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2023-2024学年江苏省盐城市高一下学期6月期末考试数学试题（含答案）
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这是一份2023-2024学年江苏省盐城市高一下学期6月期末考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={x|x>1}，N={x|−1A. {x|x>1}B. {x|02.若向量a，b为单位向量，且|a−2b|= 7，则a⋅b=( )
A. −12B. −1C. 12D. 1
3.已知向量a=(2,x)，b=(3x,6)，则“x=2”是“a//b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.若lg2=a，lg3=b则用a，b表示lg12=( )
A. a2bB. 2abC. a+2bD. 2a+b
5.如果直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线( )
A. 只有一条B. 有无数条
C. 是平面α内的所有直线D. 不存在
6.若csα+sinαcsα=3，则tan(α−π4)=( )
A. −1B. 13C. 1D. 3
7.《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵;将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC= 3，BC1=1，阳马A1−BCC1B1的外接球表面积为( )
A. 8πB. 6πC. 4πD. 2π
8.设函数f(x)=(ax+b−1)⋅(ex−e)，若f(x)≥0恒成立，则a2+b2的最小值为( )
A. 18B. 14C. 12D. 1
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z=2−2i(i为虚数单位)，则下列结论正确的有( )
A. |z|=2 2B. z的虚部为−2i
C. z+z=4D. z在复平面内对应的点在第二象限
10.若函数f(x)=cs2x+|sinx|，则( )
A. 函数f(x)的一个周期为πB. 函数f(x)的图象关于y轴对称
C. 函数f(x)在区间(π6,π2)上单调递减D. 函数f(x)的最大值为2，最小值为0
11.如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，AA1=2，点P为CC1的中点，动点Q在侧面DCC1D1内(包含边界)，则下列结论正确的是( )
A. BD⊥AC1
B. 若点Q在线段D1C上，则四面体A1BPQ的体积为定值
C. 若A1Q= 7，则点Q轨迹的长度为π3
D. 若点E在直线A1B上，则AE+EP的最小值为 9+2 10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若k1，k2，⋯，k8的方差为2，则3k1−2，3k2−2，⋯，3k8−2的方差为 ．
13.若x>0，y>0，1x+3y=1，则4x+3y的最小值为 ．
14.已知梯形ABCD中，∠BAD=90∘，AB//CD，AB=3，AD= 3，DC=1，若BH=λBC，CE=λCD，λ∈[0,1]，则AE⋅AH的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如下：
(1)请估计这200位市民的平均年龄(同组数据用组中值代替);
(2)现用分层抽样的方法从年龄在区间[20,30)和[70,80)两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率．
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=2 3sinxcsx−cs2x．
(1)求函数y=f(x)的最小正周期;
(2)将函数f(x)图象上所有的点向左平移π6个单位后，得到函数g(x)的图象，当x∈[0,π2]时，求函数g(x)的值域．
17.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=bcsC− 33bsinC.
(1)求B的大小;
(2)若△ABC的面积为3 3，且BC=3BD，当线段AD的长最短时，求AC的长．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=1，E为AD的中点，PA⊥平面ABCD．
(1)求证：CE//平面PAB;
(2)求证：平面PAB⊥平面PBD;
(3)若二面角P−CD−A的大小为45∘，求点A到平面PBD的距离．
19.(本小题12分)
若对于实数m，n，关于x的方程f(x+m)+f(x−m)=nf(x)在函数y=f(x)的定义域D上有实数解x=x0，则称x0为函数f(x)的“(m,n)可消点”.又若存在实数m，n，对任意实数x∈D，x都为函数f(x)的“(m,n)可消点”，则称函数f(x)为“可消函数”，此时，有序数对(m,n)称为函数f(x)的“可消数对”．
(1)若f(x)=x+2x是“可消函数”，求函数f(x)的“可消数对”;
(2)若(m,1)为函数f(x)=sinxcsx的“可消数对”，求m的值;
(3)若函数f(x)=sin2x的定义域为R，存在实数x0∈(0,π4]，使得x0同时为该函数的“(π2,n1)可消点”与“(π4,n2)可消点”，求n12+n22的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.D
5.B
6.B
7.C
8.C
9.AC
10.ABC
11.ABD
12.18
13.25
14.52,3
15.解：(1)这200位市民的平均年龄为：
5×0.01+15×0.02+25×0.12+35×0.17+45×0.23+55×0.2+65×0.17+75×0.06+85×0.02=47.9，
即这200位市民的平均年龄约为47.9岁;
(2)参与调查的200位市民中年龄在区间[20,30)内的人数为0.012×10×200=24，
年龄在区间[70,80)内的人数为0.006×10×200=12，
按照分层抽样的方法抽取6人，则年龄在区间[20,30)内的应抽取2424+12×6=4人，
将抽取的4个人分别标号为1，2，3，4;
年龄在区间[70,80)内的应抽取1224+12×6=2人，将抽取的2个人分别标号为a，b;
记事件A:“抽取的2人的年龄差大于10岁”，从6人中抽取2人，所有的样本点如下：
{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,a}，{1,b}，{2,3}，{2,4}，{2,a}，{2,b}，{3,4}，3，a}，{3,b}，{4,a}，4，b}，{a,b}，共15个;
则事件A所含样本点为{1,a}，{1,b}，2，a}，2，b}，3，a}，{3,b}，{4,a}，4，b}，共8个．
故“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率为P(A)=815．
答：(1)这200位市民的平均年龄约为47.9岁;
(2)“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率为815．
16.解：(1)由题意可得：f(x)=2 3sinxcsx−cs2x=2( 32sin2x−12cs2x)=2sin(2x−π6)，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π，
(2)由题意可得，g(x)=f(x+π6)=2sin(2(x+π6)−π6]=2sin(2x+π6),
因为x∈[0,π2]，则2x+π6∈[π6,7π6]，sin(2x+π6)∈[−12,1]，
所以2sin(2x+π6)∈[−1,2]
所以g(x)的值域为[−1,2]．
17.解：(1)因为在△ABC中，a=bcsC− 33bsinC，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC可得：
sinA=sinBcsC− 33sinBsinC⋅
又sinA=sin(B+C)，得sin(B+C)=sinBcsC− 33sinBsinC，
因为sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
csBsinC=− 33sinBsinC，所以tanB=− 3，
又因为B∈(0,π)，所以B=23π;
(2)因为△ABC的面积为3 3，
所以12acsinB=12acsin2π3=3 3，
得ac=12，
在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cs2π3，
AD2=c2+(a3)2−2c⋅a3⋅(−12)=c2+a29+ac3≥2⋅ac3+ac3=ac=12，
当且仅当c=a3即a=3c时取得等号，即AD的最小值为2 3，
此时a=6，c=2，
在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs2π3，
AC2=c2+a2−2⋅c⋅a⋅(−12)=4+36+12=52，
所以AC=2 13．
18.解：(1)∵ BC//AE 且 BC=AE ，∴四边形 BCEA 为平行四边形，
∴ AB//EC ，又 EC⊄ 平面 PAB ， AB⊂ 平面 PAB ，
所以 CE//平面PAB
(2)∵ PA⊥ 平面 ABCD ， BD⊂ 平面 ABCD ，
∴ PA⊥BD ，
连接 BE ，∵ BC//DE 且 BC=DE ，∴四边形 BCDE 为平行四边形，
∵ DE⊥CD ， BC=CD=1 ，∴平行四边形 BCDE 为正方形，∴ BD⊥EC ，
又 AB//EC ，∴ BD⊥AB ，
又 PA∩AB=A ， PA,AB⊂ 面 PAB ，∴ BD⊥ 面 PAB ，
∵ BD⊂ 面 PBD ，∴平面 PAB⊥ 平面 PBD ．
(3)∵ PA⊥ 平面 ABCD ， CD⊂ 平面 ABCD ，
∴ PA⊥CD ，
又 CD⊥AD ， PA∩AD=A ， PA,AD⊂ 平面 PAD ，
∴ CD⊥ 平面 PAD ，
∵ PD⊂ 平面 PAD ，∴ CD⊥ PD,
∴ ∠PDA 为二面角 P−CD−A 的平面角，从而 ∠PDA=45∘ ，所以 PA=AD=2 ，
作 AM⊥PB 于 M ，连接 MD ，
∵平面 PAB⊥ 平面 PBD ， AM⊂ 平面 PAB ，平面 PAB∩ 平面 PBD=PB ，
∴ AM⊥ 面 PBD ，则PM为直线AP在平面PBD上的投影，
∴∠APM为直线AP与平面PBD所成的角，
在直角 ▵PAB 中， AB=CE= 2 ， PA=1 ， PB= 6 ，
∴ AM=PA⋅ABPB=2× 2 6=2 33 ，
即点A到平面PBD的距离为2 33．
19.(1)解：因为函数f(x)=x+2x是“可消函数”，
所以∃m，n∈R，对∀x∈R，使得(x+m+2x+m)+(x−m+2x−m)=n(x+2x)，
整理得(2−n)x+(2m+2−m−n)2x=0，
当x=0时，2m+2−m−n=0;
当x=1时，(2−n)+(2m+2−m−n)×2=0，解得m=0，n=2．
经检验，满足条件，所以所求函数的“可消数对”为(0,2)
(2)因为(m,1)为函数f(x)=sinxcsx的“可消数对”，所以(m,1)为函数f(x)=12sin2x的“可消数对”
所以，对∀x∈R，都有12sin2(x+m)+12sin2(x−m)=12sin2x，整理得(cs2m−12)sin2x=0，所以cs2m=12，
所以m=±π6+kπ(k∈Z)
(3)因为存在x0∈(0,π4]，使得x0同时为函数f(x)=sin2x的“(π2,n1)可消点”与“(π4,n2)可消点”，
所以sin2(x0+π2)+sin2(x0−π2)=n1sin2x0，sin2(x0+π4)+sin2(x0−π4)=n2sin2x0，
化简可得n1=2cs2x0sin2x0，n2=1sin2x0，
因为x0∈(0,π4]，n2=1sin2x0∈[2,+∞)
则n12+n22=4cs4x0+1sin4x0=4(1−sin2x0)2+1sin4x0=4sin4x0−8sin2x0+5sin4x0=5sin4x0−8sin2x0+4，
所以n12+n22=5n22−8n2+4≥8，
故n12+n22的取值范围为[8,+∞).
1.已知集合M={x|x>1}，N={x|−1
A. −12B. −1C. 12D. 1
3.已知向量a=(2,x)，b=(3x,6)，则“x=2”是“a//b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.若lg2=a，lg3=b则用a，b表示lg12=( )
A. a2bB. 2abC. a+2bD. 2a+b
5.如果直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线( )
A. 只有一条B. 有无数条
C. 是平面α内的所有直线D. 不存在
6.若csα+sinαcsα=3，则tan(α−π4)=( )
A. −1B. 13C. 1D. 3
7.《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵;将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC= 3，BC1=1，阳马A1−BCC1B1的外接球表面积为( )
A. 8πB. 6πC. 4πD. 2π
8.设函数f(x)=(ax+b−1)⋅(ex−e)，若f(x)≥0恒成立，则a2+b2的最小值为( )
A. 18B. 14C. 12D. 1
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z=2−2i(i为虚数单位)，则下列结论正确的有( )
A. |z|=2 2B. z的虚部为−2i
C. z+z=4D. z在复平面内对应的点在第二象限
10.若函数f(x)=cs2x+|sinx|，则( )
A. 函数f(x)的一个周期为πB. 函数f(x)的图象关于y轴对称
C. 函数f(x)在区间(π6,π2)上单调递减D. 函数f(x)的最大值为2，最小值为0
11.如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘，AA1=2，点P为CC1的中点，动点Q在侧面DCC1D1内(包含边界)，则下列结论正确的是( )
A. BD⊥AC1
B. 若点Q在线段D1C上，则四面体A1BPQ的体积为定值
C. 若A1Q= 7，则点Q轨迹的长度为π3
D. 若点E在直线A1B上，则AE+EP的最小值为 9+2 10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若k1，k2，⋯，k8的方差为2，则3k1−2，3k2−2，⋯，3k8−2的方差为 ．
13.若x>0，y>0，1x+3y=1，则4x+3y的最小值为 ．
14.已知梯形ABCD中，∠BAD=90∘，AB//CD，AB=3，AD= 3，DC=1，若BH=λBC，CE=λCD，λ∈[0,1]，则AE⋅AH的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如下：
(1)请估计这200位市民的平均年龄(同组数据用组中值代替);
(2)现用分层抽样的方法从年龄在区间[20,30)和[70,80)两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率．
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=2 3sinxcsx−cs2x．
(1)求函数y=f(x)的最小正周期;
(2)将函数f(x)图象上所有的点向左平移π6个单位后，得到函数g(x)的图象，当x∈[0,π2]时，求函数g(x)的值域．
17.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=bcsC− 33bsinC.
(1)求B的大小;
(2)若△ABC的面积为3 3，且BC=3BD，当线段AD的长最短时，求AC的长．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=1，E为AD的中点，PA⊥平面ABCD．
(1)求证：CE//平面PAB;
(2)求证：平面PAB⊥平面PBD;
(3)若二面角P−CD−A的大小为45∘，求点A到平面PBD的距离．
19.(本小题12分)
若对于实数m，n，关于x的方程f(x+m)+f(x−m)=nf(x)在函数y=f(x)的定义域D上有实数解x=x0，则称x0为函数f(x)的“(m,n)可消点”.又若存在实数m，n，对任意实数x∈D，x都为函数f(x)的“(m,n)可消点”，则称函数f(x)为“可消函数”，此时，有序数对(m,n)称为函数f(x)的“可消数对”．
(1)若f(x)=x+2x是“可消函数”，求函数f(x)的“可消数对”;
(2)若(m,1)为函数f(x)=sinxcsx的“可消数对”，求m的值;
(3)若函数f(x)=sin2x的定义域为R，存在实数x0∈(0,π4]，使得x0同时为该函数的“(π2,n1)可消点”与“(π4,n2)可消点”，求n12+n22的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.D
5.B
6.B
7.C
8.C
9.AC
10.ABC
11.ABD
12.18
13.25
14.52,3
15.解：(1)这200位市民的平均年龄为：
5×0.01+15×0.02+25×0.12+35×0.17+45×0.23+55×0.2+65×0.17+75×0.06+85×0.02=47.9，
即这200位市民的平均年龄约为47.9岁;
(2)参与调查的200位市民中年龄在区间[20,30)内的人数为0.012×10×200=24，
年龄在区间[70,80)内的人数为0.006×10×200=12，
按照分层抽样的方法抽取6人，则年龄在区间[20,30)内的应抽取2424+12×6=4人，
将抽取的4个人分别标号为1，2，3，4;
年龄在区间[70,80)内的应抽取1224+12×6=2人，将抽取的2个人分别标号为a，b;
记事件A:“抽取的2人的年龄差大于10岁”，从6人中抽取2人，所有的样本点如下：
{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,a}，{1,b}，{2,3}，{2,4}，{2,a}，{2,b}，{3,4}，3，a}，{3,b}，{4,a}，4，b}，{a,b}，共15个;
则事件A所含样本点为{1,a}，{1,b}，2，a}，2，b}，3，a}，{3,b}，{4,a}，4，b}，共8个．
故“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率为P(A)=815．
答：(1)这200位市民的平均年龄约为47.9岁;
(2)“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率为815．
16.解：(1)由题意可得：f(x)=2 3sinxcsx−cs2x=2( 32sin2x−12cs2x)=2sin(2x−π6)，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π，
(2)由题意可得，g(x)=f(x+π6)=2sin(2(x+π6)−π6]=2sin(2x+π6),
因为x∈[0,π2]，则2x+π6∈[π6,7π6]，sin(2x+π6)∈[−12,1]，
所以2sin(2x+π6)∈[−1,2]
所以g(x)的值域为[−1,2]．
17.解：(1)因为在△ABC中，a=bcsC− 33bsinC，
由正弦定理asinA=bsinB=csinC可得：
sinA=sinBcsC− 33sinBsinC⋅
又sinA=sin(B+C)，得sin(B+C)=sinBcsC− 33sinBsinC，
因为sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
csBsinC=− 33sinBsinC，所以tanB=− 3，
又因为B∈(0,π)，所以B=23π;
(2)因为△ABC的面积为3 3，
所以12acsinB=12acsin2π3=3 3，
得ac=12，
在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cs2π3，
AD2=c2+(a3)2−2c⋅a3⋅(−12)=c2+a29+ac3≥2⋅ac3+ac3=ac=12，
当且仅当c=a3即a=3c时取得等号，即AD的最小值为2 3，
此时a=6，c=2，
在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs2π3，
AC2=c2+a2−2⋅c⋅a⋅(−12)=4+36+12=52，
所以AC=2 13．
18.解：(1)∵ BC//AE 且 BC=AE ，∴四边形 BCEA 为平行四边形，
∴ AB//EC ，又 EC⊄ 平面 PAB ， AB⊂ 平面 PAB ，
所以 CE//平面PAB
(2)∵ PA⊥ 平面 ABCD ， BD⊂ 平面 ABCD ，
∴ PA⊥BD ，
连接 BE ，∵ BC//DE 且 BC=DE ，∴四边形 BCDE 为平行四边形，
∵ DE⊥CD ， BC=CD=1 ，∴平行四边形 BCDE 为正方形，∴ BD⊥EC ，
又 AB//EC ，∴ BD⊥AB ，
又 PA∩AB=A ， PA,AB⊂ 面 PAB ，∴ BD⊥ 面 PAB ，
∵ BD⊂ 面 PBD ，∴平面 PAB⊥ 平面 PBD ．
(3)∵ PA⊥ 平面 ABCD ， CD⊂ 平面 ABCD ，
∴ PA⊥CD ，
又 CD⊥AD ， PA∩AD=A ， PA,AD⊂ 平面 PAD ，
∴ CD⊥ 平面 PAD ，
∵ PD⊂ 平面 PAD ，∴ CD⊥ PD,
∴ ∠PDA 为二面角 P−CD−A 的平面角，从而 ∠PDA=45∘ ，所以 PA=AD=2 ，
作 AM⊥PB 于 M ，连接 MD ，
∵平面 PAB⊥ 平面 PBD ， AM⊂ 平面 PAB ，平面 PAB∩ 平面 PBD=PB ，
∴ AM⊥ 面 PBD ，则PM为直线AP在平面PBD上的投影，
∴∠APM为直线AP与平面PBD所成的角，
在直角 ▵PAB 中， AB=CE= 2 ， PA=1 ， PB= 6 ，
∴ AM=PA⋅ABPB=2× 2 6=2 33 ，
即点A到平面PBD的距离为2 33．
19.(1)解：因为函数f(x)=x+2x是“可消函数”，
所以∃m，n∈R，对∀x∈R，使得(x+m+2x+m)+(x−m+2x−m)=n(x+2x)，
整理得(2−n)x+(2m+2−m−n)2x=0，
当x=0时，2m+2−m−n=0;
当x=1时，(2−n)+(2m+2−m−n)×2=0，解得m=0，n=2．
经检验，满足条件，所以所求函数的“可消数对”为(0,2)
(2)因为(m,1)为函数f(x)=sinxcsx的“可消数对”，所以(m,1)为函数f(x)=12sin2x的“可消数对”
所以，对∀x∈R，都有12sin2(x+m)+12sin2(x−m)=12sin2x，整理得(cs2m−12)sin2x=0，所以cs2m=12，
所以m=±π6+kπ(k∈Z)
(3)因为存在x0∈(0,π4]，使得x0同时为函数f(x)=sin2x的“(π2,n1)可消点”与“(π4,n2)可消点”，
所以sin2(x0+π2)+sin2(x0−π2)=n1sin2x0，sin2(x0+π4)+sin2(x0−π4)=n2sin2x0，
化简可得n1=2cs2x0sin2x0，n2=1sin2x0，
因为x0∈(0,π4]，n2=1sin2x0∈[2,+∞)
则n12+n22=4cs4x0+1sin4x0=4(1−sin2x0)2+1sin4x0=4sin4x0−8sin2x0+5sin4x0=5sin4x0−8sin2x0+4，
所以n12+n22=5n22−8n2+4≥8，
故n12+n22的取值范围为[8,+∞).
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