2023-2024学年河北省沧州市部分学校高一（下）联考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年河北省沧州市部分学校高一（下）联考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=3−i，则|z|=( )
A. 10B. 10C. 2 5D. 20
2.如果直线a和b没有公共点，那么直线a与b的位置关系是( )
A. 异面B. 平行C. 相交D. 平行或异面
3.已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第80百分位数是( )
A. 90B. 88C. 82D. 76
4.若向量a=(2.3),b=(−1,1)，则b在a上的投影向量的坐标是( )
A. (213,−313)B. (213,313)C. (−213,313)D. (−213,−313)
5.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3，若该正四棱台的体积为13 23，则侧棱长为( )
A. 2B. 2C. 2 53D. 103
6.设向量a，b的夹角的余弦值为−13，|a|=2，|b|=3，则(2a+3b)⋅b=( )
A. −23B. 23C. −27D. 27
7.在三棱锥A−BCD中，△ABD和△BCD均为边长为2的等边三角形，AC=3，则该三棱锥的外接球的表面积是( )
A. 82π9B. 83π9C. 28π3D. 28π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.已知复数z=2−ii20+i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为z−，则下列结论正确的是( )
A. 在复平面内复数z所对应的点位于第四象限
B. z−=12−32i
C. z⋅z−=52
D. zz−=45+35i
9.为了研究“同时处理多任务时男女的表现差异”课题，研究组随机抽取男、女志愿者各150名，要求他们同时完成“解题、读地图、接电话”等任务，志愿者完成任务所需时间的分布如图所示，则下列表述正确的是( )
A. 总体上女性处理多任务平均用时较短
B. 处理多任务的能力存在性别差异
C. 男性的用时中位数比女性用时中位数大
D. 女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数
10.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为侧面ABB1A1内的一个动点(含边界)，则下列说法正确的是( )
A. 随着P点移动，三棱锥D−PCC1的体积有最小值为118
B. 三棱锥A−PCD体积的最大值为16
C. 直线BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 63
D. 作体对角线AC1的垂面α，则平面α截此正方体所得截面图形的面积越大，其周长越大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.已知z1，z2∈C，|z1+z2|=2 2，|z1|=2，|z2|=2，则|z1−z2|=______．
12.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AC与A1B所成角的大小为______.(用角度表示)
13.在三棱锥P−OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP=10，AB=20，PA与平面OAB所成的角为30°，PB与平面OAB所成的角为45°，则∠AOB= ______.(用角度表示)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题13分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3(a2+c2−b2)a2−b2−c2=tanA．
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC的面积为15 3，b=14，求△ABC的周长．
15.(本小题15分)
如图，在三棱锥A−BCD中，E是线段AD的中点，F是线段CD上的一点．
(1)若EF/​/平面ABC，试确定F在CD上的位置，并说明理由；
(2)若BC=BD=AD=AC，证明：CD⊥AB．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=sin2x+ 3csxsinx−1．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=2，且f(A)=12，求△ABC面积的取值范围．
17.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB⊥BD，E为PD的中点，AD=2PA=2，BD= 3．
(1)求直线AE与平面PAB所成角的正弦值；
(2)求二面角E−AB−D的大小．
18.(本小题17分)
如图1，在矩形ABCD中，点E在边CD上，BC=DE=2EC=2，将△DAE沿AE进行翻折，翻折后D点到达P点位置，且满足平面PAE⊥平面ABCE，如图2．

(1)若点F在棱PA上，PB∩平面CEF=G，求证：CE/​/FG；
(2)求点E到平面PAB的距离．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.B
5.B
6.B
7.C
8.AC
9.ABC
10.BC
11.2 2
12.60°
13.90°
14.解：(1)△ABC中，由 3(a2+c2−b2)a2−b2−c2=tanA，得 3(a2+c2−b2)=−tanA(b2+c2−a2)，
由余弦定理得2 3accsB=−tanA⋅2bccsA=−sinAcsA⋅2bccsA，
即 3acsB=−bsinA，
由正弦定理得 3sinAcsB=−sinBsinA，
又A∈(0,π)，sinA≠0，
可得tanB=− 3，
因为B∈(0,π)，
所以B=2π3；
(2)若△ABC的面积为15 3，
则12acsinB= 3ab4=15 3，得ab=60，
因为b=14，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，可得196=a2+c2+ac=(a+c)2−ac=(a+c)2−60，
解得a+c=16，
所以△ABC的周长为a+b+c=30．
15.(1)解：F是CD的中点，理由如下：
若EF/​/平面ABC，由EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面ABC=AC，
得EF/​/AC，又E是AD的中点，F在CD上，
所以F是CD的中点；

(2)证明：取CD的中点G，连接BG，AG，

因为BC=BD=AD=AC，G为CD中点，
所以CD⊥AG，CD⊥BG，
因为BG∩AG=G，所以CD⊥平面ABG，
因为AB⊂平面ABG，
所以CD⊥AB．
16.解：(1)因为f(x)=sin2x+ 3csxsinx−1，
所以f(x)=1−cs2x2+ 32sin2x−1= 32sin2x−12cs2x−12，
即f(x)=sin(2x−π6)−12．
令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得kπ−π6≤x≤kπ+π3,k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3],k∈Z．
(2)结合(1)问，因为f(x)=sin(2x−π6)−12
所以f(A)=sin(2A−π6)−12=12，即sin(2A−π6)=1，
所以2A−π6=2kπ+π2,k∈Z，即A=kπ+π3，k∈Z．
因为在锐角△ABC中，A∈(0,π2)，所以A=π3．
因为b=2，所以S△ABC=12bcsinA=12×2×c×sinπ3= 32c．
在△ABC中，由正弦定理可得csinC=bsinB，即c=bsinCsinB，
在△ABC中易得sinC=sin(A+B)=sin(π3+B)，
∴c=bsinCsinB=2sin(π3+B)sinB=2( 32csB+12sinB)sinB= 3csB+sinBsinB= 3tanB+1，
因为△ABC为锐角三角形，且A=π3，且易得C=2π3−B，
所以0