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    2023-2024学年河北省沧州市部分学校高一(下)联考数学试卷(含答案)

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    2023-2024学年河北省沧州市部分学校高一(下)联考数学试卷(含答案)

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    这是一份2023-2024学年河北省沧州市部分学校高一(下)联考数学试卷(含答案),共9页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.若复数z=3−i,则|z|=( )
    A. 10B. 10C. 2 5D. 20
    2.如果直线a和b没有公共点,那么直线a与b的位置关系是( )
    A. 异面B. 平行C. 相交D. 平行或异面
    3.已知一组数据:55,64,92,76,88,67,76,90,则这组数据的第80百分位数是( )
    A. 90B. 88C. 82D. 76
    4.若向量a=(2.3),b=(−1,1),则b在a上的投影向量的坐标是( )
    A. (213,−313)B. (213,313)C. (−213,313)D. (−213,−313)
    5.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为1和3,若该正四棱台的体积为13 23,则侧棱长为( )
    A. 2B. 2C. 2 53D. 103
    6.设向量a,b的夹角的余弦值为−13,|a|=2,|b|=3,则(2a+3b)⋅b=( )
    A. −23B. 23C. −27D. 27
    7.在三棱锥A−BCD中,△ABD和△BCD均为边长为2的等边三角形,AC=3,则该三棱锥的外接球的表面积是( )
    A. 82π9B. 83π9C. 28π3D. 28π
    二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    8.已知复数z=2−ii20+i(i为虚数单位),复数z的共轭复数为z−,则下列结论正确的是( )
    A. 在复平面内复数z所对应的点位于第四象限
    B. z−=12−32i
    C. z⋅z−=52
    D. zz−=45+35i
    9.为了研究“同时处理多任务时男女的表现差异”课题,研究组随机抽取男、女志愿者各150名,要求他们同时完成“解题、读地图、接电话”等任务,志愿者完成任务所需时间的分布如图所示,则下列表述正确的是( )
    A. 总体上女性处理多任务平均用时较短
    B. 处理多任务的能力存在性别差异
    C. 男性的用时中位数比女性用时中位数大
    D. 女性处理多任务的用时为正数,男性处理多任务的用时为负数
    10.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中,P为侧面ABB1A1内的一个动点(含边界),则下列说法正确的是( )
    A. 随着P点移动,三棱锥D−PCC1的体积有最小值为118
    B. 三棱锥A−PCD体积的最大值为16
    C. 直线BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 63
    D. 作体对角线AC1的垂面α,则平面α截此正方体所得截面图形的面积越大,其周长越大
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    11.已知z1,z2∈C,|z1+z2|=2 2,|z1|=2,|z2|=2,则|z1−z2|=______.
    12.在正方体ABCD−A1B1C1D1中,直线AC与A1B所成角的大小为______.(用角度表示)
    13.在三棱锥P−OAB中,已知PO⊥平面OAB,OP=10,AB=20,PA与平面OAB所成的角为30°,PB与平面OAB所成的角为45°,则∠AOB= ______.(用角度表示)
    四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    14.(本小题13分)
    已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 3(a2+c2−b2)a2−b2−c2=tanA.
    (1)求角B的大小;
    (2)若△ABC的面积为15 3,b=14,求△ABC的周长.
    15.(本小题15分)
    如图,在三棱锥A−BCD中,E是线段AD的中点,F是线段CD上的一点.
    (1)若EF/​/平面ABC,试确定F在CD上的位置,并说明理由;
    (2)若BC=BD=AD=AC,证明:CD⊥AB.
    16.(本小题15分)
    已知函数f(x)=sin2x+ 3csxsinx−1.
    (1)求f(x)的单调递增区间;
    (2)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2,且f(A)=12,求△ABC面积的取值范围.
    17.(本小题17分)
    如图,在四棱锥P−ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB⊥BD,E为PD的中点,AD=2PA=2,BD= 3.
    (1)求直线AE与平面PAB所成角的正弦值;
    (2)求二面角E−AB−D的大小.
    18.(本小题17分)
    如图1,在矩形ABCD中,点E在边CD上,BC=DE=2EC=2,将△DAE沿AE进行翻折,翻折后D点到达P点位置,且满足平面PAE⊥平面ABCE,如图2.

    (1)若点F在棱PA上,PB∩平面CEF=G,求证:CE/​/FG;
    (2)求点E到平面PAB的距离.
    参考答案
    1.A
    2.D
    3.A
    4.B
    5.B
    6.B
    7.C
    8.AC
    9.ABC
    10.BC
    11.2 2
    12.60°
    13.90°
    14.解:(1)△ABC中,由 3(a2+c2−b2)a2−b2−c2=tanA,得 3(a2+c2−b2)=−tanA(b2+c2−a2),
    由余弦定理得2 3accsB=−tanA⋅2bccsA=−sinAcsA⋅2bccsA,
    即 3acsB=−bsinA,
    由正弦定理得 3sinAcsB=−sinBsinA,
    又A∈(0,π),sinA≠0,
    可得tanB=− 3,
    因为B∈(0,π),
    所以B=2π3;
    (2)若△ABC的面积为15 3,
    则12acsinB= 3ab4=15 3,得ab=60,
    因为b=14,
    由余弦定理b2=a2+c2−2accsB,可得196=a2+c2+ac=(a+c)2−ac=(a+c)2−60,
    解得a+c=16,
    所以△ABC的周长为a+b+c=30.
    15.(1)解:F是CD的中点,理由如下:
    若EF/​/平面ABC,由EF⊂平面ACD,平面ACD∩平面ABC=AC,
    得EF/​/AC,又E是AD的中点,F在CD上,
    所以F是CD的中点;

    (2)证明:取CD的中点G,连接BG,AG,

    因为BC=BD=AD=AC,G为CD中点,
    所以CD⊥AG,CD⊥BG,
    因为BG∩AG=G,所以CD⊥平面ABG,
    因为AB⊂平面ABG,
    所以CD⊥AB.
    16.解:(1)因为f(x)=sin2x+ 3csxsinx−1,
    所以f(x)=1−cs2x2+ 32sin2x−1= 32sin2x−12cs2x−12,
    即f(x)=sin(2x−π6)−12.
    令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2,k∈Z,解得kπ−π6≤x≤kπ+π3,k∈Z,
    所以f(x)的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3],k∈Z.
    (2)结合(1)问,因为f(x)=sin(2x−π6)−12
    所以f(A)=sin(2A−π6)−12=12,即sin(2A−π6)=1,
    所以2A−π6=2kπ+π2,k∈Z,即A=kπ+π3,k∈Z.
    因为在锐角△ABC中,A∈(0,π2),所以A=π3.
    因为b=2,所以S△ABC=12bcsinA=12×2×c×sinπ3= 32c.
    在△ABC中,由正弦定理可得csinC=bsinB,即c=bsinCsinB,
    在△ABC中易得sinC=sin(A+B)=sin(π3+B),
    ∴c=bsinCsinB=2sin(π3+B)sinB=2( 32csB+12sinB)sinB= 3csB+sinBsinB= 3tanB+1,
    因为△ABC为锐角三角形,且A=π3,且易得C=2π3−B,
    所以0

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