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    2023-2024学年山西省阳泉市高一下学期期末教学质量监测数学试题(含答案)

    2023-2024学年山西省阳泉市高一下学期期末教学质量监测数学试题(含答案)第1页
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    2023-2024学年山西省阳泉市高一下学期期末教学质量监测数学试题(含答案)

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    这是一份2023-2024学年山西省阳泉市高一下学期期末教学质量监测数学试题(含答案),共7页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、单选题:本题共6小题,每小题5分,共30分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.已知向量a=(m+1,1),b=(m−1,1),且a⊥b,则m=( )
    A. 1B. −1C. ± 2D. 0
    2.复数zi=1−2i在复平面内对应的点位于( )
    A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
    3.抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”,则下列说法正确的是( )
    A. A与B互为对立事件B. PA=PB
    C. A与B相等D. A与B互斥
    4.如图所示,点E为△ABC的边AC的中点,F为线段BE上靠近点B的四等分点,则AF=( )
    A. 38BA+58BCB. 54BA+34BCC. −78BA+18BCD. −34BA+14BC
    5.已知两条不同直线m,n与三个不同平面α,β,γ,则下列命题中正确的是( )
    A. 若m⊥α,n⊥α,则m//nB. 若α⊥γ,β⊥γ,则α//β
    C. 若α⊥β,m⊥β,则m//αD. 若α⊥β,m⊥α,n//β,则m⊥n
    6.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象.若要测量如图所示的蓝洞的口径,即A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135∘,∠BDC=∠DCA=15∘,∠ACB=120∘,则A,B两点间的距离为( )
    A. 80B. 80 3C. 160D. 80 5
    二、多选题:本题共2小题,共10分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    7.给出下列说法,其中正确的是( )
    A. 数据0,1,2,4的极差与中位数之积为6
    B. 已知一组数据x1,x2,⋯,xn的方差是5,则数据4x1−1,4x2−1,⋯,4xn−1的方差是20
    C. 已知一组数据x1,x2,⋯,xn的方差为0,则此组数据的众数唯一
    D. 已知一组不完全相同的数据x1,x2,⋯,xn的平均数为x0,在这组数据中加入一个数x0后得到一组新数据x0,x1,x2,⋯,xn,其平均数为x,则x=x0
    8.如图圆台O1O2,在轴截面ABCD中,AB=AD=BC=12CD=2,下面说法正确的是( )
    A. 线段AC=2 3
    B. 该圆台的表面积为11π
    C. 该圆台的体积为7 3π
    D. 沿着该圆台的表面,从点C到AD中点的最短距离为5
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    9.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本,数据(单位:cm)从小到大排序如下:158,165,165,167,168,169,171,172,173,175.则这组样本数据的第60百分位数是 .
    10.若向量a=(4,0),b=(1, 3),则向量a在向量b上的投影向量坐标为 .
    11.如图,是▵OAB在斜二测画法下的直观图,其中,且,则▵OAB的面积为 .
    12.在一个正三棱柱中,所有棱长都为2,各顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为 .
    四、解答题:本题共3小题,共36分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    13.(本小题12分)
    如图,在四棱锥P−ABCD中,AD//BC,AD⊥DC,BC=CD=12AD=1,E为棱AD的中点,PA⊥平面ABCD.
    (1)求证:AB//平面PCE;
    (2)若PA=3,求二面角P−CD−A的平面角的正切值.
    14.(本小题12分)
    已知▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 3csinB=a−bcsC.
    (1)求B;
    (2)若BD=12BA+BC,且BD=2,求▵ABC的面积的最大值.
    15.(本小题12分)
    2022年2月4日,第24届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场(鸟巢)举行,某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度,针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛,满分100分(95分及以上为认知程度高),结果认知程度高的有m人,按年龄分成5组,其中第一组20,25,第二组25,30,第三组30,35,第四组35,40,第五组40,45,得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有10人.
    (1)根据频率分布直方图,估计这m人的平均年龄和第80百分位数;
    (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人,担任本市的“奥运会”宣传使者.
    (i)若有甲(年龄38),乙(年龄40)两人已确定入选,现计划从第四组和第五组被抽到的使者中,再随机抽取2名作为组长,求甲、乙两人至少有一人被选上的概率;
    (ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和52,第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1,据此估计这m人中35∼45岁所有人的年龄的方差.
    参考答案
    1.D
    2.C
    3.B
    4.C
    5.A
    6.D
    7.ACD
    8.ABD
    9.170
    10.(1, 3)
    11.4 2
    12.28π3
    13.解:(1)由题意知,AE//BC,AE=1,所以AE//BC且AE=BC,
    所以四边形ABCE为平行四边形,则AB//CE,
    又AB⊄平面PCE,CE⊂平面PCE,
    所以AB//平面PCE;
    (2)由PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,得PA⊥CD,
    又AD⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面PAD,
    所以CD⊥平面PAD,由PD⊂平面PAD,
    得CD⊥PD,
    所以∠PDA为二面角P−CD−A的平面角,
    又PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,得PA⊥AD,
    在▵PAD中,AD=2,PA=3,
    所以tan∠PDA=PAAD=32,
    即二面角P−CD−A的平面角的正切值为32.

    14.解:(1) 3csinB=a−bcsC,
    由正弦定理得 3sinCsinB=sinA−sinBcsC,
    即 3sinCsinB=sin(B+C)−sinBcsC,
    3sinCsinB=sinBcsC+csBsinC−sinBcsC,
    3sinCsinB=csBsinC,又sinC>0,
    所以 3sinB=csB,即tanB= 33,
    又0

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