2023-2024学年江苏省南京外国语学校高一下学期6月期末考试数学试题（A卷）（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省南京外国语学校高一下学期6月期末考试数学试题（A卷）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若k1,k2,⋯,k8的方差为3，则2k1−3,2k2−3,⋯,2k8−3的方差为( )
A. 3B. 6C. 9D. 12
2.若2+iz=1−i，则复数z=( )
A. −12−3i2B. −12+3i2C. 12−3i2D. 12+3i2
3.在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角的大小关系为( )
A. 相等B. 互补C. 相等或互补D. 不确定
4.已知向量a=(1,0),b=(x,2)，若a⊥(b−3a)，则x=( )
A. −1B. 1C. 2D. 3
5.异面直线a,b所成的角为70∘，过空间一点P作直线l，使l与a,b所成的角均为35∘，这样的直线条数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.已知cs(α−β)=−35,cs(α+β)=15，则sinαsinβ=( )
A. −35B. −25C. 25D. 35
7.三棱锥的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，PA=3,PB=4,PC=5,H为P在面ABC内的射影，则PH2PA2+PH2PB2+PH2PC2的值为( )
A. 13B. 12C. 1D. 2
8.如图，直线a、b为异面直线，直线AB⊥a于A,AB⊥b于B，且AB=10,M在直线a上，AM=5，若直线a、b所成的角为60∘，则点M到直线b的距离是( )
A. 32 19B. 52 19C. 72 19D. 92 19
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 在▵ABC中，a:b:c=sinA:sinB:sinC
B. 在▵ABC中，若sin2A=sin2B，则a=b
C. 在▵ABC中，若A>B>C，则sinA>sinB>sinC
D. 在▵ABC中，asinA=b+csinB+sinC
10.已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为α,SE与平面ABCD所成的角为β，二面角S−AB−C的平面角为γ，则下列结论正确的有( )
A. α≥βB. β≤γC. α≥γD. α≤γ
11.如图，斜三棱柱A1B1C1−ABC的底面是边长为1的正三角形，侧棱长为2，∠A1AC=∠A1AB=60∘,E是BC的中点，则下列结论正确的有( )
A. BC⊥A1E
B. AA1与底面ABC所成角的正弦值为 33
C. 斜三棱柱A1B1C1−ABC的侧面积2 3+2
D. 侧棱AA1到平面BB1CC1的距离为 22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若M是▵ABC内一点，且满足BA+BC=4BM，则▵ABM与△ACM的面积之比为 ．
13.将半径为R的四个球两两相切的放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为 ．
14.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CC1的中点，P是侧面BB1CC1内一点，若A1P//平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是 ；A1D1与平面A1C1D所成角的正切值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A、B两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为14，向南、北行走的概率为13和p，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为q．
(1)求p和q的值；
(2)问最少几分钟，甲、乙二人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率．
16.(本小题12分)
如图，棱长为ad的 正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别是AB、A1C上的点，BM=13AB,CN=12A1N．
(1)求B点到平面A1CD的距离；
(2)求MN与平面A1CD所成角的余弦值．(请不用空间向量法，用空间向量法不得分)
17.(本小题12分)
▵ABC中，内角A,B,C所对的 边为a,b,c，a2+b2−c2=ab．
(1)若2csAsinB=sinC，试确定▵ABC的形状；
(2)若a=2,b=1，CM是∠ACB的平分线，求CM长．
18.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA= 3,AD=1．
(1)若AD//BC,BC=2,M为PC中点，证明：DM//平面PAB；
(2)若AD⊥DC，且二面角A−CP−D的大小为45∘，求AC．
(请不用空间向量法，用空间向量法不得分)
19.(本小题12分)
设z是虚数，w=z+1z∈R，且−1