2023-2024学年广西名校联合高二下学期期末联考数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年广西名校联合高二下学期期末联考数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数fx在x=x0处的导数为3，则limΔx→0fx0+Δx−fx02Δx=( )
A. 3B. 32C. 6D. 23
2.为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有( )
A. 18种B. 36种C. 68种D. 84种
3.已知函数fx=x3−2x2+x−1，则下列说法正确的是( )
A. fx的极小值为−2B. fx的极大值为−2327
C. fx在区间13,1上单调递增D. fx在区间−∞,0上单调递减
4.在x−1(x−y)6的展开式中，含x4y3项的系数为( )
A. −20B. 20C. −15D. 15
5.若曲线y=1−xex有两条过点Aa,0的切线，则a的取值范围是( )
A. −∞,−1∪3,+∞B. −3,1
C. −∞,−3D. −∞,−3∪1,+∞
6.已知函数fx=x3+ax2+bx+a2在x=−1处有极值8，则f1等于( )
A. −4B. 16C. −4或16D. 16或18
7.已知函数fx=2sinx−ex+e−x，则关于x
不等式fx2−4+f3x<0的解集为( )
A. −4,1B. −1,4
C. −∞,−4∪1,+∞D. −1,4
8.已知a=e2ln3，b=ee−1，c=e32ln2，则有( )
A. a二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求函数的导数正确的是( )
A. [ln2x+1]′=12x+1B. x3−2x+1′=3x2−2xln2
C. (xsinx)′=sinx+xcsxD. lnxx′=1−lnxx
10.已知2x+13xn的展开式共有13项，则下列说法中正确的有( )
A. 所有奇数项的二项式系数和为211B. 所有项的系数和为313
C. 二项式系数最大的项为第7项D. 有理项共4项
11.身高各不相同的六位同学A、B、C、D、E、F站成一排照相，则说法正确的是( )
A. A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B. A与C同学不相邻，共有A44⋅A52种站法
C. A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D. A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
12.已知函数fx=−x3+3x+2，则( )
A. f(x)有两个极值点(−1,0),(1,4)B. f(x)有两个零点
C. 直线y=4x是f(x)的切线D. 点(0,2)是f(x)的对称中心
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.2x−15的展开式中x3的系数为 (用数字作答)．
14.如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种．
15.若函数fx=ax3+3x2−x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是 ．
16.已知函数fx=−x3+x2,x≤0lnxx,x>0，若函数gx=fx−m恰有一个实根，则实数m的取值范围是
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x3−3x2−12x+9．
(1)求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在[−3,3]上的最值．
18.(本小题12分)
若2x−a7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，且a4=−560．
(1)求实数a的值；
(2)求a1+a22+a322+a423+a524+a625+a726的值．
19.(本小题12分)
若x x+1x4n的展开式中，第二､三､四项的二项式系数成等差数列．
(1)求n的值；
(2)此展开式中是否有常数项？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．
20.(本小题12分)
已知0，1，2，3，4，5，6共7个数字．
(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？
(2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
(3)可以组成多少个没有重复数字且能被5整除的四位数？(结果用数字作答)
21.(本小题12分)
已知函数fx=ax−lnx−1a∈R
(1)讨论fx的单调性；
(2)若函数fx有一个零点，求a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数fx=a−1lnx−12x2+x，a∈R．
(1)若曲线y=fx在点1,f1处的切线与直线y=2x平行，证明：fx≤ln4；
(2)设gx=2x−ax−12x2，若对∀x∈1,+∞，均有fx+4>gx，求实数a的取值范围．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.A
5.D
6.A
7.C
8.C
9.BC
10.AC
11.ABD
12.BD
13.80
14.48
15.−3,0∪0,+∞
16.−∞,0∪1e,+∞
17.解：(1)将x=1代入函数解析式得y=−4，
函数f(x)=2x3−3x2−12x+9．
f′(x)=6x2−6x−12=6(x−2)(x+1)，所以f′(1)=−12，
由直线方程的点斜式得y+4=−12(x−1)
所以函数在x=1处的切线方程为12x+y−8=0；
(2)令f′(x)=6x2−6x−12=6(x−2)(x+1)=0，
解得x=2或x=−1，
又因为x∈[−3,3]
当x∈[−3,−1)∪(2,3]时，f′(x)>0;当x∈(−1,2)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(−1,2)上单调递减，在[−3,−1)，(2,3]上单调递增，
因为f(−3)=−36，f(2)=−11，所以f(x)min=f(−3)=−36．
因为f(−1)=16，f(3)=0，所以f(x)max=f(−1)=16．
故f(x)在[−3,3]上的最小值为−36，最大值为16．
18.解：(1)依题意，2x−a7=−a+2x7,a4x4=C742x4−a3=−16a3C74x4，因此a4=−560a3=−560，解得a=1，
所以实数a的值是1．
(2)由(1)知，a=1，当x=0时，a0=(−a)7=−1，
当x=12时，a0+a12+a222+a323+a424+a525+a626+a727=0，
因此2a0+a1+a22+a322+a423+a524+a625+a726=0，
所以a1+a22+a322+a423+a524+a625+a726=−2a0=2．

19.解：(1)由题意得：Cn1+Cn3=2Cn2n≥3，
n+nn−1n−26=2nn−12，
化简得：nn2−9n+14=0，
解得：n=7或n=2(舍去)，所以n=7．
(2)不存在，理由如下：
Tr+1=C7rx327−r⋅x−4r=C7rx21−11r2,0≤r≤7且r∈N，
21−11r2=0时，解得r=2111∉N，
所以展开式中不存在常数项．

20.解：(1)先排最高位有6种方法，其余的3个位置没有限制，任意排，有A63种方法．
根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数为6×A63=720；
(2)末尾是0，则有A63=120个；末尾不是0，则末尾是2，4，6，有C31⋅C51⋅A52=300个，共有120+300=420个．
(3)5的倍数末尾是0，则有A63=120个；末尾是5，有C51A52=100个．
共有120+100=220．

21.解：(1)函数fx=ax−lnx−1a∈R的定义域为0,+∞，可得f′x=a−1x=ax−1x
当a≤0时，f′x<0恒成立，函数fx在0,+∞上单调递减；
当a>0时，令f′x<0，可得00，可得x>1a，
故函数fx在0,1a上单调递减，在1a,+∞上单调递增．
(2)函数fx在0,+∞有一个零点，等价于方程ax−lnx−1=0在0,+∞有一个根，即方程a=1+lnxx在0,+∞有一个根，
即直线y=a与函数y=1+lnxx在0,+∞上有一个交点，
令gx=1+lnxxx>0，可得g′x=−lnxx2，
令g′x<0，即−lnx<0，解得x>1；令g′x>0，即为−lnx>0，解得0所以函数gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
所以当x=1时，gxmax=g1=1，又因为g1e=0，
当x>1e时，gx>0，且x→+∞时，gx→0，当x→0−时，gx→−∞，
所以当a≤0或a=1时，函数fx有一个零点，即a的取值范围为(−∞,0]∪1．

22.解：(1)证明：因为f′x=a−1x−x+1x>0，所以切线的斜率k=f′1=a−1．
又因为切线与直线y=2x平行，所以a−1=2，解得a=3，
所以fx=2lnx−12x2+x．
f′x=2x−x+1=−x2+x+2xx>0，
由f′x>0得0由f′x<0得x>2，则函数fx的单调递减区间为2,+∞，
所以fx在x=2处取极大值，也为最大值，
且f2=2ln2=ln4.所以fx≤ln4；
(2)证明：由fx+4>gx得a−1lnx−12x2+x+4>2x−ax−12x2，
整理得a−1lnx+ax+x+2>0．
设ℎx=a−1lnx+ax+x+2x>1，则ℎx>0在1,+∞上恒成立，
ℎ′x=a−1x−ax2+1=x2+a−1x−ax2=x−1x+ax2
①当a≥−1时，ℎ′x>0，ℎx在1,+∞上单调递增，依题意得ℎ(x)>ℎ(1)=a+3⩾2>0.满足题意；
②当a<−1时，
由ℎ′x<0得1由ℎ′x>0得x>−a，则函数ℎx在−a,+∞上单调递增，
所以ℎx在x=−a处取极小值，也为最小值．
ℎ(x)min=ℎ(−a)=(a−1)ln (−a)+a−a−a+2
=a−1ln−a−a+1．
依题意得ℎ(x)min=(a−1)ln (−a)−a+1>0.可得ln−a<1，解得−e综上可得实数a的取值范围为−e,+∞．