人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线同步训练题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线同步训练题，共32页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为（ ）
A．B．6C．7D．8
2．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在圆D中，AB为其一条弦，∠ADB＝120°，C，O是弦AB的两个三等分点，以A为左焦点，B，C为顶点作双曲线T．若T的方程为，则圆D的半径为（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．若方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，点M与C的焦点不重合，点M关于的对称点分别为A，B，线段MN的中点Q在C的右支上．若，则C的实轴长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
7．设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在的右支上，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．，分别是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
9．已知双曲线的右焦点为，过和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为2，是双曲线上一点，轴，则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的焦距为（ ）
A．8B．10C．12D．16
12．已知双曲线的左，右焦点分别为，P是右支上一点，且，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．已知双曲线以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
14．已知F为双曲线C：的左焦点，过F作圆的切线，切点为T，延长FT交C于点P，若M为线段FP的中点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
15．已知双曲线，则下列各选项正确的是（ ）
A．双曲线C的焦点坐标为B．双曲线C的渐近线方程为
C．双曲线C的离心率为D．双曲线C的虚轴长为4
16．已知曲线C：，则（ ）
A．当时，则C的焦点是，
B．当时，则C的渐近线方程为
C．当C表示双曲线时，则m的取值范围为或
D．不存在实数m，使C表示圆
17．已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为，点D,G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（ ）
A．当时，点的轨迹为圆
B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为
C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为
D．当时，面积的最大值为3
18．已知抛物线的准线过双曲线（，）的左焦点F，且与双曲线交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为，那么下列结论中正确的是（ ）
A．双曲线C的方程为B．双曲线C的两条渐近线的夹角为60°
C．点F到双曲线C的渐近线的距离为D．双曲线C的离心率为2
19．设，是双曲线C：的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（ ）
A．点到直线l的距离为aB．双曲线C的标准方程为
C．双曲线C的离心率为D．的面积为18
20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点．若，则（ ）
A．B．C．D．
21．已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（ ）
A．若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1
B．若双曲线C为等轴双曲线，且，则
C．若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为
D．延长交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为、，则
三、填空题
22．已知F为双曲线C：的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为2，则C的离心率为______．
23．如图，，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若，两点关于原点对称，则双曲线的离心率为______.
24．已知分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的右支交于两点，若 ，且，则_____．
25．过双曲线的左焦点作一条直线，当直线的斜率为时，直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，当直线的斜率为时，直线与双曲线的左支有两个不同的交点，则双曲线的离心率可以为__________．
26．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线l与C的左、右支分别交于A，B两点．若，且的面积为面积的4倍，则C的离心率为______．
27．已知点P在双曲线上，若P，Q两点关于原点O对称，直线与圆相切于点M且，其中，分别为双曲线C的左、右焦点，则的面积为______．
28．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点是双曲线上一点连接，过点作交双曲线于点B，且，则______．
四、解答题
29．双曲线，右焦点为.
(1)若双曲线为等轴双曲线，且过点，求双曲线的方程；
(2)经过原点倾斜角为的直线与双曲线的右支交于点是以线段为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率.
30．已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.
31．在①左顶点为，②双曲线过点，③离心率这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
问题：已知双曲线与椭圆共焦点，且______．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点P在双曲线上，且，求．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
32．已知从曲线的左、右焦点分别为，实轴长为、一条渐近线方程为，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知，若的外心Q的横坐标为0，求直线l的方程．
33．设是双曲线的左､右两个焦点，为坐标原点，若点在双曲线的右支上，且的面积为3.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若双曲线的两顶点分别为，过点的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.
34．已知点，分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点到一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：与双曲线C交于两点，，直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
参考答案：
1．A
【分析】求出A点，B点坐标，利用斜率等于6结合得到，
方程两边同除以得到关于离心率的方程，求出答案.
【详解】由题意得：，，
当时，，解得，
因为的斜率为，
所以B点位于第一象限，则，
故，整理得：，
因为，即，
方程两边同除以得：，
解得：或1（舍去）
故选：A
2．C
【分析】建立平面直角坐标系，求得该双曲线的标准方程，进而求得其焦距.
【详解】如图，以O为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设双曲线的方程为，
则该双曲线过点，且，所以，
解得，所以，得，
所以该双曲线的焦距为，
故选：C．
3．C
【分析】根据双曲线的几何性质可得，，，，进而可求，，然后在△ADB中，由正弦定理即可求解外接圆半径.
【详解】设双曲线T的焦距为2c，圆D的半径为R．
由题意可知，，，，所以，所以c＝2a．
又，所以，，所以．
在△ADB中，∠ADB＝120°，则．
故选：C．
4．B
【分析】设曲线，的焦距为2c，则可得，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出的关系，变形后可得结果.
【详解】设曲线，的焦距为2c．是以为底边的等腰三角形，
则．
由点P在第一象限，知，
即，即，
即．
故选：B
5．A
【分析】由题知，解不等式即可得答案.
【详解】解：因为方程表示双曲线，
所以，解得．
故选：A
6．B
【分析】由题意可得，代入，即可得出答案.
【详解】∵F1为MA的中点，F2为MB的中点，
∴，
又，所以，
∴|.
故选：B．
7．C
【分析】由已知等式可得，不妨设，，则点在以为直径的圆上，利用定义结合勾股定理求出，代入面积公式计算即可．
【详解】由，得，
所以，可得，
不妨设，，所以，所以点在以为直径的圆上，
所以是以为直角顶点的直角三角形，故．
又因为点在双曲线的右支上，所以，
所以，解得，
所以，
故选：C．
8．B
【分析】由，设，，，可判断为直角三角形，再结合双曲线的定义可求得，得，则，，再利用勾股定理结合可求出，从而可求出渐近线方程.
【详解】因为，所以可设，，，其中，
所以，所以为直角三角形．
又因为，，
所以，
所以，所以2a＝2k，所以k＝a，
所以，，
又因为，所以，
所以，又，所以，
所以，所以渐近线方程为．
故选：B．
9．B
【分析】由双曲线可得其渐近线为，再求得直线的斜率，由平行得到斜率相等即可求得，再由焦点坐标得，从而求得，则该双曲线的方程可求.
【详解】因为双曲线，所以它的渐近线为，
又因为，，所以直线的斜率为，
因为直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，故，
又因为双曲线的右焦点为，所以，故，
所以该双曲线的方程为.
故选：B.
10．A
【分析】由离心率可得，再根据可得，即可整理双曲线方程为，代入可求的坐标，即可求得答案
【详解】由题意可得即，
由可得即，
所以双曲线方程为，
当时，解得，所以，
因为，所以，
故选：A
11．A
【分析】由双曲线方程，可知渐近线方程，根据直线与圆的弦长公式，可得答案.
【详解】由，则该双曲线的渐近线方程为，
不妨设直线，即被圆所截得的弦长为，
则，由双曲线的性质，可知，即，
解得，故该双曲线的焦距为.
故选：A.
12．C
【分析】运用双曲线的几何性质和 的几何性质即可求解.
【详解】
如图，由双曲线的几何性质可知 ，由条件可知 ，
，
在 中， ，即 ， ；
当点P位于双曲线的右顶点时，也满足题意，即 ， ，
由双曲线的几何性质知 ，所以离心率的取值范围是 ；
故选：C.
13．A
【分析】利用已知条件列出方程组，求解得关于，的等式关系，转化为离心率的式子，即可求得．
【详解】解：如图，
正方形的顶点A，B为双曲线的焦点，顶点C，D在双曲线上
则，故
由正方形得：，所以，则
即：，两边同除得：，
解得：或（舍）
故选：A.
14．D
【分析】利用可得的余弦，在焦点三角形中使用余弦定理，结合双曲线定义列方程组可解得PF，然后由M为线段FP的中点可解.
【详解】取双曲线右焦点F2，连接PF2，由题知，，所以
在中，，所以，所以
记，则由双曲线定义和余弦定理可得
，解得
因为M为线段FP的中点，所以
所以
故选：D
15．BC
【分析】根据双曲线方程求出、、，再一一判断即可.
【详解】解：双曲线，则、，所以，
则焦点坐标为，故A错误；
离心率，故C正确，虚轴长为，故D错误；
渐近线方程为，即，故B正确；
故选：BC
16．ABC
【分析】对于A，直接由方程求出，从而可求出进行判断，对于B，直接由方程求渐近线方程，对于C，由求解即可，对于D，当时表示圆，求出判断.
【详解】对于A，当时，曲线C：，则，则，所以C的焦点是，，所以A正确，
对于B，当时，曲线C：表示双曲线，则由，得C的渐近线方程为，所以B正确，
对于C，当C表示双曲线时，，解得或，所以C正确，
对于D，当时，即时，曲线C：，即表示圆，所以D错误，
故选：ABC
17．BCD
【分析】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则，利用图形结合圆锥曲线定义理解分析．
【详解】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则
当时，线段为圆B的弦，则的中垂线过圆心B，点即点B，A错误；
当时，如图1，点在线段AB上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的椭圆，即
则椭圆的离心率，B正确；
当为椭圆短轴顶点时，面积的最大
若时，则，最大面积为，D正确；
当时，过点作圆的切线，切点为
若点在劣弧（不包括端点）上，如图2，点在BA的延长线上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的左半支
若点在优弧（不包括端点）上，如图3，点在AB的延长线上，连接
则
∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的右半支
则点的轨迹为双曲线
∴，渐近线方程为，C正确；
故选：BCD．
18．ABD
【分析】根据抛物线准线过双曲线()的左焦点，得到，再根据与双曲线交于两点，且的面积为，求得双曲线的方程，再逐项验证.
【详解】由抛物线可得准线为，
因为抛物线的准线过双曲线()的左焦点，
所以，
又与双曲线交于两点，所以将代入双曲线得，
所以，
所以的面积为，即，
又因为，解得，
所以双曲线的方程为，故A正确；
双曲线的渐近线方程为，
所以两条渐近线的斜率为和，对应的倾斜角为和，
所以两渐近线的的夹角为，故B正确；
不妨取渐近线方程即，
所以点到双曲线的渐近线的距离为，故C错误；
双曲线的离心率为，故D正确；
故选：ABD
19．BCD
【分析】取渐近线为，则到渐近线的距离为b，作于点G，易得；联立与即可求出双曲线C的标准方程与离心率；再利用即可求出的面积.
【详解】根据题意，设，，取双曲线C的一条渐近线为，
则到渐近线的距离为b，
∴，，
作于点G，如图所示，
∵，O为线段的中点，
∴，H为线段的中点，
∴到直线l的距离为2a，故A错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，即，
则，解得a＝2或（舍去），
∴b＝3，，
则双曲线C的标准方程为，
离心率，故B，C正确；
∵，，
∴，故D正确．
故选：BCD．
20．BD
【分析】先由条件得出为等腰直角三角形，即可得出椭圆长半轴长，短半轴，长半焦距的关系，从而得出椭圆的离心率；然后在焦点三角形中，利用余弦定理得出双曲线实半轴长为，半焦距为的关系，从而得出双曲线的离心率，依次对选项验证即可。
【详解】因为，且，所以为等腰直角三角形．
设椭圆的半焦距为，则，所以，则．
在中，，设，，双曲线的实半轴长为，则（在中，由余弦定理可得），
故，故，
又，所以，即，
故，，，，选BD．
故选：BD
21．ABD
【分析】由点在双曲线上及斜率公式即可判断A选项；设出，表示出，由A选项中斜率之积即可判断B选项；利用点关于直线对称求出点坐标，代入双曲线即可求出离心率，即可判断C选项；先判断出内切圆圆心的横坐标为，再借助勾股定理即可判断D选项.
【详解】由题意知，，设，对于A，若双曲线C为等轴双曲线，则，
则，又，则，A正确；
对于B，设，则，由A选项知，即，
又，，故，解得，即，B正确；
对于C，易得双曲线的渐近线方程为，若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则有，
解得，代入可得，即，
解得，则C的离心率为，C错误；
对于D，设的内切圆与分别切于三点，由切线长定理知，
则，又，可得，
则和重合，即的内切圆圆心的横坐标为，同理可得的内切圆圆心横坐标也为，
则轴，且，作于，则即为切点，作于，则，
，，在中，
可得，即，整理得，D正确.
故选：ABD.
22．3
【分析】由双曲线的基本性质得A、B两点的坐标，利用斜率得关系式求解即可.
【详解】解:设双曲线焦距为2c，则，，，因为AB的斜率为2，所以，整理得，解得，所以．
故答案为:3.
23．
【分析】结合双曲线的定义、对称性列方程，化简求得的关系式，从而求得双曲线的离心率.
【详解】设左焦点为，连接，
依题意：是以为顶点的等腰直角三角形，，两点关于原点对称，
结合双曲线的对称性可知：四边形是矩形，所以，
设，则，
，
由，
即，
整理得，.
故答案为：
24．
【分析】设，利用双曲线的定义可求，，结合余弦定理列方程求，再由余弦定理列方程求焦距，由此可求.
【详解】因为双曲线的方程为，所以双曲线的实半轴长，虚半轴长，设，则．由双曲线的定义可得，．在中，，
即，解得．
则，，，
所以，
则，故．
故答案为：.
25．（答案不唯一）
【分析】写出直线的斜率为、对应的直线方程，联立双曲线方程得到关于x的一元二次方程，根据交点情况判断根的分布，结合韦达定理列不等式求双曲线参数关系，进而求离心率范围.
【详解】由左焦点，而双曲线为，
当直线的斜率为时，直线为，联立双曲线得：有两个异号的根，
所以，故，
当直线的斜率为时，直线为，联立双曲线得：有两个负根，
所以，故，
综上，，故离心率可以为.
故答案为：（答案不唯一）
26．
【分析】由条件可得，设，然后由双曲线定义可得，，然后在中由勾股定理可求得，然后在中由勾股定理可得答案.
【详解】因为的面积为面积的4倍，所以，
设，则，
由双曲线定义可得，，
所以，，
在中，由勾股定理可得，即，解得，
所以，，
所以在中，由勾股定理可得，即，
所以可得
故答案为：
27．12
【分析】利用双曲线的对称性有的面积等于的面积，根据圆的切线、向量线性关系、中位线性质得，令，，由双曲线定义列方程求，即可求面积.
【详解】如图，连接，
因为P，Q两点关于原点O对称，
所以的面积等于的面积．
直线与圆相切于点M，则．
因为，
所以M为的中点，又O为的中点，
所以，则．
由双曲线得：，．
，，则．
因为，所以，
所以，
所以，故的面积等于，即的面积为12．
故答案为：12.
28．5
【分析】将点代入双曲线方程，结合离心率，可求出，从而可求得直线的斜率，由可得直线的斜率，设直线的倾斜角为，则可求得，然后利用余弦定理结合双曲线的定义可求出，从而可得的值.
【详解】
由点是双曲线上一点和双曲线的离心率为，
得，解得，
所以，c＝2，
所以，．
所以直线的斜率为，
因为，所以直线的斜率为．p
设直线的倾斜角为，则，
所以，即，
因为，为锐角，
所以．
连接，在中，由余弦定理得，
又，所以，
所以．
故答案为：5
29．(1)
(2)
【分析】（1）设出双曲线方程，代入点的坐标，待定系数法求解即可；
（2）法一：表达出，利用双曲线定义求出，从而求出离心率；
法二：表达出，将其代入双曲线方程，得到关于的齐次方程，求出离心率.
（1）
双曲线为等轴双曲线，
，
∵双曲线过点，将其代入得：
；
（2）
法一：是以线段为底边的等腰三角形，，
是等腰直角三角形，，
过作轴于点，则，
设左焦点，由双曲线定义知，
，
于是.
法二：前同法一得，点在上，
，
整理得：，解得：，
，
于是.
30．(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到，再由点到线的距离公式求出，最后根据计算可得；
（2）设，，直线的斜率为，利用点差法计算可得；
（1）
解：双曲线的渐近线为，即，
所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
（2）
解：设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
31．(1)
(2)或
【分析】（1）通过双曲线与椭圆共焦点，可知双曲线的焦点在x轴上并能求出的值，从三个条件中任选一个，结合，代入已知条件即可求出该双曲线的方程.
（2）根据双曲线定义的几何意义即可求解.
（1）
因为双曲线与椭圆共焦点，所以双曲线的焦点在x轴上，且．
选①，设双曲线的方程为，由双曲线的左顶点为得，，所以，所以双曲线的方程为．
选②，设双曲线的方程为，由双曲线过点，得，又，解得，所以，所以双曲线方程为．
选③，设双曲线的方程，由离心率得，，所以，所以双曲线方程为．
（2）
因为，，所以或
【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．
32．(1)
(2)或
【分析】（1）根据双曲线中实轴以及渐近线方程，可得方程组，可得答案；
（2）根据三角形外心的定义，由直线与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示点的坐标，根据外心位于中垂线，利用外心到顶点的距离相等，可得答案.
（1）
由题意，则，由渐近线方程，即，则，解得，
故双曲线.
（2）
已知，由（1）可知，，则，即，
①当直线斜率不存在时，直线方程为，将其代入双曲线方程，可得，解得，则，
此时，为等腰三角形，边上中垂线为轴，若外心的横坐标，则，但此时，，，，由，则不符合题意；
②当直线斜率存在时，设，
联立可得，消去可得：，
设，则，，
由于位于双曲线的右支，则直线与渐近线方程应满足或，
，记的中点，
设，则在的中垂线上，设直线的斜率为，则，
，显然，则，可得，
由，则，又因，
可得，
整理可得：，
，
，，由，则，
直线方程为，即或.
33．(1)
(2)存在，在定直线方程上
【分析】（1）由已知条件可得为直角三角形,利用双曲线的定义和勾股定理进行计算可得a,b,c,然后由渐近线公式可得答案.
（2）对直线的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，将直线方程与双曲线方程联立，写出直线和直线的方程，并联立利用韦达定理求解即可.
（1）
由得，且
所以

即解得
又,
故双曲线的渐近线方程为.
（2）
由（1）可知双曲线的方程为.
（i）当直线的斜率不存在时，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得，
（ii）当直线的斜率存在时，易得直线l不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线的方程为，
联立得
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又满足，
.
，
，或，（舍去.
综上，在定直线上，且定直线方程为.
34．(1)
(2)或
【分析】（1）根据已知结合点到直线的距离公式列方程求解可得；
（2）将直线方程代入双曲线方程消元，利用韦达定理代入已知整理可得m、n的关系，然后由点斜式可知直线过定点.
(1)
由题知，，其中一条渐近线为，即，
所以，解得
所以
(2)
设，将代入
整理得：
则
由得
因为
所以，得，即
所以直线的方程为
所以当，且时，直线过定点；
所以当，且时，直线过定点.