2023-2024学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.定义：集合A−B={x|x∈A且x∉B}.若A={1,2,3,4,5}，B={4,5,6,7,8}，则A−B=( )
A. {1,2,3}B. {4,5}C. {6,7,8}D. {1,2,3,4,5}
2.已知复数z=−12+ 32i，则z2+z=( )
A. −1B. −12C. 12D. 1
3.由0，1，2，3，4，5，6这7个数字，可以组成无重复数字的四位数的个数为( )
A. 360B. 480C. 600D. 720
4.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BC和CD的中点.则两条平行线EF和B1D1间的距离为( )
A. 22B. 2C. 3 22D. 2 2
5.已知|a|=1，|b|= 3，a+b=( 3,1)，则a+b与a−b的夹角是( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
6.(x+4x−4)3的展开式中的常数项为( )
A. −80B. 80C. −160D. 160
7.设甲袋中有3个白球，乙袋中有1个红球和2个白球.现从两个袋中各摸一个球进行交换，则这样交换2次后，红球还在乙袋中的概率为( )
A. 59B. 23C. 79D. 89
8.一个密闭的长方体盒子高为4，底面是边长为2的正方形，盒内有一个半径为1的小球，若将盒子任意翻动，则小球不能到达区域的体积是( )
A. 16−4πB. 16−103πC. 16−83πD. 16−2π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直
B. 如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直
C. 如果一个平面内有三点到另一平面距离相等，那么这两个平面平行
D. 如果平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，那么这条直线与该平面平行
10.已知由样本数据点集合{(xi,yi)|i=1，2，…，n}，求得的回归直线方程为y​=1.5x+0.5，且x−=3，现发现两个数据点(1.3,2.1)和(4.7,7.9)误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则( )
A. 变量x与y具有正相关关系
B. 去除后的回归方程为y =1.2x+1.6
C. 重新求得的回归直线必过点(3,5)
D. 去除后相应于样本点(2,3.75)的残差为−0.05
11.已知一个几何体是由正四棱锥P−ABCD和正四面体Q−PBC组合而成，且PQ=2，则( )
A. 该几何体的体积是2 2B. 二面角A−PB−C的余弦值是−13
C. 该几何体是七面体D. 平面PAD/​/平面QBC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校高二年级200名学生在5月25日参加了江苏省数学联赛预赛，已知预赛成绩X服从正态分布N(80,σ2)(试卷满分为120分).统计结果显示，预赛成绩在70分到90分之间的人数约为总人数的45，则此次预赛成绩不低于90分的学生人数约为______．
13.在8只不同的试验产品中有3只不合格品、5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止.最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有______种.
14.用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶(铁皮的正反面都要涂漆)，其高是1m，底面的边长是1.5m，已知每平方米需用油漆150g，共需用油漆______kg.(精确到0.1kg)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=lnx−mx(m∈R)．
(1)当m=13时，求函数f(x)的最大值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
16.(本小题15分)
已知数列{an}，{bn}满足：{an}是等差数列，a1b1+a2b2+⋯+anbn=6+(2n−3)2n+1，a1=1，b2=4．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设cn=anbn，求数列{cn}的前n项和．
17.(本小题15分)
某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品X和治疗甲流药品Y，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下2×2列联表：
(1)根据表格中的数据，能否有95%的把握认为预防药品X对预防甲流有效果？
(2)用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样的方式选出1只，用治疗药品Y对该动物进行治疗.已知治疗药品Y的治愈数据如下：对未使用过预防药品X的动物的治愈率为12，对使用过预防药品X的动物的治愈率为56，求该动物被治愈的概率．
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
18.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且过点P(1,32)．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点Q(0,2)的直线交椭圆C于M，N两点，且OM⊥ON(其中O为坐标原点)，求△MON的面积．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD⊥AB，BC/​/AD，PA⊥AB，平面PAC⊥平面ABCD，AD=2，PA=AB=BC=1．
(1)证明：PA⊥AD；
(2)若点T是CD的中点，点M是线段PT上的点，点P到平面ABM的距离是3 1313.求：
①直线CD与平面ABM所成角的正弦值；
②三棱锥P−ABM外接球的表面积．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：因为A−B={x|x∈A且x∉B}，
若A={1,2,3,4,5}，B={4,5,6,7,8}，
则A−B={1,2,3}．
故选：A．
2.【答案】A
【解析】解：由z=−12+ 32i得z2+z=z(z+1)=(−12+ 32i)(12+ 32i)=( 32i)2−(12)2=−1．
故选：A．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①在1，2，3，4，5，6中选一个，作为四位数的千位数字，有6种选法，
②将剩下6个数字中，选出3个，依次作为四位数的百、十和个位数字，有A63=120种选法，
则可以得到6×120=720个四位数．
故选：D．
4.【答案】C
【解析】解：由勾股定理知，B1E=D1F= 5，
因为EF/​/B1D1，
所以四边形EFD1B1是等腰梯形，
分别取EF，B1D1的中点G，H，连接GH，则EG=12EF= 22，B1H=12B1D1= 2，
所以GH= B1E2−(B1H−EG)2= ( 5)2−( 22)2=3 22，
即两条平行线EF和B1D1间的距离为3 22．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：由已知得(a+b)⋅(a−b)=|a|2−|b|2=−2，
而(a+b)2=|a|2+|b|2+2a⋅b⇒4=4+2a⋅b，故a⋅b=0，
所以|a−b|= (a−b)2= |a|2+|b|2−2a⋅b=2，
故cs=(a+b)⋅(a−b)|a+b||a−b|=−22×2=−12，
由向量夹角范围是[0,π]，
故所求角为120°．
故选：C．
6.【答案】C
【解析】解：(x+4x−4)3=( x−2 x)6，根据二项式的展开式得Tr+1=C6r⋅x6−r2⋅(−2)r⋅x−r2=C6r⋅(−2)r⋅x3−r(r=0,1,2,3,4,5,6)；
当r=3时，展开式的常数项为−C63⋅23=−160．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：该事件分两种情况：
①第一次交换，甲取白球，乙取白球的概率为23，
第二次交换，甲取白球，乙取白球的概率为23，
故这样交换2次后，红球还在乙袋中的概率为23×23=49，
②第一次交换，甲取白球，乙取红球的概率为13，
第二次交换，甲取红球，乙取白球的概率为13，
故这样交换2次后，红球还在乙袋中的概率为13×13=19，
综上所述，所求概率为49+19=59．
故选：A．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意可得小球不能到达区域的体积为长方体体积减去底面半径为1高为2的圆柱与半径为1的球的体积，
故所求体积为：2×2×4−π×12×2−43×π×13=16−103π．
故选：C．
9.【答案】AB
【解析】解：A中，由线面垂直的性质可得，若一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直，所以A正确；
B中，如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直，所以B正确；
C中，如果一个平面内有三点在同一条直线上，它们到另一平面距离相等，那么这两个平面相交，所以C不正确；
D中，如果平面外的一条直线上有两点再平面的两侧，它们到这个平面距离相等，此时直线与平面相交，所以D不正确．
故选：AB．
10.【答案】ACD
【解析】解：因为重新求得的回归方程l的斜率为1.2，故变量x与y具有正相关关系，故选项A正确；
将x−=3代入回归直线方程为y =1.5x+0.5，
解得y=5，
则样本中心为(3,5)，去掉两个数据点(1.3,2.1)和(4.7,7.9)后，
由于1.3+4.72=3,2.1+7.92=5，故样本中心还是(3,5)，
所以重新求得的回归直线必过点(3,5)，故选项C正确；
又因为去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，
所以5=3×1.2+a，
解得a=1.4，
所以去除后的回归方程为y =1.2x+1.4，故选项B不正确；
因为y =1.2×2+1.4=3.8，
所以y−y =3.75−3.8=−0.05，
即去除后相应于样本点(2,3.75)的残差为−0.05，故选项D正确．
故选：ACD．
11.【答案】ABD
【解析】解：根据题意可得正四棱锥P−ABCD和正四面体Q−PBC的棱长都为2，
∴正四棱锥P−ABCD和正四面体Q−PBC的高分别为 22−( 2)2= 2， 22−(2 33)2=2 2 3，
∴该几何体的体积是13×2×2× 2+13×12×2× 3×2 2 3=2 2，∴A选项正确；
取PB的中点为E，则AE⊥PB，CE⊥PB，
∴∠AEC即为二面角A−PB−C的平面角，
又易知AE=CE= 3，AC=2 2，
∴cs∠AEC=3+3−82× 3× 3=−13，∴B选项正确；
∵根据题意可得正四棱锥P−ABCD和正四面体Q−PBC的棱长都为2，
∴该几何体为三棱台PAD−QBC，∴该几何体是五面体，平面PAD/​/平面QBC，
∴C选项错误，D选项正确．
故选：ABD．
12.【答案】20
【解析】解：预赛成绩在70分到90分之间的人数约为总人数的45，
则P(X≥90)=12[1−P(70高二年级有200名学生，
则此次预赛成绩不低于90分的学生人数约为200×110=20．
故答案为：20．
13.【答案】90
【解析】解：在8只不同的试验产品中有3只不合格品、5只合格品，
每次取1只测试，第4次抽到其中任一只不合格品有C31种情况，
前3次有2次是不合格品，1次是合格品共有C51C22种可能，
前3次测试中的顺序有A33种可能，
由分步计数原理得最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有：
C31(C51C22)A33=90种．
故答案为：90．
14.【答案】1.2
【解析】解：正四棱锥的底面边长为1.5m，高是1m，
则斜高为 (1.52)2+12=2.52，正四棱锥的侧面积S=4×12×1.5×2.52=3.75，
因为每平方米需用油漆150g，所以共需用油漆2×3.75×150=1125≈1.2(千克)．
故答案为：1.2．
15.【答案】解：(1)当m=13时，f(x)=lnx−13x，定义域为(0,+∞)，
f′(x)=1x−13=3−x3x，
令f′(x)=0得x=3，
所以在(0,3)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(3,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)max=f(3)=ln3−13×3=ln3−1．
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=1x−m=1−mxx，
当m≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当m>0时，令f′(x)=0得x=1m，
所以在(0,1m)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(1m,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
综上所述，当m≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当m>0时，f(x)在(0,1m)上单调递增，在(1m,+∞)上单调递减．
【解析】(1)当m=13时，f(x)=lnx−13x，定义域为(0,+∞)，求导分析f′(x)的符号，f(x)的单调性，最值，即可得出答案．
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，求导得f′(x)=1−mxx，分两种情况：当m≤0时，当m>0时，分析f′(x)的符号，f(x)的单调性，即可得出答案．
16.【答案】解：(1)当n=1时，a1b1=1×b1=6−22=2，所以b1=2，
当n=2时，a1b1+a2b2=6+23=14，则a2b2=12，又b2=4，所以a2=3，
又因为a1=1，所以等差数列{an}的公差d=2，所以an=2n−1；
令Sn=a1b1+a2b2+⋯+anbn=6+(2n−3)2n+1，
当n≥2时，Sn−1=a1b1+a2b2+⋯+an−1bn−1=6+(2n−5)2n，
所以anbn=Sn−Sn−1=(2n−1)2n，所以bn=2n，
因为b1=2也满足上式，所以bn=2n；
(2)cn=anbn=(2n−1)(12)n，设其前项n和为Tn，
则Tn=1×(12)+3×(12)2+5×(12)3+⋯+(2n−1)(12)n，
12Tn=1×(12)2+3×(12)2+5×(12)4+⋯+(2n−1)(12)n+1，
两式相减得：12Tn=12+12+(12)2+⋯+(12)n−1−(2n−1)(12)n+1，
所以Tn=1+1+(12)++(12)n−2−(2n−1)(12)n，
所以Tn=3−2n+32n．
【解析】(1)由条件式计算即可求得数列{an}的公差，由等差数列的通项公式即可求得{an}的通项，由通项与前n项和的关系即可求{bn}的通项；
(2)由错位相减法计算即可求得．
17.【答案】解：(1)假设H0：预防药品X与对预防甲流无效果，
由表格数据得：K2=100×(40×20−30×10)270×30×50×50=10021≈4.762>3.841，
依据小概率值为α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即有95%的把握认为预防药品X与对预防甲流有效果；
(2)设事件A表示“该只动物被治愈”，事件B1表示“未使用过预防药品X”，事件B2表示“使用过预防药品X”，
则P(B1)=4070=47，P(B2)=3070=37，且P(A|B1)=12，P(A|B2)=56，
则P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=47×12+37×56=914，
即该只动物被治愈的概率是914．
【解析】(1)计算K2的值，再与临界值比较即可；
(2)利用全概率公式计算．
18.【答案】解：(1)由题意知，ca=121a2+94b2=1a2=b2+c2，
解得a=2，b= 3，c=1，
所以椭圆的标准方程为x24+y23=1．
(2)由题意知，直线MN的斜率存在，且不为0，设其方程为y=kx+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立y=kx+2x24+y23=1，得(3+4k2)x2+16kx+4=0，
所以x1+x2=−16k3+4k2，x1x2=43+4k2，Δ=(16k)2−4×4×(3+4k2)=48(4k2−1)>0，即k2>14，
因为OM⊥ON，
所以OM⋅ON=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(k2+1)x1x2+2k(x1+x2)+4=(k2+1)⋅43+4k2+2k(−16k3+4k2)+4=0，
解得k2=43，
所以|MN|= k2+1⋅ (x1+x2)2−4x1x2= k2+1⋅ 48(4k2−1)|3+4k2|，
而点O到直线MN的距离为d=2 k2+1，
所以△MON的面积S=12|MN|⋅d=12⋅ k2+1⋅ 48(4k2−1)|3+4k2|⋅2 k2+1=4 3⋅ 4k2−13+4k2=4 3⋅ 4⋅43−13+4⋅43=12 1325．
所以OM⋅ON=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(k2+1)x1x2+2k(x1+x2)+4=(k2+1)⋅43+4k2+2k(−16k3+4k2)+4=0，
解得k2=43，
所以|MN|= k2+1⋅ (x1+x2)2−4x1x2= k2+1⋅ 48(4k2−1)|3+4k2|，
而点O到直线MN的距离为d=2 k2+1，
所以△MON的面积S=12|MN|⋅d=12⋅ k2+1⋅ 48(4k2−1)|3+4k2|⋅2 k2+1=4 3⋅ 4k2−13+4k2=4 3⋅ 4⋅43−13+4⋅43=12 1325．
【解析】(1)根据椭圆的方程与几何性质，列方程组，求解即可；
(2)设直线MN的方程为y=kx+2，将其与椭圆方程联立，利用OM⋅ON=0求出k的值，再结合点到直线的距离公式与弦长公式，求解即可．
19.【答案】解：(1)证明：取AD的中点E，连接CE，
在梯形ABCD中，BC/​/AE，BC=AE=AB=1，
AD⊥AB，所以四边形ABCE为正方形，
所以AD⊥CE，
在Rt△CDE中，CE=DE=1，
有CD= CE2+DE2= 2，
在Rt△ABC中，有AC= AB2+BC2= 2，又AD=2，
所以，在△ACE中有AC2+CD2=AD2，即CD⊥AC，
又平面PAC⊥平面ACD，平面PAC∩平面ACD=AC，CD⊂平面ACD，
所以CD⊥平面PAC，因为PA⊂平面PAC，
所以PA⊥CD，又因为PA⊥AB，直线AB和CD有公共点，AB⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥AD；
(2)①以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,2,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，T(12,32,0)，
AP=(0,0,1)，CD=(−1,1,0)，
设PM=λPT(0≤λ≤1)，则M点坐标为(λ2,3λ2,1−λ)，
则AM=(λ2,3λ2,1−λ)，AB=(1,0,0)，
设平面ABM的法向量n=(x,y,z)，
则有n⋅AB=x=0n⋅AM=3λ2y+(1−λ)z=0，
则n=(0,λ−1,32λ)，
因为点P到平面ABM的距离是313 13，
所以|n⋅AP|n||=313 13，
则|32λ (λ−1)2+(32λ)2|=313 13，
解得λ=12，
此时M(14,34,12)，n=(0,−12,34)，
设直线CD与平面ABM所成角为θ，
则sinθ=|cs故直线CD与平面ABM所成角的正弦值为 2613；
②设线段PB的中点为N，则直角三角形PAB外心为N，则N点坐标为(12,0,12)，
三棱锥P−ABM的球心为O，则O必在过直角三角形PAB外心N且垂直平面PAB的直线上，
由ON⊥平面PAB，设O点坐标为(12,t,12)，
由OM=OA得， (12−14)2+(t−34)2+(12−12)2= (12−0)2+(t−0)2+(12−0)2，
解得t=112，
故外接球O半径OA= (12−0)2+(112−0)2+(12−0)2= 7312，
球O的表面积为4π⋅OA2=7336π．
故三棱锥P−ABM的表面积为7336π．
【解析】(1)根据已知条件得出PA⊥平面ABCD，再利用线面垂直的性质定理即可得证；
(2)①建立空间直角坐标系，求出平面ABM的法向量，利用向量夹角公式即可求解；
②先确定三棱锥P−ABM的球心为O，在过直角三角形PAB外心N且垂直平面PAB的直线上，由OM=OA，得到外接球O半径R即可求解．预防药品X
感染
未感染
未使用
40
10
使用
30
20
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
k0
2.706
3.841
5.024