中考数学一轮复习考点微专题（全国通用）考向17 二次函数（附答案）

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【题型探究】
题型一：二次函数的定义
1．（2022春·九年级单元测试）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
2．（2022秋·九年级课时练习）若函数是关于x的二次函数，则m的值是（ ）
A．2B．或3C．3D．
3．（2022秋·山东临沂·九年级校考期中）若函数是二次函数，则m的值是（ ）
A．2B．-1或3C．-1D．3
题型二：二次函数的图像和性质
4．（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为B．函数有最小值为
C．开口方向向上D．当时，随的增大而减小
5．（2022·山东威海·统考一模）小明研究二次函数（m为常数）性质时，得出如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y＝x－1上；②存在两个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，若，，则；④当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为．其中错误结论的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
6．（2022·新疆伊犁·统考一模）如图，抛物线y＝(≠0）图像交x轴其中一点A坐标为（-3，0），则下列结论错误的是（ ）
A．抛物线顶点坐标为（-1，）
B．+＞0
C．若抛物线上有两点（-4，）和（5，），则＜
D．关于的一元二次方程= - (≠0）的解为：1
题型三：y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
7．（2023·广西玉林·一模）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：；；；；正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·山东日照·校考一模）二次函数的图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2022·四川泸州·泸县五中校考一模）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，①②③当时，④若，为函数图象上的两点，则，以上结论中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型四：二次函数的图像和系数关系
10．（2022·广东江门·校考一模）如图是二次函数的图象，对称轴是直线，则以下说法：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（2022·湖南长沙·长沙市北雅中学校考模拟预测）如图，已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于x的一元二次方程的一个根．其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
12．（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型五：二次函数对称问题
13．（2022·广东揭阳·揭阳市实验中学校考模拟预测）在二次函数的图像上有点．则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·四川广安·统考中考真题）已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1A．1B．2C．3D．4
15．（2022·福建漳州·统考模拟预测）已知点A(1，0)，B(3，0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)都在抛物线y=ax2+bx+c上，记△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则下列结论正确的是( )
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
题型六：二次函数的最值问题
16．（2022·广西贺州·统考中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
17．（2022·四川遂宁·统考中考真题）如图，D、E、F分别是三边上的点，其中，BC边上的高为6，且DE//BC，则面积的最大值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
18．（2023·河北·九年级专题练习）如图，抛物线经过点，点从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴l向下运动，给出下列说法：
①a＝－1；
②抛物线的对称轴为x＝－1；
③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，n＝1；
④在点P从点A运动到顶点的过程中，当时，△PAC的面积最大．
其中，所有正确的说法是（ ）
A．①③B．②③④C．①④D．①②④
题型七：二次函数的待定系数法
19．（2022·四川成都·校考三模）已知抛物线经过点(0，5)，且顶点坐标为(2，1)，关于该抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．表达式为B．图象开口向下
C．图象与轴有两个交点D．当时，随的增大而减小
20．（2022·山东淄博·统考中考真题）若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
21．（2022·山东青岛·统考二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
下列说法错误的是（ ）A．B．和2是方程的两个根
C．D．二次函数的图象与轴无交点
题型八：二次函数和一元二次方程
22．（2022·广东佛山·校考三模）已知抛物线与轴交于点，将该抛物线平移，使平移后的抛物线经过点，且与轴交于、两点，其中，点的坐标为．若线段，那么的值为（ ）
A．B．或C．D．或
23．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，有以下结论：①；②若t为任意实数，则有；③当图象经过点时，方程的两根为，（），则，其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
24．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
题型九：二次函数和不等式问题
25．（2022·浙江宁波·校考一模）如图，抛物线，下列结论：①；②；③；④不等式的解集为，正确的结论个数是( )
A．1B．2C．3D．4
26．（2022·广东江门·校考三模）已知二次函数的图象如图，对称轴，分析下列六个结论：①；②若，则；③④⑤为实数）其中正确的结论有（ ）
A．①③④⑤B．④⑤C．①②③④D．③④
27．（2020·山东日照·校考三模）如图是二次函数，，是常数，图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是直线．对于下列结论：①；②；③；④为实数）；⑤当时，．其中正确结论的个数为
A．2个B．3个C．4个D．5个
题型十：二次函数和实际问题
28．（2022·江苏南通·统考模拟预测）如图，矩形中，，，动点和同时从点出发，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止．设点运动（秒）时，的面积为，则关于的函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
29．（2023秋·河南信阳·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，BC=4cm，E是AD的中点，连接BE，CE．点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BE-EC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
30．（2022·河南南阳·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为8cm，动点E从点C出发沿边CB向终点B以2cm/s的速度运动，同时动点F从点C出发沿边CD向终点D以1cm/s的速度运动．设运动时间为，当时，以CE，CF为边作矩形CFHE，设正方形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面积为（cm2），则y与x之间的函数关系图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【必刷基础】
一、单选题
31．（2023·陕西西安·高新一中校考一模）已知抛物线过点，，且它与x轴只有一个交点，则d的值是（ ）
A．B．C．4D．16
32．（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）已知点、、在二次函数的图象上，且为抛物线的顶点．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
33．（2023·广东佛山·校考一模）二次函数图像经过图形运动得到函数图像，请问图像是如何运动（ ）
A．向左平移3个单位长度，向下平移2个单位长度
B．向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度
C．向左平移5个单位长度，向上平移3个单位长度
D．向右平移5个单位长度，向下平移3个单位长度
34．（2022·山东济宁·校考二模）如图，二次函数的图像与反比例函数的图像交于，，三点．若，则的取值范围是（ ）
A．B．或
C．或D．或
35．（2021秋·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）二次函数、、为常数，且的与的部分对应值如下表：（其中）
有下列结论：；；是关于的一元二次方程的一个根；当时，．其中正确结论的个数为（ ）A．B．C．D．
36．（2022·山东临沂·模拟预测）已知二次函数及一次函数，将二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新图像（如图所示），当直线与新图像有个交点时，的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
37．（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置点为原点，球员甲与对方球门所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求满足条件的抛物线的函数表达式；
(2)如果葡萄牙球员罗站在球员甲前3米处，罗跳起后最高能达到米，那么罗能否在空中截住这次吊射？
38．（2023·广东佛山·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴交于点，若点关于轴的对称点在一次函数的图象上．
(1)求的值；
(2)若一次函数与一次函数交于，且点关于原点的对称点为点．求过，，三点对应的二次函数表达式；
(3)为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点．
①当四边形为菱形时，求点的坐标；
②若点的横坐标为，当为何值时，四边形的面积最大？请说明理由．
【必刷培优】
一、单选题
39．（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）二次函数的图象大致如图所示，关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．
B．对称轴是
C．当，随的增大而减小
D．当时，
40．（2022·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点 、点B与y轴相交于点，下列结论：①；②B点坐标为；③抛物线的顶点坐标为；④直线与抛物线交于点D、E，若，则h的取值范围是；⑤在抛物线的对称轴上存在一点Q，使的周长最小，则Q点坐标为．其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
41．（2022·浙江舟山·校联考三模）二次函数图象与x轴有两个交点，，关于x的方程有两个非零实数根，，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
42．（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图①，在矩形中，当直角三角板的直角顶点P在上移动时，直角边始终经过点A，设直角三角板的另一直角边与相交于点Q．在运动过程中线段的长度为x，线段的长为y，y与x之间的函数关系如图②所示．则的长为( )
A．B．3C．4D．6
43．（2022秋·九年级单元测试）如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤方程其中一个解的取值范围为．
A．1个B．3个C．4个D．5个
二、填空题
44．（2023·上海静安·统考一模）有一座拱桥的截面图是抛物线形状，在正常水位时，桥下水面宽20米，拱桥的最高点O距离水面为3米，如图建立直角坐标平面，那么此抛物线的表达式为_________．
45．（2022春·九年级课时练习）若二次函数有最大值6，则的最小值为____．
46．（2022春·九年级课时练习）二次函数的部分图象如图所示，当时，x的取值范围是______．
47．（2022·福建福州·校考一模）如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是______．
48．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点F作x轴的平行直线，交抛物线于点E，交y轴于点C，将直线EF向下平移，分别交抛物线于A，B两点，当是等边三角形时，线段的长是______．
49．（2022·山东济南·统考模拟预测）如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰好与原点O重合．抛物线的顶点在直线上移动．若抛物线与菱形的边都有公共点，则h的取值范围是___________．
三、解答题
50．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考一模）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．
(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到 处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶时，水面宽是多少？它能否安全通过此桥？
51．（2023·上海静安·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，联结BC，的余切值为，，点P在抛物线上，且.
(1)求上述抛物线的表达式；
(2)平移上述抛物线，所得新抛物线过点O和点P，新抛物线的对称轴与x轴交于点E．
①求新抛物线的对称轴；
②点F在新抛物线对称轴上，且，求点F的坐标．
52．（2023·陕西西安·高新一中校考一模）如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点D在x轴下方，以A，B，D为顶点的三角形与全等，平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点B和点D，请求出点D的坐标并写出平移的过程．
53．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）在▱中，已知，，是边上的任意一点，过点作，交于，连接、．
(1)若时，试求出的边上的高；
(2)当的长为多少时，的面积最大，并求出面积的最大值．
54．（2022·广东云浮·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，若平分，求点P的坐标；
(3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
知识点一：二次函数的概念及解析式
1.二次函数的定义
y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
知识点二：二次函数的图像和性质
2.解析式
（1）三种解析式：
①一般式：y=ax2+bx+c;
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
3.二次函数的图象和性质
图象
开口
向上
向下
对称轴
x＝
顶点坐标
增减性
当x>时，y随x的增大而增大；当x＜时，y随x的增大而减小.
当x>时，y随x的增大而减小；当x＜时，y随x的增大而增大.
最值
x=，y最小＝.
x=，y最大＝.
3.系数a、b、c
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
b
决定对称轴（x=-b/2a）的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点三：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系
注意：上加下减，左加右减（注：与平移区分）
知识点四：二次函数，不等式，二元一次方程的关系
5.二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
6.二次函数与不等式
抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
知识点五：二次函数的应用
实物抛物线
一般步骤
据题意，结合函数图象求出函数解析式；
②确定自变量的取值范围；
③根据图象，结合所求解析式解决问题.
实际问题中
求最值
分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
研究自变量的取值范围；
确定所得的函数；
④ 检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；
⑤解决提出的实际问题.
结合几何图形
根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；
根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；
利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题
…
0
1
2
…
…
2
1
2
…
x
1
n
y
n
参考答案：
1．B
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【详解】①是二次函数；
②是二次函数；
③是二次函数；
④不是二次函数；
⑤不是二次函数；
⑥不是二次函数；
这六个式子中二次函数有①②③
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的定义，即一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．
2．C
【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解．
【详解】∵函数是关于x的二次函数，
∴，且，
由得，或，
由得，，
∴m的值是3，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义、解一元一次不等式、解一元二次方程等知识，解答本题的关键是根据二次函数的定义列出方程与不等式．
3．D
【分析】根据二次函数的一般形式，可列出方程和不等式，计算即可．
【详解】根据题意得：
解得：m=3．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的概念，熟练掌握二次函数一般形式满足的条件是解题的关键．
4．D
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的特点判断顶点坐标，开口方向，最值及增减性．
【详解】解：由抛物线可知，
顶点坐标为，
抛物线开口向上，函数有最小值为，
时y随x增大而增大，
∴A、B、C判断正确，D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质．关键是熟练掌握顶点式与抛物线开口方向，增减性，顶点坐标及最大（小）值之间的联系．
5．B
【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．
【详解】解：二次函数（m为常数）
∴顶点坐标为（m， m-1）
把x=m代入y＝x－1，得：y=m-1，
∴这个函数图象的顶点始终在直线y=x-1上
故结论①正确；
②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
令y=0，得（x-m）2+m-1=0，其中m≤1
解得：，
∵顶点坐标为（m，m-1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
∴|m-1|=|m-（m-）|
解得：m=0或1，
当m=1时，二次函数y=（x-1）2，此时顶点为（1，0），与x轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；
∴存在m=0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形
故结论②错误；
③∵x1+x2＞2m
∴＞m
∵二次函数y=（x-m）2+m-1（m为常数）的对称轴为直线x=m
∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离
∵x1＜x2，且a=1>0
∴y1故结论③正确；
④当-1＜x＜3时，y随x的增大而减小，且a=1>0
∴m的取值范围为m≥3．
故结论④正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．
6．C
【分析】根据二次函数的图像与性质依次判断即可．
【详解】解：A:由顶点式可直接判断顶点坐标 ，故选项正确，不符合题意；
B:抛物线交轴正半轴，把代入函数，则，故选项正确，不符合题意；
C:抛物线对称轴为直线，其对称轴左侧随增大而增大，与关于对称轴对称，，，故选项错误，符合题意；
D:关于的一元二次方程可化成 =0的形式。由对称轴直线，及可知抛物线与轴另一交点为，所以解为：，，故选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
7．B
【分析】利用图象信息即可判断；根据时，即可判断；根据是方程的根，结合两根之积，即可判断；根据两根之和，可得，可得，根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故正确，
时，，
，即，故正确，
的图象过点和，
，，
，
，故正确，
，
，
，



，故错误，
，
，
，故正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；决定抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
8．B
【分析】①根据图象与x轴有两个交点，即可判断；②根据图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断；③由图象可知，，整理后即可做出判断；④当时，，当时，，利用平方差公式变形计算即可做出判断．
【详解】解：①由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴
∴①错误；
②∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴，
∴b与a异号，即，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴，
∴，
∴②正确；
③由图象可知，
∵，
∴，
∴，
∴③错误，
④由图象可知，当时，，
当时，，
∴，
∴，
∴④正确，
综上，正确的是②④．
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识．
9．C
【分析】根据二次函数的图象与性质解答．
【详解】解：由题意可知二次函数图象与轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，
，故①正确；
由函数图象对称性可得函数图象经过和两点，
①，②，
并化简得：，
，故②正确；
由函数图象对称性可得函数图象经过和两点，
由函数整个图象可得当时，，故③正确；
设时，函数值为，则由函数图象的对称性可得：，
，
由函数的增减性可得：，
，故④错误；
故正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题．
10．C
【分析】由图象可知当时，，即，即可判断①；由图象可知该抛物线对称轴为直线，即得出，可判断②；由图象可知，，即得出，进而可得出，可判断③；由图象可知当时，，即，从而即可得出，可判断④．
【详解】由图象可知当时，，即，故①正确；
由图象可知该抛物线对称轴为直线，即，则，故②正确；
∵抛物线开口向上，
∴，
∴．
由图象可知该抛物线与y轴交于x轴下方，
∴，
∴，故③正确；
由图象可知当时，，即，
∴，即，故④错误．
综上可知正确的个数是3个．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
11．C
【分析】利用抛物线开口方向得，利用对称轴方程得，利用图像与y轴交点位置得，则可对①进行判断；利用对称性可判断点A在点的左侧，当时，，可对②进行判断；利用点，，可得代入抛物线解析式可对③进行判断；利用对称性得代入抛物线解析式可对④进行判断；从而得出答案．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与y轴的交点在x轴上方，
，
，
故①正确；
点B到对称轴的距离大于2，
点A到对称轴的距离大于2，
点A在的左侧，
当时，，
，
，
故②正确；
，
，
，
，
故③错误；
点A与点B关于直线对称，
，
是关于x的一元二次方程的一个根，
故④正确；
故正确选项是①②④共3个．
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次函数图像与系数的关系，抛物线与坐标轴交点，二次函数图像上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
12．C
【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，可判断③错误，求出，，结合①②的结论即可判断出④正确．
【详解】∵抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1，
∴，
∴，
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c>0，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴交于(-1,0)，
∴当x=-1时，，
∵，
∴将代入，得3a+c=0，故②正确；
根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点(-1,0)，对称轴为x=1，
根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0)，
∴y＞0时，有，故③错误；
∵抛物线与x轴的两个交点为：(-1,0)，(3,0)，对称轴为x=1，
当x=-2时，，
当x=2时，，
∵，3a+c=0，a<0，
∴，，
∴，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a看抛物线开口方向，b往往看对称轴，c看抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等．
13．D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，再根据三点到对称轴的距离大小求解，即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，且对称轴为直线，
∵，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的图象和性质．
14．B
【分析】根据二次函数的图象与性质一一判断即可．
【详解】解：由图象可知，开口向上，图象与y轴负半轴有交点，则，，
对称轴为直线，则，
∴，故①正确；
当时，，
∵，
∴，即
∴，故②错误；
∵对称轴为直线，
∴抛物线与x轴负半轴的交点为（，0），
∴，
∵，
两式相加，则，
∴，故③错误；
∵，，，
∴，
∴根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有，故④正确；
∴正确的结论有2个，
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键．
15．C
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），
∴该抛物线对称轴为x=2，
当x1＞x2+2时与当x1＜2-x2时无法确定C（x1，y1），D（x2，y2）在抛物线上的对应位置，
故选项A和B都不正确；
当|x1-2|＞|x2-2|＞1时，
C（x1，y1）比D（x2，y2）离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，
∴|y1|＞|y2|，
∴S1＞S2，故选项C正确；
当|x1-2|＞|x2+2|＞1时，即在x轴上x1到2的距离比x2到-2的距离大，且都大于1，
可知在x轴上x1到2的距离大于1，x2到-2的距离大于1，但x2到2的距离不能确定，
所以无法比较C（x1，y1）比D（x2，y2）谁离对称轴更远，故无法比较面积，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
16．D
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．
17．A
【分析】过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，设，根据，证明，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到，列出面积的函数表达式，根据配方法求最值即可．
【详解】
如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE，
设，
，
，
，
，
，
∴,
，
当时，S有最大值，最大值为6，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键．
18．D
【分析】将C点坐标代入抛物线解析式求出a即可判断①；根据a即可得抛物线解析式，则其对称轴可得，②即可判断；只有当P点在对称轴且A、P、C三点共线时，有PB+PC最小值，连接AC交对称轴与点P，连接BP，对称轴交x轴于M点，根据轴，OA=OC=3，即有则n可求，③即可判断；连接PC、AC、OP、PA，根据可得，则④可判断．
【详解】∵抛物线过C点(0,3)，
∴，
∴a=-1，即①正确，
即抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为，即②正确，
当x=0时，y=3，即C点坐标为(0,3)
∴OC=3，
当y=0，有，
解得x为1或者-3，
∴A(-3,0)，B(1,0)，
∴OA=3，OB=1，
∵B(1,0)，C(0,3)，
∴，
∴要求△PBC周长最小值，即求PC+PB+BC的最小值，
∵BC为定值，
∴即求PC+PB的最小值，
可知只有当P点在对称轴且A、P、C三点共线时，有PB+PC最小值，
连接AC交对称轴与点P，连接BP，对称轴交x轴于M点，如图1所示，
∵A、B关于PM对称，
∴PA=PB，
∴PB+PC=PA+PC=AC，
∵对称轴x=-1，
∴OM=1，
∴AM=OA-OM=3-1=2，
显然有轴，
有∵OA=OC=3，
∴，
∴PM=AM=2，
∴P点坐标为(-1,2)，
∴n=2，
∴即△PBC周长最小值时，n=2，即③错误，
如图2所示，连接PC、AC、OP、PA，
由图有：，
∵，，，
∴，
∵P在抛物线上，
∴，
∴，
整理得：，
即当时，△PAC的面积最大，即④正确，
综上分析可得，正确的有：①②④．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，考查了二次函数的对称轴、最值、与坐标轴交点等知识，判断只有当P点在对称轴且A、P、C三点共线时，有PB+PC最小值，是解答本题的关键．
19．D
【分析】由二次函数顶点坐标可设抛物线解析式为顶点式，将(0，5)代入解析式求解．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为(2，1)，
∴，
将(0，5)代入得，
解得，
∴，故选项A不符合题意；
∵a=1>0，
∴图象开口向上，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为(2，1)，且图象开口向上，
∴图象与轴没有有两个交点，故选项C不符合题意；
∵a=1>0，且对称轴为直线x=2，
∴时，随增大而减小，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
20．A
【分析】先求得a=1，推出，原式化简得，利用偶次方的非负性，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象经过P（1，3），
∴，
∴a=1，
∴二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过Q（m，n），
∴即，
∴
，
∵，
∴的最小值为1，
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，非负数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
21．C
【分析】由表格可知，二次函数以直线为对称轴，有最小值，顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，将代入求得，可得解析式，进而可知，，则，可判断A的正误；根据，可判断D的正误；根据，均在的图象上，可判断B的正误；根据当时，随着的增大而减小，与关于对称轴对称，可判断C的正误．
【详解】解：由表格可知，二次函数以直线为对称轴，有最小值，顶点坐标为，
设该二次函数的解析式为，
将代入得，，
解得，
∴该二次函数的解析式为，
∴，，
∴，故A正确，不符合题意；
∵，
∴二次函数的图象与轴无交点，故D正确，不符合题意；
∵关于对称轴的对称点坐标为，
∴，均在的图象上，
∴，，
∴和2是方程的两个根，故B正确，不符合题意；
∵，
∴当时，随着的增大而减小；
∵，
∴，
∵与关于对称轴对称，
∴，
∴，故C错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
22．D
【分析】利用待定系数法求得平移后的抛物线的解析式，令y＝0，求出该抛物线与x轴的交点，并利用点的坐标表示出线段OA，BC的长，根据已知条件列出关于t的方程，解方程即可求得结论．
【详解】解：令，则，
，
，
设平移后的抛物线解析式为，
平移后的抛物线经过点，且与轴交于，
，
解得：，
平移后的抛物线解析式为，
令，则，
解得：，，
，
．
，
．
当时，解得：，
当时，解得：，
的值为：或．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，抛物线的平移，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
23．D
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数与直线y=3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=3的另一个交点为（-3，3），从而得到x1=-3，x2=1，则可对③进行判断．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，即，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
∴，所以①正确；
∵时，y有最小值，
∴（t为任意实数），即，所以②正确；
∵图象经过点时，代入解析式可得，
方程可化为，消a可得方程的两根为，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数与直线的另一个交点为，
，代入可得，
所以③正确．
综上所述，正确的个数是3．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
24．A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数的图像与x轴交于点，
∴b＝2，
∴二次函数的解析式为，令y＝0，-x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，y=3，
∴B（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，-1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DP+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，是解题的关键．
25．B
【分析】根据抛物线开口方向判断①，根据抛物线与轴交点个数判断②，根据抛物线经过，，判断③，根据与的交点得出不等式的解集，即可求解．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
故①正确，
∵抛物线与轴无交点，即无实根，
∴，
故②错误，
∵抛物线经过，，
∴，
∴，
即，故③错误，
∵即，
设，，根据函数图象可知，
交点的横坐标为，
∴当时，即时，的取值范围为：，
故④正确；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与各系数之间的关系，二次函数与轴交点问题，根据图象求不等式的解集，掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
26．D
【分析】利用对称轴方程得到,再利用时，得到，则可对①进行判断；
利用抛物线与x轴的一个交点在和之间可对②进行判断；
利用时，；时，得到，则可对③进行判断；
利用时得到，则可对④进行判断；
利用时，y有最大值得到,然后利用可对⑤进行判断．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴,
∵时，，即，
∴，即，所以①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在和之间，
∴，所以②错误；
∵时，，即；时，，即，
∴，
∴，即所以③正确；
∵时，y＞0，即，
∴，所以④正确；
∵时，y有最大值，
∴,
而，
∴,所以⑥错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴交点问题，最值问题，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．
27．B
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴判定与0的关系以及；当时，；然后由图象确定当取何值时，．
【详解】解：①对称轴在轴右侧，
．
、异号，
，故①正确；
②对称轴，
；
故②正确；
③，
，
当时，，
，
故③错误；
④根据图示知，当时，有最大值；
又当时，，
当时，有，
当时，，
，
，
为实数）．
故④正确．
⑤观察图象可得：当时，也可能等于0或小于0．
故⑤错误．
综上，正确的序号有：①②④，有3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．
28．B
【分析】由点的运动，可知点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，y与x的函数图象分三段：①当0≤x≤2时，②当2＜x≤3时，③当3＜x≤5时，根据每种情况求出△AEF的面积．
【详解】解：点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，
∴y与x的函数图象分三段：
①当0≤x≤2时，
AE＝2x，AF＝4x，
∴y＝•2x•4x＝4x2，
这一段函数图象为抛物线，且开口向上，由此可排除选项A和选项D；
②当2＜x≤3时，点F在线段BC上，
AE＝4，
此时y＝×4×8＝16，
③当3＜x≤5时，
y＝×4×（4＋8＋4−4x）＝32−8x，由此可排除选项C．
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象，三角形的面积，矩形的性质，根据题意理清动点的时间分段，并根据三角形的面积公式列出函数关系式是解题的关键，难度不大．
29．D
【分析】先利用勾股定理计算出与的长，以及、运动到终点所用的时间，将整个运动过程分为两段，分别计算与时的表达式，进而分析其函数图象．
【详解】解：是的中点，
，
在中，，
同理，．
．
①当时，点在上，点在上，，（如图①所示），
由三角形高相同可得：
，
函数的图象是一条开口向上的抛物线，故排除AC；
②当时，点与点重合，点在上，（如图2所示），
，
函数的图象是一条直线，排除B．
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点和的位置不同确定三角形面积的表达式不同，解决本题的关键是分类讨论思想的运用，以及函数关系式的建立．
30．D
【分析】分两种情况讨论，当0≤x≤2时或当2≤x≤4时分别可以面积y与x的关系式，再利用一次函数与二次函数的图象进行判断即可．
【详解】解：由题意，CE=2xcm，CF=xcm
∴DF=（8-x）cm．
当0≤x≤2时，
∴
当2＜x≤4时，
则
∴；
所以符合题意的图象为D，
故选D
【点睛】本题考查了正方形，矩形的面积公式的运用，二次函数的解析式及一次函数的解析式的运用，分段函数的运用，一次函数的最值和二次函数的最值的确定，解答时先求出函数的解析式是关键．
31．A
【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线．故设抛物线解析式为，直接将代入，通过解方程来求d的值．
【详解】解：∵抛物线过点，，
∴对称轴是直线，
又∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴设抛物线解析式为，
把代入，得．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．
32．A
【分析】由抛物线顶点为最高点可得抛物线开口向下，由抛物线解析式可得抛物线对称轴，求出点，关于对称轴对称时的值，结合抛物线开口方向求解．
【详解】解：点为抛物线顶点，，
抛物线开口向下，顶点为最高点，
，
抛物线对称轴为直线，
当点，关于抛物线对称轴对称时，，
解得，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
33．D
【分析】根据二次函数图象平移的性质可知，先沿x轴向右平移5个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度得到的．
【详解】解：∵二次函数图像经过图形运动得到函数图像，变化前后的二次函数系数相同，
∴图形的变化方式为平移，
∵平移前的二次函数顶点坐标为，平移后的二次函数顶点坐标为，
∴平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移3个单位长度，
故选D．
【点睛】本题是考查对二次函数解析式中参数的作用，及点坐标平移的规律．本题关键是熟悉解析式为顶点式：形如其中，a为抛物线的开口大小及方向，h为顶点横坐标；对称轴，k为顶点纵坐标；函数最值．
34．C
【分析】直接利用函数图像结合其交点横坐标得出的求值范围．
【详解】如图所示：
当时，即反比例函数图像在二次函数图像下方部分，
故的取值范围是：或，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合是解题的关键．
35．B
【分析】根据表中与的部分对应值画出抛物线的草图，由开口方向即可判断，由对称轴可得，代入可判断，根据直线过点、可知直线与抛物线交于点、，即可判断，根据直线与抛物线在坐标系中位置可判断．
【详解】解：根据表中与的部分对应值，画图如下：
由抛物线开口向上，得，故正确；
抛物线对称轴为，即，
，
则，故正确；
直线过点、，
直线与抛物线交于点、，
即和是方程，即的两个实数根，故正确；
由图象可知当时，直线位于抛物线上方，
，
，故错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与直线交点、一元二次方程的解，根据表中数据画出二次函数图象的草图是解题的前提，熟练掌握抛物线与直线、抛物线与一元二次方程间的关系是解题的关键．
36．B
【分析】求出二次函数图像关于x轴翻折后的解析式，求出直线与翻折后抛物线相切时的m值，求出直线经过图像与x轴右侧交点时m的值，进而求解．
【详解】解：抛物线关于x轴翻折后解析式为，
令，整理得，
当时，直线与抛物线相切，
解得，
把代入得，
解得，
∴抛物线与x轴交点坐标为，
把代入得，
解得，
∴满足题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图像与几何变换，解题关键是掌握函数与方程的关系．
37．(1)
(2)能
【分析】（1）根据题意得出二次函数的顶点坐标，进而求出二次函数解析式；
（2）将代入函数表达式，与相比较即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得，足球距离点米时，足球达到最大高度8米，
设抛物线解析式为：，
把代入解析式得：，
解得：，
故抛物线解析式为：；
（2）当时，，
故罗能在空中截住这次吊射．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键．
38．(1)
(2)
(3)①或；②当时，四边形的面积最大．理由见解析
【分析】（1）由一次函数与轴交于点，得，则，再把点代入求出值；
（2）通过由两个一次函数组成方程组求出点的坐标，再由对称知识求出点的坐标，后将、、三点坐标代入即可；
（3）①求出直线、的解析式，再联立解得点的坐标；
②当时四边形的面积最大，求出四边形的面积倍三角形的面积，求出点，的坐标，用含的代数式表示，求出的长即可．
【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，点关于轴的对称点在一次函数的图象上，
点坐标为，
点坐标为，
点在一次函数的图象上，
，
；
（2）解：由方程组，解得，
点坐标为，
又点为点关于原点的对称点，
点坐标为，
一次函数与轴交于点，
点坐标为，
设二次函数对应的函数表达式为，
把，，三点的坐标分别代入，得，解得，
二次函数对应的函数表达式为；
（3）①当四边形为菱形时，，
直线对应的函数表达式为，
直线对应的函数表达式为．
联立方程组．
解得或，
点坐标为或；
②当时，四边形的面积最大．理由如下：
如图，过作，垂足为，过作轴的垂线，交直线于点，
易知，
线段的长固定不变，
当最大时，四边形的面积最大，
易知（固定不变），
当最大时，也最大，
点在二次函数图象上，点在一次函数的图象上，
点坐标为，
点坐标为，
，
当时，有最大值1，此时有最大值，即四边形的面积最大．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解决实际问题以二次函数为载体，与方程（组）、不等式、函数、三角形、四边形综合运用，并使考查用代入法、消元法、配方法、待定系数法等解决问题的能力．
39．D
【分析】观察图象得：二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧，从而得到，，进而得到，故A选项正确；再由抛物线与x轴交于，可得对称轴为直线，故B选项正确；再根据二次函数的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，故选项C正确；再观察图象得：当时，，故D选项不正确，即可求解．
【详解】解：观察图象得：二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴位于y轴的右侧，
∴，，
∴，
∴，故A选项正确，不符合题意；
观察图象得：抛物线与x轴交于，
∴对称轴为直线，故B选项正确，不符合题意；
∵，抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，故选项C正确，不符合题意；
观察图象得：当时，，故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．
40．A
【分析】①代入点的坐标即可求出参数的值；②函数值为0时，可求出与横轴的交点坐标；③代入公式即可求出抛物线的顶点坐标；④把带入后，即可表示出，进而求出h的取值范围；⑤连接交对称轴于点Q，此时的周长最小，再列出方程组即可求出Q点坐标．
【详解】解：①∵抛物线与x轴交于点，与y轴相交于点，
∴可得：，
∴，故①正确；
②∵函数函数值为0，
∴，
∴，
∴时，，
∴B点坐标为，故②正确；
③抛物线的顶点坐标为，故③错误；
④把带入后，，
解得：，
∴h的取值范围是，故④正确；
⑤连接交对称轴于点Q，此时的周长最小，
直线和对称轴联立方程组，
可得，
解得，
∴Q点坐标为，故⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②④⑤，共有4个．
故选：A
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，难度较大，熟练记忆理解二次函数相关性质和充分利用数形结合思想是解题的关键．
41．D
【分析】抛物线图象是由向下平移1个单位所得，作出图象，结合一元二次方程的根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵图象是由向下平移1个单位所得，如图，
∴，选项A错误，不符合题意，
∵
∴两条抛物线对称轴为均为直线，
∴，
∴，选项C错误，不符合题意．
∵二次函数图象与x轴有两个交点，，
∴的两个根为，，
∴，，方程的，
同理可得：，，方程的，
∴，，
∴，，选项D正确，
又∵，，
∴，，
当时，；
当时，；
故选项B错误，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，将方程问题转化为图象交点的问题．解答时注意数形结合的思想．
42．C
【分析】根据条件先推出，设，，利用对应边成比例列出函数关系式，结合抛物线对称轴即可求出，将顶点坐标代入解析式，从而求出的长．
【详解】解：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，，则，
，
整理得，
对称轴为，则，，
即，将点代入得，
解得，
故选 C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定、求二次函数解析式，采用数形结合列出函数关系是解题关键．
43．B
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置判断①；根据顶点的纵坐标判断②；根据对称轴及点C的坐标判断③；根据抛物线与x轴的交点情况判断④⑤．
【详解】解：该抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，
，，
它的对称轴为直线，
，，
，
，故①正确；
该抛物线的顶点在x轴的上方，
它的顶点的纵坐标，故②正确；
它的对称轴为直线，与点C关于直线对称的点的横坐标为4，
当时，，故③正确；
由③知点B的横坐标在4与5之间，
它的对称轴为直线，
点A的横坐标在0与-1之间，
方程其中一个解的取值范围为，
故⑤错误；
故当时，，
，
，
即，故④错误，
故正确的有①②③，共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．
44．##
【分析】设抛物线解析式为，由图象可知，点的坐标，利用待定系数法求解即可．
【详解】设抛物线解析式为，
由图象可知，点的坐标为，
代入解析式得，
解得，
∴该抛物线的解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
45．
【分析】根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值，根据向上平移4个单位即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数有最大值6，
∴设二次函数的顶点坐标为，
∵向左平移1个单位得到，
∴的顶点坐标为，
∵与关于轴对称
∴的顶点坐标为，且开口向上，
∵向上平移4个单位得到：
此时顶点坐标为，则最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键．
46．
【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，
∴与x轴的另一个交点坐标为，
∴时，x的取值范围为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大．
47．
【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】由图象可知，当时，抛物线在直线的上方，
关于的不等式的解集是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．
48．
【分析】由题意可得函数的表达式为，易知点与点关于轴对称，，设，则，则，，，由为等边三角形可得，可得，求出即可得到的长．
【详解】解：∵点在抛物线上，
∴，得：，
即：该二次函数的表达式为：，
∴该函数的对称轴为轴，
∴点与点关于轴对称，
取与轴交点为，
设，则，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，且点与点关于轴对称，
∴，，
则，
∴，
解得：（舍去），
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，表示线段的长度，列出是解决问题的关键．
49．
【分析】将与联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线上可求得，于是可得到抛物线的解析式为 由图形可知当抛物线经过点A和点O时抛物线与菱形的边均有交点，然后将点B和点O的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．
【详解】解：将与联立得
，解得，
∴点B的坐标为．
∵抛物线的顶点在直线上移动，
∴，
∴抛物线的解析式为，
当抛物线经过点，
则，解得，
当抛物线经过点，
则，解得，
综上所述，h的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与二元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与菱形的边均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点O是解题的关键．
50．(1)
(2)水面宽是，它能安全通过此桥
【分析】（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，由待定系数法求出其解即可；
（2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，从而得出此时水面宽度，再比较就可以求出结论．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为不等于，桥拱最高点到水面的距离为米．
则，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，得
船行驶到桥下的时间为：小时，
水位上升的高度为：米．
设此时水面宽为 ，
，
由（1）知：，
∴F纵坐标为，
把代入，得
，
解得：，，
∴，
．
船的速度不变，它能安全通过此桥．
答：该船的速度不变继续向此桥行驶时，水面宽是，它能安全通过此桥．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
51．(1)
(2)①对称轴为直线；②
【分析】（1）先通过解直角三角形求出点A、B的坐标，直接利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①设平移后的解析式为，求出点，再利用待定系数法求函数解析式即可；②过点P作轴于N，则，通过证明，利用相似三角形的性质计算即可．
【详解】（1）∵抛物线（），当时，，
∴，即，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把A、B的坐标代入，得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）①设平移后的解析式为，
∵，
∴P在的中垂线上，
∴，
将坐标代入，得，
∴，
∴新的抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线；
②过点P作轴于N，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象的平移，二次函数与角相等的问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
52．(1)
(2)当点D的坐标为时，平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度；当点D的坐标为时，平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先分和两种情况求出对应的点D的坐标，再设出平移后的抛物线解析式，代入对应的B、D坐标求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，代入点C的坐标得：
，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，，，
∴，
∴只存在和两种情况，
当时，如图1所示，由对称性可知点D的坐标为；
当时，如图2所示，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或；
设平移方式为向右平移m个单位长度，向下平移n个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，
∵平移后的抛物线经过B、D，
当点D的坐标为时，
∴，
解得，
∴平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度；
当点D的坐标为时，
∴，
解得，
∴平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度；
综上所述，当点D的坐标为时，平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度；当点D的坐标为时，平移方式为向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，平行四边形的性质，全等三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
53．(1)7
(2)当时，最大，最大为
【分析】（1）如图所示，过点B作于F，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，设的边上的高为，的边上的高为，利用面积法求出，再根据割补法得到，由此利用三角形面积公式即可得到答案；
（2）如图所示，过点B作于F，设，的边上的高为，仿照（1）中方法用含x的式子表示出，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作于F，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴,
设的边上的高为，的边上的高为，
∴，
∴，
∴

，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点B作于F，设，的边上的高为，
同理可得，，，
∴，
∴
，
∵，（当E恰好经过点D时，），
∴当时，最大，最大为，
∴当时，最大，最大为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
54．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用角平分线的性质和平行线的性质作轴，交于点Q，交x轴于点E，可证得，求的解析式为，设点P的横坐标为t，则有，，，求出，，由求得t值即可解答；
（3）将绕点O顺时针方向旋转，至，可得，，则，求出过点的直线的解析式为，与抛物线联立方程组求得交点；再过C作轴，过B作轴，与交于点F，则四边形为正方形，作关于的对称点G，点G在上，作直线，则直线与抛物线的交点也满足条件，则，与点D重合，则可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵点、在抛物线上，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：作轴，交于点Q，交x轴于点E，如图1所示：
∵轴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为，
将代入，，
∴的解析式为，
设点P的横坐标为t，则有，，，，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
（3）解：存在，或．
当时，，则，
∴，则，
将绕点O顺时针方向旋转，至，如图2所示：
则，，
∴
由题意知，直线过点，
设直线的解析式为，
将，，代入，得：，
解得：，
∴直线BP的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
此时使；
如图2所示，过C作轴，过B作轴，与交于点F，则四边形为正方形，
作关于的对称点G，则点G在上且，
∴，与点D重合，
作直线，则，
∴直线与抛物线的交点也满足条件，
∵点在抛物线上，
∴．
综上，抛物线上存在点P，使，点P的坐标为或．