高一数学必考点分类集训(人教A版必修第一册)专题4.2指数函数(5类必考点)(原卷版+解析)

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专题4.2 指数函数 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"  HYPERLINK \l "_Toc118317572" 【考点1：指数函数的概念】  PAGEREF _Toc118317572 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc118317573" 【考点2：指数函数的图象】  PAGEREF _Toc118317573 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc118317574" 【考点3：指数函数的定义域与值域】  PAGEREF _Toc118317574 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc118317575" 【考点4：指数函数的单调性与最值】  PAGEREF _Toc118317575 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc118317576" 【考点5：指数函数的应用】  PAGEREF _Toc118317576 \h 7【考点1：指数函数的概念】【知识点：指数函数的概念】形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数为指数函数.1．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列函数是指数函数的是（    ）A．y=x4 B．y=3·2x C．y=πx D．y=(−4)x2．（2022·江苏常州·高三阶段练习）若p：函数f(x)=m2−3m+3mx是指数函数，q:m2−3m+2=0，则q是p的（    ）条件A．充要条件 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要3．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）若函数fx=(a−1)x为指数函数，则a的取值范围是________4．（2022·全国·高一课时练习）若函数fx=12a−3ax（a>0，且a≠1）是指数函数，则a=________．5．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx是指数函数，且f2=9，则f12=______．【考点2：指数函数的图象】【知识点：指数函数的图象】1．指数函数的图象2.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).3．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．1．（2022·浙江宁波·高一期中）函数y=x⋅12xx的图像（    ）A． B．C． D．2．（2023·广东·高三学业考试）函数y=ax−1−3（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（　　）A．（0，－3） B．（0，－2）C．（1，－3） D．（1，－2）3．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）函数fx=12x−1的图象大致为（    ）A． B．C． D．4．（2020·山东·青岛二中高一期中）已知函数fx=x−ax−b（其中a>b）的图象如图所示，则函数gx=ax+b的图象大致是（    ）A． B．C． D．5．（2022·广东·东莞市石龙中学高一期中）已知函数fx=ax−4+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程mx+ny=4m>0，n>0，则1m+2n的最小值为（    ）A．9 B．24 C．4 D．66．（2022·全国·高一单元测试）函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ）A．54，3，13，12 B．3，54，13，12C．12，13，3，54， D．13，12，54，3，7．（2022·全国·高三专题练习）函数y=21−x的图象大致是（     ）A． B． C． D．8．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））函数y=ax−1a(a>0且a≠1)的图象可能是（    ）           A．①③ B．②④ C．④ D．①9．（2022·全国·高一单元测试）在同一坐标系中，函数y=ax2+bx与函数y=bx的图象可能为（   ）A． B．C． D．【考点3：指数函数的定义域与值域】【知识点：指数函数的定义域与值域】1．（2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）设集合A=x-1≤x≤1，B=yy=2x,x∈A，则A∩B=（    ）A．∅ B．-2,0 C．0,+∞ D．12,12．（2022·浙江·高一阶段练习）已知集合A=xx-10且a≠1，则函数y=f(x)(x≥0)的值域是________．10．（2021·全国·高一课前预习）求下列函数的定义域和值域：(1)y=21x−4；(2)y=(23)−x.11．（2022·陕西·礼泉县第二中学高三阶段练习（理））已知指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的图像经过点−2,9.(1)求a的值；(2)当x∈−2,0时，求函数g(x)=a2x−ax−1的值域.【考点4：指数函数的单调性与最值】【知识点：指数函数的单调性与最值】 (1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较. (2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．　1．（2021·山东·青岛二中高一期中）下列大小关系不正确的是（    ）A．−2.545>−2.523 B．25−12<0.4−32C．13−12<32−12 D．2.51.6>2−0.22．（2021·山东·青岛二中高一期中）已知fx=12x2−2ax在1,3上是减函数，则实数a的取值范围为（    ）A．−∞,1 B．1,2 C．2,3 D．3,+∞3．（2022·广东·福田外国语高中高三阶段练习）设fx=12x，x∈R，那么fx是（    ）A．奇函数且在-∞,0上是增函数 B．偶函数且在-∞,0上是减函数C．奇函数且在-∞,0上是减函数 D．偶函数且在-∞,0上是增函数4．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（    ）A．2.30.7>0.83.1 B．0.7−2.5>0.7−2.9C．1.90.3>1.90.6 D．2.70.9<2.70.35．（2021·天津·高一期末）设x∈R，则“|x-2|<1”是“3x<27”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2022·江苏·连云港市海滨中学高三阶段练习）若函数f(x)=ax（a>0且a≠1）在[−1,2]上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（    ）A．12 B．1142 C．116 D．12或1167．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=ax+1，（a>0且a≠1）在区间2，3上的最大值比最小值大a22，则a的值可以为（    ）A．12 B．2 C．32 D．238．（2022·四川·南江中学高三阶段练习（文））不等式9x-4×3x+1+27≤0的解集为______．9．（2022·上海·高一单元测试）指数函数y=ax(a>0,a≠1)在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则a=______;10．（2020·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数fx=ax,x>14−a2x+2,x≤1 对于R上任意两个不相等实数x1,x2 ，不等式x1−x2fx1−fx2>0恒成立，则实数a的取值范围为______．11．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）写出一个满足函数gx=2x+1−1,x>a−x2+2x,x≤a在-∞,+∞上单调递增的a值_____________.12．（河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期教学指导卷（二）数学（文）试题）已知p：实数x满足22x−3a<116，q：实数x满足2x2+3x−20≤0．若p 是q的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx=ax+1(a>1)在区间0,2上的最大值与最小值之和为7．(1)求a的值；(2)证明：函数F(x)=f(x)−f(−x)是R上的增函数．14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数y=ax（a>0且a≠1）在1,2上的最大值与最小值之和为20，记fx=axax+2．(1)求a的值；(2)求证：fx+f1−x为定值；(3)求f1201+f2201+⋯+f200201的值．【考点5：指数函数的应用】【知识点：指数函数的应用】1．（2022·北京房山·高三开学考试）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y=at．则下列说法中正确的是（    ）A．第5个月时，浮萍面积就会超过50m2B．浮萍每月增加的面积都相等C．浮萍面积每月的增长率都相等（注：浮萍面积每月增长率=下月浮萍面积−本月浮萍面积本月浮萍面积）D．若浮萍面积为2m2,3m2,6m2时所对应的时间分别是t1,t2,t3，则t1⋅t2=t32．（2022·全国·高一单元测试）企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：mgL）与时间t（单位：h）间的关系为P=P0e−kt（其中P0，k是正的常数）．如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（    ）A．40% B．50% C．64% D．81%3．（2022·云南师大附中高一期中）爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量P（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：h）间的关系为P=P0e−kt（其中P0，k是正的常数）.若在前5h的过滤过程中污染物被净化过滤了50%，则废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为___________.4．（2022·湖南·高一课时练习）随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为________元.(精确到个位)(附：1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59)5．（2022·全国·高一课时练习）一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍．记x分钟后的病毒所占内存为yKB．（1）y关于x的函数解析式为______；（2）如果病毒占据内存不超过1GB(1GB=210MB)，1MB=210KB)时，计算机能够正常使用，则本次开机计算机能正常使用_____分钟．6．（2022·全国·高一学业考试）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量yμg与时间th之间近似满足如图所示的图象，则y关于t的函数解析式为______；据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25μg时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为______h．7．（2022·湖南·高一课时练习）20世纪60年代，地质考古学家在阿拉斯加的一个洞穴中发现了古人类穿过的草鞋，实验测得那只草鞋的14C含量大约是现生长同种草的14C含量的25%，已知14C的半衰期为5730年，试估计草鞋的编织年代．8．（2022·湖南·高一课时练习）已知放射性元素氡的半衰期是3.83天，问：(1)经过7.66天以后，氡元素会全部消失吗？(2)要经过多少天，剩下的氡元素只有现在的18？(3)质量为m的氡经x天衰变后其质量为f(x)=m⋅ax，试用计算器求a的值.9．（2022·湖南·高一课时练习）现有某种细胞1个，该细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，依此规律，若该细胞分裂xh后，写出得到的细胞个数y关于x的函数解析式.若细胞总数量超过2048个，则至少要经过几小时的分裂？10．（2022·湖南·高一课时练习）医学中常用的钴60射线，穿过厚度为1cm的铅板后，强度变为原来的0.568倍，穿过厚度为xcm的铅板后的强度与原来的强度之比为Hx=ax.若铅板厚度为12cm，射线穿过铅板后的强度与原来的强度之比是多少？ 函数y＝ax(a>0，且a≠1)01图象图象特征在x轴上方，过定点(0,1)当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升函数y＝ax(a>0，且a≠1)01性质定义域R值域(0，＋∞)函数y＝ax(a>0，且a≠1)01性质单调性在R上是减函数在R上是增函数函数值变化规律当x＝0时，y＝1当x<0时，y>1；当x>0时，00时，y>1专题4.2 指数函数 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"  HYPERLINK \l "_Toc118317572" 【考点1：指数函数的概念】  PAGEREF _Toc118317572 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc118317573" 【考点2：指数函数的图象】  PAGEREF _Toc118317573 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc118317574" 【考点3：指数函数的定义域与值域】  PAGEREF _Toc118317574 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc118317575" 【考点4：指数函数的单调性与最值】  PAGEREF _Toc118317575 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc118317576" 【考点5：指数函数的应用】  PAGEREF _Toc118317576 \h 13【考点1：指数函数的概念】【知识点：指数函数的概念】形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数为指数函数.1．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列函数是指数函数的是（    ）A．y=x4 B．y=3·2x C．y=πx D．y=(−4)x【答案】C【分析】根据指数函数的特征即可求解.【详解】对于A,y=x4是幂函数，对于B，y=3×2x系数不为1，不是指数函数，对于C, y=πx是底数为π的指数函数，对于D,y=(−4)x底数不满足大于0且不为1，故不是指数函数，故选：C2．（2022·江苏常州·高三阶段练习）若p：函数f(x)=m2−3m+3mx是指数函数，q:m2−3m+2=0，则q是p的（    ）条件A．充要条件 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据命题p和指数函数的定义列方程解得m，根据命题q解得m，再根据必要不充分条件的定义判断即可.【详解】命题p真，则m2−3m+3=1，解得m=1或2，又m≠1，∴m=2；q为真，则m=1或2，∴q是p的必要不充分条件.故选：C．3．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）若函数fx=(a−1)x为指数函数，则a的取值范围是________【答案】12，【分析】根据指数函数的定义即可求解.【详解】fx=a-1x 为指数函数，则01，解得：12，故答案为：12，4．（2022·全国·高一课时练习）若函数fx=12a−3ax（a>0，且a≠1）是指数函数，则a=________．【答案】8【分析】根据指函数的定义求解即可.【详解】解：因为函数fx=12a−3⋅ax是指数函数，所以12a−3=1，所以a=8．故答案为：8.5．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx是指数函数，且f2=9，则f12=______．【答案】3【分析】依题意设fx=ax（a>0且a≠1），根据f2=9即可求出a的值，从而求出函数解析，再代入计算可得.【详解】解：由题意，设fx=ax（a>0且a≠1），因为f2=9，所以a2=9，又a>0，所以a=3，所以fx=3x，所以f12=3．故答案为：3【考点2：指数函数的图象】【知识点：指数函数的图象】1．指数函数的图象2.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).3．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．1．（2022·浙江宁波·高一期中）函数y=x⋅12xx的图像（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数的单调性和值域排除即可．【详解】由题可得函数的定义域为−∞,0∪0,+∞，当x>0，y=x⋅12xx=12x，函数单调递减，此时00，且a≠1）的图象恒过定点（　　）A．（0，－3） B．（0，－2）C．（1，－3） D．（1，－2）【答案】D【分析】根据指数函数的图象所过定点的性质求解．【详解】令x－1＝0，则x＝1，此时，y＝a0－3＝－2，∴图象过定点（1，－2）．故选：D．3．（2022·江苏省阜宁中学高一阶段练习）函数fx=12x−1的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数解析式，分析函数在x≥0时的单调性及值域即可得解.【详解】由fx=12x−1可知，当x≥0时，f(x)=12x−1单调递减，且f(x)≤f(0)=0，故选：C4．（2020·山东·青岛二中高一期中）已知函数fx=x−ax−b（其中a>b）的图象如图所示，则函数gx=ax+b的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数图象特点，结合指数型函数图象的特点进行判断即可.【详解】fx=x−ax−b的函数图象与x轴的交点的横坐标为x−ax−b=0的两个根，由x−ax−b=0可得两根为a，b，观察fx=x−ax−b的图象，可得其与轴的两个交点分别在区间−1,0与1,+∞上，又∵a>b，∴a>1，−11时，ax为增函数，又由−10，n>0，则1m+2n的最小值为（    ）A．9 B．24 C．4 D．6【答案】C【分析】由题意可得2m+n=2，利用基本不等式求最值即可.【详解】因为函数f(x)=ax−4+1(a>0,a≠1)图象恒过定点(4,2)又点A的坐标满足关于x，y的方程mx+ny=4m>0，n>0，所以4m+2n=4，即2m+n=2所以1m+2n=12(2m+n)(1m+2n) =12(4+4mn+nm)⩾12(4+24mn·nm)=4，当且仅当4mn=nm即n=2m=1时取等号；所以1m+2n的最小值为4．故选：C．6．（2022·全国·高一单元测试）函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：54，3，13，12中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ）A．54，3，13，12 B．3，54，13，12C．12，13，3，54， D．13，12，54，3，【答案】C【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【详解】由题图，直线x=1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而3>54>12>13.故选：C．7．（2022·全国·高三专题练习）函数y=21−x的图象大致是（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将函数改写成分段函数，再根据指数函数的性质判断即可.【详解】解：函数y=21−x=2x−1,x>121−x,x≤1，∴当x>1时，y=2x−1是增函数，当x≤1时，y=21−x的减函数，且x=1时，y=1，即图象过1,1点；∴符合条件的图象是A．故选：A．8．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））函数y=ax−1a(a>0且a≠1)的图象可能是（    ）           A．①③ B．②④ C．④ D．①【答案】C【分析】分a>1，01时，0<1a<1，函数y=ax的图象为过点(0,1)的上升的曲线，函数y=ax−1a图象由函数y=ax向下平移1a个单位可得，故①②错误； 当01，函数y=ax的图象为过点(0,1)的下降的曲线，函数y=ax−1a图象由函数y=ax向下平移1a个单位可得，故④ 正确③错误；故选：C9．（2022·全国·高一单元测试）在同一坐标系中，函数y=ax2+bx与函数y=bx的图象可能为（   ）A． B．C． D．【答案】B【分析】判断b的范围，结合二次函数的开口方向，判断函数的图象即可．【详解】解：函数y=bx的是指数函数，b>0且b≠1，排除选项C，如果a>0，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：x=−ba，所以B正确；对称轴在x轴左侧，C不正确；如果a<0，二次函数有一个零点x=−ba>0，所以D不正确．故选：B．【考点3：指数函数的定义域与值域】【知识点：指数函数的定义域与值域】1．（2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）设集合A=x-1≤x≤1，B=yy=2x,x∈A，则A∩B=（    ）A．∅ B．-2,0 C．0,+∞ D．12,1【答案】D【分析】求出集合B，利用交集的定义可求得结果.【详解】根据指数函数的性质B=yy=2x,x∈A=12,2，因此，A∩B=12,1.故选：D.2．（2022·浙江·高一阶段练习）已知集合A=xx-10,A=(1-a,1+a),B=(0,4]，1-a≥01+a≤4，解得0−1}，B={−3,−2,−1,0,1,2,3}，故A∩B={0,1,2,3}，有4个元素，故A∩B的所有子集的个数为：24=16.故选：B4．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）函数f(x)=exex+1 x∈R的值域是（    ）A．−∞，1 B．−∞，1C．0，1 D．0，1【答案】C【分析】对函数解析化简后，根据指数函数的性质结合不等式的性质求解即可.【详解】f(x)=exex+1=ex+1−1ex+1=1−1ex+1，因为x∈R，所以ex>0，所以ex+1>1，所以0<1ex+1<1，所以−1<−1ex+1<0，所以0<1−1ex+1<1，即00，即函数的值域为(0,2)∪(2,+∞)故答案为：（1）R；(0,1]（2）(−∞,−1)∪(−1,+∞)；(0,2)∪(2,+∞)9．（2020·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））已知函数fx=ax−1x≥0的图象经过点(2,12),其中a>0且a≠1，则函数y=f(x)(x≥0)的值域是________．【答案】0，2【分析】先利用点(2,12)求出a的值，然后利用指数函数的性质求出答案即可【详解】因为fx=ax−1x≥0的图象经过点(2,12),所以12=a2−1，解得a=12，则fx=12x−1x≥0，因为x≥0，所以x−1≥−1，所以0<12x−1≤2，即函数y=f(x)(x≥0)的值域是0，2，故答案为：0，210．（2021·全国·高一课前预习）求下列函数的定义域和值域：(1)y=21x−4；(2)y=(23)−x.【答案】(1)(−∞,4)∪(4,+∞)，(0,1)∪(1,+∞)；(2){x|x=0}，{y|y=1}.【分析】根据给定的各函数有意义列出不等式，求解即得对应函数的定义；由求得的定义域确定相应函数的指数取值，再借助指数函数性质即可求得值域.(1)使函数有意义，则x−4≠0，解得x≠4，所以函数y=21x−4的定义域为(−∞,4)∪(4,+∞)，因为1x−4≠0，则21x−4≠1，而21x−4>0，所以函数y=21x−4的值域为(0,1)∪(1,+∞).(2)要使函数有意义，则−|x|≥0，即|x|≤0，于是得x=0，所以函数y=(23)−x的定义域为{x|x=0}，因当x=0时，(23)−x=(23)0=1，所以函数y=(23)−x的值域为{y|y=1}.11．（2022·陕西·礼泉县第二中学高三阶段练习（理））已知指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的图像经过点−2,9.(1)求a的值；(2)当x∈−2,0时，求函数g(x)=a2x−ax−1的值域.【答案】(1)a=13；(2)−1,71【分析】（1）将点代入指数函数f(x)中求出a=13的值（2）换元法令t=13x，将函数化为二次函数，利用二次函数性质求出函数的值域【详解】（1）∵函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的图像经过点−2,9，∴a−2=9，得a=13.（2）令t=13x，x∈−2,0，则t∈1,9，∵g(x)=a2x−ax−1=132x−13x−1，∴ℎ(t)=t2−t−1=t−122−54，所以ℎ(t)在t∈1,9上单调递增，故当t=1时，ℎtmin=ℎ(1)=−1，当t=9时，ℎtmax=ℎ(9)=71，故当x∈−2,0时，gx的值域为−1,71.【考点4：指数函数的单调性与最值】【知识点：指数函数的单调性与最值】 (1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较. (2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．　1．（2021·山东·青岛二中高一期中）下列大小关系不正确的是（    ）A．−2.545>−2.523 B．25−12<0.4−32C．13−12<32−12 D．2.51.6>2−0.2【答案】C【分析】根据指数函数的单调性即可判断.【详解】A选项：−2.545=2.545，−2.523=2.523，因为2.5>1，45>23又因为指数函数y=2.5x在R上单调递增，所以2.545>2.523，即−2.545>−2.523，故A正确；B选项：0.4−32=25−32，因为0<25<1，−12>−32；又因为指数函数y=25x在R上单调递减，所以25−12<0.4−32，故B正确；C选项：因为13−12>1，32−12<1，所以13−12>32−12，故C错误；D选项：因为2.51.6>1，2−0.2<1，所2.51.6>2−0.2，故D正确；故选:C.2．（2021·山东·青岛二中高一期中）已知fx=12x2−2ax在1,3上是减函数，则实数a的取值范围为（    ）A．−∞,1 B．1,2 C．2,3 D．3,+∞【答案】A【分析】利用复合函数的单调性即可求解.【详解】令t=x2−2ax，则ℎt=12t，因为fx在1,3上是减函数，由复合函数的单调性知，函数t=x2−2ax与ℎt=12t的单调性相反；又因为ℎt单调递减，所以t=x2−2ax需在1,3上单调递增.函数t=x2−2ax的对称轴为x=a，所以只需要a≤1，故选:A.3．（2022·广东·福田外国语高中高三阶段练习）设fx=12x，x∈R，那么fx是（    ）A．奇函数且在-∞,0上是增函数 B．偶函数且在-∞,0上是减函数C．奇函数且在-∞,0上是减函数 D．偶函数且在-∞,0上是增函数【答案】D【分析】根据奇偶函数的定义判断奇偶性，再由指数函数的单调性判断f(x)在-∞,0上的单调性即可.【详解】∵fx=(12)x，x∈R，∴f-x=(12)-x=(12)x=fx，故fx为偶函数,当x<0时，fx=2x，是增函数，故选：D．4．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）下列各组不等式正确的是（    ）A．2.30.7>0.83.1 B．0.7−2.5>0.7−2.9C．1.90.3>1.90.6 D．2.70.9<2.70.3【答案】A【分析】根据指数函数的单调性即可比较B,C,D,由中间值法可求解A.【详解】对于A,由于2.30.7>2.30=1 ，0.83.1<0.80=1，故2.30.7>0.83.1,故正确，对于B,由于y=0.7x为单调递减函数，所以0.7-2.5<0.7-2.9 ，故错误，对于C，由于y=1.9x为单调递增函数，所以1.90.3<1.90.6，故错误，对于D，由于y=2.7x为单调递增函数，所以2.70.9>2.70.3，故错误,故选：A5．（2021·天津·高一期末）设x∈R，则“|x-2|<1”是“3x<27”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分别先解出绝对值不等式，指数不等式后进行判断即可.【详解】由|x-2|<1可知，-10且a≠1）在[−1,2]上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（    ）A．12 B．1142 C．116 D．12或116【答案】D【分析】分a>1和01时，f(x)=ax在[−1,2]上单调递增，则f(x)max=f(2)=a2=4，解得a=2，此时f(x)=2x，m=f(x)min=2−1=12.当00且a≠1）在区间2，3上的最大值比最小值大a22，则a的值可以为（    ）A．12 B．2 C．32 D．23【答案】AC【分析】分01讨论，利用f(x)的单调性求出最大值、最小值再做差可得答案.【详解】当01时，f(x)在区间2，3上单调递增，此时f(x)min=f(2)=a2+1，f(x)max=f(3)=a3+1，所以a3+1− a2+1=a22，解得a=32或a=0（舍去）．故选：AC．8．（2022·四川·南江中学高三阶段练习（文））不等式9x-4×3x+1+27≤0的解集为______．【答案】[1,2]【分析】根据二次不等式的解法可得3≤3x≤9，然后根据指数函数的单调性即得.【详解】不等式9x-4×3x+1+27≤0，可化为3x2-12×3x+27≤0，即3x-33x-9≤0，解得3≤3x≤9，所以1≤x≤2，所以不等式9x-4×3x+1+27≤0的解集为[1,2]．故答案为：[1,2]．9．（2022·上海·高一单元测试）指数函数y=ax(a>0,a≠1)在区间[0,4]上的最大值与最小值之和为17，则a=______;【答案】2【分析】利用指数函数的单调性有a0+a4=17，即可求参数值.【详解】由y=ax(a>0,a≠1)在[0,4]上单调，则a0+a4=1+a4=17，所以a=2.故答案为：210．（2020·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数fx=ax,x>14−a2x+2,x≤1 对于R上任意两个不相等实数x1,x2 ，不等式x1−x2fx1−fx2>0恒成立，则实数a的取值范围为______．【答案】4,8【分析】根据题中条件判断函数的单调性，结合分段函数的性质列出相应的不等式组，即可求得答案.【详解】若函数fx=ax,x>14−a2x+2,x≤1对于R上任意两个不相等实数x1,x2，不等式x1−x2fx1−fx2>0恒成立，则函数fx在R上单调递增，则a>14−a2>0a≥4−a2+2，解得：4≤a<8，故实数a的取值范围为4,8,故答案为：4,8．11．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）写出一个满足函数gx=2x+1−1,x>a−x2+2x,x≤a在-∞,+∞上单调递增的a值_____________.【答案】1（答案不唯一）【分析】分段讨论函数的单调性，画出y=2x+1−1，y=−x2+2x的图象，结合函数图象即可得到参数a的取值范围，即可得解.【详解】解：因为gx=2x+1−1,x>a−x2+2x,x≤a，当x>a时gx=2x+1−1在定义域上单调递增，当x≤a时gx=−x2+2x=−x-12+1，画出y=2x+1−1，y=−x2+2x的图象如下所示：要使函数gx在-∞,+∞上单调递增，由图可知当a≤1时均可满足函数gx在-∞,+∞上单调递增；故答案为：1（答案不唯一）12．（河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期教学指导卷（二）数学（文）试题）已知p：实数x满足22x−3a<116，q：实数x满足2x2+3x−20≤0．若p 是q的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】a>3【分析】根据指数函数的单调性解出命题q，根据一元二次不等式的解法解出命题q，结合必要不充分条件的定义即可求解.【详解】命题p:22x−3a<116=2−4，又函数y=22x−3a是单调性递增的指数型函数，所以2x−3a<−4，解得x<32a−2；命题q:2x2+3x−20≤0，解得−4≤x≤52，因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的真子集，有32a−2>52，解得a>3，故实数a的取值范围为a>3.13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数fx=ax+1(a>1)在区间0,2上的最大值与最小值之和为7．(1)求a的值；(2)证明：函数F(x)=f(x)−f(−x)是R上的增函数．【答案】(1)a=2；(2)证明见解析【分析】（1）根据fx=ax+1(a>1)单调性代入计算即可；（2）根据定义法证明函数为增函数即可.（1）因为fx=ax+1(a>1)在区间0,2上单调递增，所以函数fx=ax+1(a>1)在区间0,2上的最大值与最小值之和为f2+f0=7， 所以a2+1+a0+1=7，解得a=±2，又因为a＞1，所以a=2．（2）由（1）知，F(x)=f(x)−f(−x)=2x−2−x，任取x1,x2∈R，且x10，所以Fx1−Fx2<0，即Fx10且a≠1）在1,2上的最大值与最小值之和为20，记fx=axax+2．(1)求a的值；(2)求证：fx+f1−x为定值；(3)求f1201+f2201+⋯+f200201的值．【答案】(1)a=4；(2)证明见解析；(3)100【分析】（1）函数y=ax在1,2上单调，得到a2+a=20，排除a=−5，得到答案.（2）fx=4x4x+2，代入数据计算得到fx+f1−x=1，得到证明.（3）根据fx+f1−x=1，两两组合计算得到答案.（1）解：因为函数y=ax（a>0且a≠1）在1,2上的最大值与最小值之和为20，且函数y=ax（a>0且a≠1）在1,2上单调，所以当x=1和x=2时，函数y=ax（a>0且a≠1）在1,2上取得最值，即a2+a=20，解得a=4或a=−5（舍去），所以a=4．（2）解：由（1）知，a=4，所以fx=4x4x+2，故fx+f1−x=4x4x+2+41−x41−x+2=4x4x+2+44+2⋅4x=1．（3）解：由（2）知，fx+f1−x=1，因为1201+200201=1，2201+119201=1，⋯，100201+101201=1，所以f1201+f2201+⋯+f200201=f1201+f200201+f2201+f119201+⋯+ f100201+f101201=1×100=100．【考点5：指数函数的应用】【知识点：指数函数的应用】1．（2022·北京房山·高三开学考试）如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y=at．则下列说法中正确的是（    ）A．第5个月时，浮萍面积就会超过50m2B．浮萍每月增加的面积都相等C．浮萍面积每月的增长率都相等（注：浮萍面积每月增长率=下月浮萍面积−本月浮萍面积本月浮萍面积）D．若浮萍面积为2m2,3m2,6m2时所对应的时间分别是t1,t2,t3，则t1⋅t2=t3【答案】C【分析】由函数过点(1,2)，可得y=2t，再结合增长率公式与指数式的运算，即可判断出答案.【详解】由图可知，y=at过点(1,2)，则2=a1，即a=2，所以池塘里浮萍的面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系为y=2t，当t=5时，y=25=32<50，故A错误；当t=1时，y=2，当t=2时，y=22=4，当t=3时，y=23=8，所以第一个月浮萍增加的面积为2m2，第二个月浮萍增加的面积为4−2=2m2，第三个月浮萍增加的面积为8−4=4m2，故B错误；浮萍面积每月增长率为2t+1−2t2t=1，故C正确；因为2t1=2,2t2=3,2t3=6，所以2t1⋅2t2=2t3，即t1+t2=t3，故D错误.故选：C.2．（2022·全国·高一单元测试）企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：mgL）与时间t（单位：h）间的关系为P=P0e−kt（其中P0，k是正的常数）．如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（    ）A．40% B．50% C．64% D．81%【答案】C【分析】由t=0，得污染物含量的初始值为P0，根据t=10得e−k=0.8110，得P=0.8t10P0，代入t=20，即可求出答案.【详解】当t=0时，P=P0；当t=10时，1−20%P0=P0e−10k，即e−10k=0.8，得e−k=0.8110，所以P=P0e−kt=P0e−kt=0.8t10P0；当t=20时，P=0.82010P0=0.64P0.故选：C3．（2022·云南师大附中高一期中）爱护环境人人有责，如今大气污染成为全球比较严重的问题.企业在生产中产生的废气要经过净化过滤后才可排放，某企业在净化过滤废气的过程中污染物含量P（单位：mg/L）与过滤时间t（单位：h）间的关系为P=P0e−kt（其中P0，k是正的常数）.若在前5h的过滤过程中污染物被净化过滤了50%，则废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为___________.【答案】25%【分析】由题可得e−5k=0.5，然后根据关系式即得.【详解】由题，得当t=0时，P=P0；当t=5时，1−50%P0=P0e−5k，即e−5k=0.5，解得e−k=0.515，所以P=P0e−kt=P0e−kt=0.5t5P0；所以当t=10时，P=0.5105P0=0.25P0，即废气净化用时10h，废气中污染物含量占未过滤前污染物含量的百分比为25%.故答案为：25%.4．（2022·湖南·高一课时练习）随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为________元.(精确到个位)(附：1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59)【答案】4 500【分析】根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，即可得到答案；【详解】设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3 000×1.06x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3 000×1.067≈4 500.故答案为：4 5005．（2022·全国·高一课时练习）一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存2KB，每3分钟后病毒所占内存是原来的2倍．记x分钟后的病毒所占内存为yKB．（1）y关于x的函数解析式为______；（2）如果病毒占据内存不超过1GB(1GB=210MB)，1MB=210KB)时，计算机能够正常使用，则本次开机计算机能正常使用_____分钟．【答案】     y=2x3+1，x∈(0,+∞)     57【分析】（1）根据题意分析前面几分钟的情况可得，y关于x的函数解析式；（2）先根据题意，换算病毒占据的最大内存1GB=220KB,根据（1）中的解析式，列出不等式，可得答案.【详解】因为这种病毒开机时据内存2KB，每3分钟后病苺所占内存是原来的2倍，所以，一个三分钟后它占据的内存为2×2=22KB；两个三分钟后它占据的内存为2×2×2=23KB；三个三分钟后它占据的内存为23×2=24KB；所以x分钟后的病每所占内存为2×2x3KB，所以y=2x3+1，x∈0,+∞．（2）由题意，病毒占据内存不超过1GB时，计覚机能够正常化用，又1GB=220KB，故有2x3+1≤220，解得x≤57．所以本次开机计算机能正常使用的时长为57分钟．故答案为：y=2x3+1，x∈0,+∞；576．（2022·全国·高一学业考试）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量yμg与时间th之间近似满足如图所示的图象，则y关于t的函数解析式为______；据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25μg时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为______h．【答案】     y=4t,0≤t<112t−3,t≥1     7916【分析】由图象可直接写出0≤t<1对于的解析式，将(1,4)代入y=12t−a求得a即可求解；令y≥0.25分段求解即可.【详解】解：由题意知，当0≤t<1时，函数图象是一条线段，易得解析式为y=4t；当t≥1时，函数的解析式为y=12t−a，将(1,4)代入函数解析式，得4=121−a，解得a＝3，故解析式为y=12t−3．所以y=4t,0≤t<112t−3,t≥1．令y≥0.25，则当0≤t<1时，4t≥0.25，解得116≤t<1；当t≥1时，12t−3≥0.25，解得1≤t≤5，所以116≤t≤5．故服药一次治疗疾病有效的时间为5−116=7916h．故答案为:y=4t,0≤t<112t−3,t≥1;7916.7．（2022·湖南·高一课时练习）20世纪60年代，地质考古学家在阿拉斯加的一个洞穴中发现了古人类穿过的草鞋，实验测得那只草鞋的14C含量大约是现生长同种草的14C含量的25%，已知14C的半衰期为5730年，试估计草鞋的编织年代．【答案】距发现有11460年的历史.【分析】由题意分析，经过两个半衰期时间，即可求得.【详解】由碳14剩下含量为原来的25%，即为原来的14，则刚好经过两个半衰期时间，2×5730=11460，所以这草鞋距发现有11460年的历史.8．（2022·湖南·高一课时练习）已知放射性元素氡的半衰期是3.83天，问：(1)经过7.66天以后，氡元素会全部消失吗？(2)要经过多少天，剩下的氡元素只有现在的18？(3)质量为m的氡经x天衰变后其质量为f(x)=m⋅ax，试用计算器求a的值.【答案】(1)不会；(2)11.49；(3)0.83【分析】（1）利用半衰期是3.83天进而经过2个半衰期后，氡元素还有原来的(12)2=14；（2）因为18=(12)3，所以要经过3个半衰期；（3）利用半衰期为3.83，得到f(3.83)=12m，即a3.83=12，再利用计算器进行求解.(1)解：不会，因为放射性元素氡的半衰期是3.83天，所以经过7.66=2×3.83天以后，氡元素还有原来的(12)2=14.(2)解：因为放射性元素氡的半衰期是3.83天，所以要使剩下的氡元素只有现在的18=(12)3，需经过3×3.83=11.49天.(3)解：因为放射性元素氡的半衰期是3.83天，所以f(3.83)=12m，即a3.83=12，则利用计算器，得a=(12)13.83≈0.83.9．（2022·湖南·高一课时练习）现有某种细胞1个，该细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，依此规律，若该细胞分裂xh后，写出得到的细胞个数y关于x的函数解析式.若细胞总数量超过2048个，则至少要经过几小时的分裂？【答案】y=2x，11【分析】由细胞分裂的规律写出解析式即可，通过解y=2x>2048进行求解.【详解】某种细胞1个，该细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞， 该细胞分裂1h后，细胞个数为2个，细胞分裂2h后，细胞个数为4个，细胞分裂3h后，细胞个数为8个，⋅⋅⋅，依此规律，若细胞分裂xh后，细胞个数为2x个，即y=2x；令y=2x>2048，即2x>211，解得x>11，即细胞总数量超过2048个，则至少要经过11小时的分裂.10．（2022·湖南·高一课时练习）医学中常用的钴60射线，穿过厚度为1cm的铅板后，强度变为原来的0.568倍，穿过厚度为xcm的铅板后的强度与原来的强度之比为Hx=ax.若铅板厚度为12cm，射线穿过铅板后的强度与原来的强度之比是多少？【答案】千分之一【分析】根据射线穿过厚度为1cm的铅板后，强度变为原来的0.568倍，可求得a的值，再将x=12cm代入到Hx=0.568x， 可求得答案.【详解】由H1=a1=0.568，得Hx=0.568x.故射线穿过厚度为12cm的铅板后强度与原来的强度之比是H12=0.56812≈0.001128，即约为原来的千分之一. 函数y＝ax(a>0，且a≠1)01图象图象特征在x轴上方，过定点(0,1)当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升函数y＝ax(a>0，且a≠1)01性质定义域R值域(0，＋∞)函数y＝ax(a>0，且a≠1)01性质单调性在R上是减函数在R上是增函数函数值变化规律当x＝0时，y＝1当x<0时，y>1；当x>0时，00时，y>1