高一数学必考点分类集训(人教A版必修第一册)专题2.5一元二次函数、方程和不等式(能力提升卷)(原卷版+解析)

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专题2.5 一元二次函数、方程和不等式（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022•孝义市开学）已知1a＜1b＜0，则下列结论正确的是（　　）A．a＜b B．a+b＜ab C．|a|＞|b| D．ab＞b22．（2022春•甘孜州期末）若不等式ax2+bx﹣2＜0​的解集为{x|﹣2＜x＜1}​，则a+b​＝（　　）A．﹣2​ B．0 C．1 D．23．（2022春•尖山区校级期末）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（　　）A．8 B．82 C．9 D．924．（2022•连云区校级开学）若不等式2kx2+kx−38＜0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（　　）A．﹣3＜k＜0 B．﹣3≤k≤0 C．﹣3＜k≤0 D．k＜﹣3或k≥05．（2022秋•渝中区校级月考）已知正实数a，b满足4a+b+1b+1=1，则a+2b的最小值为（　　）A．6 B．8 C．10 D．126．（2022春•爱民区校级期末）已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若x+y＞m2+8m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）A．{m|m≥9} B．{m|m≤−3} C．{m|m≥1} D．{m|﹣9＜m＜1}7．（2022春•营口期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a+b＝4，且1a+1b＞t恒成立，则实数t的取值范围是（　　）A．t≤1 B．t＜1 C．t≤2 D．t＜28．（2022春•南岗区校级期末）下列命题正确的个数是（　　）①a+b≥2ab(ab＞0)②若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bd；③不等式1+1x＞0成立的一个充分不必要条件是x＜﹣1或x＞1；④若ai、bi、ci（i＝1，2）是全不为0的实数，则“a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0解集相同”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（2022春•绍兴期末）已知a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（　　）A．a+b2≥ab B．a2+b2≥2ab C．ba+ab≥2 D．(a+1a)(b+1b)≥4（多选）10．（2022•常熟市校级开学）已知正实数a，b满足a+b＝mab+n，则下列结论中正确的是（　　）A．若m＝1，n＝0，则ab≥4 B．若m＝1，n＝0，则a+b≤4 C．若m＝0，n＝1，则12a+b+2b+1≥3+223 D．若m＝1，n＝﹣1，则a+b≥22+2（多选）11．（2022春•邢台期末）已知a＞0，b＞0，a2+b2＝1，则（　　）A．ab的最大值为12 B．2ab+3a+b的最小值为22 C．a2（1+2b2）的最大值为94 D．1a2+4b2的最小值为9（多选）12．（2022春•新兴区校级期末）下列关于基本不等式的说法正确的是（　　）A．若0＜x＜13，则x（1﹣3x）的最大值为112 B．函数y=x2+3x+3x+1(x＞−1)的最小值为2 C．已知x+y＝1，x＞0，y＞0，则1x+2y的最小值为3+22 D．若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是3三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2022春•奉贤区校级期末）若直角三角形斜边长等于10cm，则直角三角形面积的最大值为 　　．14．（2022•桂林开学）已知x，y是正实数，且满足1x+4y+1=3，则x+y的最小值是 　　．15．（2022春•京口区校级期末）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|1＜x＜3}，则cx2﹣bx+a＞0的解集是 　　．16．（2022春•龙凤区校级期末）已知a＞0，b＞0，下面四个结论：①2aba+b≤a+b2；②若a＞b＞0，则ab+4b2+1b(a−b)的最小值为4；③若a＞b，则c2a≤c2b；④若1a+1+1b+1=1，则a+2b的最小值为22；其中正确结论的序号是 　　．（把你认为正确的结论的序号都填上）四．解答题（共6小题，满分70分）17．（2021秋•普宁市期末）设a∈R，关于x的二次不等式ax2﹣2x﹣2a＞0的解集为A，集合B＝{x|1＜x＜2}，满足A∩B≠∅，求实数a的取值范围．18．（2022春•青铜峡市校级期末）（1）已知x＞3，求4x−3+x的最小值；（2）已知x，y是正实数，且x+y＝1，求1x+3y的最小值．19．（2022春•东城区校级月考）请回答下列问题：（1）若关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值．（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）的解集．20．（2022春•广安期末）已知不等式（a+1）x2﹣4x﹣6＜0的解集是{x|﹣1＜x＜3}．（1）求常数a的值；（2）若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，求m的取值范围．21．（2021秋•凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求1x+2y的最小值．22．（2022春•汉滨区期末）解下列问题：（1）若不等式ax2+bx+3＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，求a，b的值；（2）若a+b＝1，a＞0，b＞0，求1a+4b的最小值；（3）已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，求代数式a+b和2a﹣3b的取值范围．专题2.5 一元二次函数、方程和不等式（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022•孝义市开学）已知1a＜1b＜0，则下列结论正确的是（　　）A．a＜b B．a+b＜ab C．|a|＞|b| D．ab＞b2【分析】由1a＜1b＜0得b＜a＜0，从而对四个选项依次判断即可．【解答】解：∵1a＜1b＜0，∴b＜a＜0，∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|，ab＜b2，故选项B正确，故选：B．2．（2022春•甘孜州期末）若不等式ax2+bx﹣2＜0​的解集为{x|﹣2＜x＜1}​，则a+b​＝（　　）A．﹣2​ B．0 C．1 D．2【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系解之．【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2＜0​的解集为{x|﹣2＜x＜1}，∴方程ax2+bx﹣2＝0根为﹣2、1，则−ba=−1−2a=−2，解得，a＝1，b＝1，∴a+b＝2，故选：D．3．（2022春•尖山区校级期末）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（　　）A．8 B．82 C．9 D．92【分析】由条件可得1x+2y=1，x+2y＝（x+2y）（1x+2y=）＝5+2xy+2yx，运用基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，可得：1x+2y=1，则x+2y＝（x+2y）（1x+2y=）＝5+2xy+2yx≥5+22xy⋅2yx=5+4＝9，当且仅当x＝y＝3，取得最小值9．故选：C．4．（2022•连云区校级开学）若不等式2kx2+kx−38＜0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（　　）A．﹣3＜k＜0 B．﹣3≤k≤0 C．﹣3＜k≤0 D．k＜﹣3或k≥0【分析】由2kx2+kx−38＜0对一切实数x都成立，结合函数的图象性质分类讨论进行求解．【解答】解：2kx2+kx−38＜0对一切实数x都成立，①k＝0时，−38＜0恒成立，②k≠0时，k＜0Δ=k2+3k＜0，解可得，﹣3＜k＜0，综上可得，﹣3＜k≤0，故选：C．5．（2022秋•渝中区校级月考）已知正实数a，b满足4a+b+1b+1=1，则a+2b的最小值为（　　）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b+1b+1）﹣1，结合基本不等式求解即可．【解答】解：∵正实数a，b满足4a+b+1b+1=1，∴a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b+1b+1）﹣1＝5+4(b+1)a+b+a+bb+1−1≥5+24(b+1)a+b⋅a+bb+1−1＝8，当且仅当a+b＝2（b+1）时等号成立，故选：B．6．（2022春•爱民区校级期末）已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若x+y＞m2+8m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）A．{m|m≥9} B．{m|m≤−3} C．{m|m≥1} D．{m|﹣9＜m＜1}【分析】由基本不等式“1”的用法得x+y≥9，进而解不等式m2+8m＜9即可得答案．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且且1x+4y=1，∴x+y＝（x+y）（1x+4y）＝5+yx+4xy≥2yx⋅4xy+5＝9，当且仅当yx=4xy，即x＝3，y＝6时取等号．∴（x+y）min＝9，由x+y＞m2+8m 恒成立，即m2+8m＜（x+y）min＝9，解得：﹣9＜m＜1，故选：D．7．（2022春•营口期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a+b＝4，且1a+1b＞t恒成立，则实数t的取值范围是（　　）A．t≤1 B．t＜1 C．t≤2 D．t＜2【分析】利用“乘1法”，可得1a+1b＞1，从而得解．【解答】解：1a+1b=14（a+b）（1a+1b）=14（2+ab+ba）≥14（2+2）＝1，当且仅当ab=ba，即a＝b＝2时，等号成立，因为a≠b，所以1a+1b＞1，又1a+1b＞t恒成立，所以t≤1．故选：A．8．（2022春•南岗区校级期末）下列命题正确的个数是（　　）①a+b≥2ab(ab＞0)②若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bd；③不等式1+1x＞0成立的一个充分不必要条件是x＜﹣1或x＞1；④若ai、bi、ci（i＝1，2）是全不为0的实数，则“a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0解集相同”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用基本不等式的解法和不等式的性质，充分条件和必要条件，不等式的解法的应用判断①②③④的结论．【解答】解：对于①，a+b≥2ab（a＞0，b＞0），故①错误；对于②，若a＞b＞0，c＜d＜0，则﹣c＞﹣d＞0，故﹣ac＞﹣bd，故ac＜bd，故②正确；对于③，使不等式1+1x＞0，整理得x+1x＞0，故x＞0或x＜﹣1，所以不等式1+1x＞0成立的一个充分不必要条件是x＜﹣1或x＞1；故③正确；对于④，不等式x2+x+1＞0与x2+x+2＞0的解集都为R，但是11≠12，若1−1=1−1=1−1，则不等式x2+x+1＞0与﹣x2﹣x﹣1＞0的解集不相同，故若ai、bi、ci（i＝1，2）是全不为0的实数，则“a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0解集相同”的既不充分也不必要条件，故④错误．故选：B．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）（多选）9．（2022春•绍兴期末）已知a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（　　）A．a+b2≥ab B．a2+b2≥2ab C．ba+ab≥2 D．(a+1a)(b+1b)≥4【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：对于A，令a＝﹣1，b＝﹣1，满足ab＞0，但a+b2＜ab，故A选项中的不等式不恒成立；对于B，a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，故a2+b2≥2ab，故B选项中的不等式恒成立；对于C，∵ab＞0，∴ba＞0，ab＞0，∴ba+ab≥2ba⋅ab=2，当且仅当ba=ab时，等号成立，故C选项中的不等式恒成立；对于D，若a＞0，b＞0，可得a+1a≥2，b+1b≥2，所以（a+1a）（b+1b）≥4，当且仅当a=1a，b=1b，即a＝b＝1时取等号，若a＜0，b＜0，则（a+1a）（b+1b）＝（|a|+1|a|）（|b|+1|b|）≥4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故D选项中的不等式恒成立．故选：BCD．（多选）10．（2022•常熟市校级开学）已知正实数a，b满足a+b＝mab+n，则下列结论中正确的是（　　）A．若m＝1，n＝0，则ab≥4 B．若m＝1，n＝0，则a+b≤4 C．若m＝0，n＝1，则12a+b+2b+1≥3+223 D．若m＝1，n＝﹣1，则a+b≥22+2【分析】把m，n的相应值代入，结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可．【解答】解：当m＝1，n＝0时，a+b＝ab≥2ab，当且仅当a＝b＝2时取等号，解得ab≥4，故A正确；a+b＝ab≤（a+b2）2，当且仅当a＝b＝2时取等号，解得a+b≥4，故B错误；当m＝0，n＝1时，a+b＝1，则2a+b+b+1＝3，所以12a+b+2b+1=13（2a+b+b+12a+b+4a+2b+2b+2b+1）=13（3+b+12a+b+4a+2bb+1）≥13（3+22），当且仅当b+12a+b=4a+2bb+1时取等号，故C正确；当m＝1，n＝﹣1时，a+b＝ab﹣1≤(a+b2)2−1，当且仅当a＝b时取等号，解得a+b≥2+22（舍负）故，故D正确．故选：ACD．（多选）11．（2022春•邢台期末）已知a＞0，b＞0，a2+b2＝1，则（　　）A．ab的最大值为12 B．2ab+3a+b的最小值为22 C．a2（1+2b2）的最大值为94 D．1a2+4b2的最小值为9【分析】利用基本不等式判断A、B、D的正误，注意等号成立条件，将a2（1+2b2）化为关于a2的二次函数形式求最值判断C．【解答】解：因为a＞0，b＞0，a2+b2＝1，所以1≥2ab，即ab≤12，2ab+3a+b=(a+b)2+2a+b=a+b+2a+b≥22，当且仅当a＝b=22时等号成立，则A，B正确；a2（1+2b2）＝a2[1+2（1﹣a2）]＝3a2﹣2a4＝﹣2（a2−34）2+98，当a2=34时取得最大值98，则C错误；1a2+4b2=（a2+b2）（1a2+4b2）＝5+b2a2+4a2b2≥5+24=9，当且仅当b2=2a2=23时等号成立，则D正确．故选：ABD．（多选）12．（2022春•新兴区校级期末）下列关于基本不等式的说法正确的是（　　）A．若0＜x＜13，则x（1﹣3x）的最大值为112 B．函数y=x2+3x+3x+1(x＞−1)的最小值为2 C．已知x+y＝1，x＞0，y＞0，则1x+2y的最小值为3+22 D．若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是3【分析】根据基本不等式求出最值即可判断．【解答】解：对A，若0＜x＜13，则1﹣3x＞0，所以x（1﹣3x）=13×3x（1﹣3x）≤13(3x+1−3x2)2=112，当且仅当3x＝1﹣3x，即x=16时等号成立，所以最大值为112，故A正确；对B，因为x＞﹣1，所以x+1＞0，所以y=x2+3x+3x+1=（x+1）+1x+1+1≥2(x+1)⋅1x+1+1＝3，当且仅当x+1=1x+1，即x＝0等号成立，故函数最小值为3，故B错误；对C，因为x+y＝1，x＞0，y＞0，所以1x+2y=（1x+2y）（x+y）=2xy+yx+3≥22xy⋅yx+3＝22+3，当且仅当2xy=yx，即x=2−1，y＝2−2等号成立，故最小值为3+22，故C正确；对D，由x2+xy﹣2＝0可得y=2x−x，因为x＞0，y＞0，可得0＜x＜2，则3x+y＝2x+2x≥22x⋅2x=4，当且仅当2x=2x，即x＝1等号成立，所以最小值是4，故D错误．故选：AC．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2022春•奉贤区校级期末）若直角三角形斜边长等于10cm，则直角三角形面积的最大值为 　　．【分析】根据题意，设直角三角形的直角边为a，b，面积为S，由勾股定理得a2+b2＝100，利用基本不等式的性质可得S=12ab≤14(a2+b2)=25，当且仅当a＝b时，等号成立，即可得答案．【解答】解：根据题意，设直角三角形的直角边为a，b，面积为S，∵直角三角形斜边长等于10cm，∴a2+b2＝100，则S=12ab≤14(a2+b2)=25，当且仅当a＝b时，等号成立，故这个直角三角形的面积最大值为25．故答案为：25．14．（2022•桂林开学）已知x，y是正实数，且满足1x+4y+1=3，则x+y的最小值是 　　．【分析】根据条件，由x+y＝x+y+1﹣1=13（x+y+1）（1x+4y+1）﹣1，结合基本不等式求解即可．【解答】解：因为x，y是正实数，且满足1x+4y+1=3，则x+y＝x+y+1﹣1=13（x+y+1）（1x+4y+1）﹣1=13（5+y+1x+4xy+1）≥13（5+2y+1x⋅4xy+1）﹣1＝2，当且仅当y+1x=4xy+1且1x+4y+1=3，即x＝1，y＝1时取等号，所以x+y的最小值为2．故答案为：2．15．（2022春•京口区校级期末）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|1＜x＜3}，则cx2﹣bx+a＞0的解集是 　　．【分析】根据关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集得到a、b、c的关系，即可解之．【解答】解：∵x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|1＜x＜3}，∴a＞0ca=3−ba=4，不等式cx2﹣bx+a＞0化为3x2+4x+1＞0，∴x＜﹣1或x＞−13，故答案为：{x|x＜﹣1或x＞−13}．16．（2022春•龙凤区校级期末）已知a＞0，b＞0，下面四个结论：①2aba+b≤a+b2；②若a＞b＞0，则ab+4b2+1b(a−b)的最小值为4；③若a＞b，则c2a≤c2b；④若1a+1+1b+1=1，则a+2b的最小值为22；其中正确结论的序号是 　　．（把你认为正确的结论的序号都填上）【分析】转化为整式不等式，利用不等式性质判定；均值不等式求最小值．【解答】解：①交叉相乘等价化为：4ab≤（a+b）2，等价化为 （a﹣b）2≥0，成立，①正确；②ab+4b2+1b(a−b)=ab﹣b2+b2++4b2+1b(a−b)=b（a﹣b）+1b(a−b)++b2+4b2≥2b(b−a)⋅1b(b−a)+2b2⋅4b2=6，当且仅当b=2，a=322 时取得等号，②错误；③两边同乘ab，可等价化为 bc2≤ac2，（b﹣a）c2≤0，成立，③正确；④a+2b＝（a+1）+2（b+1）﹣3＝[（a+1）+2（b+1）]（1a+1+1b+1）﹣3＝1+a+1b+1+2(b+1)a+1+2﹣3≥2a+1b+1⋅2(b+1)a+1=22，当且仅当a+1=2(b+1)，即a=2，b=22时取得等号，④正确；故答案为：①③④．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（2021秋•普宁市期末）设a∈R，关于x的二次不等式ax2﹣2x﹣2a＞0的解集为A，集合B＝{x|1＜x＜2}，满足A∩B≠∅，求实数a的取值范围．【分析】根据关于x的二次不等式ax2﹣2x﹣2a＞0的解集为A知a≠0，求出对应方程的解，讨论a＞0和a＜0时，求出A，根据A∩B≠∅求出实数a的取值范围．【解答】解：因为关于x的二次不等式ax2﹣2x﹣2a＞0的解集为A，集合B＝{x|1＜x＜2}，所以a≠0，且对应方程ax2﹣2x﹣2a＝0的解为x1=1a−2+1a2，x2=1a+2+1a2，由此可知x1＜0，x2＞0，①当a＞0时，A＝{x|x＜x1或x＞x2}，因为A∩B≠∅的充要条件是x2＜2，即1a+2+1a＜2，解得0＜a＜5−174或a＞5+174；②当a＜0时，A＝{x|x1＜x＜x2}，因为A∩B≠∅的充要条件是x2＞1，即1a+2+1a＞1，解得a＜﹣2；综上知，实数a的取值范围是{a|a＜﹣2或0＜a＜5−174或a＞5+174}．18．（2022春•青铜峡市校级期末）（1）已知x＞3，求4x−3+x的最小值；（2）已知x，y是正实数，且x+y＝1，求1x+3y的最小值．【分析】（1）配凑可得4x−3+x=4x−3+(x−3)+3，再利用基本不等式，即可求解；（2）利用基本不等式中的“乘1法”，即可得解．【解答】解：（1）∵x＞3，∴x﹣3＞0，∴4x−3+x=4x−3+(x−3)+3≥24x−3×(x−3)+3=4+3=7，当且仅当4x−3=x−3，即x＝5时取等号，∴4x−3+x的最小值为7．（2）∵x，y∈R+，∴1x+3y=(x+y)(1x+3y)=4+(yx+3xy)≥4+2×yx⋅3xy=4+23，当且仅当y=3x，即x=3−12，y=3−32时取等号，∴1x+3y的最小值为4+23．19．（2022春•东城区校级月考）请回答下列问题：（1）若关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，求a，b的值．（2）求关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R）的解集．【分析】（1）由题意可是1和b为方程x2﹣3x+2a2＝0的两根，利用韦达定理得以方程组，解得即可；（2）不等式为ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，讨论a＝0，a＞0，a＝﹣3，a＜﹣3，﹣3＜a＜0，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．【解答】解：（1）∵关于x的不等式x2﹣3x+2a2＞0（a∈R）的解集为{x|x＜1或x＞b}，∴1和b为方程x2﹣3x+2a2＝0的两根，∴1+b=31×b=2a2，解得b=2a=±1．（2）关于x的不等式ax2﹣3x+2＞5﹣ax（a∈R），即ax2+（a﹣3）x﹣3＞0，即（ax﹣3）（x+1）＞0，当a＝0时，原不等式解集为{x|x＜﹣1}；当a≠0时，方程（ax﹣3）（x+1）＝0的根为x1=3a，x2=−1，∴①当a＞0时，3a＞−1，∴原不等式的解集为{x|x＞3a或x＜﹣1}；②当﹣3＜a＜0时，3a＜−1，∴原不等式的解集为{x|3a＜x＜﹣1}；③当a＝﹣3时，3a=−1，∴原不等式的解集为∅；④当a＜﹣3时，3a＞−1，∴原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜3a}．20．（2022春•广安期末）已知不等式（a+1）x2﹣4x﹣6＜0的解集是{x|﹣1＜x＜3}．（1）求常数a的值；（2）若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，求m的取值范围．【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程 的关系求之；（2）根据一元二次不等式的解法直接求之．【解答】解：（1）∵不等式（a+1）x2﹣4x﹣6＜0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，∴﹣1和3是方程（a+1）x2﹣4x﹣6＝0的解，∴2=4a+1−3=−6a+1，解得，a＝1；（2）由a＝1不等式ax2+mx+4≥0化为x2+mx+4≥0，∴不等式x2+mx+4≥0的解集为R，则Δ＝m2﹣16≤0，∴﹣4≤m≤4，∴m的取值范围是{m|﹣4≤m≤4}．21．（2021秋•凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求1x+2y的最小值．【分析】（1）根据积定，应用基本不等式求和的最小值，注意等号成立条件；（2）应用基本不等式“1”的代换求1x+2y的最小值，注意等号成立条件．【解答】解：（1）由题意知：xy＝72，篱笆总长为x+2y．又x+2y≥22xy=24，当且仅当x＝2y，即x＝12，y＝6时等号成立．∴当x＝12，y＝6时，可使所用篱笆总长最小；（2）由题意得：x+2y＝30，又(1x+2y)(x+2y)=5+2yx+2xy≥5+22yx⋅2xy=9，∴1x+2y≥310，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．∴1x+2y的最小值是310．22．（2022春•汉滨区期末）解下列问题：（1）若不等式ax2+bx+3＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，求a，b的值；（2）若a+b＝1，a＞0，b＞0，求1a+4b的最小值；（3）已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，求代数式a+b和2a﹣3b的取值范围．【分析】（1）由题意可得﹣1和3是方程ax2+bx+3＝0的两个实根，则a−b+3=09a+3b+3=0，从而可求出a，b的值；（2）由已知可得1a+4b=(1a+4b)(a+b)，化简后利用基本不等式可求出其最小值，（3）利用不等式的性质求解即49【解答】解：（1）∵不等式ax2+bx+3＞0的解集为{x|﹣1＜x＜3}∴﹣1和3是方程ax2+bx+3＝0的两个实根，∴a−b+3=09a+3b+3=0，解得a=−1b=2；（2）∵a+b＝1，又a＞0，b＞0，∴1a+4b=(1a+4b)(a+b)=5+ba+4ab≥5+2ba⋅4ab=9，当且仅当ba=4ab，a+b=1即a=13，b=23时等号成立，所以1a+4b的最小值为9．（3）∵﹣2＜a≤3，1≤b＜2，∴﹣1＜a+b＜5．由﹣2＜a≤3，得﹣4＜2a≤6，①．由1≤b＜2，得﹣6＜﹣3b≤﹣3，②．由①+②得，﹣10＜2a﹣3b≤3．