高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆同步练习题，共41页。

考点一：椭圆的简单几何性质
考点二：直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))
消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．
重难点技巧：弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．
(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(y1＋y22－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．
【题型归纳】
题型一：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴
1．（2022·山东滨州·高二期末）已知椭圆与椭圆，则下列结论正确的是（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．焦距相等D．离心率相等
2．（2021·山东济宁·高二期中）椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等
C．离心率相等D．焦距相等
3．（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（文））已知椭圆的左､右焦点分别是，，过的直线与椭圆C交于A，B两点，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
题型二：椭圆的椭圆的范围问题
4．（2022·江苏·高二）已知椭圆的焦距为4，则有（ ）
A．椭圆C的焦点在x轴上
B．椭圆C的长轴长为6
C．椭圆C的离心率为
D．以椭圆C的四个顶点为顶点的四边形的周长为
5．（2021·江苏·高二单元测试）在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
6．（2022·福建省永春美岭中学高二期中）已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型三：椭圆的离心率问题
7．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆上，边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）已知F是椭圆C：的右焦点，A是C的上顶点，直线l：与C交于M，N两点．若，A到l的距离不小于，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·江西省广丰中学高二阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型四：椭圆的中点弦问题
10．（2022·四川南充·高二期末）过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·全国·高二）已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·四川·遂宁中学高二）若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型五：直线与椭圆的弦长问题
13．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·四川·自贡成外高级中学有限公司高二阶段练习（文））已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，则下列不正确的是（ ）.
A．椭圆的焦点坐标为，B．椭圆C的长轴长为4
C．直线的方程为D．
15．（2022·江苏·高二）已知椭圆的左、右焦点分别为，，焦距为过点作轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点为点如图所示，若的面积为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型六：离心率综合问题
16．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·江苏·扬州大学附属中学高二阶段练习）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·全国·高三开学考试）椭圆的上顶点为A，左焦点为F，AF延长线与椭圆交于点B，若，，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型七：椭圆的定点、定值、最值问题
19．（2022·江苏·泰州中学高二阶段练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得直线l绕点F无论怎样转动都有？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高二期末）已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．
21．（2022·四川·德阳五中高二）已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点相同，椭圆C的离心率为．
(1)求椭圆C方程；
(2)若直线交椭圆C于P、Q两点，l交y轴于点R．
①求三角形POQ面积的最大值（其中O为坐标原点）；
②若，求实数的取值范围．
题型八：椭圆中的向量问题
22．（2022·四川泸州·高二期末）已知椭圆C:的离心率为，且经过点．
(1)求C的方程；
(2)若直线交C于A，B两点，且（O为坐标原点），求m的值．
23．（2022·江苏省海州高级中学高二）已知椭圆的离心率为，且过点
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0，求直线l的斜率
24．（2022·广西贵港·高二期末）已知椭圆的一个焦点与短轴的一个端点连线的倾斜角为，直线与椭圆相交于和两点，且为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，求的取值范围.
【双基达标】
一、单选题
25．（2022·全国·高二课时练习）若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（ ）．
A．有相等的长轴长B．有相等的焦距
C．有相等的短轴长D．长轴长与焦距之比相等
26．（2022·辽宁·昌图县第一高级中学高二阶段练习）已知椭圆的离心率为，焦距为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若点是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程.
27．（2022·重庆一中高二阶段练习）已知椭圆的左焦点坐标为，离心率，点分别是椭圆的左右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆上的一动点作斜率为的直线，过分别作垂直于长轴的直线交于点，求四边形面积的最小值.
【高分突破】
一：单选题
28．（2022·全国·高二单元测试）已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
29．（2022·全国·高二单元测试）椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
30．（2022·江苏·高二专题练习）已知椭圆C：的离心率为，直线l：交椭圆C于A，B两点，点D在椭圆C上（与点A，B不重合）．若直线AD，BD的斜率分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
31．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
32．（2022·江苏·高二专题练习）设椭圆长轴的两个顶点分别为、，点为椭圆上不同于、的任一点，若将的三个内角记作、、，且满足，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
33．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．.
二、多选题
34．（2022·辽宁·高二阶段练习）已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直线与椭圆的另一个交点为，则（ ）
A．B．当时，的面积为
C．D．的周长的最大值为
35．（2022·重庆八中高二阶段练习）已知椭圆的上下焦点分别为，左右顶点分别为，是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．该椭圆的长轴长为
B．使为直角三角形的点共有6个
C．若点的纵坐标为1，则的长度为
D．若点是异于，的点，则直线与的斜率之积为－2
36．（2022·江西·高二阶段练习）已知椭圆的左，右焦点分别为，过点垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，，若点P是椭圆C上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的面积的最大值为
C．的取值范围为
D．C上有且只有4个点P，使得是直角三角形
37．（2022·全国·高二课时练习）椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，以下说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．椭圆C上存在点P，使得
C．过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8
D．若P为椭圆上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为2
38．（2022·全国·高二）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则（ ）
A．椭圆的短轴长为B．当最大时，
C．离心率为D．的最小值为3
39．（2022·广东·中山纪念中学）设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．离心率
B．面积的最大值为
C．的最大值为1
D．以线段为直径的圆与直线相切
三、填空题
40．（2022·河南南阳·高二阶段练习）已知椭圆C：，对于C上的任意一点P，圆O：上均存在点M，N使得，则C的离心率的取值范围是______．
41．（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是______.
42．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆：的焦点为，．过且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点，以，（为坐标原点）为邻边作平行四边形，点恰好也在椭圆上，则______．
43．（2022·全国·高二单元测试）若、是椭圆C：的两个焦点，过的直线l与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，则下列说法中正确的是______．（填序号）
①椭圆C的离心率为； ②存在点A使得；
③若，则； ④面积的最大值为12．
四、解答题
44．（2022·辽宁·高二）设椭圆的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆外一点任作一条直线交椭圆于两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某条定直线上.
45．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线l交椭圆C于M，N两点，的周长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在轴上是否存在异于点的定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
46．（2022·江苏省清江中学高二）已知、是椭圆的左、右两个焦点，其中，为坐标原点．
(1)以线段为直径的圆与直线相切，求的离心率；
(2)设为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点．若椭圆的焦距为，且，求的值．
47．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在C上．
(1)求C的方程；
(2)若过点的直线l交C于A，B两点，且M是AB的中点，求直线的斜率．
48．（2022·河北省唐县第一中学高二）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点.
49．（2022·江苏·南京市第二十九中学高二开学考试）已知椭圆过点，直线：与椭圆交于两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆上存在两点，使得关于直线对称，求实数的范围．
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±eq \r(a2－b2)，0)
(0，±eq \r(a2－b2))
焦距
|F1F2|＝2eq \r(a2－b2)
对称性
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
直线与椭圆
解的个数
Δ的取值
两个不同的公共点
两解
Δ>0
一个公共点
一解
Δ＝0
没有公共点
无解
Δ<0
【答案详解】
1．C
【分析】利用，可得且，即可得出结论．
【详解】∵，
且，
椭圆与椭圆的关系是有相等的焦距．
故选：C．
2．D
【分析】分别求出两个椭圆的长短半轴长、半焦距、离心率，再逐项比对即可判断作答.
【详解】椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距，
长轴长是10，短轴长是6，焦距是8，离心率是，
椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距，
长轴长是，短轴长是，焦距是8，离心率是，
由于k值的变化，则在所给选项中，椭圆与椭圆只有焦距相等.
故选：D
3．A
【分析】由题知，直线，进而与椭圆方程联立得，，进而根据计算即可.
【详解】解：由题意可得，，则直线.
联立，整理得，
设，，
则，，
从而.
因为，
所以的面积是.
故选：A
4．D
【分析】由已知椭圆方程即可求出的值，进而可以求出，，的值，从而可以判断选项是否正确．
【详解】解：因为，所以，，
由已知椭圆方程可得：，，
则，又椭圆的焦距为4，
所以，则，
所以椭圆的方程为，且，，
所以焦点在轴上，故A错误，
长轴长为，故B错误，
椭圆的离心率为，故C错误，
又，所以以椭圆C的四个顶点为顶点的四边形的周长为，故D正确；
故选：D．
5．C
【分析】由题意得，然后转化为椭圆上的点P到点的距离的问题处理，根据二次函数的最值可得所求．
【详解】解：由题意得．
设椭圆上一点，则，
，又，
当时，取得最小值．
故选：C．
6．C
【分析】根据已知条件可得出、所满足的等式，求出的取值范围，结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】由题意可知，，整理得，
则，故，
因为，所以，所以，
即．
故选：C．
7．B
【分析】根据条件可得，然后即可建立方程求解.
【详解】由椭圆的方程可得当时，
所以，
因为，所以，所以，
所以，解得或（舍）
故选：B
8．B
【分析】据，得到，根据点A到直线距离，求出，从而求出得范围，从而求出答案.
【详解】设椭圆的左焦点为，A是C的上顶点，连接，如下图所示：
由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则
又 ，四边形为平行四边形
，
又，解得：
A到l的距离为：，
解得：，即
.
故选：B.
9．C
【分析】设，则，利用勾股定理求出，再解方程即得解.
【详解】解：依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，
∴四边形是矩形，其中，，
设，则，
根据勾股定理，，，
整理得，
由于点M在第一象限，，
由，得，即，
整理得，即，解得.
故选：C．
10．A
【分析】由与x轴交点横坐标可得半焦距c，设出点A，B坐标，利用点差法求出的关系即可计算作答.
【详解】依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，，
则有，两式相减得：，
而，且，即有，
又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意，
所以椭圆的方程为.
故选：A
11．A
【分析】设出点A，B的坐标，利用“点差法”求解作答.
【详解】设点，依题意，，
相减得，因直线AB的倾斜角为，即直线AB的斜率为，
又为线段的中点，则，，因此有，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A
12．D
【分析】判断点M与椭圆的位置关系，再借助点差法求出直线AB的斜率即可计算作答.
【详解】显然点在椭圆内，设点，
依题意，，两式相减得：，
而弦恰好被点平分，即，
则直线AB的斜率，直线AB：，即，
所以所在的直线方程为.
故选：D
13．A
【分析】利用弦长公式求解即可.
【详解】设直线AB方程为，联立椭圆方程
整理可得：，设，
则，，根据弦长公式有：
=．故B，C，D错误.
故选：A.
14．A
【分析】根据椭圆方程求得，从而确定AB选项的正确性.利用点差法确定C选项的正确性.利用弦长公式确定D选项的正确性.
【详解】依题意椭圆C：，
所以，
所以椭圆的焦点坐标为，A选项错误.
椭圆的长轴长为，B选项正确.
设，
则，
两式相减并化简得，
由于是的中点，
所以，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，C选项正确.
消去并化简得，
，
所以，D选项正确.
故选：A
15．C
【分析】由题意可知，结合面积公式求得，又，故，，即可求解．
【详解】轴，点和点的横坐标为，设点，轴，，把点代入椭圆方程中得到，
令可得．
由的面积为，
，即，
又，
．
解得，．
故椭圆方程为．
故选：C．
16．C
【分析】根据椭圆方程可知值，根据焦点坐标得到值，即可求出代入离心率公式求解.
【详解】由已知可得，，则，所以，
则离心率．
故选：C.
17．A
【分析】由题知，，进而求得可得答案.
【详解】解：因为椭圆的焦点坐标为，
所以，所求椭圆的焦点坐标为，即，
因为，所求椭圆的短半轴长为，
所以，
所以，，
所以，所求椭圆的方程为：.
故选：A
18．B
【分析】求出直线方程，与椭圆方程联立消去得关于的二次方程，利用是它的一个解，求得点坐标坐标，然后由向量的线性关系用用表示，利用的范围求得离心率的范围．
【详解】，，则AF：，，满足,
消去得，，
是它的一个解，另一解为，因为，所以，所以，故，所以，所以．
故选：B．
19．(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）由题给条件列出关于a、b、c的方程组，解得a、b即可求得椭圆C的方程；
（2）由题意可知在x轴上存在一点，使成立，据此结合根与系数的关系可求解.
（1）
由题意得，解得：．
所以椭圆C的方程为．
（2）
由题意可知．
若直线l斜率存在，设直线l的方程为，
联立得，整理得．
由题意可知恒成立，所以，
假设在x轴上存在一点，使得x轴平分，则，
所以，整理得，
即，
整理得，，
则，
即，解之得．
若直线l斜率不存在时，则M，N两点关于x轴对称，当点P坐标为时，x轴平分．
综上所述，在x轴上存在一点，使得x轴平分．
20．(1)
(2)见解析
【分析】(1)由给定条件建立a，b的方程组，再求解即得；
(2)设出点P的坐标，求出直线AP，BP方程，进而求得点M，N的坐标，再计算即可得解.
（1）
依题意，
又，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）
设点，而，且，，
当时，直线AP：，点，
，
直线BP：，点，
，
，
当时，，，，所以
所以是定值.
21．(1)
(2)① ；②
【分析】（1），，再结合椭圆和抛物线有相同焦点，可以求出曲线方程；
（2）先联立方程，求相交弦长，再求原点到直线的距离，可以求出面积关于k的函数；找出与，的关系，利用韦达定理，求出的取值范围，再求的取值范围．
（1）
由，可得，故，设椭圆．
又抛物线的焦点，即，
∴椭圆．
（2）
（ⅰ）设，
联立
由，且，
原点O到直线l距离，
，
令，
所以，
当且仅当，，时，等号成立，此时面积最大为．
（ⅱ），，，
，，
又，
．
22．(1)；
(2).
【分析】（1）由离心率、点在椭圆上求椭圆参数，即可得椭圆方程；
（2）联立椭圆与直线，应用韦达定理、向量数量积的坐标表示有，即可求m值，注意验证结果.
（1）
由离心率得：，所以，
点在椭圆C上，则，所以，
C的方程为；
（2）
联立方程组，消去x得，
令，，则，，
所以，
，
因为，所以，即，
此时满足，所以.
23．(1)；
(2)直线l的斜率为1
【分析】（1）利用题意得到关于的方程组，即可得到椭圆的方程；
（2）直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，表示，化简变形即可求解
（1）
因为椭圆的离心率为，且过点，
所以，解得，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）
设直线，，，
联立方程，整理得，
即，
，，
即，
，
即，
整理得，所以或，
若，则直线过点，不合题意，
所以直线的斜率为
24．(1)
(2)
【分析】（1）由题意，建立关于的方程组，求解方程组即可得答案；
（2）设，若直线的斜率存在，设的方程为，联立方程组，由韦达定理及，可得，且，进而可得；当直线的斜率不存在时，易得.综上，即可得答案.
(1)
解：不妨设左焦点为，上顶点为，则，
所以，
因为直线与椭圆相交于和两点，且，
所以将点的坐标代入椭圆的方程，得，
联立方程组，解得，
所以椭圆的方程为；
(2)
解：设，
若直线的斜率存在，设的方程为，联立方程组，
消去得，则，
又，所以，且，即，则，
因为，
所以，整理得，
则，且恒成立，
所以，
又，且，
所以，即；
当直线的斜率不存在时，，又，解得，
所以
综上，的取值范围为.
25．B
【分析】分别求出椭圆与椭圆的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标和离心率，由此能求出结果．
【详解】解：椭圆，可知，，，
长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是；离心率是：．
椭圆中，
，，，
长轴长是，短轴长是；焦距是8；焦点坐标是；离心率是．
椭圆与椭圆关系为有相等的焦距．
故选：B．
26．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，，即可求出、，再根据求出，即可求出椭圆方程；
（2）设，，利用点差法求出直线的斜率，从而求出直线的方程.
（1）
解：由已知，，
∴，，
所以，
所以椭圆方程为.
（2）
解：设直线与椭圆交于，两点，
则且，
两式相减并化简得.
又，，
所以，即，
所以直线的方程为.
27．(1)
(2)
【分析】（1）由题意，求解出的值，可得答案；
（2）由题意，设出直线方程，并求解点的坐标，根据直角梯形的面积公式，可得答案.
（1）
由椭圆的左焦点为，则，，，解得，，.
（2）
设，即，
由题意，可得，
令，则，，即，
令，则，，即，
，由，则，
或当吋，.
28．D
【分析】先由椭圆的定义结合已知求得，再由求得的不等关系，即可求得离心率的取值范围.
【详解】由椭圆的定义得，又∵，∴，，
而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，
即，即，则，即.
故选：D．
29．C
【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出
【详解】解：设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，
，
又
,
，，
，，则，
即线段的长度的取值范围是，
故选：C
30．B
【分析】不妨假设，，则可求，将B，D代入椭圆，然后两式进行相减可得，整理出，代入之后再结合基本不等式即可求出答案
【详解】解：设，，则．
∵点B，D都在椭圆C上，∴两式相减，得．
∴，即．
∴．当且仅当时取“=”．
故选：B．
31．A
【分析】因为为正三角形，所以结合椭圆的定义可得，所以椭圆的离心率，代入即可得出答案.
【详解】图所示，易知，．
由椭圆的定义可得，则该椭圆的离心率．
故选：A.
32．A
【分析】由三角恒等变换化简可得，设出的坐标，在两个三角形中表示出和，再由点在椭圆上化简可得的关系，进而求出离心率．
【详解】因为可得，即，
而在三角形中，，所以上式可得
而，
所以可得，即，
由题意可得，，设，，
可得，由椭圆的对称性设在第一象限，如图所示：
在中，，
在中，，
所以，
所以可得，
所以离心率
故选：．
33．B
【分析】由题设以线段为直径的圆为，根据直线与圆相交，利用点线距离公式列不等式求椭圆C的离心率的范围.
【详解】由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，
所以，可得，即，又，
所以.
故选：B
34．AC
【分析】对A：由方程求，进而求；对B：根据方程结合题意运算求解；对C：设直线，利用两点间距离公式结合韦达定理运算求解；对D：根据椭圆定义分析求解.
【详解】由椭圆方程，得，所以，所以，故A项正确；
当时，点到的距离为2，所以的面积为，故B项错误；
因为点在第一象限，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，点，
∵，则直线，
联立方程，得到
∴，
∵在椭圆上，则，即
∴
同理，
于是
，
故C项正确；
设椭圆的右焦点为，
当直线经过椭圆的右焦点时，的周长为，
如果不经过右焦点，则连接，，
可知的周长小于，
所以的周长的最大值为，故D项错误.
故选：AC.
35．BCD
【分析】A.由椭圆方程知，则椭圆的长轴长为.
B.为直角三角形要从分别为直角出发考虑.
C.求出点的坐标，进而得到答案.
D.把点的坐标设出来，直接求直线与的斜率之积，利用椭圆方程把点的纵坐标用横坐标表示出来即可得到答案.
【详解】A.由椭圆方程知，则椭圆的长轴长为.故选项A不正确.
B.当轴时，满足为直角三角形，此时点有2个；轴时，满足为直角三角形，此时点有2个；又因为，满足为直角三角形，此时点可以为左右顶点.所以使为直角三角形的点共有6个. 故选项B正确.
C.若点的纵坐标为1, 则，则的长度为.故选项C正确.
D.设点，则，则直线与的斜率之积
.故选项D正确.
故选：BCD
36．BCD
【分析】由题意得是等边三角形，从而可求得，再根据通径可求得，即可求得椭圆方程，由当点位于上下顶点时，最大，结合余弦定理即可判断A；设，再根据即可判断B；根据数量积的坐标表示结合的范围，即可判断C；分别分析以三个点为直角顶点的直角三角形的个数，即可判断D.
【详解】解：由题意得是等边三角形，
所以的周长为，所以，
令，则，
则，所以，
所以椭圆，
对于A，当点位于上下顶点时，最大，
此时的最小为，
故A错误；
对于B，设，
则，
所以的面积的最大值为，故B正确；
对于C，设，
则，所以，
又，
则，
因为，所以，
所以，故C正确；
对于D，由A选项可知，最大时为锐角，
所以以点为直角顶点的不存在，
以点为直角顶点的分别有2个，
所以C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确.
故选：BCD.
37．BC
【分析】求得椭圆C的离心率判断选项A；求得满足条件的点P判断选项B；求得的周长判断选项C；求得点P，Q的最大距离判断选项D.
【详解】对于选项A，因为，，所以，即，
所以椭圆C的离心率，故A错误；
对于选项B，设点为椭圆上任意一点，
则点P的坐标满足，且，又，，
所以，，
因此，
令，可得，故B正确；
对于选项C，由椭圆的定义可得，
因此的周长为，
故C正确；
对于选项D，设点为椭圆上任意一点，
由题意可得点到圆的圆心的距离，因为，所以
则，故D错误．
故选：BC．
38．ABD
【分析】椭圆定义有，结合已知确定的最小值并确定此时的位置，即可判断D、B的正误，此时设，结合椭圆方程求短轴长，即可判断A、C的正误.
【详解】由题意知，所以．
因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确．
当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确．
由B的分析，不妨令，代入椭圆方程，得．又，所以，得，
所以椭圆的短轴长为，故A正确．
易得，所以，故C错误．
故选：ABD.
39．ACD
【分析】根据椭圆的方程可直接求得离心率，即可判断A项，由椭圆方程求得焦点坐标，根据椭圆的性质，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，即可判断B项，设，利用平面向量数量积的坐标表示即可判断C项，利用圆心到直线的距离即可判断D项.
【详解】解：因为椭圆的方程为，故，所以离心率，故A项正确；
由题可知，，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，最大值为，故B项错误；
设，则，，
则，
所以，
又，故，所以的最大值为1，故C项正确；
因为，所以以线段为直径的圆的方程为，圆心为，半径为，
又直线方程为，故圆心到直线的距离为，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故D项正确.
故选：ACD.
40．
【分析】当P为椭圆的上下顶点时，可得存在点M，N使得；
当P不为椭圆的上下顶点时，将点M，N位置特殊化，从而得到直线PA，PB分别与圆O切于A，B点，因为，所以，并通过，，得到，从而计算出，的不等关系以及椭圆的离心率.
【详解】连接OP，当P不为椭圆的上下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于A，B点，设，
因为存在点M，N使得，所以，
所以，所以，
可得，而，即，可得，
所以椭圆的离心率，
当点P位于椭圆的上下顶点，点M、N位于圆O与x轴的左右交点时，
所以此时在圆O上存在点M，N使得．
所以椭圆C的离心率的取值范围是．
故答案为：
41．
【分析】由已知可得点的轨迹是以原点为圆心， 半焦距为半径的圆.再结合点总在椭圆内部可列出关于的不等式进而求解.
【详解】由题意知，设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为

∴ 点的轨迹是以原点为圆心， 半焦距为半径的圆.
又点总在椭圆内部，
∴该圆内含于椭圆，即，
，即.
故答案为：. ·
42．
【分析】根据四边形为平行四边形且可得，将其代入椭圆方程即可求解.
【详解】依题意可知，设，，
因为四边形为平行四边形，所以，又因为，，所以，
因为，且直线的倾斜角为60°，所以，所以，，，所以，
将其代入，得，又因为，所以，．
故答案为：
43．②④
【分析】对于①，根据方程求出，再求离心率，对于②，设，表示出，然后求，判断方程是否有解即可，对于③，利用椭圆的定义求解，对于④，利用椭圆的性质求解.
【详解】对①，由题得a＝5，b＝3，c＝4，离心率为，故①错误．
对②，设，得椭圆的参数方程为（t为参数），，，所以，．若存在点A使，则，即，得有解，故存在点A使，故②正确．
对③，因为，故③错误．
对④，当A位于短轴端点时，此时的面积最大，所以，故④正确．
故答案为：②④
44．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，得到与，列方程求解即可.
（2）设直线的方程，然后，联立方程，设，利用韦达定理和，得到和，进而得到点所在直线.
（1）
由题意得，
解得，
所以椭圆方程为.
（2）
证明：设直线的斜率为，于是，
联立得，设点，
于是.
又因为，设点，
于是，
由题可知都小于3，
所以上式可化简为
所以，
将其代入直线方程，得，
于是，
因此点在定直线上.
45．(1)
(2)存在，坐标为
【分析】（1）利用椭圆定义和离心率列方程可解；
（2）记点N关于x轴的对称点为，将问题转化为三点能否共线问题，设直线方程联立椭圆方程消元，利用韦达定理代入共线的坐标表示可解.
（1）
由椭圆定义可知的周长为4a，
所以由题可知，解得，所以
所以椭圆C的方程为
（2）
如图，设，，记点N关于x轴的对称点为，
易知直线l的斜率不为0，故设其方程为，代入整理可得：
，则
直线与的斜率之和为0，等价于三点共线，
等价于
即，等价于
因为
所以时，恒成立，即直线与的斜率之和为0.
所以，存在定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0，点Q坐标为
46．(1)
(2)
【分析】（1）分析可知圆心到直线的距离等于圆的半径，可得出关于、的等式，求出、的等量关系，即可求得椭圆的离心率的值；
（2）设点，利用平面向量的线性运算可求得点的坐标，代入椭圆的方程可求得的值，进而可求得的值.
（1）
解：线段的中点为原点，且，
所以，以为直径的圆的方程为，
由题意可得，解得，，.
（2）
解：易知点，，则，设点，
由可得，即，解得，即点，
将点的坐标代入椭圆的方程可得，.
因此，.
47．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知，因为点在C上，代入结合，即可得出答案.
（2）设，代入椭圆的方程，相减后得到，又因为M是AB的中点，所以，代入即可求出的直线的斜率．
（1）
设，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，所以，
因为点在C上，所以，又，
解得，
所以C的方程为.
（2）
设，因为直线l与椭圆C交于A，B两点，
所以，两式相减得①，
是AB的中点，所以，则，
由（1）知，，所以代入①有：
所以直线的斜率为．
48．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意列方程组求解；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解，注意分类讨论直线的斜率是否为0.
（1）
由题意可得，解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）
依题意，点，设，
因为若直线的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆C联立，整理得：，
所以，且
因为点是椭圆上一点，即，
则，
所以，即
因为
，
所以，此时，
故直线：恒过x轴上一定点．
49．(1)；
(2)实数的范围为．
【分析】（1）由点差法可得，结合在椭圆上列方程可求，由此可得椭圆方程；
（2）
（1）
设，则，
即．
因为A，B在椭圆C上，所以，
两式相减得，即，
又，所以，即．
又因为椭圆C过点，所以，解得，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）
设的中点为，所以，
因为P，Q关于直线l对称，所以且点N在直线l上，即．
又因为P，Q在椭圆C上，所以．
两式相减得．
即，所以，即．
联立，解得，即．
又因为点N在椭圆C内，所以，所以
所以实数的范围为．