大值为1，且f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，求：
(1)ω和a的值；
(2)当x∈−π2,π2，求函数f(x)的单调递增区间．
3．（2022春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知函数fx=sin2x−cs2x+23sinxcsx，x∈R.
(1)求fx的最小正周期；
(2)若x∈0,π2，求fx的最大值和最小值.
4．（2022春·广东深圳·高一统考期末）已知函数f(x)=sinxcs(π2+x)+3sinxcsx．
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若不等式f(x)−m<2在x∈0,π2上恒成立，求实数m的取值范围. C(α－β)
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
C(α＋β)
cs(α＋β)＝cs_αcs_β－sin_αsin_β
S(α－β)
sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；
变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
S2α
sin 2α＝2sin_αcs_α；
变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cs α)2
C2α
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
变形：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，
sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)
T2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
专题5.5三角恒等变换
TOC \ "1-3" \h \z \t "正文,1"
\l "_Tc123582695" 【考点1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】 PAGEREF _Tc123582695 \h 1
\l "_Tc123582696" 【考点2：二倍角公式】 PAGEREF _Tc123582696 \h 4
\l "_Tc123582697" 【考点3：三角函数式的化简求值】 PAGEREF _Tc123582697 \h 8
\l "_Tc123582698" 【考点4：三角恒等变换的综合问题】 PAGEREF _Tc123582698 \h 12
【考点1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】
【知识点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式】
1．（山西省部分学校2023届高三上学期期末数学试题）已知sinα−π4=24，则sinα1−tanα的值为（ ）
A．−34B．34C．−32D．32
【答案】A
【分析】根据正弦的和差角公式可得sinα−csα=12，平方可得sinαcsα=38，进而化切为弦即可求解.
【详解】由sinα−π4=24，则22sinα−csα=24，即sinα−csα=12，
所以sinα−csα2=1−2sinαcsα=14，则sinαcsα=38，
故sinα1−tanα=sinαcsαcsα−sinα=38−12=−34.
故选：A.
2．（2023·高一课时练习）若sinα−β⋅csα−csα−β⋅sinα=m，且β为第三象限角，则csβ等于（ ）．
A．1−m2B．−1−m2
C．1+m2D．−1+m2
【答案】B
【分析】根据两角差的正弦公式可得sin−β=m，进而得sinβ=−m，根据同角平方和关系即可求解.
【详解】由sinα−β⋅csα−csα−β⋅sinα=m得sinα−β−α=m，
所以sin−β=m，即sinβ=−m，由于β为第三象限角，所以csβ<0 ，故csβ=−1−sin2β=−1−m2，
故选：B
3．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）sin40°sin55°+sin50°sin35°的值为______.
【答案】6+24
【分析】根据诱导公式，逆用、正用两角和的正弦公式进行求解即可.
【详解】sin40°sin55°+sin50°sin35°=sin40°cs35°+cs40°sin35°=sin(40°+35°)=sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cs30°+cs45°sin30°=22×32+22×12=6+24,
故答案为：6+24
4．（2022春·北京海淀·高三海淀实验中学校考期末）已知α为第二象限角，tanα=−43，则sinα−π4的值为___________.
【答案】7210
【分析】由题知sinα=45,csα=−35，再根据正弦的差角公式求解即可.
【详解】解：因为α为第二象限角，tanα=−43
所以，sinα=45,csα=−35，
所以，sinα−π4=sinαcsπ4−csαsinπ4=45×22−−35×22=7210
故答案为：7210
5．（2023·高一课时练习）若tanα=−43，sinβ=35，且α、β∈π2,π，则sinα−β=________．
【答案】−725
【分析】利用两角差的正弦公式求解.
【详解】解：因为tanα=−43，sinβ=35，且α、β∈π2,π，
所以csα=−35,sinα=45，csβ=−45，
所以sinα−β=sinαcsβ−csαsinβ，
=45×−45−−35×35，
=−725，
故答案为：−725
6．（2023·高一课时练习）已知csx+csy=12，sinx−siny=13，求csx+y的值．
【答案】−5972
【分析】将两式平方相加，由同角平方和关系以及余弦的和角公式即可求解.
【详解】将csx+csy=12两边平方得cs2x+cs2y+2csxcsy=14-①，
同理将sinx−siny=13两边平方得sin2x+sin2y−2sinxsiny=19-②，
①②两式相加得2+2csxcsy−sinxsiny=14+19⇒csx+y=14+19−22=−5972
故：csx+y=−5972
7．（2023·高一课时练习）若m∈R，点Atanα,0，Btanβ,0是二次函数fx=mx2+2m−3x+m−2图象上的点，求函数y=tanα+β的最小值．
【答案】−34．
【分析】先利用韦达定理与和角的正切公式求出tanα+β=32−m，再根据m的范围得解.
【详解】解：由题得m≠0，tanα+tanβ=−2m−3m，tanα⋅tanβ=m−2m，
∴tanα+β=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=32−m．
由m≠0Δ≥0⇒m≤94且m≠0，
∴当m=94时，函数y=tanα+β的最小值为−34．
8．（2022春·河南·高一河南省实验中学阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
(1)如果A，B两点的纵坐标分别为45,1213，求csα和sinβ的值；
(2)在（1）的条件下，求cs(β−a)的值．
【答案】(1)csα=35，sinβ=1213
(2)3365
【分析】（1）根据正弦和余弦函数的定义即可求得sinα和sinβ，进而求得csα；
（2）结合（1）的结论由两角差的余弦公式计算即可．
【详解】（1）解：∵OA=1，OB=1，且点A，B的纵坐标分别为45，1213，
∴ sinα=45，sinβ=1213，
又∵ α为锐角，
∴ csα＝1−sin2α＝35．
（2）解：∵β为钝角，
∴ 由（1）知csβ =−1−sin2β＝－513，
∴ cs(β−a)=csβcsα+sinβsinα=−513×35+1213×45=3365．
【考点2：二倍角公式】
【知识点：二倍角公式】
1．（2022·四川资阳·统考二模）已知sinα+π6=13，则sin2α+5π6的值为（ ）
A．−79B．−429C．429D．79
【答案】D
【分析】以α+π6为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.
【详解】∵sin2α+5π6=sin2α+π6+π2=cs2α+π6=1−2sin2α+π6=1−2×132=79，
故选：D.
2．（河北省部分学校2023届高三上学期期末数学试题）已知3sin2θ+5sinθ−2=0，则cs2θ=（ ）
A．79B．89C．23D．13
【答案】A
【分析】解方程得到sinθ=13，再利用二倍角公式计算得到答案.
【详解】3sin2θ+5sinθ−2=sinθ+23sinθ−1=0，sinθ∈−1,1，sinθ+2≠0，
故3sinθ−1=0，sinθ=13，cs2θ=1−2sin2θ=1−29=79
故选：A
3．（2021春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知22sinβ2−csβ2=−63，则sinβ的值是（ ）
A．−33B．−79C．29D．−13
【答案】D
【分析】对原式两边平方，再结合同角的三角函数的平方关系和二倍角公式，即可求解.
【详解】由22sinβ2−csβ2=−63得：12sinβ2−csβ22=23，
即sin2β2−2sinβ2csβ2+cs2β2=43，则1−sinβ=43，
所以sinβ=−13，
故选：D.
4．（2023·高一课时练习）若sin2xcsx=sinxcs2x，则x的一个可能的值是_______．
【答案】0
【分析】根据二倍角公式即可化简得sinx=0，根据正弦函数的性质即可求解.
【详解】由sin2xcsx=sinxcs2x得2sinxcsxcsx=sinx2cs2x−1，进而得sinx2cs2x−2cs2x−1=0⇒sinx=0，故x=πk,k∈Z,取k=0，则x=0，
故答案为：0
5．（2023届普通高中毕业生十二月全国大联考数学试题）已知cs2α+3csα=1，则tan2α+3tanα=______.
【答案】±23
【分析】根据条件，运用余弦倍角公式求出csα ，确定α 所在的象限，分类讨论求解答案.
【详解】由题意：cs2α+3csα=1 ，即2cs2α−1+3csα=1,csα+22csα−1=0 ，
∵csα≤1 ，∴csα=12 ，即α 角在第一象限或第四象限；
如果α 在第一象限，则有sinα=32,tanα=3,tan2α=2tanα1−tan2α=−3 ，
∴tan2α+3tanα=23 ；
如果α 在第四象限，则有tanα=−3,tan2α=3,∴tan2α+3tanα=−23 ；
故答案为：±23 .
6．（2022春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）已知α∈π2,π，sinα=55，则sin2α=__________．
【答案】−45
【分析】根据同角三角函数的关系可得csα=−255，再根据正弦的二倍角公式求解即可.
【详解】因为α∈π2,π，sinα=55，所以csα=−1−552=−255，所以sin2α=2sinαcsα=−45．
故答案为：−45
7．（2022·上海金山·统考一模）函数y=3sin2x+23sinxcsx+cs2x,x∈0,π2的值域为___________.
【答案】1,4
【分析】由三角恒等变换得fx=2sin2x−π6+2，再整体代换求解值域即可.
【详解】y=3sin2x+23sinxcsx+cs2x=3·1−cs2x2+3sin2x+1+cs2x2
=3sin2x−cs2x+2=2sin2x−π6+2，
因为x∈0,π2，所以2x−π6∈−π6,5π6，
所以sin2x−π6∈−12,1，所以2sin2x−π6+2∈1,4，
所以函数y=3sin2x+23sinxcsx+cs2x,x∈0,π2的值域为1,4.
故答案为：1,4
8．（2022春·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考期中）已知cs(α−π6)=34，则sin(2α+π6)+cs2(α2−π12)的值为__.
【答案】1
【分析】根据诱导公式及二倍角公式可得sin(2α+π6)= 2cs2(α−π6)−1，然后根据降幂公式可得cs2(α2−π12)=78，进而即得.
【详解】由cs(α−π6)=34，得sin(2α+π6)=sin[2(α−π6)+π2] =cs2(α−π6)=2cs2(α−π6)−1=2×916−1=18，
再由cs(α−π6)=34，得2cs2(α2−π12)−1=34，可得cs2(α2−π12)=78，
∴sin(2α+π6)+cs2(α2−π12)=18+78=1．
故答案为：1.
9．（2020春·上海普陀·高二曹杨二中校考开学考试）已知csx−π4=210,x∈π2,34π，求：
(1)sinx−π4的值；
(2)cs2x的值．
【答案】(1)7210
(2)−725
【分析】（1）根据同角三角函数基本关系式求解；
（2）首先利用角的变换求sinx，再利用二倍角公式求cs2x.
【详解】（1）因为x∈π2,3π4，x−π4∈π4,π2,在第一象限,∴sinx−π4=1−cs2x−π4=1−2100=7210;
（2）sinx=sinx−π4+π4=sinx−π4csπ4+csx−π4sinπ4=45
cs2x=1−2sin2x=−725
【考点3：三角函数式的化简求值】
【知识点：三角函数式的化简求值】
1.三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．
2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．
[方法技巧] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
1．（2022春·安徽六安·高三六安二中校考阶段练习）化简cs40°1+3tan10°的结果是（ ）
A．1B．32C．2D．12
【答案】A
【分析】先利用“切化弦”思想，进行通分运算，根据辅助角公式结合二倍角公式化简即可得结果.
【详解】cs40∘1+3tan10∘=cs40∘1+3sin10∘cs10∘
=cs40∘cs10∘+3sin10∘cs10∘
=cs40∘×2sin10∘+30∘cs10∘
=2cs40∘sin40∘sin80∘
=sin80∘sin80∘=1.
故选：A.
2．（河北省部分学校2023届高三上学期期末数学试题）已知3sin2θ+5sinθ−2=0，则cs2θ=（ ）
A．79B．89C．23D．13
【答案】A
【分析】解方程得到sinθ=13，再利用二倍角公式计算得到答案.
【详解】3sin2θ+5sinθ−2=sinθ+23sinθ−1=0，sinθ∈−1,1，sinθ+2≠0，
故3sinθ−1=0，sinθ=13，cs2θ=1−2sin2θ=1−29=79
故选：A
3．（2022春·江苏南京·高三期末）若sinα=2sinβ,sinα+β⋅tanα−β=1，则tanαtanβ=（ ）
A．2B．32C．1D．12
【答案】A
【分析】由三角恒等变换化简结合已知条件求解即可
【详解】因为csα+β=csαcsβ−sinαsinβcsα−β=csαcsβ+sinαsinβ，
所以sinαsinβ=12csα−β−csα+β，
所以sinα+βsinα−β=12cs2β−cs2α，
又sinα+β⋅tanα−β=1，
所以sinα+β⋅sinα−βcsα−β=1即sinα+βsinα−β=csα−β，
所以12cs2β−cs2α=csα−β，
所以121−2sin2β−1+2sin2α=csα−β即sin2α−sin2β=csα−β，
又sinα=2sinβ，
所以4sin2β−sin2β=csαcsβ+sinαsinβ，
所以4sin2β−sin2β=csαcsβ+2sin2β，
所以sin2β=csαcsβ，
所以12sinαsinβ=csαcsβ即sinαsinβ=2csαcsβ，
又易知csαcsβ≠0，
所以sinαsinβcsαcsβ=2，即tanαtanβ=2，
故选：A
4．（2022·广东广州·统考一模）若α,β∈π2,π，且1−cs2α1+sinβ=sin2αcsβ，则下列结论正确的是（ ）
A．2α+β=5π2B．2α−β=3π4
C．α+β=7π4D．α−β=π2
【答案】A
【分析】由α∈π2,π及二倍角的余弦公式可得sinα1+sinβ=csαcsβ，根据两角和的余弦公式可得sinα=csα+β，由诱导公式及α,β的范围即可求解.
【详解】∵α,β∈π2,π，∴sinα≠0.
由1−cs2α1+sinβ=sin2αcsβ，可得2sin2α1+sinβ=2sinαcsαcsβ，
即sinα1+sinβ=csαcsβ.
∴sinα=csαcsβ−sinαsinβ=csα+β，
∴csα+β=csπ2−α，
∵α,β∈π2,π，∴π<α+β<2π，且−π2<π2−α<0，
根据函数y=csx易知：α+β=π2−α+2π，即得：2α+β=5π2.
故选：A
5．（2022秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）已知θ∈0,π2，tanθ+π4=−23tanθ，则sinθcs2θsinθ+csθ=__．
【答案】−35
【分析】利用和差公式计算得到tanθ=3，再化简得到原式为tanθ−tan2θtan2θ+1，代入计算得到答案.
【详解】θ∈0,π2，tanθ+π4=−23tanθ，所以1+tanθ1−tanθ=−23tanθ，
所以2tan2θ−5tanθ−3=0，所以tanθ=3或tanθ=−12（舍去），
所以sinθcs2θsinθ+csθ=sinθ(cs2θ−sin2θ)sinθ+csθ=sinθ(csθ−sinθ)
=sinθ(csθ−sinθ)sin2θ+cs2θ=tanθ−tan2θtan2θ+1=−35．
故答案为：−35
6．（2022春·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考期中）已知cs(α−π6)=34，则sin(2α+π6)+cs2(α2−π12)的值为__.
【答案】1
【分析】根据诱导公式及二倍角公式可得sin(2α+π6)= 2cs2(α−π6)−1，然后根据降幂公式可得cs2(α2−π12)=78，进而即得.
【详解】由cs(α−π6)=34，得sin(2α+π6)=sin[2(α−π6)+π2] =cs2(α−π6)=2cs2(α−π6)−1=2×916−1=18，
再由cs(α−π6)=34，得2cs2(α2−π12)−1=34，可得cs2(α2−π12)=78，
∴sin(2α+π6)+cs2(α2−π12)=18+78=1．
故答案为：1.
7．（2022春·陕西西安·高一高新一中校考期末）设函数fx=sinx+3csx+1，若实数a,b,c使得afx+bfx−c=1对任意x∈R恒成立，求bcsca的值.
【答案】−1
【分析】整理得，fx=sinx+3csx+1=212sinx+32csx+1=2sinx+π3+1，
则afx+bfx−c=1可整理得，
2a+2bcscsinx+π3−2bsinccsx+π3=1−a−b，据此，列出方程组，
2a+2bcsc=02bsinc=01−a−b=0，解方程组，可得答案.
【详解】解：∵fx=sinx+3csx+1=212sinx+32csx+1=2sinx+π3+1，
∴afx+bfx−c=a2sinx+π3+1+b2sinx+π3−c+1=1，
即2asinx+π3+2bsinx+π3−c=1−a−b，
即2asinx+π3+2bsinx+π3csc−2bcsx+π3sinc=1−a−b，
化为：2a+2bcscsinx+π3−2bsinccsx+π3=1−a−b，
依题意，2a+2bcscsinx+π3−2bsinccsx+π3=1−a−b对任意x∈R恒成立，
∴2a+2bcsc=02bsinc=01−a−b=0，
由2a+2bcsc=0得：bcsca=−1，
故答案为：−1
8．（2022春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）（1）求4cs40∘−3tan50∘的值；
（2）已知2tanθ=−3tanθ+π4，求cs2θ−π4的值.
【答案】（1）1；（2）−210.
【分析】（1）切化弦，通分后利用二倍角正弦公式可得2sin80∘−3sin50∘cs50∘，利用两角和差正弦公式展开sin50∘+30∘，整理化简即可得到结果；
（2）利用两角和差正切公式可化简已知等式求得tanθ；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可化简所求式子为正余弦齐次式的形式，代入tanθ即可求得结果.
【详解】（1）4cs40∘−3tan50∘=4cs40∘−3sin50∘cs50∘=4cs40∘cs50∘−3sin50∘cs50∘ 4sin40∘cs40∘−3sin50∘cs50∘=2sin80∘−3sin50∘cs50∘=2sin50∘+30∘−3sin50∘cs50∘ =2sin50∘cs30∘+2cs50∘sin30∘−3sin50∘cs50∘=3sin50∘+cs50∘−3sin50∘cs50∘ =cs50∘cs50∘=1；
（2）∵2tanθ=−3tanθ+π4=−3⋅tanθ+11−tanθ，
∴2tanθ−2tan2θ=−3tanθ−3，即2tan2θ−5tanθ−3=2tanθ+1tanθ−3=0，
解得：tanθ=−12或tanθ=3；
cs2θ−π4=cs2θcsπ4+sin2θsinπ4=22cs2θ+sin2θ =22⋅cs2θ−sin2θ+2sinθcsθsin2θ+cs2θ=22⋅1−tan2θ+2tanθtan2θ+1；
当tanθ=−12时，cs2θ−π4=22×−1454=−210；
当tanθ=3时，cs2θ−π4=22×−210=−210；
综上所述：cs2θ−π4=−210.
【考点4：三角恒等变换的综合问题】
【知识点：三角恒等变换的综合问题】
[方法技巧]
三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用
(1)图象变换问题
先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acs(ωx＋φ)＋t的形式，再进行图象变换．
(2)函数性质问题
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：
①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acs(ωx＋φ)＋t的形式；
②利用公式T＝eq \f(2π,ω)(ω>0)求周期；
③根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；
④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acs(ωx＋φ)＋t的单调区间．
1．（2022春·陕西西安·高一高新一中校考期末）已知函数fx=2cs2x−1sin2x+12cs4x.
(1)求函数fx的对称中心；
(2)若α∈0,π，且fα4−π8=22，求tanα+π3的值.
【答案】(1)kπ4−π16,0,k∈Z
(2)2−3
【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为f(x)=22sin4x+π4，根据正弦函数的对称中心，令4x+π4=kπ,k∈Z，解之即可求解；
(2)结合（1）的结论，将fα4−π8=22化简整理可得：sinα−π4=1，进而求出α=3π4，代入tanα+π3即可求解.
【详解】（1）因为fx=2cs2x−1sin2x+12cs4x=cs2xsin2x+12cs4x
=12sin4x+12cs4x=22sin4x+π4，
令4x+π4=kπ,k∈Z，则x=kπ4−π16,k∈Z，
所以函数的对称中心为kπ4−π16,0,k∈Z；
（2）fα4−π8=22sin4×α4−π8+π4=22sinα−π4=22，
所以sinα−π4=1，又α∈0,π，所以α=3π4，
则tanα+π3=tan3π4+π3=tan3π4+tanπ31−tan3π4tanπ3=−1+31+3=2−3.
2．（2022春·河南郑州·高一校考期末）已知函数f(x)=2cs2ωx+23sinωxcsωx+a(ω>0,a∈R)的最大值为1，且f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π2，求：
(1)ω和a的值；
(2)当x∈−π2,π2，求函数f(x)的单调递增区间．
【答案】(1)ω=1,a=−2
(2)−π3,π6
【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求出ω和a的值；
（2）由题意可知，利用整体代入即可得出正弦函数的单调性，进而求出函数的单调递增区间.
【详解】（1）由f(x)=2cs2ωx+23sinωxcsωx+a(ω>0,a∈R)得
f(x)=1+cs2ωx+3sin2ωx+a=1+a+2sin2ωx+π6
所以，函数f(x)的最大值为1+a+2=1，得a=−2；
即函数f(x)=2sin2ωx+π6−1；
又因为f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为12×2π2ω=π2，
所以，ω=1，即f(x)=2sin2x+π6−1.
（2）对于函数f(x)=2sin2x+π6−1，
令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z，
得kπ−π3≤x≤kπ+π6,k∈Z，
可得函数f(x)的增区间为kπ−π3,kπ+π6,k∈Z ；
故当x∈−π2,π2时，函数的增区间为−π3,π6 .
3．（2022春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知函数fx=sin2x−cs2x+23sinxcsx，x∈R.
(1)求fx的最小正周期；
(2)若x∈0,π2，求fx的最大值和最小值.
【答案】(1)T=π
(2)fxmin=−1，fxmax=2
【分析】（1）将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式，再利周期公式求解．
（2）先求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，即可求解.
【详解】（1）fx=sin2x−cs2x+23sinxcsx=3sin2x−cs2x=2sin2x−π6
所以最小正周期T=2π2=π.
（2）由0≤x≤π2，则−π6≤2x−π6≤5π6，
所以sin2x−π6∈−12,1，所以2sin2x−π6∈−1,2
当2x−π6=π2，即x=π3时，fxmax=fπ3=2.
当2x−π6=−π6，即x=0时，fxmin=f0=−1.
4．（2022春·广东深圳·高一统考期末）已知函数f(x)=sinxcs(π2+x)+3sinxcsx．
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若不等式f(x)−m<2在x∈0,π2上恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)[π6+kπ,2π3+kπ]（k∈Z）
(2)(−32,1)
【分析】（1）利用诱导公式以及三角恒等变换公式化简函数f(x)的解析式，根据正弦函数的递减区间列式可得结果；
（2）根据函数f(x)在0,π2上的单调性求出函数f(x)在0,π2上的值域，将不等式f(x)−m<2在x∈0,π2上恒成立，化为m−2【详解】（1）因为f(x)=−sin2x+3sinxcsx=cs2x−12+32sin2x，
所以f(x)=sin(2x+π6)−12，
令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，
解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z，
即f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]（k∈Z）.
（2）当x∈[0,π6]时，2x+π6∈[π6,π2]，所以f(x)在0,π6上单调递增；
当x∈[π6,π2]时，2x+π6∈[π2,7π6]，所以f(x)在π6,π2上单调递减；
因为f(0)=0，f(π6)=12，f(π2)=−1，
所以f(x)的值域是[−1,12]，
又由f(x)−m<2在x∈0,π2上恒成立，得m−2得m−2<−1m+2>12，解得−32所以实数m的取值范围是(−32,1).C(α－β)
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
C(α＋β)
cs(α＋β)＝cs_αcs_β－sin_αsin_β
S(α－β)
sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β
T(α－β)
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β)
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)；
变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
S2α
sin 2α＝2sin_αcs_α；
变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cs α)2
C2α
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
变形：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，
sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)
T2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)