高一数学必考点分类集训(人教A版必修第一册)专题3.5函数的概念与性质(基础巩固卷)(原卷版+解析)

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专题3.5 函数的概念与性质（基础巩固卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022·全国·高一课时练习）函数fx=1x−2−x−30的定义域是（    ）A．2,+∞ B．2,+∞ C．2,3∪3,+∞ D．3,+∞2．（2022·全国·高一单元测试）现有下列函数：①y=x3；②y=12x；③y=4x2；④y=x5+1；⑤y=x−12；⑥y=x；⑦y=ax(a>1)，其中幂函数的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．43．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，在区间1,+∞上为增函数的是（    ）A．y=−3x+1 B．y=2xC．y=x2−4x+5 D．y=x−1+24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=m2−2m−2⋅xm−2是幂函数，且在0,+∞上递增，则实数m=（    ）A．－1 B．－1或3 C．3 D．25．（2022·全国·高一单元测试）若函数fx=x2x−1x+a为奇函数，则a=（    ）A．12 B．23 C．34 D．16．（2022·广东·东莞市东华高级中学高一阶段练习）若函数fx+1x=x2+1x2，且fm=4，则实数m的值为（    ）A．6 B．6或−6 C．−6 D．37．（2022·全国·高三专题练习）若函数y=ax2+4x+1的值域为0,+∞，则a的取值范围为（    ）A．0,4 B．4,+∞ C．0,4 D．4,+∞8．（2022·全国·高一单元测试）已知偶函数fx的定义域为R，当x∈0,+∞时，fx=2−xx+1，则fx−1<1的解集为（    ）A．12,32 B．−∞,12C．32,+∞ D．−∞,12∪32,+∞多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2021·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）已知函数f(x),g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则（    ）A．f(x)⋅|g(x)|是奇函数 B．|f(x)|⋅g(x)是奇函数C．f(x)⋅g(x)是偶函数 D．|f(x)⋅g(x)|是偶函数10．（2022·全国·高一单元测试）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ）A．fx=x与gx=3x3 B．fx=x+1与gx=x2−1x−1C．fx=xx与gx=1,x>0−1,x<0 D．ft=t−1与gx=x−111．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx是一次函数，满足ffx=9x+8，则fx的解析式可能为（    ）A．fx=3x+2 B．fx=3x−2C．fx=−3x+4 D．fx=−3x−412．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高一期中）函数y=x+2x−1 (x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是 （    ）A．最小值为74 B．最大值为4C．无最大值 D．无最小值填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx=2x2+1，x≤0fx−3,x>0，则f4=___________.14．（2022·浙江省嘉善中学高一阶段练习）若函数y=2x+3x+2的值域是____.15．（2022·全国·高一课时练习）若函数fx=kx+7kx2+4kx+3的定义域为R，则实数k的取值范围是__________ .16．（2021·江苏·高一单元测试）若fx是奇函数，当1≤x≤4时的解析式是fx=x2−4x+5，则当−4≤x≤−1时，fx的最大值是______．解答题（共6小题，满分70分）17．（2022·江苏·海安县实验中学高一阶段练习）在①fx+1=fx+2x−1，②fx+1=f1−x，且f0=3，③fx≥2恒成立，且f0=3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数fx的图像经过点（1，2），______.(1)求fx的解析式；(2)求fx在−1,+∞上的值域.18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=x+3+1x+2.(1)求函数的定义域；(2)求f(−23)的值；(3)当a>0时，求f(a)，f(a−1)的值．19．（2022·辽宁·黑山县黑山中学高三阶段练习）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当时x<0时，f(x)=x2+2x−1（1）求f(x)解析式（2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）20．（2022·全国·高一课时练习）若幂函数f(x)=(2m2+m−2)x2m+1在其定义域上是增函数.（1）求f(x)的解析式；（2）若f(2−a)0时，若|f(m)|=1，求实数m的值．22．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx=x+mx，且f1=5．（1）求m；（2）判断并证明fx的奇偶性；（3）判断函数fx在2,+∞，上是单调递增还是单调递减？并证明．专题3.5 函数的概念与性质（基础巩固卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022·全国·高一课时练习）函数fx=1x−2−x−30的定义域是（    ）A．2,+∞ B．2,+∞ C．2,3∪3,+∞ D．3,+∞【答案】C【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解．【详解】由x−2>0x−3≠0，解得x>2且x≠3．∴函数f(x)=1x−2−(x−3)0的定义域为(2,3)∪(3,+∞)．故选：C．2．（2022·全国·高一单元测试）现有下列函数：①y=x3；②y=12x；③y=4x2；④y=x5+1；⑤y=x−12；⑥y=x；⑦y=ax(a>1)，其中幂函数的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可【详解】幂函数满足y=xa形式，故y=x3，y=x满足条件，共2个故选：B3．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，在区间1,+∞上为增函数的是（    ）A．y=−3x+1 B．y=2xC．y=x2−4x+5 D．y=x−1+2【答案】D【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数单调性直接判断可得结果.【详解】对于A，y=−3x+1为R上的减函数，A错误；对于B，y=2x在−∞,0，0,+∞上单调递减，B错误；对于C，y=x2−4x+5在−∞,2上单调递减，在2,+∞上单调递增，C错误；对于D，y=x−1+2=x+1,x≥13−x,x<1，则y=x−1+2在1,+∞上为增函数，D正确.故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx=m2−2m−2⋅xm−2是幂函数，且在0,+∞上递增，则实数m=（    ）A．－1 B．－1或3 C．3 D．2【答案】C【分析】根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案.【详解】由题意知：m2−2m−2=1，即m+1m−3=0，解得m=−1或m=3，∴当m=−1时，m−2=−3，则fx=x−3在0,+∞上单调递减，不合题意;当m=3时，m−2=1，则fx=x在0,+∞上单调递增，符合题意,∴m=3,故选：C5．（2022·全国·高一单元测试）若函数fx=x2x−1x+a为奇函数，则a=（    ）A．12 B．23 C．34 D．1【答案】A【分析】根据奇函数的定义可得−x−2x−1−x+a=−x2x−1x+a，整理化简可求得a的值，即得答案.【详解】由函数fx=x2x−1x+a为奇函数，可得f−x=−fx，所以−x−2x−1−x+a=−x2x−1x+a，所以−x2x−1x+a=−x−2x−1−x+a，化简得22a−1⋅x2=0恒成立，所以2a−1=0，即a=12,经验证fx=x2x−1x+12=2x4x2−1，定义域关于原点对称，且满足f−x=−fx，故a=12；故选:A．6．（2022·广东·东莞市东华高级中学高一阶段练习）若函数fx+1x=x2+1x2，且fm=4，则实数m的值为（    ）A．6 B．6或−6 C．−6 D．3【答案】B【分析】令x+1x=t，配凑可得ft=t2−2，再根据fm=4求解即可【详解】令x+1x=t（t≥2或t≤−2），x2+1x2=x+1x2−2=t2−2，∴ft=t2−2，fm=m2−2=4，∴m=±6.故选；B7．（2022·全国·高三专题练习）若函数y=ax2+4x+1的值域为0,+∞，则a的取值范围为（    ）A．0,4 B．4,+∞ C．0,4 D．4,+∞【答案】C【分析】当a=0时易知满足题意；当a≠0时，根据fx的值域包含0,+∞，结合二次函数性质可得结果.【详解】当a=0时，y=4x+1≥0，即值域为0,+∞，满足题意；若a≠0，设fx=ax2+4x+1，则需fx的值域包含0,+∞，∴a>0Δ=16−4a≥0，解得：012，解得：x<12或x>32，∴fx−1<1的解集为−∞,12∪32,+∞.故选：D.多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2021·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）已知函数f(x),g(x)的定义域都是R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则（    ）A．f(x)⋅|g(x)|是奇函数 B．|f(x)|⋅g(x)是奇函数C．f(x)⋅g(x)是偶函数 D．|f(x)⋅g(x)|是偶函数【答案】AD【分析】由奇偶性的定义逐一证明即可.【详解】对于A，F(x)=f(x)⋅|g(x)|，F(−x)=f(−x)⋅|g(−x)|=−f(x)|g(x)|=−F(x)，即f(x)⋅|g(x)|是奇函数，故A正确；对于B，F(x)=|f(x)|⋅g(x)，F(−x)=|f(−x)|g(−x)=|f(x)|g(x)=F(x)，即|f(x)|⋅g(x)是偶函数，故B错误；对于C，F(x)=f(x)⋅g(x)，F(−x)=f(−x)⋅g(−x)=−f(x)g(x)=−F(x)，即f(x)⋅g(x)是奇函数，故C错误；对于D，F(x)=|f(x)⋅g(x)|，F(−x)=|f(−x)⋅g(−x)|=|−f(x)⋅g(x)|=|f(x)⋅g(x)|=F(x)，即|f(x)⋅g(x)|是偶函数，故D正确；故选：AD【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用定义证明奇偶性.10．（2022·全国·高一单元测试）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ）A．fx=x与gx=3x3 B．fx=x+1与gx=x2−1x−1C．fx=xx与gx=1,x>0−1,x<0 D．ft=t−1与gx=x−1【答案】ACD【分析】根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】对于A，f(x)=x，g(x)=3x3=x，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A正确；对于B，f(x)=x+1，g(x)=x+1(x≠1)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B不正确；对于C，f(x)=1,x>0−1,x<0，gx=1,x>0−1,x<0，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C正确；对于D，ft=t−1与gx=x−1的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D正确.故选：ACD11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx是一次函数，满足ffx=9x+8，则fx的解析式可能为（    ）A．fx=3x+2 B．fx=3x−2C．fx=−3x+4 D．fx=−3x−4【答案】AD【分析】设fx=kx+b，代入ffx=9x+8列方程组求解即可.【详解】设fx=kx+b，由题意可知ffx=kkx+b+b=k2x+kb+b=9x+8，所以k2=9kb+b=8，解得k=3b=2或k=−3b=−4，所以fx=3x+2或fx=−3x−4.故选：AD.12．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高一期中）函数y=x+2x−1 (x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是 （    ）A．最小值为74 B．最大值为4C．无最大值 D．无最小值【答案】BD【分析】先对函数分离常数，再判断单调性即可求最值．【详解】函数y=x+2x−1=1+3x−1在[2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4，由于x=5取不到，则最小值取不到．故选：BD填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx=2x2+1，x≤0fx−3,x>0，则f4=___________.【答案】9【分析】根据函数解析式直接求解即可.【详解】解：根据题意，f4=f4−3=f1=f1−3=f−2=2×−22+1=9故答案为：914．（2022·浙江省嘉善中学高一阶段练习）若函数y=2x+3x+2的值域是____.【答案】(－∞，2)∪(2，+∞)【分析】利用分离常数法去求函数y=2x+3x+2的值域即可【详解】∵y=2−1x+2， ∴y≠2，∴函数的值域是：(－∞，2)∪(2，+∞).故答案为：(－∞，2)∪(2，+∞)15．（2022·全国·高一课时练习）若函数fx=kx+7kx2+4kx+3的定义域为R，则实数k的取值范围是__________ .【答案】0,34【分析】分析可知，对任意的x∈R，kx2+4kx+3≠0恒成立，分k=0、k≠0两种情况讨论，结合已知条件可求得实数k的取值范围.【详解】因为函数fx=kx+7kx2+4kx+3的定义域为R，所以，对任意的x∈R，kx2+4kx+3≠0恒成立.①当k=0时，则有3≠0，合乎题意；②当k≠0时，由题意可得Δ=16k2−12k<0，解得00时，求f(a)，f(a−1)的值．【答案】(1){x|x≥−3且x≠−2}(2)213+34(3)a+3+1a+2，a+2+1a+1【分析】（1）由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解；（2）直接取x=−23代入得答案；（3）分别取x=a及x=a−1代入求解．（1）由题意x+3≥0x+2≠0，解得x≥−3且x≠−2,∴函数fx的定义域为{x|x≥−3且x≠−2}.（2）f−23=3−23+12−23=213+34.（3）fa=a+3+1a+2，fa−1=a−1+3+1a−1+2=a+2+1a+1．19．（2022·辽宁·黑山县黑山中学高三阶段练习）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当时x<0时，f(x)=x2+2x−1（1）求f(x)解析式（2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）【答案】（1）f(x)=x2+2x−1,x<00,x=0−x2+2x+1,x>0；（2）图见详解，单调区间为：单调递增区间为：(−1,0)，(0,1)，单调递减区间为：(−∞,1)，(1,+∞).【分析】（1）根据奇函数的性质，当x=0时，f(0)=0，当x>0时，f(x)=−f(−x)=−x2+2x+1，即可得解；（2）根据二次函数的图像与性质，直接画图像，并求出单调性.【详解】（1）当x=0时，f(0)=0，当x>0时，−x<0，f(x)=−f(−x)=−x2+2x+1，所以f(x)=x2+2x−1,x<00,x=0−x2+2x+1,x>0，（2）f(x)的图像为：单调递增区间为：(−1,0)，(0,1)，单调递减区间为：(−∞,1)，(1,+∞).20．（2022·全国·高一课时练习）若幂函数f(x)=(2m2+m−2)x2m+1在其定义域上是增函数.（1）求f(x)的解析式；（2）若f(2−a)2或a<−3.【解析】（1）根据幂函数的概念，以及幂函数单调性，求出m，即可得出解析式；（2）根据函数单调性，将不等式化为2−a0即m>−12，∴m=1，则f(x)=x3；（2）因为f(x)为增函数，所以由f(2−a)2或a<−3∴a的取值范围是aa>2或a<−3.21．（2022·全国·高一单元测试）函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x．（1）求函数f(x)在x∈(−∞,0)的解析式；（2）当m>0时，若|f(m)|=1，求实数m的值．【答案】（1）f(x)=x2+2x；（2）1或1+2.【分析】（1）根据偶函数的性质，令x∈(−∞,0)，由f(x)=f(−x)即可得解；（2）m>0，有m2−2m=1，解方程即可得解.【详解】（1）令x∈(−∞,0)，则−x∈(0,+∞)，由f(x)=f(−x)，此时f(x)=x2+2x；（2）由m>0，|f(m)|=m2−2m=1，所以m2−2m=±1，解得m=1或m=1+2或m=1−2（舍）.22．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx=x+mx，且f1=5．（1）求m；（2）判断并证明fx的奇偶性；（3）判断函数fx在2,+∞，上是单调递增还是单调递减？并证明．【答案】（1）m=4；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.【分析】（1）根据题意，将x=1代入函数解析式，求解即可；（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．【详解】（1）根据题意，函数fx=x+mx，且f1=5，则f1=1+m=5，解得m=4；（2）由（1）可知fx=x+4x，其定义域为xx≠0，关于原点对称，又由f−x=−x−4x=−x+4x=−fx，所以fx是奇函数；（3）fx在2,+∞上是单调递增函数．证明如下：设24，x1−x2<0，则fx1−fx2<0，即fx1