2023-2024学年福建省四地五校联考高一下学期4月期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省四地五校联考高一下学期4月期中数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内，复数z=5+3i1+i(其中i为虚数单位)对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(m+1,m−1)，b=(−1,m)，c=(−1,1)，若(2a+b)⊥c，则m=( )
A. 13B. 3C. 15D. 5
3.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若ED=xAB+yAD(x,y∈R)，则x−y等于( )
A. 1B. −1
C. 12D. −12
4.正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是 6，则该棱台的体积是( )
A. 563B. 583C. 20D. 21
5.若向量a=(x,2),b=(2,3),c=(2,−4)，且a/​/c，则a在b上的投影向量为( )
A. 813,1213B. −813,1213C. 8,12D. 4 1313
6.在△ABC中，B=π4,BC边上的高等于13BC，则sin A=( )
A. 310B. 1010C. 55D. 3 1010
7.已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，ΔABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为( )
A. 26B. 36C. 23D. 22
8.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若sin⁡(A+C)=2Sb2−c2，则tan⁡C+12tan⁡(B−C)的最小值为( )
A. 2B. 2C. 1D. 2 2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于非零向量a，b，下列命题正确的是( )
A. 若a⋅b=0，则a/​/b
B. 若a⊥b，则a⋅b=(a⋅b)2
C. 若a⋅c=b⋅c，则a=b
D. 若|a−b|=|a+b|，则a⋅b=0
10.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是( )
A. 直线A1C1与AD1为异面直线B. A1C1//平面ACD1
C. 正方体的外接球的表面积为12πD. 三棱锥D1−ADC的体积为83
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=2，A=π3.若△ABC有唯一解，则a的值可以是( )
A. 1B. 3C. 2D. 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a，b满足|a|=1，|b|= 2，|2a−b|= 2，则a与b的夹角为 ．
13.如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15∘、山脚A处的俯角为45∘，已知∠BAC=60∘，则山的高度BC为 .m
14.在《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=AB=2 2，则当堑堵ABC−A1B1C1的体积最大时，阳马B−A1ACC1的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知复数z1=a2+2aia∈R，复数z2在复平面内对应的向量为OA=(−1,2)，
(1)若z1+z2为纯虚数，求a的值；
(2)若z1i−z2在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．
16.(本小题12分)
△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sinA+sinC)2=sin2B+sinAsinC．
(1)求B的大小；
(2)若a=3，且S△ABC=15 34，BD是AC边的中线，求BD长度．
17.(本小题12分)
如图，在四边形OBCD中，CD⇀=2BO⇀，OA⇀=2AD⇀，∠D=90∘，且BO⇀=AD⇀=1．
(Ⅰ)用OA⇀,OB⇀表示CB⇀；
(Ⅱ)点P在线段AB上，且AB=3AP，求cs∠PCB的值．
18.(本小题12分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，BC//平面PAD，BC=12AD，E是PD的中点．
(1)求证：BC//AD；
(2)求证：CE//平面PAB；
(3)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN//平面PAB？说明理由．
19.(本小题12分)
在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c−a=2bcsA，b=3．
(Ⅰ)求B的大小；
(Ⅱ)若a= 3，求▵ABC的面积；
(Ⅲ)求aca+c的最大值．
答案解析
1.【答案】D
【解析】
解：z=5+3i1+i=5+3i1−i1+i1−i=8−2i2=4−i，
对应的点为4,−1，在第四象限．
故选D．
2.【答案】B
【解析】解：∵a=(m+1,m−1)，b=(−1,m)，
∴2a+b=(2m+1,3m−2)，
∵c=(−1,1)，(2a+b)⊥c，
∴(2a+b)⋅c=−2m−1+3m−2=0，
∴m=3．
故选：B．
3.【答案】B
【解析】解：由题意知ED=EA+AD=−14AC+AD
=−14(AB+AD)+AD=−14AB+34AD，
因为ED=xAB+yAD(x,y∈R)，
所以x=−14,y=34,x−y=−1．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】解：由棱台的几何特征可得其高度为：ℎ= ( 6)2−[12(4 2−2 2)]2=2，
则其体积：V=13×(22+42+ 22×42)×2=563．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】解：因为a/​/c，a=(x,2)，c=(2,−4)，
所以−4x=4，得x=−1，
所以a=(−1,2)，又b=(2,3)，
所以b|b|=(2 13,3 13)，
cs=a⋅b|a||b|=−2+6 5× 13=4 65，
所以a在b上的投影向量为：
|a|cs⋅b|b|= 5×4 65(2 13,3 13)=(813,1213).
故选A．
6.【答案】D
【解析】
解：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则由题意得S△ABC=12a⋅13a=12acsinB，
∴c= 23a．
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB
=a2+29a2−2×a× 23a× 22
=59a2，
∴b= 53a．
由正弦定理得sinA=a⋅sinBb=3 1010．
故选D．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意作出图形：
设球心为O，过A，B，C三点的小圆的圆心设为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥CD，SD//OO1，SD⊥平面ABC，
∵CO1=23× 32= 33，
∴OO1= 12− 332= 63，
∵SD//OO1,O是SC中点，
∴SD=2OO1=2 63，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S△ABC=12×1×1× 32= 34，
∴VS−ABC=13× 34×2 63= 26．
故选A．
8.【答案】A
【解析】解：因为sin(A+C)=2Sb2−c2，
所以sinB=acsinBb2−c2，又sinB≠0，
所以b2−c2=ac．
由余弦定理得：b2−c2=a2−2accsB=ac，
即：a−2ccsB=c．
由正弦定理得：sinA−2sinCcsB=sinC．
所以sin(B+C)−2sinCcsB=sinC，
sinBcsC−sinCcsB=sinC，
所以sin(B−C)=sinC，
因此，在锐角△ABC中，有B−C=C，或B−C+C=π(舍去)，即B=2C．
因为△ABC是锐角三角形，
所以0