2023-2024学年安徽省芜湖市高二下学期7月期末考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省芜湖市高二下学期7月期末考试数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列{an}是等比数列，满足a1=1，公比q=2，则a3=( )
A. 2B. 4C. 8D. 16
2.直线x−2y−2=0在y轴上的截距为( )
A. −2B. 2C. −1D. 1
3.随机变量X与Y满足Y=2X+1，若D(X)=2，则D(Y)=( )
A. 8B. 5C. 4D. 2
4.为研究数学成绩x(单位：分，满分150分)与物理成绩y(单位：分，满分100分)之间的关系，随机抽取了5名同学这两科考试的成绩(取高二学年这两科所有考试成绩的均分)，统计如下表
根据表中的五组数据，用最小二乘法得到的经验回归方程为y=12x+28，由此可知表中的a的值为( )
A. 78B. 85C. 88D. 90
5.正态分布密度曲线的形状酷似钟的外型，因此又被称为钟形曲线.已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，且P(X>4)=0.38，则P(X0，且f(x)≥g(x)在实数R上恒成立，求k+b的最大值．
18.(本小题17分)
抛物线E的准线方程为y=−14，抛物线E上的三个点A，B，C构成一个以B为直角顶点的直角三角形．
(1)求抛物线E的标准方程;
(2)若点B坐标为(1,1)，证明：直线AC过定点;
(3)若|BA|=|BC|，求△ABC面积的最小值．
19.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=12n2+32n.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)伯努利不等式是由瑞士数学家雅各布⋅伯努利提出的，是分析不等式中最常见的一种不等式.伯努利不等式的一般形式为：若x>−1且n为正整数时，(1+x)n≥1+nx，当且仅当n=1或x=0时等号成立．
(ⅰ)证明：数列{(ann)n}为递增数列;
(ⅱ)已知n≥4(n∈N∗)时，(1−1n+2)n0，g(x)单调递增；
x0，解得：−10)的渐近线方程为y=±bax，因为过点F的直线l斜率为 3，且与双曲线C左支交于两点，所以ba< 3，
所以离心率e=ca= 1+b2a2< 1+3=2，故e的取值范围为(1,2)；
根据题意，tan∠AOB=2×ab1−a2b2=2abb2−a2，
左焦点F(−c,0)到渐近线y=bax的距离为−bca 1+b2a2=−bca a2+b2a2=b，即|AF|=b，
因为|AF|=13|FB|，所以|FB|=2b，或3b，
当|FB|=2b时，可知2abb2−a2=2ba，得b2a2=2，则e= 1+b2a2= 3；
当|FB|=3b时，可知2abb2−a2=b+3ba，得b2a2=32，则e= 1+b2a2= 62．
故答案为(1,2)； 3或 62．
15.【答案】解：(1)证明：因为M，N分别是PC，PD的中点，
在△PCD中，MN/​/CD，MN=12CD，
因为底面ABCD是正方形，所以AB/​/CD，
所以MN//AB，又因为MN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB；
所以MN/​/平面PAB；
(2)因为底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，
所以AB，AD，AP两两垂直，
所以以AB，AD，AP方向分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
∵PA=AB=2，∴P(0,0,2)，B(2,0,0)，A(0,0,0)，N(0,1,1)，
∴PB=(2,0,−2)，AB=(2,0,0)，AN=(0,1,1)，
设平面ABN的法向量为m=(x,y,z)，
AB⋅m=2x=0AN⋅m=y+z=0，令y=1，则z=0，取m=(0,1,−1)，
所以cs⟨m,PB⟩=m⋅PB|m||PB|=24=12，
所以直线PB与平面ABN所成角的大小为π6．
【解析】
(1)根据三角形的中位线可得MN/​/CD，结合已知内容即可得MN//AB，进而由线面平行的判定定理证明MN //面PAB；
(2)建立空间直角坐标系，由空间向量法求出直线PB与平面ABN所成角的大小．
16.【答案】解：(1)依题意可得下表：
提出假设H0:实验的结果与材料无关，
根据列联表中的数据可求得，χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=10×(4×2−3×1)25×5×7×3=1021≈0.4760恒成立，ℎ(x)在R上单调递增;
②k>0时，ℎ′(x)=0时，x=lnk，x0，ℎ(x)
在(lnk,+∞)上单调递增，
∴综上所述：k≤0时，ℎ(x)在R上单调递增k>0时，ℎ(x)在(−∞,lnk)上单调递减，
在(lnk,+∞)上单调递增
(2)结合(1)与题意可得ℎ(lnk)≥0，即elnk−klnk−b≥0，从而得k+b≤elnk−klnk+k=2k−klnk，
令p(k)=2k−klnk(k>0)∴p(k)=1−lnk=0⇒k=e∴x∈(0,e)时，p′(k)>0，p(k)在(0,e)上单调递增，
x∈(e,+∞)时，p′(k)0)即可．
18.【答案】解：(1)∵抛物线E的准线方程为y=−14⇒p2=14且焦点在y轴的非负半轴上，
∴抛物线E的标准方程为x2=y；
(2)设A，C点的坐标分别为(x1,x12)，(x2,x22)，直线AC的方程为y=kx+b，联立y=x2y=kx+b，
得x2−kx−b=0∴x1+x2=k，x1x2=−b，
∵∠B为直角，∴kBA⋅kBC=−1，∴x22−1x2−1×x12−1x1−1=−1，
∴x1+x2+x1x2+2=0，∴k−b+2=0，∴b=k+2，
∴直线AC的方程为y=kx+b=kx+k+2=k(x+1)+2，过定点(−1,2)；
(3)由抛物线的对称性，不妨设A、B、C三点的坐标分别为(x1,x12)，(x2,x22)，(x3,x32)，且x10，
则bn+1bn=(n+2n+1)n+1(n+1n)n=[n(n+2)(n+1)2]n．n+2n+1=(1−1(n+1)2⋅n+2n+1>(1−n(n+1)2)⋅n+2n+1=n3+3n2+3n+2(n+1)3>1，则bn+1>bn，所以数列{(ann)n}为递增数列．
(ⅱ)当n≥4，k≤n时，∵(1−1n+2)n0.于是(−kn+2)n