2023-2024学年福建省福州市马尾区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市马尾区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级成绩的平均分等内容，欢迎下载使用。

1.若式子 x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>−2B. x<−2C. x≠−2D. x≥−2
2.下列运算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 3−2= 3
C. 3× 12=6D. (4 6−2 2)÷2 2=2 3
3.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 13，14，15D. 15，8，17
4.正比例函数y=−12x的图象经过的象限是( )
A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第三、四象限D. 第一、二象限
5.端午前夕，学校食堂调查学生对豆沙粽、蛋黄粽、肉粽这三种粽子的喜爱程度，以决定最终的采购方案.下面统计量中，最值得关注的是( )
A. 平均数B. 方差C. 中位数D. 众数
6.若函数y=ax和函数y=bx+c的图象如图所示，则关于x的不等式ax−bx>c的解集是( )
A. x<2
B. x<1
C. x>2
D. x>1
7.如图是甲、乙两名同学6次射击成绩的折线统计图，甲、乙两人射击成绩的方差分别记作S甲2，S乙2，下列结论正确的是( )
A. S甲2>S乙2B. S甲2=S乙2C. S甲28.若顺次连接矩形的各边中点所得的四边形一定是( )
A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 平行四边形
9.如图，矩形AOBC的两条边OA，OB分别落在x轴、y轴上，A点坐标为(−8,0)，B点坐标为(0,10)，点D在线段BC上，沿直线AD将矩形折叠，使点C与y轴上的点E重合，则点D的坐标为( )
A. (−3,10)
B. (−4,10)
C. (−5,10)
D. (3,10)
10.在平面直角坐标系中，已知直线l1：y=−x+1与x轴交于点A，直线l2：y=kx−2k−1(k<0)与x轴交于点B，与l1交于点C.过点C作x轴的垂线，垂足为点D.若S△BCD=13S△ACD，则k的值是( )
A. −6B. −3C. −32D. −23
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算：( 6+ 5)( 6− 5)= ______．
12.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.4km，则M，C两点间的距离为______km．
13.在一次演讲比赛中，甲的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示：
若按照演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为______
14.如图，直线y=mx+n与直线y=kx+b的交点为A，则关于x，y的方程组y=mx+ny=kx+b的解是______．
15.如图，在▱ABCD中(AB16.如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=60°，P为对角线AC上的动点(不与A、C两端点重合)，PM⊥AB交AB所在直线于点M，PN⊥BC交BC所在直线于点N，连接DP.则PM+PN+PD的最小值是______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：(2 2+3 3)2−15 12÷ 2．
18.(本小题8分)
已知，如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF，分别连接AE，EC，CF，FA．
求证：四边形AECE是平行四边形．
19.(本小题8分)
已知一次函数图象过点(0,−4)，(1,−2)．
(1)求此一次函数的解析式，并在图中画出该函数的图象；
(2)若点A(2,m)和B( 7,n)在该一次函数图象上，试比较m与n的大小，并说明理由．
20.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.过点A作AE/​/BD，过点D作DE/​/AC交AE于点E．
(1)求证：四边形AODE是矩形；
(2)若AB=2，∠ABC=60°，求四边形AODE的面积．
21.(本小题8分)
“双减”政策颁布后，学校开展了延时服务，并增加体育锻炼时间.某体育用品商店抓住商机，购进一批乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其进价和售价如表所示．
某班甲体育小组购买2套乒乓球拍和1套羽毛球拍共花费160元，乙体育小组购买1套乒乓球拍和2套羽毛球拍共花费170元．
(1)求出a，b的值；
(2)根据销售情况，商店决定再次购进300套球拍，且购进的乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半.若这批球拍的进价和售价均不变，且能够全部售完，如何购货才能获利最大？
22.(本小题10分)
为了迎接第九个“中国航天日”到来，某校在2024年4月24日举行航天知识竞赛.竞赛结束后，随机抽取七年级、八年级各40名学生的成绩，按成绩分为如下5组(满分100分)，A组：50≤x<60，B组：60≤x<70，C组：70≤x<80，D组：80≤x<90，E组：90≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息1：七年级竞赛成绩的频数分布统计表：
信息2：八年级竞赛成绩的频数分布直方图如图所示：

信息3：七年级学生在70≤x<80这一组的竞赛成绩是：
70，70，70，71，74，75，75，75，76，76，76，76，78；
信息4：七、八年级成绩的平均分、中位数、众数及方差统计表
请根据以上信息，解决以下问题：
(1)补全八年级学生成绩频数分布直方图，并直接写出七年级竞赛成绩的中位数n= ______；
(2)请求出八年级的竞赛平均成绩m；
(3)在此次竞赛中，你认为______年级的竞赛成绩较好(填“七”或“八”)，请给出确定该年级成绩较好的理由：______，______.(说出两点即可)
23.(本小题10分)
某校八年级数学兴趣小组开展“测量旗杆高度”数学活动．
如图1，甲组利用含30°角的直角三角尺(即Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°)进行测量，小文同学将三角尺水平放置于眼前，使直角边BC垂直于地面l，行走到点P处时，视线透过AB边刚好经过旗杆顶部M.经测得，小文的眼睛离地面AP=1.6m，点P离旗杆底部距离PN=6m．
如图2，乙组发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面后多出一段DN，该绳子长度未知．
(1)根据甲组的方案，求旗杆MN的长(结果保留整数，其中 3≈1.73)；
(2)请利用卷尺，运用所学知识帮助乙组设计一个测量方案，并写出具体的求解旗杆MN长度的过程.(注：卷尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离，卷尺测量得到的长度用a、b、c…表示，方案的相关图示在图2中标注出来，旗杆与绳子间距离忽略不计)
24.(本小题12分)
如图，在正方形ABCD外侧，作等边△AMD，过点B作BN⊥MD交MD延长线于点N，连接BM，CN．
(1)在图中补全图形；
(2)求∠BMD的度数；
(3)试探究线段BM，CN之间的数量关系，并证明你的结论．
25.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，已知一次函数y=(2a−3)x+5−b的图象为直线l，它与x轴，y轴分别交于A，B两点．
(1)如果把l向上平移2个单位后得到直线y=5x+1，求a，b的值；
(2)当直线l过点(m,6−b)和点(m+3,4a−7)时，且−3(3)若平面内有动点P(2n−1,4−2n)，不论n取何值，点P均不在直线l上，设△PAB的面积为S.求S的值(用含字母b的式子表示)．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意得：x+2≥0，解得x≥−2．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】解：A． 2与 3不能合并，所以A选项不符合题意；
B.2 3与2不能合并，所以B选项不符合题意；
C. 3× 12= 3×12= 36=6，所以C选项符合题意；
D.(4 6−2 2)÷2 2=(4 6−2 2)×12 2=2 3−1，所以D选项不符合题意．
故选：C．
3.【答案】D
【解析】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、132+142≠152，不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、152+82=172，能构成直角三角形，故本选项正确；
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：∵k=−12<0，
∴正比例函数y=−12x的图象经过第二、四象限，
故选B．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，可知：学校食堂调调查的目的是明确最喜欢哪种口味的粽子的人数最多，
∵众数是数据中出现次数最多的数，
∴最值得关注的是统计数据中的众数．
故选：D．
6.【答案】D
【解析】解：观察函数图象得x>1时，ax>bx+c，
即x>1时，ax−bx>c，
所以关于x的不等式ax−bx>c的解集为x>1．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：由图象可知：甲偏离平均数大，乙偏离平均数小，
所以甲波动大，不稳定，方差大，即S甲2>S乙2．
故选：A．
8.【答案】A
【解析】解：如图：
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB
∴EH=12BD，
同理FG=12BD，HG=12AC，EF=12AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：A．
9.【答案】A
【解析】解：∵A点坐标为(−8,0)，B点坐标为(0,10)，
∴OA=8，OB=10，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=10，BC=OA=8，
由折叠性质可得DE=CE，AE=AC=OB=10，
在Rt△AOE中，OE= AE2−AO2= 102−82=6，
∴BE=OB−OE=10−6=4，
设BD=x，则CD=DE=8−x，
在Rt△BDE中，由勾股定理可得DE2=BE2+BD2，
∴(8−x)2=42+x2，解得x=3，
∴BD=3，
∴D(−3,10)，
故选：A．
10.【答案】A
【解析】解：如图所示，
∵直线l1：y=−x+1与x轴交于点A，
当y=0时，解得：x=1，则A(1,0)，
联立y=−x+1y=kx−2k−1，
解得：x=2y=−1，
∴C(2,−1)，则D(2,0)，
∴AD=1，
∵S△BCD=13S△ACD，CD⊥x轴，
∴BD=13AD=13，
∵则B(53,0)，
将点(53,0)代入y=kx−2k−1(k<0)，
即53k−2k−1=0，
解得：k=−6，
故选：A．
11.【答案】1
【解析】解：( 6+ 5)( 6− 5)
=( 6)2−( 5)2
=6−5
=1．
故答案为：1．
12.【答案】1.2
【解析】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵M为AB的中点，
∴CM=12AB，
∵AB=2.4km，
∴CM=1.2km．
故答案是1.2．
13.【答案】86
【解析】解：该选手的综合成绩为：90×50%+80×40%+90×10%=86，
故答案为：86．
14.【答案】x=1y=3
【解析】解：由函数图象可知，直线y=mx+n与直线y=kx+b的交点为A(1,3)，
∴方程组y=mx+ny=kx+b的解是x=1y=3．
故答案为：x=1y=3．
15.【答案】10 3
【解析】解：连接EF，AE与BF相交于O点，如图，
由作法得AB=AF=10，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，
∴AF=BE，
而AF/​/BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
而AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形，
∴OA=OE，OB=OF=12BF=5，AE⊥BF，
在Rt△AOB中，OA= 102−52=5 3，
∴AE=2AO=10 3，
故答案为：10 3．
16.【答案】3+3 3
【解析】解：连接BD交AC于O，
在菱形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，DO=BO，BD⊥AC，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=6，
∴BO=OD=3，
∴AO= AB2−OB2=3 3，
∴AC=2OA=6 3，
连接PB，
∵PM⊥AB交AB所在直线于点M，PN⊥BC交BC所在直线于点N，
∴S△ABC=S△ABP+S△BCP，
∴12AC⋅OB=12AB⋅PM+12BC⋅PN，
∴6 3×3=6PM+6PN，
∴PM+PN=3 3，
∴当PD的值最小时，PM+PN+PD的值最小，
即当点P与点O重合时，PD的值最小，即为3，
∴PM+PN+PD的最小值是3+3 3，
故答案为：3+3 3．
17.【答案】解：原式=(2 2)2+2×2 2×3 3+(3 3)2−15 12÷2
=8+12 6+27−15 6
=35−3 6．
【解析】先根据完全平方公式计算，再根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后合并即可．
18.【答案】证明：如图，连接AC交BD于O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵DF=BE，
∴DE=BF，
∴OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】想办法证明OA=OC，OE=OF即可解决问题．
19.【答案】解：(1)设此一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵此一次函数图象过点(0,−4)，(1,−2)，
∴b=−4k+b=−2，
解得k=2b=−4，
∴此一次函数解析式为y=2x−4，
该函数的图象如图，

(2)n>m，理由如下：
∵一次函数y=2x−4中，k=2>0，
∴y随着x的增大而增大，
又∵点A(2,m)和B( 7,n)在y=2x−4图象上，( 7)2=7>22，
∴n>m．
【解析】(1)设此一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，利用待定系数法求出函数解析式，作出函数图象即可；
(2)根据一次函数的增减性即可得出结论．
20.【答案】(1)证明：∵AE/​/BD，DE/​/AC，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∴平行四边形AODE为矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，
∴OA=12AC=1，
∴OD=OB= AB2−OA2= 3，
由(1)可知，四边形AODE是矩形，
∴矩形AODE的面积=OA×OD=1× 3= 3．
【解析】(1)先证四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠AOD=90°，即可得出结论；
(2)由菱形的性质得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，AB=BC，再证△ABC是等边三角形，得AC=AB=2，则OA=12AC=1，然后由勾股定理得OD=OB= 3，即可求解．
21.【答案】解：(1)根据题意得：2a+b=160a+2b=170，
解得：a=50b=60，
答：a、b的值分别是50元、60元；
(2)设购进乒乓球拍x套，羽毛球拍(300−x)套．总利润为y元，
由题意得：x≥12(300−x)，
解得：x≥100，
∵y=(50−35)x+(60−40)(300−x)
=−5x+6000，
∵−5<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=100时，y最大，且最大值为：−5×100+6000=5500(元)，
此时300−x=200，
答：购进乒乓球拍100套，羽毛球拍200套，获利最大，最大利润为5500元．
【解析】(1)根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费160元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费170元，列出方程组，解方程组即可；
(2)根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的12求出自变量的取值范围，再根据函数的性质求最值即可．
22.【答案】75.5 七 七年级的平均分高于八年级 七年级的中位数比八年级大(答案不唯一)
【解析】解：(1)八年级D组的频数为40−6−5−15−2=12，
补全八年级学生成绩频数分布直方图，
七年级成绩按从小到大顺序第20，21分别是75分，76分，
∴七年级竞赛成绩的中位数n=75+762=75.5，
故答案为：75.5；
(2)m=6×55+5×65+15×75+12×85+2×9540=74.75，
答：八年级的竞赛平均成绩m为74.75分；
(3)(3)在此次竞赛中，我认为七年级的竞赛成绩较好，理由如下：
七年级的平均分大于八级，七年级的中位数比八年级大(答案不唯一)，
故答案为：七；七年级的平均分高于八年级；七年级的中位数比八年级大(答案不唯一)．
23.【答案】解：(1)∵旗杆MN和BC垂直于地面l，
∴∠AMQ=∠ABC=30°，
由题意，知APNQ是矩形，
∴AQ=PN=6m，QN=AP=1.6m，
∴MQ=AQtan∠AMQ=6tan30∘=6 3(cm)，
∴MN=MQ+QN=6 3+1.6≈12(cm)，
答：旗杆MN的长约为12m；
(2)(方案不唯一)先测出绳子多出的部分DN长度为a m，再将绳子拉直，使绳子末端贴在地面C处(如图)，测出绳子末端C到旗杆底部N的距离b m，即可利用所学知识就能求出旗杆的长．

由测量方案可知，CM=(MN+a)m，CN=b m，
由勾股定理，得CM2=MN2+CN2，即(MN+a)2=MN2+b2，
解得MN=b2−a22a(m)，
答：旗杆MN长度为b2−a22a m．
【解析】(1)先求出∠AMQ=30°，在Rt△MCN中利用三角函数即可求出MQ，进而求出MN的长；
(2)(方案不唯一)可利用绳子、旗杆、地面构造直角三角形设计方案，再利用勾股定理写出求解过程即可．
24.【答案】解：(1)如图1，补全图形；

(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∵△ADM是等边三角形，
∴AD=AM，∠MAD=∠AMD=60°，
∴AB=AM，∠MAB=120°，
∴∠AMB=∠ABM，
∴2∠AMB=180°−∠BAM=30°，
∴∠AMB=15°，
∴∠BMD=∠AMD−∠AMB=45°；
(3)BM=(1+ 3)CN，证明如下：
如图2，作CE⊥BN于点E，CH⊥MN交MN的延长线于点H，

则∠BEC=∠CEN=∠H=90°，
∵BN⊥MD交MD延长线于点N，
∴∠ENH=90°，
∴四边形NECH是矩形，
∴∠ECH=∠BCD=90°，
∴∠BCE=∠DCH=90°−∠DCE，
在△BCE和△DCH中，
∠BEC=∠H∠BCE=∠DCHBC=DC，
∴△BCE≌△DCH(AAS)，
∴CE=CH，
∴四边形NECH是正方形，
∴CE=NE，
在Rt△ECN中，由勾股定理可得EN= 22CN，
同理可得BM= 2BN，
∵∠ABM=15°，∠MBN=45°，
∴∠NBC=30°，
∴BC=2CE，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE= 3CE，
∴BE= 3EN，
∴BN=BE+EN= 3EN+EN=( 3+1)EN，
∴BN= 22( 3+1)CN，
∴BM=( 3+1)CN．
【解析】(1)按要求作图即可；
(2)先求出∠BMN=45°，再由BN⊥MD求出答案即可；
(3)作CE⊥BN于点E，CH⊥MN交MN的延长线于点H，证出△BCE≌△DCH，求出∠CBE=60°，找到CH与CN的关系，BM和BN的关系，即可解答此问．
25.【答案】解：(1)由题意得：2a−3=55−b+2=1，
解得a=4b=6；
(2)由题意得：
(2a−3)m+5−b=6−b(2a−3)(m+3)+5−b=4a−7，
则2a−b=−4，
即a=12b−2，
当b=−3时，则a=−3.5，当b=8时，则a=2，
∵12>0，故a随b的增大而增大且−3∴−3.5∵2a−3≠0，即a≠1.5，
∴−3.5(3)方法一：设点P(x,y)，
则x=2n−1y=4−2n，即y=−x+3，
∴点P是直线y=−x+3上一动点，
∵不论n取何值，点P均不在直线l上，
故上述两条直线平行，
即2a−3=−1且5−b≠3，
解得a=1b≠2，
∴直线l的解析式为y=−x+5−b，直线l及直线y=−x+3与x轴所交锐角为45°，
∵平行线间的距离处处相等，
设直线y=−x+3与x轴交点C，过点C作CD⊥l于点D，
①当5−b>3，即b<2时，

S=S△CAB=12AB⋅CD
=12⋅ 2⋅OA⋅AC 2
=12OA⋅AC
=(5−b)(2−b)2
=b2−7b+102；
②当5−b<3，即b>2时，

S=S△CAB
=12AB⋅CD
=12⋅ 2⋅OA⋅AC 2
=12OA⋅AC
=|5−b|⋅(b−2)2，
=−b2+7b−102(25)；
综上，S=−b2+7b−102(25)；
方法二：设点P(x,y)，则x=2n−1y=4−2n，
即y=−x+3，
∴点P是直线y=−x+3上一动点，
∵不论n取何值，点P均不在直线l上，
∴关于x，y的方程组y=−x+3y=(2a−3)x+5−b，
无解，即关于x的方程(2a−2)x=−2+b无解，
∴2a−2=0−2+b≠0，
∴a=1b≠2，
∴直线l的解析式为y=−x+5−b，
易知直线l及直线y=−x+3与x轴所交锐角为45°，
∵平行线间的距离处处相等，
设直线y=−x+3与x轴交点C，
过点C作CD⊥l于点D，
①当5−b>3，即b<2时，
S=S△CAB
=12AB⋅CD
=12⋅ 2⋅OA⋅AC 2
=12OA⋅AC
=(5−b)(2−b)2=b2−7b+102；
②当5−b<3，即b>2时，
S=S△CAB
=12AB⋅CD
=12⋅ 2⋅OA⋅AC 2
=12OA⋅AC
=|5−b|⋅(b−2)2，
=−b2+7b−102(25)．
综上，S=−b2+7b−102(25)．
【解析】(1)把l向上平移2个单位后得到直线y=5x+1，用待定系数法即可求解；
(2)由题意得到2a−b=−4，即a=12b−2，当b=−3时，则a=3.5，当b=8时，则a=2，则故a随b的增大而增大且−3(3)设点P(x,y)，则y=−x+3，首先得知上述两条直线平行，即2a−3=−1且5−b≠3，解得a=1b≠2，直线l的解析式为y=−x+5−b，直线l及直线y=−x+3与x轴所交锐角为45°，设直线y=−x+3与x轴交点C，过点C作CD⊥l于点D，分两种情况讨论：b<2时，b>2时，分别利用面积计算公式解答即可．项目
演讲内容
演讲能力
演讲效果
成绩
90
80
90
进价
售价
乒乓球拍(元/套)
35
a
羽毛球拍(元/套)
40
b
成绩
A
B
C
D
E
人数
4
8
13
13
2
班级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
76.2
n
86
162.5
八年级
m
73
82
154.6