2023-2024学年安徽省亳州市蒙城八中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年安徽省亳州市蒙城八中高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若zz−1=1+i，则z=( )
A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i
2.cs2π8−sin2π8的值为( )
A. − 32B. −12C. 12D. 22
3.下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. e1=(0,0)，e2=(1,2)B. e1=(2,−4)，e2=(4,−8)
C. e1=(1,−2)，e2=(2,3)D. e1=(1,0)，e2=(−2,0)
4.已知a,b是两个单位向量，且〈a,b〉=60°，若c=2a−b，则cs〈a,c〉=( )
A. 12B. 32C. 13D. 33
5.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，A′D′=2B′C′=2，A′B′=1，则平面图形ABCD的面积为( )
A. 2B. 2 2C. 3D. 3 2
6.若m，n是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是( )
A. 若α//m，β//m，那么α/​/βB. 若m/​/α，n⊂α，那么m/​/n
C. 若m/​/n，n/​/α，那么m/​/αD. 若α/​/β，m⊂α，那么m//β
7.当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin(3x−π6)的交点个数为( )
A. 3B. 4C. 6D. 8
8.黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑．某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为30( 3−1)m的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD为( )
A. 20 3mB. 20 2mC. 30 3mD. 30 2m
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象，则( )
A. ω=2
B. φ=π3
C. 点(π6,0)是f(x)图象的一个对称中心
D. f(x)的图象向左平移5π12个单位后所对应的函数为偶函数
10.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是( )
A. B.
C. D.
11.若平面向量a=(n,2)，b=(1,m−1)，其中n，m∈R，则下列说法正确的是( )
A. 若2a+b=(2,6)，则a/​/b
B. 若a=−2b，则与b同向的单位向量为( 22,− 22)
C. 若n=1，且a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范围为(12,+∞)
D. 若a⊥b，则z=2n+4m的最小值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.角α的终边经过点(2,−1)，则sinα+csα的值为______．
13.已知向量a=(1,0)，b=(2,3)，则b在a上的投影向量为______．
14.下列各图是正方体与四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，过四个点共面的图形是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量a=(2,4)，b=(6,x)，c=(4,y)，且a//b，a⊥c．
(1)求b和c；
(2)若m=2a−b，n=a+c，求向量m和向量n的夹角的大小．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2sinx4⋅csx4+ 3csx2．
(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；
(2)令g(x)=f(x+π3)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．
17.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ 3csA=2．
(1)求A；
(2)若a=2， 2bsinC=csin2B，求△ABC周长．
18.(本小题17分)
如图：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
(1)求证：BD1//平面AEC；
(2)CC1上是否存在一点F，使得平面AEC//平面BFD1，若存在请说明理由．
19.(本小题17分)
已知向量a=(sinx,12)，b=(csx,−1)．
(1)当a⊥b时，求x的值；
(2)当a/​/b时，求tanx的值；
(3)求f(x)=(a+b)⋅b在[−π2,0]上的单调递减区间．
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.B
5.C
6.D
7.C
8.C
9.ACD
10.BCD
11.BD
12. 55
13.(2,0)
14.①②③
15.解：(1)因为a//b，所以2x−24=0，解得x=12，
因为a⊥c，所以8+4y=0，解得y=−2，
首页b=(6,12)，c=(4,−2)；
(2)因为m=2a−b=(−2,−4)，n=a+c=(6,2)，
设向量m和向量n的夹角为θ，
则csθ=m⋅n|m||n|=−202 10×2 5=− 22，
因为θ∈[0,π]，所以θ=34π，
即向量m和向量n的夹角的大小为3π4．
16.解：(1)∵f(x)=sinx2+ 3csx2=2sin(x2+π3)，
∴f(x)的最小正周期T=2π12=4π．
当sin(x2+π3)=−1时，f(x)取得最小值−2；
当sin(x2+π3)=1时，f(x)取得最大值2．
(2)g(x)是偶函数．理由如下：
由(1)知f(x)=2sin(x2+π3)，
又g(x)=f(x+π3)，
∴g(x)=2sin[12(x+π3)+π3]
=2sin(x2+π2)=2csx2．
∵g(−x)=2cs(−x2)=2csx2=g(x)，
∴函数g(x)是偶函数．
17.解：(1)因为sinA+ 3csA=2，
所以2sin(A+π3)=2，即sin(A+π3)=1，
由A为三角形内角得A+π3=π2，
即A=π6；
(2)因为 2bsinc=csin2B，
2bsinC=2csinBcsB，由正弦定理可得： 2bc=2bccsB，
可得csB= 22，
又因为B∈(0,π)，所以B=π4，C=π−A−B=712π，
在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=212=4，
所以b=4sinB=2 2，c=4sinC=4sin7π12=4sin(π4+π3)= 6+ 2，
所以△ABC的周长为a+b+c=2+3 2+ 6．
综上，△ABC的周长为2+3 2+ 6．
18.解：(1)证明：连结BD交AC于O，连结EO，
∵因为ABCD−A1B1C1D1为正方体，底面ABCD为正方形，
对角线AC､BD交于O点，所以O为BD的中点，
又因为E为DD1的中点，在▵DBD1中
∴OE是▵DBD1的中位线∴OE//BD1；
又为OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，
所以BD1//平面AEC．
(2)证明：CC1上的中点F即满足平面AEC//平面BFD1．
因为F为CC1的中点，E为DD1的中点，所以CF//ED1，
所以四边形CFD1E为平行四边形，所以D1F//EC，
又因为EC⊂平面AEC，D1F⊄平面AEC，
所以D1F//平面AEC；由(1)知BD1//平面AEC，又因为BD1∩D1F=D1，
所以平面AEC//平面BFD1．
19.(1)解：因为a=(sinx,12),b=(csx,−1)，且a⊥b，
所以a⋅b=sinx⋅csx−12=0，即sin2x=1，
所以2x=π2+2kπ,k∈Z，解得x=π4+kπ,k∈Z；
(2)解：因为a=(sinx,12),b=(csx,−1)，且a//b，
所以(−1)×sinx=12×csx，即−sinx=12×csx，所以tanx=−12；
(3)解：因为a=(sinx,12),b=(csx,−1)，所以a+b=(sinx+csx,−12)，
所以f(x)=(a+b)⋅b=csx(sinx+csx)+12
=sinxcsx+cs2x+12
=12sin2x+1+cs2x2+12
=12sin2x+12cs2x+1
= 22( 22sin2x+ 22cs2x)+1
= 22sin(2x+π4)+1，
即f(x)= 22sin(2x+π4)+1，
今π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ,k∈Z，解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ,k∈Z，
所以函数在R上的单调递减区间为[π8+kπ,5π8+kπ],k∈Z，
因为x∈[−π2,0]，所以函数在[−π2,0]上的单调递减区间为[−π2,−3π8]．