2023-2024学年重庆外国语学校高一（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年重庆外国语学校高一（下）月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若cs(π2+2α)−4sin2α=−2，则tan2α=( )
A. −2B. −12C. 2D. 12
2.已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a+λb在向量a上的投影向量为2a，则λ=( )
A. −2B. 2C. −2 33D. 2 33
3.已知α，β∈(0,π)，sin(α−β)=56，tanαtanβ=−14，则α+β=( )
A. 56πB. πC. 76πD. 116π
4.已知非零向量a,b满足：向量a−b与向量b垂直，且向量a−4b与向量a垂直，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π4C. π3D. 5π6
5.设向量a与b的夹角为θ，定义a⊕b=|asinθ+bcsθ|.已知向量a为单位向量，|b|= 2，|a−b|=1，则a⊕b=( )
A. 22B. 2C. 102D. 2 3
6.如图，这是一半径为4.8m的水轮示意图，水轮圆心O距离水面2.4m，已知水轮每60s逆时针转动一圈，若当水轮上点P从水中浮出时(图中点P0)开始计时，则( )
A. 点P距离水面的高度ℎ(m)与t(s)之间的函数关系式为ℎ=4.8sin(π30t−π6)
B. 点P第一次到达最高点需要10s
C. 在水轮转动的一圈内，有10s的时间，点P距离水面的高度不低于4.8m
D. 当水轮转动50s时，点P在水面下方，距离水面2.4m
7.在锐角△ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
8.正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=EA，CF=2FB，如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上(不含顶点)有且只有6个不同的点P，使得PE⋅PF=λ成立，那么λ的取值范围为( )
A. (−3,−14)B. (−3,3)C. (−14,3)D. (3,12)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 若a≠0,b≠0,a//b，则a与b的方向相同或者相反
B. 若a，b为非零向量，且a|a|=b|b|，则a与b共线
C. 若a/​/b，则存在唯一的实数λ使得a=λb
D. 若e1,e2是两个单位向量，且|e1−e2|=1，则|e1+e2|= 2
10.如图，顺次连接正五边形ABCDE的不相邻的顶点，得到五角星形状，则以下说法正确的是( )
A. AG+DE=0
B. AF⋅AJ=DH⋅DI
C. 3AJ=AE+AG
D. AH=AF+AJ
11.设函数f(x)=cs((ωx−2π5)+3π2)(ω>0)，若f(x)的图象与直线y=−1在[0,2π]上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是( )
A. ω的取值范围是[1920,3920)
B. f(x)在[0,2π]上有且仅有2个零点
C. 若f(x)的图象向右平移π12个单位长度后关于y轴对称，则ω=65
D. 若将f(x)图象上各点的横坐标变为原来的12，得到函数g(x)的图象，则g(x)在[0,π4]上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，动点P、Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转π6弧度，则P、Q第一次相遇时Q点走过的弧长为______．
13.设向量a、b满足|a|=1，|b|=2，且a、b的夹角为60°，若向量7a+2tb与向量ta+b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______．
14.已知向量a,b满足|b|=2，a与b的夹角为60°，则当实数λ变化时，|b−λa|的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
计算求值：
(1)已知α、β均为锐角，sinα=17，cs(α+β)=5 314，求sinβ的值；
(2)计算2cs10°−2 3cs(−100°) 1−sin10∘的值．
16.(本小题15分)
已知a，b的夹角为60°，且|a|=1,|b|=2，设m=3a−b，n=ta+2b．
(1)若m⊥n，求实数t的取值；
(2)t=2时，求m与n的夹角；
(3)是否存在实数t，使得m/​/n，若存在，求出实数t．
17.(本小题15分)
已知m>0，n>0，如图，在△ABC中，点M，N满足AM=mAB，AN=nAC，D是线段BC上一点，BD=13BC，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线．
(1)若点O满足2AO=OB+OC，证明：OE/​/BC．
(2)求m+2n的最小值．
18.(本小题17分)
设函数f(x)=sin(2x−π6)+2cs2x−1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若不等式f2(x)+2acs(2x+π6)−2a−2