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    中考数学一轮复习考点微专题(全国通用)考向35 最值问题(“胡不归”和“阿氏圆”)(附答案)
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    中考数学一轮复习考点微专题(全国通用)考向35 最值问题(“胡不归”和“阿氏圆”)(附答案)01
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    中考数学一轮复习考点微专题(全国通用)考向35 最值问题(“胡不归”和“阿氏圆”)(附答案)

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    这是一份中考数学一轮复习考点微专题(全国通用)考向35 最值问题(“胡不归”和“阿氏圆”)(附答案),共40页。

    模型一:“胡不归”
    问题分析
    从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”,虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,当赶到家时,老人刚咽了气,小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?
    看到这里很多人都会有一个疑问,少年究竟能不能提前到家呢?假设可以提早到家,那么他该选择怎样的一条路线呢?这就是今天要讲的“胡不归”问题.
    模型展示:
    如图,一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1,记,
    即求BC+kAC的最小值.
    构造射线AD使得sin∠DAN=k,CH/AC=k,CH=kAC.
    将问题转化为求BC+CH最小值,过B点作BH⊥AD交MN于点C,交AD于H点,此时BC+CH取到最小值,即BC+kAC最小.
    最值解法:在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中,关键是构造与kPB相等的线段,将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.
    模型二:“阿氏圆”
    问题分析:“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”,如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆”。

    模型展示:如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.
    (1)角平分线定理:如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,则.
    证明:,,即
    (2)外角平分线定理:如图,在△ABC中,外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则.
    证明:在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则△ACD≌△AED(SAS),CD=ED且AD平分∠BDE,则,即.
    接下来开始证明步骤:
    如图,PA:PB=k,作∠APB的角平分线交AB于M点,根据角平分线定理,,故M点为定点,即∠APB的角平分线交AB于定点;作∠APB外角平分线交直线AB于N点,根据外角平分线定理,,故N点为定点,即∠APB外角平分线交直线AB于定点;又∠MPN=90°,定边对定角,故P点轨迹是以MN为直径的圆.
    模型最值技巧:
    计算的最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
    问题:在圆上找一点P使得的值最小,解决步骤具体如下:
    ① 如图,将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,OB
    ② 计算出这两条线段的长度比
    ③ 在OB上取一点C,使得,即构造△POM∽△BOP,则,
    ④ 则,当A、P、C三点共线时可得最小值
    【题型探究】
    题型一:胡不归模型
    1.如图,在中,,若D是边上的动点,则的最小值是( )
    A.6B.8C.10D.12
    2.如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠CAB=30°,AD⊥BC,垂足为D,P为线段AD上的一动点,连接PB、PC.则PA+2PB的最小值为 _____.
    3.抛物线分别交x轴于点,,交y轴于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点D,点M为线段OC上的动点,点N为线段AC上的动点,且.
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)线段MN,NC在数量上有何关系,请写出你的理由;
    (3)在M,N移动的过程中,DM+MC是否有最小值,如果有,请写出理由.
    题型二; “阿氏圆”模型
    4.如图,正方形的边长为4,的半径为2,为上的动点,则的最大值是______.
    5.如图所示,,半径为2的圆内切于.为圆上一动点,过点作、分别垂直于的两边,垂足为、,则的取值范围为 ___________.
    6.如图1,抛物线与轴交于两点,与轴交于点,其中点的坐标为,抛物线的对称轴是直线.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)若点是直线下方的抛物线上一个动点,是否存在点使四边形的面积为16,若存在,求出点的坐标若不存在,请说明理由;
    (3)如图2,过点作交抛物线的对称轴于点,以点为圆心,2为半径作,点为上的一个动点,求的最小值.
    【必刷好题】
    一、单选题
    7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=7,AC=9,以C为圆心、3为半径作⊙C,P为⊙C上一动点,连接AP、BP,则AP+BP的最小值为( )
    A.7B.5C.D.
    8.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点,与y轴交于点B(0,﹣3),若P是x轴上一动点,点D(0,1)在y轴上,连接PD,则PD+PC的最小值是( )
    A.4B.2+2C.2D.
    9.如图,在中,,,,若是边上的动点,则的最小值( )
    A.B.C.D.
    二、填空题
    10.如图,在平面直角坐标系中,一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点,若C为x轴上的一动点,则2BC+AC的最小值为__________.
    11.如图,▱中,,,为边上一点,则的最小值为______.
    12.如图,在中,,,半径为的经过点,是圆的切线,且圆的直径在线段上,设点是线段上任意一点不含端点,则的最小值为______.
    13.如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,半径为5的⊙O经过点C,CE是圆O的切线,且圆的直径AB在线段AE上,设点D是线段AC上任意一点(不含端点),则ODCD的最小值为 _____.
    14.如图所示的平面直角坐标系中,,,是第一象限内一动点,,连接、,则的最小值是 ___________.
    15.如图,在中,点A、点在上,,,点在上,且,点是的中点,点是劣弧上的动点,则的最小值为 ___________.
    16.如图,已知正方ABCD的边长为6,圆B的半径为3,点P是圆B上的一个动点,则的最大值为_______.
    17.如图,在Rt中,AB=AC=4,点E,F分别是AB,AC的中点,点P是扇形AEF的上任意一点,连接BP,CP,则BP+CP的最小值是_____.
    18.如图,已知正方形ABCD的边长为4,⊙B的半径为2,点P是⊙B上的一个动点,则PD﹣PC的最大值为_____.
    三、解答题
    19.如图1,抛物线与x轴交于点,与y轴交于点B,在x轴上有一动点(),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.
    (1)求a的值和直线AB的函数表达式:
    (2)设△PMN的周长为,△AEN的周长为,若求m的值.
    (3)如图2,在(2)的条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到,旋转角为(),连接、,求的最小值.
    20.如果有一条直线经过三角形的某个顶点,将三角形分成两个三角形,其中一个三角形与原三角形相似,则称该直线为三角形的“自相似分割线”.如图1,在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=108°,DE垂直平分AB,且交BC于点D,连接AD.
    (1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线;
    (2)如图2,点P为直线DE上一点,当点P运动到什么位置时,PA+PC的值最小?求此时PA+PC的长度.
    (3)如图3,射线CF平分∠ACB,点Q为射线CF上一点,当取最小值时,求∠QAC的正弦值.
    21.在平面直角坐标系中,将二次函数的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧),,经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点,且与抛物线的另一个交点为,的面积为5.
    (1)求抛物线和一次函数的解析式;
    (2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方,求面积的最大值,并求出此时点E的坐标;
    (3)若点为轴上任意一点,在(2)的结论下,求的最小值.
    参考答案:
    1.D
    【分析】过点C作射线,使,再过动点D作,垂足为点F,连接,在中,当A,D,F在同一直线上,即时,的值最小,最小值等于垂线段的长.
    【详解】解:过点C作射线,使,再过动点D作,垂足为点F,连接,如图所示:
    在中,,
    ∴,

    =,
    ∴当A,D,F在同一直线上,即时,的值最小,最小值等于垂线段的长,
    此时,,
    ∴是等边三角形,
    ∴,
    在中,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴的最小值为12,
    故选:D.
    【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加辅助线,构造胡不归模型,学会用转化的思想思考问题,属于中考选择或填空题中的压轴题.
    2.4
    【分析】在∠BAC的外部作∠CAE=15°,作BF⊥AE于F,交AD于P,此时PA+2PB=2==2BF,通过解直角三角形ABF,进一步求得结果.
    【详解】解:如图,
    在∠BAC的外部作∠CAE=15°,作BF⊥AE于F,交AD于P,
    此时PA+2PB最小,
    ∴∠AFB=90°
    ∵AB=AC,AD⊥BC,
    ∴∠CAD=∠BAD=,
    ∴∠EAD=∠CAE+∠CAD=30°,
    ∴PF=,
    ∴PA+2PB=2==2BF,
    在Rt△ABF中,AB=4,∠BAF=∠BAC+∠CAE=45°,
    ∴BF=AB•sin45°=4,
    ∴(PA+2PB)最大=2BF=,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,解直角直角三角形,解题的关键是作辅助线.
    3.(1)
    (2),见解析
    (3)有,最小值为
    【分析】(1)利用待定系数法即可求解;
    (2)在中,,,根据,有,即可得,问题得解;
    (3)先求出,即,即有,则的最小值是的最小值,即点D到AC的垂线段DN的长,问题随之得解.
    【详解】(1)把点,代入抛物线中得:
    ,解得:,
    ∴抛物线的解析式为:;
    (2),
    理由是:如图1,
    令,则,即,
    ∵,,
    ∴,,,
    在中,,,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴;
    (3)在M,N移动的过程中,有最小值是,理由如下:
    由(2)知:,
    ∴,即,
    ∴,
    ∴的最小值是的最小值,即D、M、N三点共线时,点D到AC的垂线段DN的长,如图2,
    抛物线解析式为:;
    ∴对称轴是:,即,
    ∴,
    在中,,
    ∴,
    即,
    ∴在M,N移动的过程中,有最小值是.
    【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式,二次函数的性质,解直角三角形以及垂线段最短等知识.题目难度不大,细心作答即可.掌握二次函数的性质是解答本题的关键.
    4.2
    【分析】解法1,如图:以为斜边构造等腰直角三角形,连接,,连接、,推得,因为,求出即可求出答案.
    解法2:如图:连接、、,在上做点,使,连接,证明,在上做点,使,连接,证明,接着推导出,最后证明,即可求解.
    【详解】解法1
    如图:以为斜边构造等腰直角三角形,连接,,
    ∴,,
    四边形正方形

    又,
    在与中

    故答案为:2.
    解法2
    如图:连接、、
    根据题意正方形的边长为4,的半径为2

    在上做点,使,则,连接
    在与中

    ,则
    在上做点,使,则,连接
    在与中

    ,则
    如图所示连接
    在与中
    ,,
    故答案为:2.
    【点睛】本题考查正方形的性质,相似三角形,勾股定理等知识,难度较大,熟悉以上知识点运用是解题关键.
    5.
    【分析】根据题意,本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型,首先作于,作于,如图所示,通过代换,将转化为,得到当与相切时,取得最大值和最小值,分两种情况,作出图形,数形结合解直角三角形即可得到相应最值,进而得到取值范围.
    【详解】解:作于,作于,如图所示:
    ,,






    当与相切时,取得最大和最小,
    ①连接,,,如图1所示:
    可得:四边形是正方形,

    在中,,

    在中,,
    ,即;
    ②连接,,,如图2所示:
    可得:四边形是正方形,

    由上同理可知:在中,,

    在中,,
    ,即,

    故答案为:.
    【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”,难度较大,掌握解决动点最值问题的方法,熟记相关几何知识,尤其是圆的相关知识是解决问题的关键.
    6.(1)
    (2)或
    (3)
    【分析】(1)根据点的坐标为,抛物线的对称轴是直线.待定系数法求二次函数解析式即可,
    (2)先求得直线解析式,设,则,过点作轴交直线于点,根据等于16建立方程,解一元二次方程即可求得的值,然后求得的坐标,
    (3)在上取,过点作,构造,则当三点共线时,取得最小值,最小值为,勾股定理解直角三形即可.
    (1)
    解:∵抛物线与轴交于两点,与轴交于点,点的坐标为,抛物线的对称轴是直线,
    ∴,

    解得,
    抛物线解析式为:,
    (2)
    当,即,
    解得,


    设直线解析式为,

    解得,
    直线解析式为,
    设,过点作轴交直线于点,
    则,

    四边形的面积为16,

    解得,
    或,
    (3)
    如图,过点作交抛物线的对称轴于点,以点为圆心,2为半径作,
    是抛物线的对称轴,


    ,,


    在上取,过点作,交轴于点,交抛物线对称轴于点,则,


    ,,




    当三点共线时,取得最小值,最小值为,

    则的最小值为.
    【点睛】本题考查了二次函数综合,相似三角形的性质与判定,掌握二次函数的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键.
    7.B
    【详解】思路引领:如图,在CA上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM.利用相似三角形的性质证明MPPA,可得AP+BP=PM+PB≥BM,利用勾股定理求出BM即可解决问题.
    答案详解:如图,在CA上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM.
    ∵PC=3,CM=1,CA=9,
    ∴PC2=CM•CA,
    ∴,
    ∵∠PCM=∠ACP,
    ∴△PCM∽△ACP,
    ∴,
    ∴PMPA,
    ∴AP+BP=PM+PB,
    ∵PM+PB≥BM,
    在Rt△BCM中,∵∠BCM=90°,CM=1,BC=7,
    ∴BM5,
    ∴AP+BP≥5,
    ∴AP+BP的最小值为5.
    故选:B.
    8.A
    【分析】过点P作PJ⊥BC于J,过点D作DH⊥BC于H.根据,求出的最小值即可解决问题.
    【详解】解:过点P作PJ⊥BC于J,过点D作DH⊥BC于H.
    ∵二次函数y=x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B(0,﹣3),
    ∴c=﹣3,
    ∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3,令y=0,x2﹣2x﹣3=0,
    解得x=﹣1或3,
    ∴A(﹣1,0),B(0,-3),
    ∴OB=OC=3,
    ∵∠BOC=90°,
    ∴∠OBC=∠OCB=45°,
    ∵D(0,1),
    ∴OD=1,BD=4,
    ∵DH⊥BC,
    ∴∠DHB=90°,
    设,则,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵PJ⊥CB,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴DP+PJ的最小值为,
    ∴的最小值为4.
    故选:A.
    【点睛】本题考查了二次函数的相关性质,以及等腰直角三角形的判定和性质,垂线段最短等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题.
    9.B
    【分析】作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E,易得2DE = CD,AD= A'D,从而得出AD+ DE = A'D+ DE,当A',D, E在同一直线上时,AD + DE的最小值等于A' E的长是3,进而求出2AD十CD的最小值.
    【详解】如图所示,作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E
    ∵∠BAC = 90,∠B = 60,AB= 2
    ∴BH=1,AH=,AA'=2,∠C= 30
    ∴DE =CD,即2DE = CD
    ∵A与A'关于BC对称
    ∴AD= A'D
    ∴AD+ DE = A'D+ DE
    ∴当A',D, E在同一直线上时
    AD + DE的最小值等于A' E的长,
    在Rt△AA' E中:A' E= sin60×AA'=×2= 3
    ∴AD十DE的最小值为3
    ∴2AD十CD的最小值为6
    故选B
    【点睛】本题主要考查了三角形的动点最值问题,做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键.
    10.6
    【分析】先求出点A,点B坐标,由勾股定理可求AB的长,作点B关于OA的对称点,可证是等边三角形,由直角三角形的性质可得CH=AC,则,即当点,点C,点H三点共线时,有最小值,即2BC+AC有最小值,由直角三角形的性质可求解.
    【详解】解:∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点,
    ∴点A(3,0),点,
    ∴AO=3,,
    ∴,
    作点B关于OA的对称点,连接 ,,过点C作CH⊥AB于H,如图所示:
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴是等边三角形,
    ∵,
    ∴,
    ∵CH⊥AB,
    ∴,
    ∴,
    ∴当点,点C,点H三点共线时,有最小值,即2BC+AC有最小值,
    此时,,是等边三角形,
    ∴,,
    ∴,
    ∴2BC+AC的最小值为6.
    故答案为:6.
    【点睛】本题是胡不归问题,考查了一次函数的性质,等边三角形的判定和性质,直角三角形的性质,确定点C的位置是解题的关键.
    11.
    【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H,由直角三角形的性质可得HP=DP,因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB),当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值,即PD十2PB有最小值,即可求解.
    【详解】如图,过点作,交的延长线于,

    四边形是平行四边形,


    ∵PH丄AD

    ∴,,

    当点,点,点三点共线时,HP+PB有最小值,即有最小值,
    此时 ,,,
    ∴ ,
    则最小值为,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了胡不归问题,平行四边形的性质,直角三角形的性质,垂线段最短等知识.构造直角三角形是解题的关键.
    12.
    【分析】过点作关于的平行线,过点作垂直于该平行线于,可将转化为,此时就等于,当共线时,即为所要求的最小值.
    【详解】解:如图所示,过点作关于的平行线,过点作垂直于该平行线于,

    ,,,

    ,,


    当,,三点共线,即在图中在位置,在位置的时候有最小,
    当,,三点共线时,有最小值,
    此时,
    的最小值为,
    故答案为.
    【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题,解题的关键是在于将进行转换.
    13.
    【分析】作OF平分∠AOC,交⊙O于F,连接AF、CF、DF,易证四边形AOCF是菱形,根据对称性可得DF=DO.过点D作DH⊥OC于H,易得DH=DC,从而有CD+OD=DH+FD.根据两点之间线段最短可得:当F、D、H三点共线时,DH+FD(即CD+OD)最小,然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题.
    【详解】解:作OF平分∠AOC,交⊙O于F,连接AF、CF、DF,如图所示,
    ∵OA=OC,
    ∴∠OCA=∠OAC=30°,
    ∴∠COB=60°,
    则∠AOF=∠COF=∠AOC=(180°-60°)=60°.
    ∵OA=OF=OC,
    ∴△AOF、△COF是等边三角形,
    ∴AF=AO=OC=FC,
    ∴四边形AOCF是菱形,
    ∴根据对称性可得DF=DO.
    过点D作DH⊥OC于H,则DH =DC,
    ∴CD+OD=DH+FD.
    根据两点之间线段最短可得,
    当F、D、H三点共线时,DH+FD(即CD+OD)最小,
    ∵OF=OA=5,
    ∴,

    即CD+OD的最小值为.
    故答案为:.
    【点睛】本题主要考查了圆半径相等的性质,等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质,勾股定理等知识,把CD+OD转化为DH+FD是解题的关键.
    14.
    【分析】取点,连接,.根据,有,即可证明,即有,进而可得,则有,利用勾股定理可得,则有,问题得解.
    【详解】解:如图,取点,连接,.
    ,,,
    ,,,










    ,(当B、P、T三点共线时取等号)
    的最小值为.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查阿氏圆问题,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题.
    15.
    【分析】延长到,使得,连接,,利用相似三角形的性质证明,求的最小值问题转化为求的最小值.求出即可判断.
    【详解】解:延长到,使得,连接,.
    ,,,







    又在中,,,,


    的最小值为,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题.
    16.
    【分析】如图,连接,在上取一点,使得,进而证明,则在点P运动的任意时刻,均有PM=,从而将问题转化为求PD-PM的最大值.连接PD,在△PDM中,PD-PM<DM,故当D、M、P共线时,PD-PM=DM为最大值,勾股定理即可求得.
    【详解】如图,连接,在上取一点,使得,

    在△PDM中,PD-PM<DM,
    当D、M、P共线时,PD-PM=DM为最大值,
    四边形是正方形
    在中,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了圆的性质,相似三角形的性质与判定,勾股定理,构造是解题的关键.
    17..
    【分析】在AB上取一点T,使得AT=1,连接PT,PA,CT.证明,推出==,推出PT=PB,推出PB+CP=CP+PT,根据PC+PT≥TC,求出CT即可解决问题.
    【详解】解:在AB上取一点T,使得AT=1,连接PT,PA,CT.
    ∵PA=2.AT=1,AB=4,
    ∴PA2=AT•AB,
    ∴=,
    ∵∠PAT=∠PAB,
    ∴,
    ∴==,
    ∴PT=PB,
    ∴PB+CP=CP+PT,
    ∵PC+PT≥TC,
    在Rt中,
    ∵∠CAT=90°,AT=1,AC=4,
    ∴CT==,
    ∴PB+PC≥,
    ∴PB+PC的最小值为.
    故答案为.
    【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质,三角形相似的判定与性质,勾股定理的应用,三角形的三边关系,圆的基本性质,掌握以上知识是解题的关键.
    18.5
    【详解】分析: 由PD−PC=PD−PG≤DG,当点P在DG的延长线上时,PD−PC的值最大,最大值为DG=5.
    详解: 在BC上取一点G,使得BG=1,如图,
    ∵,,
    ∴,
    ∵∠PBG=∠PBC,
    ∴△PBG∽△CBP,
    ∴,
    ∴PG=PC,
    当点P在DG的延长线上时,PD−PC的值最大,最大值为DG==5.
    故答案为5
    点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会构建相似三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,把问题转化为两点之间线段最短解决,题目比较难,属于中考压轴题.
    19.(1)a=-.直线AB解析式为y=-x+3;
    (2)2
    (3)
    【分析】(1)令y=0,求出抛物线与x轴交点,列出方程即可求出a,根据待定系数法可以确定直线AB解析式;
    (2)由△PNM∽△ANE,推出,列出方程即可解决问题;
    (3)在y轴上 取一点M使得OM′=,构造相似三角形,可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值.
    【详解】(1)令y=0,则ax2+(a+3)x+3=0,
    ∴(x+1)(ax+3)=0,
    ∴x=-1或-,
    ∵抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),
    ∴-=4,
    ∴a=-.
    ∵A(4,0),B(0,3),
    设直线AB解析式为y=kx+b,则,
    解得,
    ∴直线AB解析式为y=-x+3;
    (2)如图1,
    ∵PM⊥AB,PE⊥OA,
    ∴∠PMN=∠AEN,
    ∵∠PNM=∠ANE,
    ∴△PNM∽△ANE,

    ∴,
    ∵NE∥OB,
    ∴,
    ∴,
    ∵抛物线解析式为,
    ∴,
    ∴,
    解得m=2或4,
    经检验x=4是分式方程的增根,
    ∴m=2;
    (3)如图2,在y轴上 取一点M′使得OM′=,连接AM′,在AM′上取一点E′使得OE′=OE.
    ∵OE′=2,OM′•OB=,
    ∴OE′2=OM′•OB,
    ∴,
    ∵∠BOE′=∠M′OE′,
    ∴△M′OE′∽△E′OB,
    ∴,
    ∴,
    ∴,此时最小(两点间线段最短,A、M′、E′共线时),
    最小值.
    【点睛】本题为二次函数综合题,主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识,解题的关键是构造相似三角形,找到线段AM′就是的最小值.
    20.(1)直线AD是△ABC的自相似分割线;
    (2)当点运动到点时,PA+PC的值最小,此时;
    (3)∠QAC的正弦值为
    【分析】(1)根据定义证明△DBA∽△ABC即可得证;
    (2)根据垂直平分线的性质可得,当点与重合时,,此时最小,设,则
    根据,列出方程,解方程求解即可求得,进而即可求得的长,即最小值;
    (3)过点作于点,过点作于点,连接,设与交于点,根据已知条件求得,进而转化为,则当点落在上时,点与点重合,此时的值最小,最小值为,进而根据求解即可.
    (1)
    ∵△ABC中,AB=AC=1,∠BAC = 108°
    ∴∠B =∠C =(180°-∠BAC)= 36°
    ∵DE垂直平分AB
    ∴AD = BD
    ∴∠B =∠BAD = 36°
    ∴∠C =∠BAD
    又∵∠B =∠B
    ∴△DBA∽△ABC
    ∴直线AD是△ABC的自相似分割线.
    (2)
    如图,连接,,
    垂直平分AB,
    当点与重合时,,此时最小,

    设,则
    解得:
    PA+PC=
    当点运动到点时,PA+PC的值最小,此时;
    (3)
    如图,过点作于点,过点作于点,连接,设与交于点,

    由(2)知,
    平分
    点落在上时,点与点重合,
    即此时的值最小,最小值为
    ∠QAC的正弦值为
    【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,求角的正弦,垂直平分线的性质,两点之间线段最短,垂线段最短,胡不归问题,转化线段是解题的关键.
    21.(1);;(2)的面积最大值是,此时点坐标为;(3)的最小值是3.
    【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式,再把点代入可求得的值,由的面积为5可求出点的纵坐标,代入抛物线解析式可求出横坐标,由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式;
    (2)作轴交于,如图,利用三角形面积公式,由构建关于E点横坐标的二次函数,然后利用二次函数的性质即可解决问题;
    (3)作关于轴的对称点,过点作于点,交轴于点,则,利用锐角三角函数的定义可得出,此时最小,求出最小值即可.
    【详解】解:(1)将二次函数的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到的抛物线解析式为,
    ∵,∴点的坐标为,
    代入抛物线的解析式得,,∴,
    ∴抛物线的解析式为,即.
    令,解得,,∴,
    ∴,
    ∵的面积为5,∴,∴,
    代入抛物线解析式得,,解得,,∴,
    设直线的解析式为,
    ∴,解得:,
    ∴直线的解析式为.
    (2)过点作轴交于,如图,设,则,
    ∴,
    ∴,,
    ∴当时,的面积有最大值,最大值是,此时点坐标为.
    (3)作关于轴的对称点,连接交轴于点,过点作于点,交轴于点,
    ∵,,
    ∴,,∴,
    ∵,
    ∴,∴,
    ∵、关于轴对称,∴,
    ∴,此时最小,
    ∵,,
    ∴,
    ∴.
    ∴的最小值是3.
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