中考数学一轮复习考点微专题(全国通用)考向35 最值问题(“胡不归”和“阿氏圆”)(附答案)
展开模型一:“胡不归”
问题分析
从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”,虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地,但他义无反顾踏上归途,当赶到家时,老人刚咽了气,小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说,老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?
看到这里很多人都会有一个疑问,少年究竟能不能提前到家呢?假设可以提早到家,那么他该选择怎样的一条路线呢?这就是今天要讲的“胡不归”问题.
模型展示:
如图,一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1
即求BC+kAC的最小值.
构造射线AD使得sin∠DAN=k,CH/AC=k,CH=kAC.
将问题转化为求BC+CH最小值,过B点作BH⊥AD交MN于点C,交AD于H点,此时BC+CH取到最小值,即BC+kAC最小.
最值解法:在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中,关键是构造与kPB相等的线段,将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.
模型二:“阿氏圆”
问题分析:“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”,如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆”。
模型展示:如下图,已知A、B两点,点P满足PA:PB=k(k≠1),则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.
(1)角平分线定理:如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,则.
证明:,,即
(2)外角平分线定理:如图,在△ABC中,外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则.
证明:在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则△ACD≌△AED(SAS),CD=ED且AD平分∠BDE,则,即.
接下来开始证明步骤:
如图,PA:PB=k,作∠APB的角平分线交AB于M点,根据角平分线定理,,故M点为定点,即∠APB的角平分线交AB于定点;作∠APB外角平分线交直线AB于N点,根据外角平分线定理,,故N点为定点,即∠APB外角平分线交直线AB于定点;又∠MPN=90°,定边对定角,故P点轨迹是以MN为直径的圆.
模型最值技巧:
计算的最小值时,利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题:在圆上找一点P使得的值最小,解决步骤具体如下:
① 如图,将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP,OB
② 计算出这两条线段的长度比
③ 在OB上取一点C,使得,即构造△POM∽△BOP,则,
④ 则,当A、P、C三点共线时可得最小值
【题型探究】
题型一:胡不归模型
1.如图,在中,,若D是边上的动点,则的最小值是( )
A.6B.8C.10D.12
2.如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠CAB=30°,AD⊥BC,垂足为D,P为线段AD上的一动点,连接PB、PC.则PA+2PB的最小值为 _____.
3.抛物线分别交x轴于点,,交y轴于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点D,点M为线段OC上的动点,点N为线段AC上的动点,且.
(1)求抛物线的表达式;
(2)线段MN,NC在数量上有何关系,请写出你的理由;
(3)在M,N移动的过程中,DM+MC是否有最小值,如果有,请写出理由.
题型二; “阿氏圆”模型
4.如图,正方形的边长为4,的半径为2,为上的动点,则的最大值是______.
5.如图所示,,半径为2的圆内切于.为圆上一动点,过点作、分别垂直于的两边,垂足为、,则的取值范围为 ___________.
6.如图1,抛物线与轴交于两点,与轴交于点,其中点的坐标为,抛物线的对称轴是直线.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点是直线下方的抛物线上一个动点,是否存在点使四边形的面积为16,若存在,求出点的坐标若不存在,请说明理由;
(3)如图2,过点作交抛物线的对称轴于点,以点为圆心,2为半径作,点为上的一个动点,求的最小值.
【必刷好题】
一、单选题
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=7,AC=9,以C为圆心、3为半径作⊙C,P为⊙C上一动点,连接AP、BP,则AP+BP的最小值为( )
A.7B.5C.D.
8.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点,与y轴交于点B(0,﹣3),若P是x轴上一动点,点D(0,1)在y轴上,连接PD,则PD+PC的最小值是( )
A.4B.2+2C.2D.
9.如图,在中,,,,若是边上的动点,则的最小值( )
A.B.C.D.
二、填空题
10.如图,在平面直角坐标系中,一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点,若C为x轴上的一动点,则2BC+AC的最小值为__________.
11.如图,▱中,,,为边上一点,则的最小值为______.
12.如图,在中,,,半径为的经过点,是圆的切线,且圆的直径在线段上,设点是线段上任意一点不含端点,则的最小值为______.
13.如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,半径为5的⊙O经过点C,CE是圆O的切线,且圆的直径AB在线段AE上,设点D是线段AC上任意一点(不含端点),则ODCD的最小值为 _____.
14.如图所示的平面直角坐标系中,,,是第一象限内一动点,,连接、,则的最小值是 ___________.
15.如图,在中,点A、点在上,,,点在上,且,点是的中点,点是劣弧上的动点,则的最小值为 ___________.
16.如图,已知正方ABCD的边长为6,圆B的半径为3,点P是圆B上的一个动点,则的最大值为_______.
17.如图,在Rt中,AB=AC=4,点E,F分别是AB,AC的中点,点P是扇形AEF的上任意一点,连接BP,CP,则BP+CP的最小值是_____.
18.如图,已知正方形ABCD的边长为4,⊙B的半径为2,点P是⊙B上的一个动点,则PD﹣PC的最大值为_____.
三、解答题
19.如图1,抛物线与x轴交于点,与y轴交于点B,在x轴上有一动点(),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.
(1)求a的值和直线AB的函数表达式:
(2)设△PMN的周长为,△AEN的周长为,若求m的值.
(3)如图2,在(2)的条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到,旋转角为(),连接、,求的最小值.
20.如果有一条直线经过三角形的某个顶点,将三角形分成两个三角形,其中一个三角形与原三角形相似,则称该直线为三角形的“自相似分割线”.如图1,在△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=108°,DE垂直平分AB,且交BC于点D,连接AD.
(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线;
(2)如图2,点P为直线DE上一点,当点P运动到什么位置时,PA+PC的值最小?求此时PA+PC的长度.
(3)如图3,射线CF平分∠ACB,点Q为射线CF上一点,当取最小值时,求∠QAC的正弦值.
21.在平面直角坐标系中,将二次函数的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧),,经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点,且与抛物线的另一个交点为,的面积为5.
(1)求抛物线和一次函数的解析式;
(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方,求面积的最大值,并求出此时点E的坐标;
(3)若点为轴上任意一点,在(2)的结论下,求的最小值.
参考答案:
1.D
【分析】过点C作射线,使,再过动点D作,垂足为点F,连接,在中,当A,D,F在同一直线上,即时,的值最小,最小值等于垂线段的长.
【详解】解:过点C作射线,使,再过动点D作,垂足为点F,连接,如图所示:
在中,,
∴,
∵
=,
∴当A,D,F在同一直线上,即时,的值最小,最小值等于垂线段的长,
此时,,
∴是等边三角形,
∴,
在中,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴的最小值为12,
故选:D.
【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加辅助线,构造胡不归模型,学会用转化的思想思考问题,属于中考选择或填空题中的压轴题.
2.4
【分析】在∠BAC的外部作∠CAE=15°,作BF⊥AE于F,交AD于P,此时PA+2PB=2==2BF,通过解直角三角形ABF,进一步求得结果.
【详解】解:如图,
在∠BAC的外部作∠CAE=15°,作BF⊥AE于F,交AD于P,
此时PA+2PB最小,
∴∠AFB=90°
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠CAD=∠BAD=,
∴∠EAD=∠CAE+∠CAD=30°,
∴PF=,
∴PA+2PB=2==2BF,
在Rt△ABF中,AB=4,∠BAF=∠BAC+∠CAE=45°,
∴BF=AB•sin45°=4,
∴(PA+2PB)最大=2BF=,
故答案为:.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,解直角直角三角形,解题的关键是作辅助线.
3.(1)
(2),见解析
(3)有,最小值为
【分析】(1)利用待定系数法即可求解;
(2)在中,,,根据,有,即可得,问题得解;
(3)先求出,即,即有,则的最小值是的最小值,即点D到AC的垂线段DN的长,问题随之得解.
【详解】(1)把点,代入抛物线中得:
,解得:,
∴抛物线的解析式为:;
(2),
理由是:如图1,
令,则,即,
∵,,
∴,,,
在中,,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴;
(3)在M,N移动的过程中,有最小值是,理由如下:
由(2)知:,
∴,即,
∴,
∴的最小值是的最小值,即D、M、N三点共线时,点D到AC的垂线段DN的长,如图2,
抛物线解析式为:;
∴对称轴是:,即,
∴,
在中,,
∴,
即,
∴在M,N移动的过程中,有最小值是.
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式,二次函数的性质,解直角三角形以及垂线段最短等知识.题目难度不大,细心作答即可.掌握二次函数的性质是解答本题的关键.
4.2
【分析】解法1,如图:以为斜边构造等腰直角三角形,连接,,连接、,推得,因为,求出即可求出答案.
解法2:如图:连接、、,在上做点,使,连接,证明,在上做点,使,连接,证明,接着推导出,最后证明,即可求解.
【详解】解法1
如图:以为斜边构造等腰直角三角形,连接,,
∴,,
四边形正方形
,
又,
在与中
,
故答案为:2.
解法2
如图:连接、、
根据题意正方形的边长为4,的半径为2
,
在上做点,使,则,连接
在与中
,
,则
在上做点,使,则,连接
在与中
,
,则
如图所示连接
在与中
,,
故答案为:2.
【点睛】本题考查正方形的性质,相似三角形,勾股定理等知识,难度较大,熟悉以上知识点运用是解题关键.
5.
【分析】根据题意,本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型,首先作于,作于,如图所示,通过代换,将转化为,得到当与相切时,取得最大值和最小值,分两种情况,作出图形,数形结合解直角三角形即可得到相应最值,进而得到取值范围.
【详解】解:作于,作于,如图所示:
,,
,
,
,
,
,
,
当与相切时,取得最大和最小,
①连接,,,如图1所示:
可得:四边形是正方形,
,
在中,,
,
在中,,
,即;
②连接,,,如图2所示:
可得:四边形是正方形,
,
由上同理可知:在中,,
,
在中,,
,即,
.
故答案为:.
【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”,难度较大,掌握解决动点最值问题的方法,熟记相关几何知识,尤其是圆的相关知识是解决问题的关键.
6.(1)
(2)或
(3)
【分析】(1)根据点的坐标为,抛物线的对称轴是直线.待定系数法求二次函数解析式即可,
(2)先求得直线解析式,设,则,过点作轴交直线于点,根据等于16建立方程,解一元二次方程即可求得的值,然后求得的坐标,
(3)在上取,过点作,构造,则当三点共线时,取得最小值,最小值为,勾股定理解直角三形即可.
(1)
解:∵抛物线与轴交于两点,与轴交于点,点的坐标为,抛物线的对称轴是直线,
∴,
,
解得,
抛物线解析式为:,
(2)
当,即,
解得,
,
,
设直线解析式为,
,
解得,
直线解析式为,
设,过点作轴交直线于点,
则,
,
四边形的面积为16,
,
解得,
或,
(3)
如图,过点作交抛物线的对称轴于点,以点为圆心,2为半径作,
是抛物线的对称轴,
,
,
,,
,
,
在上取,过点作,交轴于点,交抛物线对称轴于点,则,
,
,
,,
,
,
,
,
当三点共线时,取得最小值,最小值为,
.
则的最小值为.
【点睛】本题考查了二次函数综合,相似三角形的性质与判定,掌握二次函数的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键.
7.B
【详解】思路引领:如图,在CA上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM.利用相似三角形的性质证明MPPA,可得AP+BP=PM+PB≥BM,利用勾股定理求出BM即可解决问题.
答案详解:如图,在CA上截取CM,使得CM=1,连接PM,PC,BM.
∵PC=3,CM=1,CA=9,
∴PC2=CM•CA,
∴,
∵∠PCM=∠ACP,
∴△PCM∽△ACP,
∴,
∴PMPA,
∴AP+BP=PM+PB,
∵PM+PB≥BM,
在Rt△BCM中,∵∠BCM=90°,CM=1,BC=7,
∴BM5,
∴AP+BP≥5,
∴AP+BP的最小值为5.
故选:B.
8.A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J,过点D作DH⊥BC于H.根据,求出的最小值即可解决问题.
【详解】解:过点P作PJ⊥BC于J,过点D作DH⊥BC于H.
∵二次函数y=x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B(0,﹣3),
∴c=﹣3,
∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3,令y=0,x2﹣2x﹣3=0,
解得x=﹣1或3,
∴A(﹣1,0),B(0,-3),
∴OB=OC=3,
∵∠BOC=90°,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
∵D(0,1),
∴OD=1,BD=4,
∵DH⊥BC,
∴∠DHB=90°,
设,则,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵PJ⊥CB,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴DP+PJ的最小值为,
∴的最小值为4.
故选:A.
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质,以及等腰直角三角形的判定和性质,垂线段最短等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题.
9.B
【分析】作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E,易得2DE = CD,AD= A'D,从而得出AD+ DE = A'D+ DE,当A',D, E在同一直线上时,AD + DE的最小值等于A' E的长是3,进而求出2AD十CD的最小值.
【详解】如图所示,作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E
∵∠BAC = 90,∠B = 60,AB= 2
∴BH=1,AH=,AA'=2,∠C= 30
∴DE =CD,即2DE = CD
∵A与A'关于BC对称
∴AD= A'D
∴AD+ DE = A'D+ DE
∴当A',D, E在同一直线上时
AD + DE的最小值等于A' E的长,
在Rt△AA' E中:A' E= sin60×AA'=×2= 3
∴AD十DE的最小值为3
∴2AD十CD的最小值为6
故选B
【点睛】本题主要考查了三角形的动点最值问题,做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键.
10.6
【分析】先求出点A,点B坐标,由勾股定理可求AB的长,作点B关于OA的对称点,可证是等边三角形,由直角三角形的性质可得CH=AC,则,即当点,点C,点H三点共线时,有最小值,即2BC+AC有最小值,由直角三角形的性质可求解.
【详解】解:∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点,
∴点A(3,0),点,
∴AO=3,,
∴,
作点B关于OA的对称点,连接 ,,过点C作CH⊥AB于H,如图所示:
∴,
∴,
∴,
∴是等边三角形,
∵,
∴,
∵CH⊥AB,
∴,
∴,
∴当点,点C,点H三点共线时,有最小值,即2BC+AC有最小值,
此时,,是等边三角形,
∴,,
∴,
∴2BC+AC的最小值为6.
故答案为:6.
【点睛】本题是胡不归问题,考查了一次函数的性质,等边三角形的判定和性质,直角三角形的性质,确定点C的位置是解题的关键.
11.
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H,由直角三角形的性质可得HP=DP,因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB),当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值,即PD十2PB有最小值,即可求解.
【详解】如图,过点作,交的延长线于,
四边形是平行四边形,
,
∴
∵PH丄AD
∴
∴,,
∴
当点,点,点三点共线时,HP+PB有最小值,即有最小值,
此时 ,,,
∴ ,
则最小值为,
故答案为:.
【点睛】本题考查了胡不归问题,平行四边形的性质,直角三角形的性质,垂线段最短等知识.构造直角三角形是解题的关键.
12.
【分析】过点作关于的平行线,过点作垂直于该平行线于,可将转化为,此时就等于,当共线时,即为所要求的最小值.
【详解】解:如图所示,过点作关于的平行线,过点作垂直于该平行线于,
,,,
,
,,
,
,
当,,三点共线,即在图中在位置,在位置的时候有最小,
当,,三点共线时,有最小值,
此时,
的最小值为,
故答案为.
【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题,解题的关键是在于将进行转换.
13.
【分析】作OF平分∠AOC,交⊙O于F,连接AF、CF、DF,易证四边形AOCF是菱形,根据对称性可得DF=DO.过点D作DH⊥OC于H,易得DH=DC,从而有CD+OD=DH+FD.根据两点之间线段最短可得:当F、D、H三点共线时,DH+FD(即CD+OD)最小,然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题.
【详解】解:作OF平分∠AOC,交⊙O于F,连接AF、CF、DF,如图所示,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC=30°,
∴∠COB=60°,
则∠AOF=∠COF=∠AOC=(180°-60°)=60°.
∵OA=OF=OC,
∴△AOF、△COF是等边三角形,
∴AF=AO=OC=FC,
∴四边形AOCF是菱形,
∴根据对称性可得DF=DO.
过点D作DH⊥OC于H,则DH =DC,
∴CD+OD=DH+FD.
根据两点之间线段最短可得,
当F、D、H三点共线时,DH+FD(即CD+OD)最小,
∵OF=OA=5,
∴,
∴
即CD+OD的最小值为.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了圆半径相等的性质,等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质,勾股定理等知识,把CD+OD转化为DH+FD是解题的关键.
14.
【分析】取点,连接,.根据,有,即可证明,即有,进而可得,则有,利用勾股定理可得,则有,问题得解.
【详解】解:如图,取点,连接,.
,,,
,,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,(当B、P、T三点共线时取等号)
的最小值为.
故答案为:.
【点睛】本题考查阿氏圆问题,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题.
15.
【分析】延长到,使得,连接,,利用相似三角形的性质证明,求的最小值问题转化为求的最小值.求出即可判断.
【详解】解:延长到,使得,连接,.
,,,
,
,
,
,
,
,
,
又在中,,,,
,
,
的最小值为,
故答案为:.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题.
16.
【分析】如图,连接,在上取一点,使得,进而证明,则在点P运动的任意时刻,均有PM=,从而将问题转化为求PD-PM的最大值.连接PD,在△PDM中,PD-PM<DM,故当D、M、P共线时,PD-PM=DM为最大值,勾股定理即可求得.
【详解】如图,连接,在上取一点,使得,
,
在△PDM中,PD-PM<DM,
当D、M、P共线时,PD-PM=DM为最大值,
四边形是正方形
在中,
故答案为:.
【点睛】本题考查了圆的性质,相似三角形的性质与判定,勾股定理,构造是解题的关键.
17..
【分析】在AB上取一点T,使得AT=1,连接PT,PA,CT.证明,推出==,推出PT=PB,推出PB+CP=CP+PT,根据PC+PT≥TC,求出CT即可解决问题.
【详解】解:在AB上取一点T,使得AT=1,连接PT,PA,CT.
∵PA=2.AT=1,AB=4,
∴PA2=AT•AB,
∴=,
∵∠PAT=∠PAB,
∴,
∴==,
∴PT=PB,
∴PB+CP=CP+PT,
∵PC+PT≥TC,
在Rt中,
∵∠CAT=90°,AT=1,AC=4,
∴CT==,
∴PB+PC≥,
∴PB+PC的最小值为.
故答案为.
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质,三角形相似的判定与性质,勾股定理的应用,三角形的三边关系,圆的基本性质,掌握以上知识是解题的关键.
18.5
【详解】分析: 由PD−PC=PD−PG≤DG,当点P在DG的延长线上时,PD−PC的值最大,最大值为DG=5.
详解: 在BC上取一点G,使得BG=1,如图,
∵,,
∴,
∵∠PBG=∠PBC,
∴△PBG∽△CBP,
∴,
∴PG=PC,
当点P在DG的延长线上时,PD−PC的值最大,最大值为DG==5.
故答案为5
点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会构建相似三角形解决问题,学会用转化的思想思考问题,把问题转化为两点之间线段最短解决,题目比较难,属于中考压轴题.
19.(1)a=-.直线AB解析式为y=-x+3;
(2)2
(3)
【分析】(1)令y=0,求出抛物线与x轴交点,列出方程即可求出a,根据待定系数法可以确定直线AB解析式;
(2)由△PNM∽△ANE,推出,列出方程即可解决问题;
(3)在y轴上 取一点M使得OM′=,构造相似三角形,可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值.
【详解】(1)令y=0,则ax2+(a+3)x+3=0,
∴(x+1)(ax+3)=0,
∴x=-1或-,
∵抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),
∴-=4,
∴a=-.
∵A(4,0),B(0,3),
设直线AB解析式为y=kx+b,则,
解得,
∴直线AB解析式为y=-x+3;
(2)如图1,
∵PM⊥AB,PE⊥OA,
∴∠PMN=∠AEN,
∵∠PNM=∠ANE,
∴△PNM∽△ANE,
∵
∴,
∵NE∥OB,
∴,
∴,
∵抛物线解析式为,
∴,
∴,
解得m=2或4,
经检验x=4是分式方程的增根,
∴m=2;
(3)如图2,在y轴上 取一点M′使得OM′=,连接AM′,在AM′上取一点E′使得OE′=OE.
∵OE′=2,OM′•OB=,
∴OE′2=OM′•OB,
∴,
∵∠BOE′=∠M′OE′,
∴△M′OE′∽△E′OB,
∴,
∴,
∴,此时最小(两点间线段最短,A、M′、E′共线时),
最小值.
【点睛】本题为二次函数综合题,主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识,解题的关键是构造相似三角形,找到线段AM′就是的最小值.
20.(1)直线AD是△ABC的自相似分割线;
(2)当点运动到点时,PA+PC的值最小,此时;
(3)∠QAC的正弦值为
【分析】(1)根据定义证明△DBA∽△ABC即可得证;
(2)根据垂直平分线的性质可得,当点与重合时,,此时最小,设,则
根据,列出方程,解方程求解即可求得,进而即可求得的长,即最小值;
(3)过点作于点,过点作于点,连接,设与交于点,根据已知条件求得,进而转化为,则当点落在上时,点与点重合,此时的值最小,最小值为,进而根据求解即可.
(1)
∵△ABC中,AB=AC=1,∠BAC = 108°
∴∠B =∠C =(180°-∠BAC)= 36°
∵DE垂直平分AB
∴AD = BD
∴∠B =∠BAD = 36°
∴∠C =∠BAD
又∵∠B =∠B
∴△DBA∽△ABC
∴直线AD是△ABC的自相似分割线.
(2)
如图,连接,,
垂直平分AB,
当点与重合时,,此时最小,
,
设,则
解得:
PA+PC=
当点运动到点时,PA+PC的值最小,此时;
(3)
如图,过点作于点,过点作于点,连接,设与交于点,
,
由(2)知,
平分
点落在上时,点与点重合,
即此时的值最小,最小值为
∠QAC的正弦值为
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,求角的正弦,垂直平分线的性质,两点之间线段最短,垂线段最短,胡不归问题,转化线段是解题的关键.
21.(1);;(2)的面积最大值是,此时点坐标为;(3)的最小值是3.
【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式,再把点代入可求得的值,由的面积为5可求出点的纵坐标,代入抛物线解析式可求出横坐标,由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式;
(2)作轴交于,如图,利用三角形面积公式,由构建关于E点横坐标的二次函数,然后利用二次函数的性质即可解决问题;
(3)作关于轴的对称点,过点作于点,交轴于点,则,利用锐角三角函数的定义可得出,此时最小,求出最小值即可.
【详解】解:(1)将二次函数的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到的抛物线解析式为,
∵,∴点的坐标为,
代入抛物线的解析式得,,∴,
∴抛物线的解析式为,即.
令,解得,,∴,
∴,
∵的面积为5,∴,∴,
代入抛物线解析式得,,解得,,∴,
设直线的解析式为,
∴,解得:,
∴直线的解析式为.
(2)过点作轴交于,如图,设,则,
∴,
∴,,
∴当时,的面积有最大值,最大值是,此时点坐标为.
(3)作关于轴的对称点,连接交轴于点,过点作于点,交轴于点,
∵,,
∴,,∴,
∵,
∴,∴,
∵、关于轴对称,∴,
∴,此时最小,
∵,,
∴,
∴.
∴的最小值是3.
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