2023-2024学年浙江省杭州市重点中学高一（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市重点中学高一（下）月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知A={x|(x−1)(2+x)−12”是“a与b的夹角为钝角”的充要条件
D. 若m=−1，则b在a上的投影向量的坐标为(−12,−12)
10.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|0)在[0,π]上有且仅有两个零点，则t∈[56,43)
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，P是A1D上的一个动点，下列结论中正确的是( )
A. BP的最小值为 62
B. 当P在A1D上运动时，都有C1P⊥BD1
C. 当P在直线A1D上运动时，三棱锥A−B1PC的体积不变
D. PA+PC的最小值为 2− 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+x−1，则f(lg214)的值为______．
13.在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈，则所得几何体的体积为______．
14.平面向量m,n满足|m|=|n|=1，对任意的实数t，不等式|m−12n|≤|m+tn|恒成立，则|n−tm|的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=(2+i)m+2ii−1(其中i是虚数单位，m∈R)．
(1)若复数z是纯虚数，求m的值；
(2)求|z−1|的取值范围．
16.(本小题15分)
已知向量a=(sinα,csα)，b=(1, 3)，c=(csβ,−sinβ)，α∈(0,π)．
(1)若a/​/b，求α的值；
(2)若a⊥b，a⋅c=35，β∈(π6,π2)，求sinβ的值．
17.(本小题15分)
在①ba=csB+1 3sinA，②2bsinA=atanB，③c−a=bcsA−acsB这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知_____(只需填序号)．
(1)求角B；
(2)若△ABC是锐角三角形，边长c=2，求△ABC面积的取值范围．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=1，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．
(1)求证：AB/​/平面PCE；
(2)求证：平面PAB⊥平面PBD；
(3)若二面角P−CD−A的大小为45°，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=(m+1)x2−(m−1)x+m−1
(1)若不等式f(x)0，
可得1csB=2，即csB=12，所以B=π3；
若选③：因为c−a=bcsA−acsB，由余弦定理可得c−a=b2+c2−a22c−a2+c2−b22c，
整理得a2+c2−b2=ac，则csB=a2+c2−b22ac=ac2ac=12，
注意到B∈(0,π)，所以B=π3．
(2)因为△ABC是锐角三角形，B=π3，
则0