2023-2024学年河北省沧州市部分学校高一(下)联考数学试卷(含答案)
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这是一份2023-2024学年河北省沧州市部分学校高一(下)联考数学试卷(含答案),共9页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.若复数z=3−i,则|z|=( )
A. 10B. 10C. 2 5D. 20
2.如果直线a和b没有公共点,那么直线a与b的位置关系是( )
A. 异面B. 平行C. 相交D. 平行或异面
3.已知一组数据:55,64,92,76,88,67,76,90,则这组数据的第80百分位数是( )
A. 90B. 88C. 82D. 76
4.若向量a=(2.3),b=(−1,1),则b在a上的投影向量的坐标是( )
A. (213,−313)B. (213,313)C. (−213,313)D. (−213,−313)
5.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3,若该正四棱台的体积为13 23,则侧棱长为( )
A. 2B. 2C. 2 53D. 103
6.设向量a,b的夹角的余弦值为−13,|a|=2,|b|=3,则(2a+3b)⋅b=( )
A. −23B. 23C. −27D. 27
7.在三棱锥A−BCD中,△ABD和△BCD均为边长为2的等边三角形,AC=3,则该三棱锥的外接球的表面积是( )
A. 82π9B. 83π9C. 28π3D. 28π
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
8.已知复数z=2−ii20+i(i为虚数单位),复数z的共轭复数为z−,则下列结论正确的是( )
A. 在复平面内复数z所对应的点位于第四象限
B. z−=12−32i
C. z⋅z−=52
D. zz−=45+35i
9.为了研究“同时处理多任务时男女的表现差异”课题,研究组随机抽取男、女志愿者各150名,要求他们同时完成“解题、读地图、接电话”等任务,志愿者完成任务所需时间的分布如图所示,则下列表述正确的是( )
A. 总体上女性处理多任务平均用时较短
B. 处理多任务的能力存在性别差异
C. 男性的用时中位数比女性用时中位数大
D. 女性处理多任务的用时为正数,男性处理多任务的用时为负数
10.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中,P为侧面ABB1A1内的一个动点(含边界),则下列说法正确的是( )
A. 随着P点移动,三棱锥D−PCC1的体积有最小值为118
B. 三棱锥A−PCD体积的最大值为16
C. 直线BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 63
D. 作体对角线AC1的垂面α,则平面α截此正方体所得截面图形的面积越大,其周长越大
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
11.已知z1,z2∈C,|z1+z2|=2 2,|z1|=2,|z2|=2,则|z1−z2|=______.
12.在正方体ABCD−A1B1C1D1中,直线AC与A1B所成角的大小为______.(用角度表示)
13.在三棱锥P−OAB中,已知PO⊥平面OAB,OP=10,AB=20,PA与平面OAB所成的角为30°,PB与平面OAB所成的角为45°,则∠AOB= ______.(用角度表示)
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
14.(本小题13分)
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 3(a2+c2−b2)a2−b2−c2=tanA.
(1)求角B的大小;
(2)若△ABC的面积为15 3,b=14,求△ABC的周长.
15.(本小题15分)
如图,在三棱锥A−BCD中,E是线段AD的中点,F是线段CD上的一点.
(1)若EF//平面ABC,试确定F在CD上的位置,并说明理由;
(2)若BC=BD=AD=AC,证明:CD⊥AB.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=sin2x+ 3csxsinx−1.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2,且f(A)=12,求△ABC面积的取值范围.
17.(本小题17分)
如图,在四棱锥P−ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB⊥BD,E为PD的中点,AD=2PA=2,BD= 3.
(1)求直线AE与平面PAB所成角的正弦值;
(2)求二面角E−AB−D的大小.
18.(本小题17分)
如图1,在矩形ABCD中,点E在边CD上,BC=DE=2EC=2,将△DAE沿AE进行翻折,翻折后D点到达P点位置,且满足平面PAE⊥平面ABCE,如图2.
(1)若点F在棱PA上,PB∩平面CEF=G,求证:CE//FG;
(2)求点E到平面PAB的距离.
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.B
5.B
6.B
7.C
8.AC
9.ABC
10.BC
11.2 2
12.60°
13.90°
14.解:(1)△ABC中,由 3(a2+c2−b2)a2−b2−c2=tanA,得 3(a2+c2−b2)=−tanA(b2+c2−a2),
由余弦定理得2 3accsB=−tanA⋅2bccsA=−sinAcsA⋅2bccsA,
即 3acsB=−bsinA,
由正弦定理得 3sinAcsB=−sinBsinA,
又A∈(0,π),sinA≠0,
可得tanB=− 3,
因为B∈(0,π),
所以B=2π3;
(2)若△ABC的面积为15 3,
则12acsinB= 3ab4=15 3,得ab=60,
因为b=14,
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB,可得196=a2+c2+ac=(a+c)2−ac=(a+c)2−60,
解得a+c=16,
所以△ABC的周长为a+b+c=30.
15.(1)解:F是CD的中点,理由如下:
若EF//平面ABC,由EF⊂平面ACD,平面ACD∩平面ABC=AC,
得EF//AC,又E是AD的中点,F在CD上,
所以F是CD的中点;
(2)证明:取CD的中点G,连接BG,AG,
因为BC=BD=AD=AC,G为CD中点,
所以CD⊥AG,CD⊥BG,
因为BG∩AG=G,所以CD⊥平面ABG,
因为AB⊂平面ABG,
所以CD⊥AB.
16.解:(1)因为f(x)=sin2x+ 3csxsinx−1,
所以f(x)=1−cs2x2+ 32sin2x−1= 32sin2x−12cs2x−12,
即f(x)=sin(2x−π6)−12.
令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2,k∈Z,解得kπ−π6≤x≤kπ+π3,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3],k∈Z.
(2)结合(1)问,因为f(x)=sin(2x−π6)−12
所以f(A)=sin(2A−π6)−12=12,即sin(2A−π6)=1,
所以2A−π6=2kπ+π2,k∈Z,即A=kπ+π3,k∈Z.
因为在锐角△ABC中,A∈(0,π2),所以A=π3.
因为b=2,所以S△ABC=12bcsinA=12×2×c×sinπ3= 32c.
在△ABC中,由正弦定理可得csinC=bsinB,即c=bsinCsinB,
在△ABC中易得sinC=sin(A+B)=sin(π3+B),
∴c=bsinCsinB=2sin(π3+B)sinB=2( 32csB+12sinB)sinB= 3csB+sinBsinB= 3tanB+1,
因为△ABC为锐角三角形,且A=π3,且易得C=2π3−B,
所以0
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