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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课后复习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课后复习题，共48页。
考点一 抛物线的简单几何性质
考点二 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
考点三 直线和抛物线
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
2．抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；②eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF)))＋eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF)))＝eq \f(2,p).
重难点技巧：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
【题型归纳】
题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点）
1．（2021·江苏·高二专题练习）对抛物线，下列描述正确的是 ( )
A．开口向上，焦点为(0，2)B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(2，0)D．开口向上，焦点为
2．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期中）经过抛物线的焦点和双曲线的右焦点的直线方程为（ ）
A． B．C．D．
3．（2021·全国·高二（文））点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B．或 C． D．或
题型二：抛物线的对称性
4．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2B．C．4D．
5．（2022·全国·高二课时练习）抛物线与椭圆交于A，B两点，若的面积为(其中O为坐标原点)，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
6．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（ ）
A．4B．8C．10D．16
题型三：抛物线的弦长问题
7．（2022·广西贵港·高二期末（理））设抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，为半径的圆交l于M，N两点．若，且的面积为24，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则（ ）
A．4B．12C．4或16D．4或12
9．（2022·湖北咸宁·高二期末）已知O是坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，则的面积为（ ）
A．8B．6C．4D．2
题型四：抛物线的焦点弦性质问题
10．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）已知函数抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，直线交轴于点，若 ，则点到焦点的距离为（ ）
A．5B．3C．4D．6
11．（2022·浙江金华第一中学高二期中）已知抛物线，圆，直线与交于A、B两点，与交于M、N两点，若，则( )
A．B．C．D．
12．（2022·江西省临川第二中学高二阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
题型五：抛物线的应用
13．（2022·河南焦作·高二期末（理））上海黄浦江上的卢浦大桥（图1）整体呈优美的弧形对称结构，如图2所示，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，若主拱的顶端P点到桥面的距离等于桥面与江面之间的距离，且米，则CD约为（精确到10米）（ ）
A．410米B．390米C．370米D．350米
14．（2022·北京市第五中学高二期中）如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（ ）
A．10cmB．7.2cm
C．3.6cmD．2.4cm
15．（2020·广东揭阳·高二期中）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽．当水位上升后，水面宽是（ ）
A．B．C．D．
题型六：抛物线中的参数范围
16．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知抛物线，直线，且在上恰有两个点到的距离为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．（2021·云南云天化中学教育管理有限公司高二期末（理））已知和直线，抛物线上动点P到l的距离为d，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
18．（2019·福建·莆田一中高二期中）设，是抛物线上的两点，直线是的垂直平分线，当直线的斜率为时，直线在轴上的截距的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型六：直线与抛物线的位置关系
19．（2022·全国·高二）已知抛物线C的顶点与坐标原点重合，焦点为.过F且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，若，则l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
20．（2022·浙江·高二阶段练习）已知点是抛物线的焦点，，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
21．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论不正确的是（ ）
A．B．F为的中点
C．D．
题型七：抛物线的定值、定点问题
22．（2022·河南·高二期中）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程．
(2)过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等? 若存在，求出点的坐标; 若不存在，请说明理由．
23．（2022·江苏徐州·高二期中）在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线过点
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，斜率为的直线与双曲线交于两点（不同于点），且，求证直线过定点.
24．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知双曲线，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，设，．
(1)若，点O为坐标原点，当时，求的值；
(2)设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．
题型八：抛物线的定直线、向量问题
25．（2022·辽宁朝阳·高二期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.
26．（2022·上海中学东校高二期末）双曲线的左、右焦点分别为，直线l过且与双曲线交于A、B两点．
(1)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2)若点P为双曲线上任一点，求证点P到双曲线两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值（用含有b的代数式表示）．
(3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率．
27．（2022·甘肃兰州·高二期末（理））若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为和，且该双曲线经过点P(3，1)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．
【双基达标】
一、单选题
28．（2022·河南·高二期中）已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则的面积为（ ）
A．8B．12C．D．
29．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）抛物线上一点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
30．（2022·全国·高二课时练习）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等边三角形，则（ ）
A．2B．C．6D．
31．（2022·全国·高二课时练习）在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
问题：已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且______．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积．
32．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二期中）已知抛物线C：与直线相切．
(1)求C的方程；
(2)过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若，求l的方程．
【高分突破】
一：单选题
33．（2022·全国·高二单元测试）已知点A是抛物线C：上一点，F为焦点，O为坐标原点，若以点O为圆心，以的长为半径的圆与抛物线C的另一个交点为B，且，则的值是（ ）
A．B．6C．D．7
34．（2022·全国·高二课时练习）已知F是抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
35．（2022·四川南充·高二期末（文））抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点为平面上任意一点，为坐标原点，则（ ）
A．－5B．－3C．3D．5
36．（2022·湖北孝感·高二期末）已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（ ）
A．B．C．D．
37．（2022·河南·信阳高中高二期末（理））已知抛物线E：（）的焦点为F，点A是抛物线E的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线E上，若，则（ ）
A．B．C．D．
38．（2022·江苏·高二）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则（ ）
A．B．2C．D．
39．（2022·上海市控江中学高二期末）已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．1C．16D．
二、多选题
40．（2022·江苏省宝楠国际学校高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，，分别为，的中点，与轴相交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
41．（2022·江苏徐州·高二期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于两点，为的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．以AB为直径的圆与相离；
B．当，；
C．最小值为8；
D．的坐标可为
42．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
43．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，且AF＝3BF，M为AB中点，则下列结论正确的是（ ）
A．∠CFD＝90°B．为等腰直角三角形
C．直线AB的斜率为D．的面积为4
44．（2022·全国·高二课时练习）设抛物线：（）的焦点为，准线为，A为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则（ ）
A．是等边三角形B．
C．点到准线的距离为3D．抛物线的方程为
45．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）已知直线过抛物线的焦点，且斜率为，与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若为抛物线上的动点，，则
D．若为抛物线上的点，则
三、填空题
46．（2022·河南安阳·高二）已知抛物线与直线相切，则C的准线方程为______．
47．（2022·四川·阆中中学高二）已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________.
48．（2022·安徽省宣城中学高二期末）已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，且的重心坐标为，则___________.
49．（2022·北京市十一学校高二期末）已知曲线：，抛物线：，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有___________
①直线l：是曲线和的公切线：
②曲线和的公切线有且仅有一条；
③最小值为；
④当轴时，最小值为.
四、解答题
50．（2022·河南·高二期中）已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为4．
(1)求抛物线的方程;
(2)已知点在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值．
51．（2022·河南·巩义二中高二阶段练习）已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程；
(3)过点作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．
52．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．
（i）已知，，求的值；
（ii）求的最小值．
53．（2022·全国·高二单元测试）如图，为抛物线上的一点，抛物线的焦点为，垂直于直线，垂足为，直线垂直于，分别交轴、轴于点A，．
(1)求使为等边三角形的点的坐标．
(2)是否存在点，使平分线段？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p
【答案详解】
1．A
【分析】先将抛物线化成标准形式，然后给找到开口方向和焦点.
【详解】抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为.
故选A项.
【点睛】本题考查由抛物线方程求其图像的开口和焦点坐标.属于简单题.
2．B
【分析】求出抛物线的焦点坐标、双曲线的右焦点，即可求出直线方程．
【详解】抛物线的焦点坐标为，
双曲线的右焦点的坐标为，
所求直线方程为，
即．
故选：B．
3．D
【解析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可.
【详解】将转化为,
当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；
当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.
所以抛物线的方程为或
故选：D
【点睛】易错点睛：本题考查求抛物线的标准方程，解题时要注意，已知抛物线方程，求它的焦点坐标，准线方程等，一定要注意所给方程是不是标准形式，若不是，一定要先转化为标准形式，然后根据标准形式的类型，确定参数p的值及抛物线的开口方向等，然后给出结论.
4．C
【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.
【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，
则，将代入可得，则.
故选：C.
5．B
【分析】由抛物线与椭圆交点的对称性，设，结合已知有，，即可求，进而求p值.
【详解】由抛物线与椭圆的对称性知：关于y轴对称，可设，
∵的面积为，
∴，而，
∴由上整理得：，解得，则.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：根据抛物线、椭圆的对称性设交点坐标，结合三角形的面积及点在椭圆上列方程求参数值.
6．B
【分析】由圆和抛物线的对称性及|AB|的长，可以得到点A,B的纵坐标，代入抛物线方程得到其横坐标关于p的函数表达式，再代入圆的方程求得p的值.
【详解】以为圆心，半径为5的圆的方程为,
由抛物线，得到抛物线关于x轴对称，
又∵上面的圆的圆心在x轴上，∴圆的图形也关于x轴对称，
∴它们的交点A,B关于x轴对称，
因为|AB|=8，∴A,B点的纵坐标的绝对值都是4，
∵它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值,
不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为,
又∵A在圆上，∴,解得,
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线的方程和几何性质，涉及圆的方程和性质，关键是利用抛物线和圆的对称性，结合弦长求得A,B的纵坐标，进而得到其横坐标，代入圆的方程求得p的值.
7．C
【分析】画出图形，由题意可得，，然后由结合抛物线的定义与三角形面积即可求解
【详解】因为以F为圆心，为半径的圆交l于M，N两点，
所以，
结合抛物线的定义，可知点A到准线的距离为．
又因为，，
所以的面积为，
解得．
故选：C
8．A
【分析】利用焦半径将线段比转化，设出直线方程，联立得两根之积，列出方程，求出的值.
【详解】如图，过A，B向作垂线，垂足分别为D，E，则.
设，，因为，，
所以.因为，所以，.
设直线的方程为，
联立方程组得，则.
因为，
所以或.
因为，所以，故.
故选：A
9．C
【分析】根据条件求出的值，然后可算出答案.
【详解】由题可知，解得，所以的面积为，
故选：C
10．A
【分析】过点P作x轴的垂线，可知，由此结合可得，求得，即可求得答案.
【详解】如图，不妨设点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为N，则,
由题意知， ，即，
因为 ，所以 ,
故,
所以点P到准线的距离为,即点到焦点的距离为5，
故选：A .
11．B
【分析】联立直线方程和抛物线方程，设，，根据抛物线焦点弦长公式和韦达定理可求出k，根据圆的弦长公式即可求．
【详解】由得，，
设，，∵，∴，
∵过抛物线的焦点(1，0)，故AB为焦点弦，
∴，∴，∴，解得，
由圆关于x轴对称可知，k＝1和k＝－1时相同，
故不妨取k＝1，l为y＝x－1，即x－y－1＝0，
圆心(2，1)到l的距离，∴﹒
故选：B．
12．D
【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.
【详解】如下图所示：
分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.
抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，
由轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，
，则，，得，
A选项正确；
，又，为的中点，则，B选项正确；
，，（抛物线定义），C选项正确；
，，D选项错误.
故选：D.
13．B
【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线方程，表示出点坐标，求出，即可求解.
【详解】
以为坐标原点，以的方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，设主拱抛物线的方程为，
由题意可知，则，因为点到直线的距离等于直线与的距离，所以，
所以，所以米.
故选：B.
14．C
【分析】先建立直角坐标系，设出抛物线的方程，根据题设条件得点代入抛物线方程求得，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离.
【详解】解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，以反射镜的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示：
因为灯口直径为，灯深，所以点在抛物线上.
由题意设抛物线的方程为，
由于点在抛物线上，得.
∴
∴焦点坐标为
∴灯泡与反射镜顶点的距离为3.6cm
故选：C
15．C
【分析】建立直角坐标系，设出抛物线方程，代入即可求解.
【详解】解：建立如图所示的直角坐标系：
设抛物线方程为，
由题意知：在抛物线上，
即，
解得：，
，
当水位上升后，
即将代入，
即，
解得：，
∴水面宽为.
故选：C.
16．B
【分析】设与平行且与抛物线相切的直线方程，利用判别式等于零求得，再根题意得两直线间的距离，解不等式可得答案.
【详解】设直线与抛物线相切，
联立，得，，
∵，∴,
由题意得，直线与直线的距离，
即，解得，∴,
故选:B.
17．C
【分析】先求出抛物线的准线方程为直线，再根据抛物线的基本性质可得当焦点、P点、A点共线时距离最小，从而得到答案.
【详解】抛物线准线为，P到其距离为，则，
所以，
故选：C.
【点睛】本题主要考查圆锥曲线的定义及数形结合，化归转化的思想方法，属于中档题.
18．A
【分析】首先设直线的方程为，直线的方程为，直线与抛物线方程联立，求得线段的中点，和，利用中点也在直线上，表示的关系，求得截距的取值范围.
【详解】设直线的方程为，则的斜率为-2，设直线的方程为，与抛物线联立，化简得，
，且，
故线段的中点，由题意可知点在直线上，
，即，
解得： ，
故直线在轴上的截距的取值范围是.
故选：A
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，重点考查转化，逻辑推理能力，属于中档题型，本题的关键是转化中点在直线上.
19．D
【分析】根据给定条件，求出抛物线C的方程，设出直线l的方程，与C的方程联立，结合关系求解作答.
【详解】依题意，抛物线C的方程：，显然直线l不垂直于y轴，设其方程为：，
由消去x并整理得：，设，
于是得，而直线l的斜率为正，且，即，有，
即有，则，解得，因此，解得，
所以直线l的方程为：，即.
故选：D
20．A
【分析】结合抛物线定义可得，可知当最大时，最大，则当直线与抛物线相切时，取得最大值；将直线方程与抛物线方程联立，利用可求得点坐标，结合双曲线定义可求得，结合可得，由此可得双曲线离心率.
【详解】过点作准线的垂线，垂足为，
由抛物线定义知：；
由得：，
当取最大值时，最小，即最小，则最大；
当直线与抛物线相切时，最大；
设直线，
由得：，，
解得：，，解得：，；
由双曲线定义知：，则；
又，则，双曲线离心率.
故选：A.
21．D
【分析】设出直线的方程，并与抛物线方程联立，求得两点的坐标，根据求得，求得点的坐标，从而确定正确选项.
【详解】依题意，设直线的方程为，
由消去并化简得，
解得，
所以，
所以，A选项正确.
直线的方程为，
令，则，故，
由于，，所以是的中点，B选项正确，
，，
，C选项正确，D选项错误.
故选：D
22．(1)
(2)存在．
【分析】（1）利用点线距离公式及即可求得，从而求得双曲线的方程；
（2）假设存在点，据题意设，联立方程得到，，再由点到直线的距离相等可得，由此代入式子即可求得，故存在.
【详解】（1）由题意得，，故，
又因为双曲线的渐近线为，故是双曲线C的一条渐近线，
所以右焦点到渐近线的距离为，解得，
所以，，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）假设存在，设，，
由题意知，直线斜率不为0，设直线，
联立，消去，得，
则，，
且，，
因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线，
则，即，则，
整理得，故，
即，因为，所以，
故存在．
23．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意，代入点，求解即可；
（2）设，联立直线和双曲线，用坐标表示，结合韦达定理，可得或,分析即得解.
（1）
由等轴双曲线知，
又过点，所以，
解之得，
所以双曲线的方程为.
（2）
设，,
联立得,
当时，,
又因为，即,
即，
化简得解得或,
当,直线方程为,过定点,与重合，不成立，舍去；
当，直线方程为，恒过点.
24．(1)；
(2)证明见解析；
【分析】(1)由题意知C： ，进而设直线l的方程为 ，与双曲线方程联立，结合韦达定理，向量数量积的坐标表示求解即可；
(2）设直线l的方程为），进而结合向量的坐标表示得 ， 再结合在双曲线上,推得得是方程的两根，进而得 ，证明结论.
（1）
当 时 ，双曲线C：，
过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，
则直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
与C联立得， ，
则，则 ，
由
，
可得 ，所以 ，
所以．
（2）
证明：由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为 ，
则，
由 , 得 ，
所以 ， ，
由点M在双曲线C上，可得 ，
化简得 ，
同理 ，
故是方程的两根，则为定值.
25．(1)
(2)或
【分析】（1）设点，然后根据题意列方程化简可求得曲线的方程，
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，可求出的坐标，从而可得与不垂直，不合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线方程代入曲线的方程消去，整理后利用根与系数的关系，再由，得，化简计算可求出直线的斜率，从而可得直线方程
(1)
设点，由题意得，
式子左右同时平方，并化简得，.
所以曲线的方程为.
(2)
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线与曲线的交点坐标为.
所以与不垂直，即，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得
由和，得.
，
因为，所以.
所以，
解得
所以直线的方程为，
即或.
26．(1)
(2)证明见解析，定值为
(3)
【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出，利用三角形是正三角形，求解，即可得到双曲线方程；
（2）设，写出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式，分别求出点到两条渐近线的距离，整理即可得出结论；
（3）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出、坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．
(1)
解：双曲线的左、右焦点分别为，，，，
直线过且与双曲线交于，两点，
直线的倾斜角为，△是等边三角形，
当时，，
所以，
则有，
，
即，
解得，
所求双曲线方程为：，
其渐近线方程为；
(2)
证明：设，
双曲线的渐近线方程为，
则点到直线的距离，
则点到直线的距离，
则，
又因，所以，
所以，
所以点P到双曲线两渐近线的距离之积为定值，为；
(3)
解：，双曲线，可得，，
设，，，，直线的斜率为：，
直线的方程为：，
联立，消去可得：，
，
可得，
则，
设为的中点，
则，
则，
则，
得，
解得，
所以．
即的斜率为．
27．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列方程组求解
（2）待定系数法设直线后，由条件求出坐标后代入双曲线方程求解
(1)
，解得，故双曲线方程为
(2)
，故设直线方程为
则，由得：
故，
点在双曲线上，则，解得
直线l的斜率为
28．C
【分析】过作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，进而根据几何关系得为等边三角形，，再计算面积即可.
【详解】解：如图，过作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，
所以，，．
因为，
所以，，．
所以，．
又因为，
所以，所以为等边三角形，
所以．
若在第三象限，结果相同．
故选：C
29．A
【分析】求出与平行且与相切的直线方程，从而与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，利用点到直线距离公式求出即可.
【详解】设直线与相切，
联立与得：，
由，得：，
则直线为，
故与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，
由两平行线间距离公式得：.
故选：A
30．C
【分析】设抛物线的准线与y轴交于点D，等边三角形ABF中，可得点B的坐标代入双曲线上方程可得答案．
【详解】设抛物线的准线与y轴交于点D，如图，在等边三角形ABF中，，，所以点B的坐标为，又点B在双曲线上，故，解得．
故选：C．
31．(1)
(2)
【分析】（1）选择条件①，由抛物线的定义可得，即可求解的值，进而得到抛物线的方程；选择条件②，可解得点坐标，进而得到抛物线的方程，选择条件③，可得，即可求解的值，进而得到抛物线的方程；
（2）由（1）可得焦点坐标，设两点坐标，联立直线的方程与抛物线的方程，利用韦达定理求解线段的值，利用点到直线的距离公式求解焦点到直线的距离，再利用三角形面积公式即可求解.
（1）
解：选择条件①，
由抛物线的定义可得，
因为，所以，解得，
故抛物线C的标准方程为．
选择条件②，
因为，所以，，
因为点在抛物线C上，
所以，即，解得，
所以抛物线C的标准方程为．
选择条件③．
当轴时，，所以．
故抛物线C的标准方程为．
（2）
解：设，，由（1）知．
由，得，
则，，
所以，
故．
因为点F到直线l的距离，
所以的面积为．
32．(1)
(2)或
【分析】（1）联立方程利用运算求解；（2）分析可得，设l的方程为，联立方程结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）联立方程，消去x得，
∵抛物线C与直线相切，则，解得或（舍去）
故抛物线的方程C：.
（2）设l的方程为，则线段AB的中点，
过作抛物线的准线的垂线，垂足为N，则，即，
∵，则，即，
∴，
联立方程，消去x得，
，
则，AB的中垂线的方程为，
∴，则，
即，解得，
故l的方程为或.
33．C
【分析】，由题意确定为等边三角形，进而表示A点坐标，代入抛物线方程，求得a的值，结合抛物线的焦半径公式即可求得答案.
【详解】由知： ；
设，结合圆和抛物线的对称性可得 ，结合，
得为等边三角形，
不妨设点A在第一象限，则A的坐标为，
因为点A是抛物线C：上一点，所以，
所以，得A的坐标为，
故，
故选：C
34．A
【分析】设出交点坐标，将直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理写出，根据抛物线的定义可知，结合已知条件，即可得出正确选项.
【详解】设，，由，得，则．
又，即．
故选：A．
35．B
【分析】根据直线与抛物线的位置关系，利用韦达定理和向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】解：设，，
由题意，直线的斜率存在，
因为抛物线的焦点为，所以不妨设直线的方程为，
由，可得，
所以，，，
所以，
故选：B.
36．C
【分析】利用两点间距离公式和抛物线焦半径公式可得，令可将所求式子化为，根据二次函数的最大值点可求得结果.
【详解】由题意知：，；
，，
；
令，则，
，
则当，即时，取最大值，此时.
故选：C.
37．B
【分析】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，求出的值，由抛物线的性质可得，由正弦定理可得的值．
【详解】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，由题意如图所示：
在中，可，
由抛物线的性质可得，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以，
故选：B．
38．D
【分析】由题意解出点横坐标，由抛物线的定义求解
【详解】，设，，
，则，得，
由抛物线定义得
故选：D
39．B
【分析】先通过抛物线的定义求出抛物线的方程，再设，然后求出并化简，然后求出直线AB的方程并代入抛物线方程，最后结合根与系数的关系求得答案.
【详解】如示意图，由抛物线的定义可知点M到抛物线准线的距离为4，则，即抛物线，则.
设，则.
由，则，所以，，
因为点在这两条直线上，所以，于是点A,B都在直线上，即，代入抛物线方程并化简得：，由根与系数的关系可知.
于是.
故选：B.
【点睛】本题运算较为复杂，注意要先求出，再判断题目到底需要什么，另外本题求解直线AB的方法需要熟练掌握.
40．ACD
【分析】根据题意画出图形，根据题意可得为等边三角形，四边形为矩形，四边形为平行四边形，从而可判断各选项正误．
【详解】解：如图所示：连接，，
的焦点为，准线为：，为抛物线上一点
，
，分别为，的中点，
，
垂直于点，
， ，则选项A正确；
，
为等边三角形，
，则选项C正确；
，
四边形为矩形
，则选项B错误；
四边形为平行四边形，
，则选项D正确.
故选：ACD.
41．BCD
【分析】由题意可得，有抛物线的定义与直线与圆的位置关系可判断A；将直线与抛物线联立，由根与系数之间的关系，结合抛物线的定义可判断BD，由抛物线的通径可判断C
【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为4，
所以，
所以抛物线，抛物线的准线方程为，焦点为，
设，
对于A：由抛物线的定义易知：，
所以以AB为直径的圆与相切，故A错误；
对于B：由得，
则，
如图，过点分别作准线得垂线，垂足分别为,过作,垂足为，
由得，则，
，
所以，
所以，故B正确；
对于C：当为抛物线的通径时，，故C正确；
对于D：令，解得，
所以当时，，
，
当时，则有，即，故D正确，
故选：BCD
42．BCD
【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D.
【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；
由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；
设点，所以，
所以，故C正确；
如图过点作准线，交于点，，，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；
故选：BCD
43．AC
【分析】对于A、B，结合抛物线定义可得；
对于C、D，由直线与抛物线联立结合韦达定理及三角形面积公式可得.
【详解】如图，过点M向准线l作垂线，垂足为N，设，．
对于A，因为AF＝AC，所以∠AFC＝∠ACF，又因为∠OFC＝∠ACF，
所以∠OFC＝∠AFC，所以FC平分∠OFA，同理可知FD平分∠OFB，所以∠CFD＝90°，故A正确；
对于B，假设△CMD为等腰直角三角形，则∠CFD＝∠CMD＝90°，
则C，D，F，M四点共圆且圆的半径为，又因为AF＝3BF，
所以AB＝AF＋BF＝AC＋BD＝2MN＝4BF，所以MN＝2BF，
所以CD＝2MN＝4BF，所以CD＝AB，显然不成立，故B错误；
对于C，设直线AB的方程为x＝my＋1，联立，所以，
所以，又因为AF＝3BF，所以，所以，
所以，所以，所以直线AB的斜率为，故C正确；
对于D，不妨取，则，所以，
所以，故D错误．
故选：AC
44．ACD
【分析】利用圆的几何性质结合抛物线定义可推出为等边三角形，判断A；确定的边长，根据其面积求得p，即可判断BCD.
【详解】根据题意作图，如图所示:
因为以为圆心，为半径的圆交于，两点，所以，
又，故，A在抛物线上，所以，
所以为等边三角形，故A正确；
因为，则轴，过作于点，则点为的中点，
点的横坐标为，点的横坐标为，所以点A的横坐标为，则，
所以，解得，
则，故B错误；
焦点到准线的距离为，故C正确；
抛物线的方程为，故D正确．
故选：ACD．
45．ABC
【分析】圆锥曲线问题，要结合图形进行分析，利用直线与抛物线方程联立，进行求解，利用抛物线的焦半径的相关结论求解.
【详解】设直线PQ的方程为：y（x﹣2），与联立整理可得：
3x2﹣20x+12=0，解得：x或6，则P（6，4），Q（，）；
所以|PQ|=64，选项A正确；
因为F(2,0),所以PF，QF的中点分别为：（4，2），（，），
所以A（0，），B（0，），所以|AB|=2，
选项B正确；
如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|=|ME|，
所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥NE=2+2=4，当N，M，E三点共线时，
|MF|+|MN|最小，且最小值为4，选项C正确；
对于选项D，若为抛物线上的点，则，又，
所以，选项D错误.
故选：ABC.
46．
【分析】联立得，由题知，得，求出抛物线方程继而得解.
【详解】联立得，因为抛物线与直线相切，所以，计算得，（舍），
所以抛物线的准线方程为：.
故答案为：.
47．
【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，结合图形，利用抛物线的定义和性质，根据直角三角形的边角关系求出的值，即可写出抛物线的标准方程.
【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知，，
又，所以，所以，
所以.又，所以，
所以，则，
所以抛物线的方程为.
故答案为：.
48．
【分析】根据重心坐标求出直线的斜率，再根据抛物线的性质计算的值．
【详解】解：抛物线的焦点坐标为，设，，
则，，即，，
若直线斜率不存在，则的重心在轴上，不符合题意；
故直线斜率存在且不为0，设直线的方程为，
联立方程组，消去可得，
，故．
不妨设，过，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，
过作，垂足为，则，
设直线的倾斜角为，则，
，，故，
故答案为：．
49．①③④
【分析】对于①利用导数的几何意义即可求解；对于②，分别设两条曲线上的切线方程，然后根据公切线的定义建立方程，将方程转化为函数，研究函数的零点即可；对于③，利用抛物线的焦半径公式转化求的最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对于④，先设动点的坐标，根据轴，进而建立目标函数，然后研究该函数单调性即可.
【详解】解：选项①，对于曲线，，当时，，，
故直线与曲线相切与点；
联立，可得，故此时直线与切于点，
故直线l：是曲线和的公切线，故①正确；
对于②，设公切线分别与切于点，
则曲线的切线为：，曲线的切线为，
根据与表示同一条直线，则有，
解得，令，则有，
可得在区间上单调递增；在区间上单调递减，
则有，
根据零点存在性定理可知，在区间上存在一个零点，即存在一条公切线
故曲线和的公切线有且仅有2条，故②错误；
对于③，如图所示，可得，根据抛物线的焦半径公式可得，
故有：，
设点的坐标为：，则有：，
令，可得，
再次求导可得：，故在上单调递增，
又，可得：当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
故，则，故，故③正确；
对于④，当轴时，设，则，则有：，
记，则有，令，解得：，
故当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
故有，故，故选项④正确.
故答案为：①③④.
50．(1)
(2)128
【分析】（1）根据焦半径公式求解得，进而可得答案；
（2）设点，，（），直线的斜率为，进而根据题意，结合弦长公式得，再根据基本不等式求解即可.
（1）
解：因为点到抛物线的焦点的距离为4，
所以，，解得．
所以抛物线C的方程为．
（2）
解：设点，，（），
直线的斜率为．
因为，所以直线的斜率为．
因为，
所以，化简得，①
，则，得，②
，则，即，③
将②③代入①，得，．
．
因为，，
所以，，
即，当且仅当时，等号成立．
故的最小值为128．
51．(1)
(2)x＝2或
(3)
【分析】（1）由条件可判断出抛物线的焦点在y轴正半轴，然后求解即可；
（2）分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论即可；
（3）设点，然后由点差法得到，即，然后可得答案．
（1）
因为顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点，
所以抛物线的焦点在y轴正半轴，设其方程为，
将点代入可得，所以，
所以抛物线的标准方程为，
（2）
当直线斜率不存在时，过点的直线与抛物线有一个交点；
当直线斜率存在时，设直线斜率为，直线方程为
由得，
直线与抛物线只有一个交点，所以，
解得，所以直线方程为
综上，过点与抛物线有且只有一个交点的直线方程为和；
（3）
设点，直线斜率为
点在抛物线上，所以
所以，即，
所以直线方程为
经检验，直线符合题意.
52．(1)；
(2)（i）0；（ii）16.
【分析】（1）结合已知条件，设，利用直接法求轨迹方程即可.
（2）(i)首先设出直线的方程，然后联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及向量的共线关系即可求解；(ii)结合韦达定理以及距离公式表示出，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）设点，则，且，
由得：，
即 化简得，
故动点的轨迹的方程为：.
（2）(i)设直线的方程为：．
设，，又，
联立，消去得，，，
由韦达定理知，
由，得：，，
整理得：，，
故．
(ii)
．
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．
53．(1)；
(2)存在满足条件的点，且点的坐标为．
【分析】（1）由抛物线定义可知，故只需使,即可使为等边三角形，因此表示出设点的坐标为，表示出，列方程即可求得答案；
（2）假设存在点，使，表示出A,B坐标，利用可得，结合，即可判断出结论.
（1）
由题意可知 ,
设点的坐标为，满足,则点的坐标为，．
由抛物线的定义知．因为，且为等边三角形，
所以，
又，所以，，
所以点的坐标为．
（2）
假设存在点，使，连接，
则点A的坐标为，点的坐标为，．
又，所以，
即，又，所以，．
所以存在满足条件的点，且点的坐标为．
考点一 抛物线的简单几何性质
考点二 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
考点三 直线和抛物线
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
2．抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；②eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF)))＋eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BF)))＝eq \f(2,p).
重难点技巧：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）
（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；
（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；
（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.
【题型归纳】
题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点）
1．（2021·江苏·高二专题练习）对抛物线，下列描述正确的是 ( )
A．开口向上，焦点为(0，2)B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(2，0)D．开口向上，焦点为
2．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期中）经过抛物线的焦点和双曲线的右焦点的直线方程为（ ）
A． B．C．D．
3．（2021·全国·高二（文））点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ）
A． B．或 C． D．或
题型二：抛物线的对称性
4．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2B．C．4D．
5．（2022·全国·高二课时练习）抛物线与椭圆交于A，B两点，若的面积为(其中O为坐标原点)，则（ ）
A．2B．3C．4D．6
6．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（ ）
A．4B．8C．10D．16
题型三：抛物线的弦长问题
7．（2022·广西贵港·高二期末（理））设抛物线的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，为半径的圆交l于M，N两点．若，且的面积为24，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则（ ）
A．4B．12C．4或16D．4或12
9．（2022·湖北咸宁·高二期末）已知O是坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，则的面积为（ ）
A．8B．6C．4D．2
题型四：抛物线的焦点弦性质问题
10．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）已知函数抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，直线交轴于点，若 ，则点到焦点的距离为（ ）
A．5B．3C．4D．6
11．（2022·浙江金华第一中学高二期中）已知抛物线，圆，直线与交于A、B两点，与交于M、N两点，若，则( )
A．B．C．D．
12．（2022·江西省临川第二中学高二阶段练习）已知抛物线的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
题型五：抛物线的应用
13．（2022·河南焦作·高二期末（理））上海黄浦江上的卢浦大桥（图1）整体呈优美的弧形对称结构，如图2所示，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，若主拱的顶端P点到桥面的距离等于桥面与江面之间的距离，且米，则CD约为（精确到10米）（ ）
A．410米B．390米C．370米D．350米
14．（2022·北京市第五中学高二期中）如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（ ）
A．10cmB．7.2cm
C．3.6cmD．2.4cm
15．（2020·广东揭阳·高二期中）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽．当水位上升后，水面宽是（ ）
A．B．C．D．
题型六：抛物线中的参数范围
16．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）已知抛物线，直线，且在上恰有两个点到的距离为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．（2021·云南云天化中学教育管理有限公司高二期末（理））已知和直线，抛物线上动点P到l的距离为d，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
18．（2019·福建·莆田一中高二期中）设，是抛物线上的两点，直线是的垂直平分线，当直线的斜率为时，直线在轴上的截距的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型六：直线与抛物线的位置关系
19．（2022·全国·高二）已知抛物线C的顶点与坐标原点重合，焦点为.过F且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，若，则l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
20．（2022·浙江·高二阶段练习）已知点是抛物线的焦点，，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
21．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论不正确的是（ ）
A．B．F为的中点
C．D．
题型七：抛物线的定值、定点问题
22．（2022·河南·高二期中）已知双曲线的右焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程．
(2)过点的直线与双曲线的右支交于两点，在轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等? 若存在，求出点的坐标; 若不存在，请说明理由．
23．（2022·江苏徐州·高二期中）在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线过点
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，斜率为的直线与双曲线交于两点（不同于点），且，求证直线过定点.
24．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知双曲线，过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，设，．
(1)若，点O为坐标原点，当时，求的值；
(2)设直线l与y轴交于点E，，，证明：为定值．
题型八：抛物线的定直线、向量问题
25．（2022·辽宁朝阳·高二期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点.动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数2，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线交曲线于两点，若，求直线的方程.
26．（2022·上海中学东校高二期末）双曲线的左、右焦点分别为，直线l过且与双曲线交于A、B两点．
(1)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2)若点P为双曲线上任一点，求证点P到双曲线两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值（用含有b的代数式表示）．
(3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率．
27．（2022·甘肃兰州·高二期末（理））若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为和，且该双曲线经过点P(3，1)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．
【双基达标】
一、单选题
28．（2022·河南·高二期中）已知抛物线的焦点为为上一点，且在第一象限，直线与的准线交于点，过点且与轴平行的直线与交于点，若，则的面积为（ ）
A．8B．12C．D．
29．（2022·安徽省宿州市苐三中学高二期末）抛物线上一点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
30．（2022·全国·高二课时练习）抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等边三角形，则（ ）
A．2B．C．6D．
31．（2022·全国·高二课时练习）在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
问题：已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且______．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积．
32．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二期中）已知抛物线C：与直线相切．
(1)求C的方程；
(2)过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若，求l的方程．
【高分突破】
一：单选题
33．（2022·全国·高二单元测试）已知点A是抛物线C：上一点，F为焦点，O为坐标原点，若以点O为圆心，以的长为半径的圆与抛物线C的另一个交点为B，且，则的值是（ ）
A．B．6C．D．7
34．（2022·全国·高二课时练习）已知F是抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
35．（2022·四川南充·高二期末（文））抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，点为平面上任意一点，为坐标原点，则（ ）
A．－5B．－3C．3D．5
36．（2022·湖北孝感·高二期末）已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（ ）
A．B．C．D．
37．（2022·河南·信阳高中高二期末（理））已知抛物线E：（）的焦点为F，点A是抛物线E的准线与坐标轴的交点，点P在抛物线E上，若，则（ ）
A．B．C．D．
38．（2022·江苏·高二）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则（ ）
A．B．2C．D．
39．（2022·上海市控江中学高二期末）已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．1C．16D．
二、多选题
40．（2022·江苏省宝楠国际学校高二阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，，分别为，的中点，与轴相交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
41．（2022·江苏徐州·高二期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为4，过的直线与抛物线交于两点，为的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．以AB为直径的圆与相离；
B．当，；
C．最小值为8；
D．的坐标可为
42．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
43．（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为C，D，且AF＝3BF，M为AB中点，则下列结论正确的是（ ）
A．∠CFD＝90°B．为等腰直角三角形
C．直线AB的斜率为D．的面积为4
44．（2022·全国·高二课时练习）设抛物线：（）的焦点为，准线为，A为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则（ ）
A．是等边三角形B．
C．点到准线的距离为3D．抛物线的方程为
45．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）已知直线过抛物线的焦点，且斜率为，与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若为抛物线上的动点，，则
D．若为抛物线上的点，则
三、填空题
46．（2022·河南安阳·高二）已知抛物线与直线相切，则C的准线方程为______．
47．（2022·四川·阆中中学高二）已知抛物线的焦点是，是的准线上一点，线段与交于点，与轴交于点，且，（为原点），则的方程为___________.
48．（2022·安徽省宣城中学高二期末）已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，且的重心坐标为，则___________.
49．（2022·北京市十一学校高二期末）已知曲线：，抛物线：，为曲线上一动点，为抛物线上一动点，与两条曲线都相切的直线叫做这两条曲线的公切线，则以下说法正确的有___________
①直线l：是曲线和的公切线：
②曲线和的公切线有且仅有一条；
③最小值为；
④当轴时，最小值为.
四、解答题
50．（2022·河南·高二期中）已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点的距离为4．
(1)求抛物线的方程;
(2)已知点在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值．
51．（2022·河南·巩义二中高二阶段练习）已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点，求直线l的方程；
(3)过点作直线交抛物线于A、B两点，使得Q恰好平分线段AB，求直线AB的方程．
52．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．
（i）已知，，求的值；
（ii）求的最小值．
53．（2022·全国·高二单元测试）如图，为抛物线上的一点，抛物线的焦点为，垂直于直线，垂足为，直线垂直于，分别交轴、轴于点A，．
(1)求使为等边三角形的点的坐标．
(2)是否存在点，使平分线段？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p
【答案详解】
1．A
【分析】先将抛物线化成标准形式，然后给找到开口方向和焦点.
【详解】抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为.
故选A项.
【点睛】本题考查由抛物线方程求其图像的开口和焦点坐标.属于简单题.
2．B
【分析】求出抛物线的焦点坐标、双曲线的右焦点，即可求出直线方程．
【详解】抛物线的焦点坐标为，
双曲线的右焦点的坐标为，
所求直线方程为，
即．
故选：B．
3．D
【解析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可.
【详解】将转化为,
当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为，即；
当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或（舍去），所以抛物线方程为，即.
所以抛物线的方程为或
故选：D
【点睛】易错点睛：本题考查求抛物线的标准方程，解题时要注意，已知抛物线方程，求它的焦点坐标，准线方程等，一定要注意所给方程是不是标准形式，若不是，一定要先转化为标准形式，然后根据标准形式的类型，确定参数p的值及抛物线的开口方向等，然后给出结论.
4．C
【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.
【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，
则，将代入可得，则.
故选：C.
5．B
【分析】由抛物线与椭圆交点的对称性，设，结合已知有，，即可求，进而求p值.
【详解】由抛物线与椭圆的对称性知：关于y轴对称，可设，
∵的面积为，
∴，而，
∴由上整理得：，解得，则.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：根据抛物线、椭圆的对称性设交点坐标，结合三角形的面积及点在椭圆上列方程求参数值.
6．B
【分析】由圆和抛物线的对称性及|AB|的长，可以得到点A,B的纵坐标，代入抛物线方程得到其横坐标关于p的函数表达式，再代入圆的方程求得p的值.
【详解】以为圆心，半径为5的圆的方程为,
由抛物线，得到抛物线关于x轴对称，
又∵上面的圆的圆心在x轴上，∴圆的图形也关于x轴对称，
∴它们的交点A,B关于x轴对称，
因为|AB|=8，∴A,B点的纵坐标的绝对值都是4，
∵它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值,
不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为,
又∵A在圆上，∴,解得,
故选：B.
【点睛】本题考查抛物线的方程和几何性质，涉及圆的方程和性质，关键是利用抛物线和圆的对称性，结合弦长求得A,B的纵坐标，进而得到其横坐标，代入圆的方程求得p的值.
7．C
【分析】画出图形，由题意可得，，然后由结合抛物线的定义与三角形面积即可求解
【详解】因为以F为圆心，为半径的圆交l于M，N两点，
所以，
结合抛物线的定义，可知点A到准线的距离为．
又因为，，
所以的面积为，
解得．
故选：C
8．A
【分析】利用焦半径将线段比转化，设出直线方程，联立得两根之积，列出方程，求出的值.
【详解】如图，过A，B向作垂线，垂足分别为D，E，则.
设，，因为，，
所以.因为，所以，.
设直线的方程为，
联立方程组得，则.
因为，
所以或.
因为，所以，故.
故选：A
9．C
【分析】根据条件求出的值，然后可算出答案.
【详解】由题可知，解得，所以的面积为，
故选：C
10．A
【分析】过点P作x轴的垂线，可知，由此结合可得，求得，即可求得答案.
【详解】如图，不妨设点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为N，则,
由题意知， ，即，
因为 ，所以 ,
故,
所以点P到准线的距离为,即点到焦点的距离为5，
故选：A .
11．B
【分析】联立直线方程和抛物线方程，设，，根据抛物线焦点弦长公式和韦达定理可求出k，根据圆的弦长公式即可求．
【详解】由得，，
设，，∵，∴，
∵过抛物线的焦点(1，0)，故AB为焦点弦，
∴，∴，∴，解得，
由圆关于x轴对称可知，k＝1和k＝－1时相同，
故不妨取k＝1，l为y＝x－1，即x－y－1＝0，
圆心(2，1)到l的距离，∴﹒
故选：B．
12．D
【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误.
【详解】如下图所示：
分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.
抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，
由轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，
，则，，得，
A选项正确；
，又，为的中点，则，B选项正确；
，，（抛物线定义），C选项正确；
，，D选项错误.
故选：D.
13．B
【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线方程，表示出点坐标，求出，即可求解.
【详解】
以为坐标原点，以的方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，设主拱抛物线的方程为，
由题意可知，则，因为点到直线的距离等于直线与的距离，所以，
所以，所以米.
故选：B.
14．C
【分析】先建立直角坐标系，设出抛物线的方程，根据题设条件得点代入抛物线方程求得，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离.
【详解】解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，以反射镜的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示：
因为灯口直径为，灯深，所以点在抛物线上.
由题意设抛物线的方程为，
由于点在抛物线上，得.
∴
∴焦点坐标为
∴灯泡与反射镜顶点的距离为3.6cm
故选：C
15．C
【分析】建立直角坐标系，设出抛物线方程，代入即可求解.
【详解】解：建立如图所示的直角坐标系：
设抛物线方程为，
由题意知：在抛物线上，
即，
解得：，
，
当水位上升后，
即将代入，
即，
解得：，
∴水面宽为.
故选：C.
16．B
【分析】设与平行且与抛物线相切的直线方程，利用判别式等于零求得，再根题意得两直线间的距离，解不等式可得答案.
【详解】设直线与抛物线相切，
联立，得，，
∵，∴,
由题意得，直线与直线的距离，
即，解得，∴,
故选:B.
17．C
【分析】先求出抛物线的准线方程为直线，再根据抛物线的基本性质可得当焦点、P点、A点共线时距离最小，从而得到答案.
【详解】抛物线准线为，P到其距离为，则，
所以，
故选：C.
【点睛】本题主要考查圆锥曲线的定义及数形结合，化归转化的思想方法，属于中档题.
18．A
【分析】首先设直线的方程为，直线的方程为，直线与抛物线方程联立，求得线段的中点，和，利用中点也在直线上，表示的关系，求得截距的取值范围.
【详解】设直线的方程为，则的斜率为-2，设直线的方程为，与抛物线联立，化简得，
，且，
故线段的中点，由题意可知点在直线上，
，即，
解得： ，
故直线在轴上的截距的取值范围是.
故选：A
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，重点考查转化，逻辑推理能力，属于中档题型，本题的关键是转化中点在直线上.
19．D
【分析】根据给定条件，求出抛物线C的方程，设出直线l的方程，与C的方程联立，结合关系求解作答.
【详解】依题意，抛物线C的方程：，显然直线l不垂直于y轴，设其方程为：，
由消去x并整理得：，设，
于是得，而直线l的斜率为正，且，即，有，
即有，则，解得，因此，解得，
所以直线l的方程为：，即.
故选：D
20．A
【分析】结合抛物线定义可得，可知当最大时，最大，则当直线与抛物线相切时，取得最大值；将直线方程与抛物线方程联立，利用可求得点坐标，结合双曲线定义可求得，结合可得，由此可得双曲线离心率.
【详解】过点作准线的垂线，垂足为，
由抛物线定义知：；
由得：，
当取最大值时，最小，即最小，则最大；
当直线与抛物线相切时，最大；
设直线，
由得：，，
解得：，，解得：，；
由双曲线定义知：，则；
又，则，双曲线离心率.
故选：A.
21．D
【分析】设出直线的方程，并与抛物线方程联立，求得两点的坐标，根据求得，求得点的坐标，从而确定正确选项.
【详解】依题意，设直线的方程为，
由消去并化简得，
解得，
所以，
所以，A选项正确.
直线的方程为，
令，则，故，
由于，，所以是的中点，B选项正确，
，，
，C选项正确，D选项错误.
故选：D
22．(1)
(2)存在．
【分析】（1）利用点线距离公式及即可求得，从而求得双曲线的方程；
（2）假设存在点，据题意设，联立方程得到，，再由点到直线的距离相等可得，由此代入式子即可求得，故存在.
【详解】（1）由题意得，，故，
又因为双曲线的渐近线为，故是双曲线C的一条渐近线，
所以右焦点到渐近线的距离为，解得，
所以，，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）假设存在，设，，
由题意知，直线斜率不为0，设直线，
联立，消去，得，
则，，
且，，
因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是的角平分线，
则，即，则，
整理得，故，
即，因为，所以，
故存在．
23．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意，代入点，求解即可；
（2）设，联立直线和双曲线，用坐标表示，结合韦达定理，可得或,分析即得解.
（1）
由等轴双曲线知，
又过点，所以，
解之得，
所以双曲线的方程为.
（2）
设，,
联立得,
当时，,
又因为，即,
即，
化简得解得或,
当,直线方程为,过定点,与重合，不成立，舍去；
当，直线方程为，恒过点.
24．(1)；
(2)证明见解析；
【分析】(1)由题意知C： ，进而设直线l的方程为 ，与双曲线方程联立，结合韦达定理，向量数量积的坐标表示求解即可；
(2）设直线l的方程为），进而结合向量的坐标表示得 ， 再结合在双曲线上,推得得是方程的两根，进而得 ，证明结论.
（1）
当 时 ，双曲线C：，
过点的直线l与该双曲线的两支分别交于 两点，
则直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
与C联立得， ，
则，则 ，
由
，
可得 ，所以 ，
所以．
（2）
证明：由题意可知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为 ，
则，
由 , 得 ，
所以 ， ，
由点M在双曲线C上，可得 ，
化简得 ，
同理 ，
故是方程的两根，则为定值.
25．(1)
(2)或
【分析】（1）设点，然后根据题意列方程化简可求得曲线的方程，
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，可求出的坐标，从而可得与不垂直，不合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线方程代入曲线的方程消去，整理后利用根与系数的关系，再由，得，化简计算可求出直线的斜率，从而可得直线方程
(1)
设点，由题意得，
式子左右同时平方，并化简得，.
所以曲线的方程为.
(2)
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线与曲线的交点坐标为.
所以与不垂直，即，不符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得
由和，得.
，
因为，所以.
所以，
解得
所以直线的方程为，
即或.
26．(1)
(2)证明见解析，定值为
(3)
【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出，利用三角形是正三角形，求解，即可得到双曲线方程；
（2）设，写出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式，分别求出点到两条渐近线的距离，整理即可得出结论；
（3）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出、坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．
(1)
解：双曲线的左、右焦点分别为，，，，
直线过且与双曲线交于，两点，
直线的倾斜角为，△是等边三角形，
当时，，
所以，
则有，
，
即，
解得，
所求双曲线方程为：，
其渐近线方程为；
(2)
证明：设，
双曲线的渐近线方程为，
则点到直线的距离，
则点到直线的距离，
则，
又因，所以，
所以，
所以点P到双曲线两渐近线的距离之积为定值，为；
(3)
解：，双曲线，可得，，
设，，，，直线的斜率为：，
直线的方程为：，
联立，消去可得：，
，
可得，
则，
设为的中点，
则，
则，
则，
得，
解得，
所以．
即的斜率为．
27．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列方程组求解
（2）待定系数法设直线后，由条件求出坐标后代入双曲线方程求解
(1)
，解得，故双曲线方程为
(2)
，故设直线方程为
则，由得：
故，
点在双曲线上，则，解得
直线l的斜率为
28．C
【分析】过作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，进而根据几何关系得为等边三角形，，再计算面积即可.
【详解】解：如图，过作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，
所以，，．
因为，
所以，，．
所以，．
又因为，
所以，所以为等边三角形，
所以．
若在第三象限，结果相同．
故选：C
29．A
【分析】求出与平行且与相切的直线方程，从而与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，利用点到直线距离公式求出即可.
【详解】设直线与相切，
联立与得：，
由，得：，
则直线为，
故与之间的距离即为上一点到直线距离的最小值，
由两平行线间距离公式得：.
故选：A
30．C
【分析】设抛物线的准线与y轴交于点D，等边三角形ABF中，可得点B的坐标代入双曲线上方程可得答案．
【详解】设抛物线的准线与y轴交于点D，如图，在等边三角形ABF中，，，所以点B的坐标为，又点B在双曲线上，故，解得．
故选：C．
31．(1)
(2)
【分析】（1）选择条件①，由抛物线的定义可得，即可求解的值，进而得到抛物线的方程；选择条件②，可解得点坐标，进而得到抛物线的方程，选择条件③，可得，即可求解的值，进而得到抛物线的方程；
（2）由（1）可得焦点坐标，设两点坐标，联立直线的方程与抛物线的方程，利用韦达定理求解线段的值，利用点到直线的距离公式求解焦点到直线的距离，再利用三角形面积公式即可求解.
（1）
解：选择条件①，
由抛物线的定义可得，
因为，所以，解得，
故抛物线C的标准方程为．
选择条件②，
因为，所以，，
因为点在抛物线C上，
所以，即，解得，
所以抛物线C的标准方程为．
选择条件③．
当轴时，，所以．
故抛物线C的标准方程为．
（2）
解：设，，由（1）知．
由，得，
则，，
所以，
故．
因为点F到直线l的距离，
所以的面积为．
32．(1)
(2)或
【分析】（1）联立方程利用运算求解；（2）分析可得，设l的方程为，联立方程结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）联立方程，消去x得，
∵抛物线C与直线相切，则，解得或（舍去）
故抛物线的方程C：.
（2）设l的方程为，则线段AB的中点，
过作抛物线的准线的垂线，垂足为N，则，即，
∵，则，即，
∴，
联立方程，消去x得，
，
则，AB的中垂线的方程为，
∴，则，
即，解得，
故l的方程为或.
33．C
【分析】，由题意确定为等边三角形，进而表示A点坐标，代入抛物线方程，求得a的值，结合抛物线的焦半径公式即可求得答案.
【详解】由知： ；
设，结合圆和抛物线的对称性可得 ，结合，
得为等边三角形，
不妨设点A在第一象限，则A的坐标为，
因为点A是抛物线C：上一点，所以，
所以，得A的坐标为，
故，
故选：C
34．A
【分析】设出交点坐标，将直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理写出，根据抛物线的定义可知，结合已知条件，即可得出正确选项.
【详解】设，，由，得，则．
又，即．
故选：A．
35．B
【分析】根据直线与抛物线的位置关系，利用韦达定理和向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】解：设，，
由题意，直线的斜率存在，
因为抛物线的焦点为，所以不妨设直线的方程为，
由，可得，
所以，，，
所以，
故选：B.
36．C
【分析】利用两点间距离公式和抛物线焦半径公式可得，令可将所求式子化为，根据二次函数的最大值点可求得结果.
【详解】由题意知：，；
，，
；
令，则，
，
则当，即时，取最大值，此时.
故选：C.
37．B
【分析】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，求出的值，由抛物线的性质可得，由正弦定理可得的值．
【详解】过作准线的垂线，垂足为，由，可得，由题意如图所示：
在中，可，
由抛物线的性质可得，所以，
在中，由正弦定理可得：，
所以，
故选：B．
38．D
【分析】由题意解出点横坐标，由抛物线的定义求解
【详解】，设，，
，则，得，
由抛物线定义得
故选：D
39．B
【分析】先通过抛物线的定义求出抛物线的方程，再设，然后求出并化简，然后求出直线AB的方程并代入抛物线方程，最后结合根与系数的关系求得答案.
【详解】如示意图，由抛物线的定义可知点M到抛物线准线的距离为4，则，即抛物线，则.
设，则.
由，则，所以，，
因为点在这两条直线上，所以，于是点A,B都在直线上，即，代入抛物线方程并化简得：，由根与系数的关系可知.
于是.
故选：B.
【点睛】本题运算较为复杂，注意要先求出，再判断题目到底需要什么，另外本题求解直线AB的方法需要熟练掌握.
40．ACD
【分析】根据题意画出图形，根据题意可得为等边三角形，四边形为矩形，四边形为平行四边形，从而可判断各选项正误．
【详解】解：如图所示：连接，，
的焦点为，准线为：，为抛物线上一点
，
，分别为，的中点，
，
垂直于点，
， ，则选项A正确；
，
为等边三角形，
，则选项C正确；
，
四边形为矩形
，则选项B错误；
四边形为平行四边形，
，则选项D正确.
故选：ACD.
41．BCD
【分析】由题意可得，有抛物线的定义与直线与圆的位置关系可判断A；将直线与抛物线联立，由根与系数之间的关系，结合抛物线的定义可判断BD，由抛物线的通径可判断C
【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为4，
所以，
所以抛物线，抛物线的准线方程为，焦点为，
设，
对于A：由抛物线的定义易知：，
所以以AB为直径的圆与相切，故A错误；
对于B：由得，
则，
如图，过点分别作准线得垂线，垂足分别为,过作,垂足为，
由得，则，
，
所以，
所以，故B正确；
对于C：当为抛物线的通径时，，故C正确；
对于D：令，解得，
所以当时，，
，
当时，则有，即，故D正确，
故选：BCD
42．BCD
【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D.
【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；
由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；
设点，所以，
所以，故C正确；
如图过点作准线，交于点，，，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；
故选：BCD
43．AC
【分析】对于A、B，结合抛物线定义可得；
对于C、D，由直线与抛物线联立结合韦达定理及三角形面积公式可得.
【详解】如图，过点M向准线l作垂线，垂足为N，设，．
对于A，因为AF＝AC，所以∠AFC＝∠ACF，又因为∠OFC＝∠ACF，
所以∠OFC＝∠AFC，所以FC平分∠OFA，同理可知FD平分∠OFB，所以∠CFD＝90°，故A正确；
对于B，假设△CMD为等腰直角三角形，则∠CFD＝∠CMD＝90°，
则C，D，F，M四点共圆且圆的半径为，又因为AF＝3BF，
所以AB＝AF＋BF＝AC＋BD＝2MN＝4BF，所以MN＝2BF，
所以CD＝2MN＝4BF，所以CD＝AB，显然不成立，故B错误；
对于C，设直线AB的方程为x＝my＋1，联立，所以，
所以，又因为AF＝3BF，所以，所以，
所以，所以，所以直线AB的斜率为，故C正确；
对于D，不妨取，则，所以，
所以，故D错误．
故选：AC
44．ACD
【分析】利用圆的几何性质结合抛物线定义可推出为等边三角形，判断A；确定的边长，根据其面积求得p，即可判断BCD.
【详解】根据题意作图，如图所示:
因为以为圆心，为半径的圆交于，两点，所以，
又，故，A在抛物线上，所以，
所以为等边三角形，故A正确；
因为，则轴，过作于点，则点为的中点，
点的横坐标为，点的横坐标为，所以点A的横坐标为，则，
所以，解得，
则，故B错误；
焦点到准线的距离为，故C正确；
抛物线的方程为，故D正确．
故选：ACD．
45．ABC
【分析】圆锥曲线问题，要结合图形进行分析，利用直线与抛物线方程联立，进行求解，利用抛物线的焦半径的相关结论求解.
【详解】设直线PQ的方程为：y（x﹣2），与联立整理可得：
3x2﹣20x+12=0，解得：x或6，则P（6，4），Q（，）；
所以|PQ|=64，选项A正确；
因为F(2,0),所以PF，QF的中点分别为：（4，2），（，），
所以A（0，），B（0，），所以|AB|=2，
选项B正确；
如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|=|ME|，
所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥NE=2+2=4，当N，M，E三点共线时，
|MF|+|MN|最小，且最小值为4，选项C正确；
对于选项D，若为抛物线上的点，则，又，
所以，选项D错误.
故选：ABC.
46．
【分析】联立得，由题知，得，求出抛物线方程继而得解.
【详解】联立得，因为抛物线与直线相切，所以，计算得，（舍），
所以抛物线的准线方程为：.
故答案为：.
47．
【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，结合图形，利用抛物线的定义和性质，根据直角三角形的边角关系求出的值，即可写出抛物线的标准方程.
【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义知，，
又，所以，所以，
所以.又，所以，
所以，则，
所以抛物线的方程为.
故答案为：.
48．
【分析】根据重心坐标求出直线的斜率，再根据抛物线的性质计算的值．
【详解】解：抛物线的焦点坐标为，设，，
则，，即，，
若直线斜率不存在，则的重心在轴上，不符合题意；
故直线斜率存在且不为0，设直线的方程为，
联立方程组，消去可得，
，故．
不妨设，过，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，
过作，垂足为，则，
设直线的倾斜角为，则，
，，故，
故答案为：．
49．①③④
【分析】对于①利用导数的几何意义即可求解；对于②，分别设两条曲线上的切线方程，然后根据公切线的定义建立方程，将方程转化为函数，研究函数的零点即可；对于③，利用抛物线的焦半径公式转化求的最小值，进而建立函数，然后再研究函数的单调性即可；对于④，先设动点的坐标，根据轴，进而建立目标函数，然后研究该函数单调性即可.
【详解】解：选项①，对于曲线，，当时，，，
故直线与曲线相切与点；
联立，可得，故此时直线与切于点，
故直线l：是曲线和的公切线，故①正确；
对于②，设公切线分别与切于点，
则曲线的切线为：，曲线的切线为，
根据与表示同一条直线，则有，
解得，令，则有，
可得在区间上单调递增；在区间上单调递减，
则有，
根据零点存在性定理可知，在区间上存在一个零点，即存在一条公切线
故曲线和的公切线有且仅有2条，故②错误；
对于③，如图所示，可得，根据抛物线的焦半径公式可得，
故有：，
设点的坐标为：，则有：，
令，可得，
再次求导可得：，故在上单调递增，
又，可得：当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
故，则，故，故③正确；
对于④，当轴时，设，则，则有：，
记，则有，令，解得：，
故当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
故有，故，故选项④正确.
故答案为：①③④.
50．(1)
(2)128
【分析】（1）根据焦半径公式求解得，进而可得答案；
（2）设点，，（），直线的斜率为，进而根据题意，结合弦长公式得，再根据基本不等式求解即可.
（1）
解：因为点到抛物线的焦点的距离为4，
所以，，解得．
所以抛物线C的方程为．
（2）
解：设点，，（），
直线的斜率为．
因为，所以直线的斜率为．
因为，
所以，化简得，①
，则，得，②
，则，即，③
将②③代入①，得，．
．
因为，，
所以，，
即，当且仅当时，等号成立．
故的最小值为128．
51．(1)
(2)x＝2或
(3)
【分析】（1）由条件可判断出抛物线的焦点在y轴正半轴，然后求解即可；
（2）分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论即可；
（3）设点，然后由点差法得到，即，然后可得答案．
（1）
因为顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线过点，
所以抛物线的焦点在y轴正半轴，设其方程为，
将点代入可得，所以，
所以抛物线的标准方程为，
（2）
当直线斜率不存在时，过点的直线与抛物线有一个交点；
当直线斜率存在时，设直线斜率为，直线方程为
由得，
直线与抛物线只有一个交点，所以，
解得，所以直线方程为
综上，过点与抛物线有且只有一个交点的直线方程为和；
（3）
设点，直线斜率为
点在抛物线上，所以
所以，即，
所以直线方程为
经检验，直线符合题意.
52．(1)；
(2)（i）0；（ii）16.
【分析】（1）结合已知条件，设，利用直接法求轨迹方程即可.
（2）(i)首先设出直线的方程，然后联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及向量的共线关系即可求解；(ii)结合韦达定理以及距离公式表示出，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）设点，则，且，
由得：，
即 化简得，
故动点的轨迹的方程为：.
（2）(i)设直线的方程为：．
设，，又，
联立，消去得，，，
由韦达定理知，
由，得：，，
整理得：，，
故．
(ii)
．
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．
53．(1)；
(2)存在满足条件的点，且点的坐标为．
【分析】（1）由抛物线定义可知，故只需使,即可使为等边三角形，因此表示出设点的坐标为，表示出，列方程即可求得答案；
（2）假设存在点，使，表示出A,B坐标，利用可得，结合，即可判断出结论.
（1）
由题意可知 ,
设点的坐标为，满足,则点的坐标为，．
由抛物线的定义知．因为，且为等边三角形，
所以，
又，所以，，
所以点的坐标为．
（2）
假设存在点，使，连接，
则点A的坐标为，点的坐标为，．
又，所以，
即，又，所以，．
所以存在满足条件的点，且点的坐标为．
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