高一数学必考点分类集训(人教A版必修第一册)专题4.4对数函数(5类必考点)(原卷版+解析)

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专题4.4 对数函数 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"  HYPERLINK \l "_Toc119527085" 【考点1：对数函数的概念】  PAGEREF _Toc119527085 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc119527086" 【考点2：对数函数的图象】  PAGEREF _Toc119527086 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc119527087" 【考点3：对数函数的定义域与值域】  PAGEREF _Toc119527087 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc119527088" 【考点4：对数函数的单调性与最值】  PAGEREF _Toc119527088 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc119527089" 【考点5：对数函数的应用】  PAGEREF _Toc119527089 \h 9【考点1：对数函数的概念】【知识点：对数函数的概念】形如y＝logax（a>0且a≠1）的函数为对数函数.1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（    ）A．y=loga(2x) B．y=lg10x C．y=loga(x2+x) D．y=lnx2．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是( )A．y=log2x    B．y=ln(x+1)    C．y=logxe    D．y=logxx3．（2023·全国·高三专题练习）若函数fx=log2x+a的图象过点−2,0，则a=（    ）A．3 B．1 C．-1 D．-34．（2022·全国·高一课时练习）已知fx为对数函数，f12=−2，则f2=______．5．（2022·北京市第十三中学高三开学考试）已知函数fx=logax，且f2=12.则a=___________；f12+f23+f34=___________.【考点2：对数函数的图象】【知识点：对数函数的图象】1．对数函数的图象2.底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，00且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．1．（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdx的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（    ）A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c2．（2022·福建龙岩·高三期中）函数fx=exlnx的图像大致为（    ）A．B．C．D．3．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））已知函数f(x)=(3a−2)x−4a,x<1log12x,x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是（    ）A．−2,23 B．−23,2 C．−∞,−23 D．0,234．（2021·江西省新干中学高一期中）在同一坐标系中，函数y=a−x与y=logax(a>0,且a≠1)的图象可能是（    ）A． B．C． D．5．（2020·山东省青岛第十九中学高一期中）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数fx=ax与函数gx=−logbx在同一坐标系中的图象可能是（    ）A． B．C． D．6．（2022·上海市大同中学高一期中）函数y=logax+1+1a>1必过定点___________.7．（2021·上海海洋大学附属大团高级中学高三期中）若函数y=f−1x是函数fx=logax−1（a>0且a≠1）的反函数，则函数y=f−1x−1+3的图象一定经过定点________．8．（2007·全国·高考真题（文））如图，已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C，D两点．(1)证明O，C，D三点在同一条直线上；(2)当BC∥x轴时，求A点的坐标．【考点3：对数函数的定义域与值域】【知识点：对数函数的定义域与值域】1．（2022·浙江·高一期中）函数f(x)=ln(−x2+5x−6)的定义域为（    ）A．(2,3) B．(−∞,2)∪(3,+∞)C．[2,3] D．(−∞,2]∪[3,+∞)2．（2022·北京四中高三期中）函数fx=11−lnx的定义域是______.3．（2022·北京·高三阶段练习（文））函数fx=lg1−x+ 1的值域为______．4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数y=lgax2−2x+2的值域为R，则实数a的取值范围为________．5．（2021·天津·高一期末）若函数f(x)=(a+2)x-3a,x≤2log2x,x>2的值域是R，则实数a的取值范围是_________．6．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知fx=logax+loga(4−x)（a>0且a≠1），且f(2)=2.(1)求a的值及fx的定义域；(2)求fx在1,72上的值域.7．（2022·安徽省怀宁县第二中学高三阶段练习）已知函数fx=log2x2−log2x−2．(1)若fx<0，求x的取值范围；(2)当14≤x≤8时， 求函数fx的值域．【考点4：对数函数的单调性与最值】【知识点：对数函数的单调性与最值】1．（2008·湖南·高考真题（文））下面不等式成立的是（    ）A．log320且a≠1，函数f(x)=ax+1x,x≥a,logax,00且a≠1．(1)求fx的定义域及其图象的对称轴方程；(2)若fx的最大值为2，求a的值．9．（2022·广东·深圳中学高一期中）设a>0且a≠1，函数fx=loga1+x+loga3−x的图象过点1,2.(1)求a的值及fx的定义域；(2)求fx在0,32上的单调区间和最大值.10．（2022·安徽·高三阶段练习）已知函数f(x)=logax(a>0，且a≠1）．(1)若函数f(x)的图象与函数ℎ(x)的图象关于直线y=x对称，且点P(2,16)在函数ℎ(x)的图象上，求实数a的值；(2)已知函数g(x)=fx2fx8，x∈12,8．若g(x)的最大值为8，求实数a的值．11．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知a∈R，函数f(x)=log2(x2+x+a)(1)若函数f(x)过点(1,1)，求此时函数f(x)的解析式；(2)设a>0，若对任意t∈[12,1]，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.12．（2022·河南·新密市第二高级中学高一阶段练习）已知函数f(x)=log3x(1)设函数g(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，g(x)=f(x)，求函数g(x)的解析式；(2)已知集合A=x3log3x2-20log9x+3≤0①求集合A；②当x∈A时，函数ℎ(x)=fx3a⋅fx9的最小值为-2，求实数a的值．【考点5：对数函数的应用】【知识点：对数函数的应用】1．（2022·广西北海·一模（理））大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v（单位：m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现v=klnQ100k>0．当v=0.5m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800．当v=1.5m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（    ）A．12800 B．24800 C．25600 D．512002．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）每年3月3日是国际爱耳日，2022年的主题是“关爱听力健康，聆听精彩未来”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y（单位dB），定义y=10lgII0，其中I为声场中某点的声强度，其单位为W/m2（瓦/平方米）I0=10−12 W/m2为基准值．如果飞机起飞时的声音是120dB，两人轻声交谈的声音是40dB，那么前者的声强度是后者的声强度的（    ）倍？A．107 B．108 C．109 D．10103．（2022·北京市八一中学高三阶段练习）点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r（单位：米）的关系式为ΔL=10lgπr24（单位：dB），取lg5≈0.7，则r从8米变化到40米时，衰减量的增加值约为（    ）A．14dB B．18dB C．21dB D．28dB4．（2022·浙江大学附属中学高一期中）声强级Li（单位：dB）为声强I（单位：ωm2）之间的关系是：Li=10lgII0，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1ω/m2，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中错误的是（    ）A．闻阈的声强级为0dBB．此歌唱家唱歌时的声强范围[10−5,10−4]（单位：ω/m2）C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍5．（2022·江苏常州·高一期中）声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：ω/m2）之间的关系是：Li=10×lgII0，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1ω/m2，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为70,80（单位：dB）．下列选项中正确的是（    ）A．闻阈的声强为10－12 ω/m2B．声强级增加10dB，则声强变为原来的2倍C．此歌唱家唱歌时的声强范围10−5,10−4（单位：dB）D．如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB6．（2022·上海市进才中学高三阶段练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①y=kx+bk>0；②y=k⋅1.2x+bk>0；③y=klog2x15+2+nk>0.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.7．（2022·北京朝阳·高三阶段练习）2022年6月5日神舟十四号载人飞船在长征二号F遥十四运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道．我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．根据火箭理想速度公式v=v0⋅lnMm，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位：ms），其中v0（单位：ms）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，Mm应称为总质比．己知A型火箭喷流相对速度为800m/s，根据以上信息：（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为___________ms；（2）若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的15，若要使火箭的最大速度至少增加800m/s，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为___________．（所有结果保留整数，参考数据：ln2≈0.693,ln5≈1.609,e≈2.718）函数y＝logax，a>1y＝logax,00，且a≠1)a>100，且a≠1)a>101时，y>0；当01时，y<0；当00专题4.4 对数函数 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"  HYPERLINK \l "_Toc119527085" 【考点1：对数函数的概念】  PAGEREF _Toc119527085 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc119527086" 【考点2：对数函数的图象】  PAGEREF _Toc119527086 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc119527087" 【考点3：对数函数的定义域与值域】  PAGEREF _Toc119527087 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc119527088" 【考点4：对数函数的单调性与最值】  PAGEREF _Toc119527088 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc119527089" 【考点5：对数函数的应用】  PAGEREF _Toc119527089 \h 19【考点1：对数函数的概念】【知识点：对数函数的概念】形如y＝logax（a>0且a≠1）的函数为对数函数.1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（    ）A．y=loga(2x) B．y=lg10x C．y=loga(x2+x) D．y=lnx【答案】D【分析】根据对数函数的概念即得.【详解】因为函数y=logax(a>0且a≠1)为对数函数，所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D.2．（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是( )A．y=log2x    B．y=ln(x+1)    C．y=logxe    D．y=logxx【答案】A【详解】对数函数y=logax（a>0且a≠1），其中a为常数，x为自变量．对于选项A，符合对数函数定义；对于选项B，真数部分是x+1，不是自变量x，故它不是对数函数；对于选项C，底数是变量x，不是常数，故它不是对数函数；对于选项D，底数是变量x，不是常数，故它不是对数函数．故选：A．3．（2023·全国·高三专题练习）若函数fx=log2x+a的图象过点−2,0，则a=（    ）A．3 B．1 C．-1 D．-3【答案】A【分析】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解.【详解】解：由已知得f−2=log2−2+a=0，所以−2+a=1，解得：a=3，故选：A．4．（2022·全国·高一课时练习）已知fx为对数函数，f12=−2，则f2=______．【答案】1【分析】根据f12=2，求得对数函数解析式，再将x=2代入计算即可.【详解】设fx=logax（a>0，且a≠1），则loga12=−2，∴1a2=12，即a=2，∴fx=log2x，∴f2=log22=1．故答案为：1.5．（2022·北京市第十三中学高三开学考试）已知函数fx=logax，且f2=12.则a=___________；f12+f23+f34=___________.【答案】     4     −1【分析】由f2=12，得到loga2=12，求得a=4，结合对数的运算法则，即可求解.【详解】由题意，函数fx=logax，因为f2=12，即loga2=12，解得a=4，所以fx=log4x，则f12+f23+f34=log412+log423+log434=log4(12×23×34)=log414=−1.故答案为：4； −1.【考点2：对数函数的图象】【知识点：对数函数的图象】1．对数函数的图象2.底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，00且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．1．（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdx的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（    ）A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c【答案】C【分析】根据对数函数的图象性质即可求解.【详解】由图可知a>1，b>1，0a>1>d>c．故选：C．2．（2022·福建龙岩·高三期中）函数fx=exlnx的图像大致为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据函数定义域以及函数极限，判断即可.【详解】因为fx的定义域为{x|x>0且x≠1}，故A错误；又当x→0时，ex→1,lnx→−∞，故fx→0，故C错误；当x>1且x→1时，ex→e,lnx→0，故fx→+∞，故B错误；故选：D.3．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））已知函数f(x)=(3a−2)x−4a,x<1log12x,x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是（    ）A．−2,23 B．−23,2 C．−∞,−23 D．0,23【答案】A【分析】通过函数解析式分析每个分段的值域，因为fx=log12x，x≥1值域为−∞,0，所以fx=3a−2x−4a，x<1的值域应包含0,+∞，所以判断出函数的单调性和f1的正负，从而求出实数a的取值范围【详解】当x≥1时，fx=log12x，其值域为−∞,0，当x<1时，fx=3a−2x−4a的值域应包含0,+∞，所以fx为减函数，所以3a−2<0，且3a−2×1−4a≤0，解得−2≤a<23.故选：A4．（2021·江西省新干中学高一期中）在同一坐标系中，函数y=a−x与y=logax(a>0,且a≠1)的图象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】分情况进行讨论指数函数与对数函数的图象即可求解.【详解】当a>1时，y=a−x定义域为R，且在R上单调递减，y=logax定义域为(0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，D符合；当01，由指数函数和对数函数的图象判断.【详解】解：∵a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，∴当01，则函数fx=ax与函数gx=−logbx在同一坐标系中的图象是： ，当a>1时，01必过定点___________.【答案】(0,1)【分析】根据对数函数的性质，令x=0即可确定定点.【详解】由对数的性质知：当x=0时y=loga1+1=1，所以函数必过定点(0,1).故答案为：(0,1)7．（2021·上海海洋大学附属大团高级中学高三期中）若函数y=f−1x是函数fx=logax−1（a>0且a≠1）的反函数，则函数y=f−1x−1+3的图象一定经过定点________．【答案】1,5【分析】求出函数fx的图象所过定点的坐标，再利用反函数的性质结合图象变换可得函数y=f−1x−1+3的图象所过定点的坐标.【详解】因为f2=loga1=0，即函数fx的图象过定点2,0，故函数y=f−1x的图象过定点0,2，而函数y=f−1x−1+3的图象可在函数y=f−1x的图象上先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到，故函数y=f−1x−1+3的图象过定点1,5.故答案为：1,5.8．（2007·全国·高考真题（文））如图，已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A，B两点，分别过点A，B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C，D两点．(1)证明O，C，D三点在同一条直线上；(2)当BC∥x轴时，求A点的坐标．【答案】(1)证明见解析．(2)(3,log83)．【分析】（1）设A(x1,log8x1)，B(x2,log8x2)，则C(x1,log2x1)，D(x2,log2x2)，由O,A,B共线得一关系式，利用对数的换底公式变形后可得C,D两点坐标满足的关系，从而得结论；（2）由B,C两点的纵坐标相等可求得x2=x13，代入（1）中关系式可求得x1得A点坐标．【详解】（1）设A(x1,log8x1)，B(x2,log8x2)，则C(x1,log2x1)，D(x2,log2x2)，O,A,B共线，则log8x1x1=log8x2x2，所以13log2x1x1=13log2x2x2，即log2x1x1=log2x2x2，所以O,C,D三点共线；（2）由（1）得log8x2=log2x1，即log8x2=log8x13，所以x2=x13．所以log8x1x1=log8x13x13=3log8x1x13，当x1=1时，x2=1，A,B重合不合题意，因此x1≠1，log8x1≠0，从而x12=3，x1=3（负值舍去），所以A点坐标为(3,log83)．【考点3：对数函数的定义域与值域】【知识点：对数函数的定义域与值域】1．（2022·浙江·高一期中）函数f(x)=ln(−x2+5x−6)的定义域为（    ）A．(2,3) B．(−∞,2)∪(3,+∞)C．[2,3] D．(−∞,2]∪[3,+∞)【答案】A【分析】对数型函数的定义域只需要真数大于0，解出即可【详解】由−x2+5x−6>0，即x2−5x+6<0，解得201−lnx≠0，解得x>0且x≠e，所以函数的定义域为(0,e)∪(e,+∞)，故答案为：(0,e)∪(e,+∞).3．（2022·北京·高三阶段练习（文））函数fx=lg1−x+ 1的值域为______．【答案】[0,+∞)【分析】先求出函数的定义域，然后根据二次根式的性质求出1-x+1的范围，再利用对数函数的性质可求出函数的值域.【详解】函数fx的定义域为(-∞,1]，因为1-x≥0所以1-x+1≥1，所以lg1-x+1≥lg1=0所以函数fx值域为[0,+∞)．故答案为：[0,+∞)4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数y=lgax2−2x+2的值域为R，则实数a的取值范围为________．【答案】0,12【分析】由于函数fx的值域为R，则对数函数的真数要取遍所有正数，对a分类讨论解不等式即可求出a的范围.【详解】令gx=ax2−2x+2，∵函数y=lgax2−2x+2的值域为R，∴x∈R，gx=ax2−2x+2要取遍所有正数.当a=0时，gx=−2x+2，符合题意，故a=0可取；当a≠0时，a>0Δ=4−8a≥0解得02的值域是R，则实数a的取值范围是_________．【答案】(-2,3]【分析】结合对数函数、一次函数的知识求得正确答案.【详解】当x>2时，log2x>log22=1，而fx的值域为R，所以a+2>0a+2×2-3a≥1,a>-2a≤3，解得-20且a≠1），且f(2)=2.(1)求a的值及fx的定义域；(2)求fx在1,72上的值域.【答案】(1)a=2，0,4；(2)log27−2,2【分析】（1）根据f2=2求出参数a的值，即可得到函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，即可求出函数的定义域；（2）由（1）可得f(x)=log2−(x−2)2+4，设tx=−(x−2)2+4，x∈1,72，根据二次函数的性质求出tx的取值范围，从而求出fx的值域.（1）解：由f2=2得loga2+loga(4−2)=2，即2loga2=2，所以loga2=1，解得a=2，所以fx=log2x+log2(4−x)，由x>04−x>0，解得00，t∈R，所以fx=log2x2−log2x−2<0，即t2−t−2<0，解得−10⇒x>4或x<−2，二次函数y=x2−2x−8的对称轴为x=1，所以该二次函数的单调递增区间为(1,+∞)，所以fx=lnx2−2x−8的单调递增区间是4,+∞，故选：D3．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知函数f(x)=ln1+x2−11+|x|，若实数a满足flog3a+flog13a≤2f(1)，则a的取值范围是（    ）A．[1,3] B．0,13 C．(0,3] D．13,3【答案】D【分析】先判断函数f(x)为R上的偶函数，且在0,+∞上单调递增，则不等式flog3a+flog13a≤2f(1)可转化为log3a≤1，由此可得a的取值范围.【详解】f(x)=ln1+x2−11+|x|，其中x∈R，∵f(−x)=ln1+x2−11+|x|=f(x)，则fx为偶函数，当x>0时，f(x)=ln1+x2−11+x，则f(x)在0,+∞上单调递增，又flog3a+flog13a≤2f(1)，则flog3a+f−log3a≤2f(1)，即flog3a≤f(1)，故log3a≤1，则−1≤log3a≤1，解得13≤a≤3.故选：D.4．（2022·北京市第一六一中学高三期中）关于函数fx=ln21−x−1，下列说法错误的是（    ）A．定义域为−1,1 B．图象关于y轴对称C．图象关于原点对称 D．在0,1内单调递增【答案】B【分析】由21−x−1>0即可求出其的定义域；利用f(−x)=−f(x)可判断f(x)为奇函数；求利用复合函数的单调性即可判断f(x)在0,1内的单调性.【详解】因为f(x)=ln21−x−1=ln1+x1−x,所以1+x1−x>0⇒x+1x−1<0⇒x+1x−1<0⇒−10在0,1上单调递减，所以y=21−x−1>0在0,1上单调递增，又y=lnx在0,+∞上单调递增，所以y=ln21−x−1在0,1上单调递增，故D正确.故选：B.5．（2022·湖北·宜昌英杰学校高二阶段练习）若a=log45，b=12log23，c=eln2，则下列a，b，c的大小关系表达正确的为（    ）A．a0且a≠1，函数f(x)=ax+1x,x≥a,logax,01时函数无最小值，不符合题意；当0≤a<1时，利用基本不等式求出f(x)=ax+1x在[a,+∞)上的最小值2a，利用对数函数的性质求出y=logax在(0,a)上的值域为(1,+∞)，列出不等式2a≤1，解之即可.【详解】当a>1时，y=logax在（0，a）上单调递增，所以值域为（-∞，1），故函数f（x）无最小值，不符合题意；当0≤a<1时，1a>a，fx=ax+1x在a，+∞）上有ax>0，1x>0，所以f(x)=ax+1x≥2a，当且仅当ax=1x即x=1a时等号成立，所以f(x)的最小值为f1a=2a，y=logax在（0，a）上单调递减，所以值域为（1，+∞），故函数f（x）有最小值只需2a≤1，即a≤14，所00−12+a×−1−a≥0，解得a≤12，⑤正确.故答案为：38．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数f(x)=loga(3−x)+loga(x+1)，其中a>0且a≠1．(1)求fx的定义域及其图象的对称轴方程；(2)若fx的最大值为2，求a的值．【答案】(1)定义域为−1,3，对称轴为x=1；(2)2.【分析】（1）直接根据真数部分大于零得定义域，通过证明f(2−x)=f(x)得对称轴；（2）先求出真数部分的范围，进而可通过最值列式计算求a的值.c【详解】（1）由题意得3−x>0x+1>0，解得−11且loga4=2，解得a=2．9．（2022·广东·深圳中学高一期中）设a>0且a≠1，函数fx=loga1+x+loga3−x的图象过点1,2.(1)求a的值及fx的定义域；(2)求fx在0,32上的单调区间和最大值.【答案】(1)a=2，−1,3(2)单调增区间为0,1，单调减区间为1,32；最大值为2【分析】（1）根据对数函数得性质和计算规则计算即可；（2）复合函数单调性根据内外函数同增异减，先判断内函数单调性，再判断外函数单调性即可.【详解】（1）∵函数fx=loga1+x+loga3−x的图象过点1,2，∴loga1+1+loga3−1=2，∴loga4=2，即a2=4，又a>0且a≠1，∴a=2，要使fx=log21+x+log23−x有意义，则1+x>03−x>0⇒−10，且a≠1）．(1)若函数f(x)的图象与函数ℎ(x)的图象关于直线y=x对称，且点P(2,16)在函数ℎ(x)的图象上，求实数a的值；(2)已知函数g(x)=fx2fx8，x∈12,8．若g(x)的最大值为8，求实数a的值．【答案】(1)4(2)12或2【分析】（1）由题意可知ℎx=ax，然后将点2,16代入可求出a的值，（2）由（1）得g(x)=logax2−4loga2⋅logax+3loga22，令t=logax，则φt=t2−4tloga2+3loga22，然后分01两种情况结合二次函数的性质求解即可.（1）因为函数f(x)=logax(a>0，且a≠1）的图象与函数ℎ(x)的图象关于直线y=x对称，所以ℎx=ax（a>0，且a≠1），因为点P(2,16)在函数ℎ(x)的图象上，所以16=a2，解得a=4，或a=−4（舍去），（2）gx=logax2⋅logax8=logax−loga2logax−loga8 =logax2−4loga2⋅logax+3loga22．令t=logax．①当01时，由12≤x≤8，有−loga2≤logax≤3loga2，二次函数φ(t)=t2−4tloga2+3loga22的对称轴为t=2loga2，可得最大值为φ−loga2=loga22+4loga22+3loga22=8loga22=8，解得a=2或a=12（舍去），综上，实数a的值为12或2．11．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知a∈R，函数f(x)=log2(x2+x+a)(1)若函数f(x)过点(1,1)，求此时函数f(x)的解析式；(2)设a>0，若对任意t∈[12,1]，函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.【答案】(1)f(x)=log2(x2+x)(2)a≥94【分析】（1）将点(1,1)代入f(x)=log2(x2+x+a)可求出a，进而得到解析式； （2）由复合函数的单调性知f(x)=log2(x2+x+a)在区间[t,t+1]上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由已知得到问题的等价不等式−t2+t+2≤a对任意t∈[12,1]恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.（1）解：因为函数f(x)过点(1,1)，即f(1)=log2(2+a)=1，解得a=0，故f(x)=log2(x2+x)；（2）因为f(x)=log2(x2+x+a)是复合函数，设u(x)=x2+x+a，f(x)=log2u(x)，∵t∈[12,1]，∴u(x)=x2+x+a在区间[t,t+1]单调递增，f(x)=log2u(x)单调递增，故函数f(x)在区间[t,t+1]上单调递增，∴f(x)min=f(t)=log2(t2+t+a),f(x)max=f(t+1)=log2(t2+3t+2+a)，由题意f(t+1)−f(t)≤1对任意t∈[12,1]恒成立，即log2(t2+3t+2+a)−log2(t2+t+a)≤1对任意t∈[12,1]恒成立，即t2+3t+2+a≤2t2+2t+2a对任意t∈[12,1]恒成立，即−t2+t+2≤a对任意t∈[12,1]恒成立，设g(t)=−t2+t+2，t∈[12,1]，只需g(t)max≤a即可，因为g(t)=−t2+t+2的对称轴为t=12，图像是开口向下的抛物线， 故g(t)=−t2+t+2在t∈[12,1]单调递减，故g(t)max=g(12)=94，故a≥94.12．（2022·河南·新密市第二高级中学高一阶段练习）已知函数f(x)=log3x(1)设函数g(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，g(x)=f(x)，求函数g(x)的解析式；(2)已知集合A=x3log3x2-20log9x+3≤0①求集合A；②当x∈A时，函数ℎ(x)=fx3a⋅fx9的最小值为-2，求实数a的值．【答案】(1)gx=log3x,x>00,x=0-log3-x,x<0(2)①A=[33,27]；②a的值为2-22或5【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；（2）①由题知解3log3x-1log3x-3≤0得13≤log3x≤3，再解对数不等式即可得答案；②由题知ℎx=log3x2-(a+2)log3x+2a，进而结合①还原，转化为求mt=t-a+222-(a-2)24，t∈13,3的最小值问题，再分类讨论求解即可.【详解】（1）解：根据题意，当x>0时，g(x)=log3x，当x<0时，-x>0，则g(-x)=log3(-x)，因为函数g(x)是定义在R上的奇函数，所以，g0=0，g(x)=-g(-x)=-log3(-x)所以，gx=log3x,x>00,x=0-log3-x,x<0（2）解：①3log3x2-20log9x+3≤0，即3log3x2-10log9x+3≤0所以，3log3x-1log3x-3≤0所以，13≤log3x≤3，解得33≤x≤27所以，A=33,27②ℎ(x)=log3x3a⋅log3x9=log3x-a⋅log3x-2=log3x2-(a+2)log3x+2a由①可得t=log3x∈13,3所以，函数ℎ(x)等价转化为mt=t-a+222-(a-2)24，t∈13,3，下面分三种情况讨论求解：当a+22≤13，即a≤-43，φ(t)在13,3上是增函数，所以，ℎ(x)min=φ(t)min=φ13=53a-59=-2，解得a=-1315，与a≤-43矛盾，舍；当a+22≥3，即a≥4时，φ(t)在13,3上是减函数，所以ℎ(x)min=φ(t)min=φ(3)=3-a=-2，解得a=5，满足题意；当130．当v=0.5m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800．当v=1.5m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为（    ）A．12800 B．24800 C．25600 D．51200【答案】D【分析】根据题意得k=16ln2，再结合对数运算解方程1.5=16ln2lnQ100即可.【详解】解：因为v=0.5m/s时，Q=800，所以0.5=kln800100=3kln2，解得k=16ln2，所以，v=1.5m/s时，1.5=16ln2lnQ100，即lnQ100=9ln2=ln29，所以Q100=29，解得Q=51200．故选：D．2．（2022·江苏江苏·高三阶段练习）每年3月3日是国际爱耳日，2022年的主题是“关爱听力健康，聆听精彩未来”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y（单位dB），定义y=10lgII0，其中I为声场中某点的声强度，其单位为W/m2（瓦/平方米）I0=10−12 W/m2为基准值．如果飞机起飞时的声音是120dB，两人轻声交谈的声音是40dB，那么前者的声强度是后者的声强度的（    ）倍？A．107 B．108 C．109 D．1010【答案】B【分析】利用代入法，结合指数式与对数式的互化公式进行求解即可.【详解】设声音是120dB的声强度为I1，则120=10lgI1I0，即I1=I0⋅1012，声音是40dB的声强度为I2，则40=10lgI2I0，即I2=I0⋅104，∴I1I2=1012104=108，∴前者的声强度是后者的声强度的108倍．故选B.3．（2022·北京市八一中学高三阶段练习）点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r（单位：米）的关系式为ΔL=10lgπr24（单位：dB），取lg5≈0.7，则r从8米变化到40米时，衰减量的增加值约为（    ）A．14dB B．18dB C．21dB D．28dB【答案】A【分析】根据所给公式及对数的运算求解.【详解】解：因为衰减量ΔL与传播距离r（单位：米）的关系式为ΔL=10lgπr24，所以r从8米变化到40米时，衰减量的增加值约为：10lgπ×4024−10lgπ×824=10lg25=20lg5≈20×0.7=14 dB；故选：A4．（2022·浙江大学附属中学高一期中）声强级Li（单位：dB）为声强I（单位：ωm2）之间的关系是：Li=10lgII0，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1ω/m2，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中错误的是（    ）A．闻阈的声强级为0dBB．此歌唱家唱歌时的声强范围[10−5,10−4]（单位：ω/m2）C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍【答案】C【分析】根据题设可得Li=10lg(1012I)=120+10lgI，令I=10−12 ωm2求声强级判断A；将Li=70、Li=80代入求声强范围判断B；对I1,2I1对应声强级作商、Li,Li+10对应声强作商判断C、D.【详解】由题意10lg1I0=120，则I0=10−12 ωm2，故Li=10lg(1012I)=120+10lgI，当I=10−12 ωm2时，Li=0dB，A正确；若Li=70 dB，即10lgI=−50，则I=10−5 ωm2；若Li=80 dB，即10lgI=−40，则I=10−4 ωm2，故歌唱家唱歌时的声强范围[10−5,10−4]（单位：ω/m2），B正确；将I1,2I1对应的声强级作商为10lg(2×1012I1)10lg(1012I1)≠2，C错误；将Li,Li+10对应声强作商为10Li+10−1201010Li−12010=10，D正确.故选：C5．（2022·江苏常州·高一期中）声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：ω/m2）之间的关系是：Li=10×lgII0，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1ω/m2，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为70,80（单位：dB）．下列选项中正确的是（    ）A．闻阈的声强为10－12 ω/m2B．声强级增加10dB，则声强变为原来的2倍C．此歌唱家唱歌时的声强范围10−5,10−4（单位：dB）D．如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB【答案】ACD【分析】依题意求出I0，即可判断A；将Li=70、Li=80代入求声强范围判断C；设声强变为原来的k倍，对应声强级增加10 dB，依题意得到方程，解得k，即可判断B、D.【详解】解：由题意10lg1I0=120，即lg1I0=12，所以1I0=1012，所以I0=10−12 ωm2，故Li=10lg(1012I)=120+10lgI，故A正确；若Li=70 dB，即10lgI=−50，则I=10−5 ωm2；若Li=80 dB，即10lgI=−40，则I=10−4 ωm2，故歌唱家唱歌时的声强范围10−5,10−4（单位：ω/m2），C正确；设声强变为原来的k倍，对应声强级增加10 dB，则120+10lgkI−120+10lgI=10，解得k=10，即如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10 dB，故D正确，B错误；故选：ACD6．（2022·上海市进才中学高三阶段练习）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①y=kx+bk>0；②y=k⋅1.2x+bk>0；③y=klog2x15+2+nk>0.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.【答案】(1)选y=klog2x15+2+n，理由见解析(2)答案见解析(3)55分钟【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型，（2）将0,0，30,3代入求解系数即可.（3）将x=4.5代入解析式即可.（1）第一步：分析题中每个模型的特点对于模型一，当k>0时，匀速增长；对于模型二，当k>0时，先慢后快增长；对于模型三，当k>0时，先快后慢增长.第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选y=klog2x15+2+n.（2）第三步把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式将0,0，30,3代入解析式得到k+n=0klog24+n=3，即k+n=02k+n=3，解得k=3，n=-3，即y=3log2x15+2-3.第四步：完善模型是否合适当x=90时，y=3log26+2-3=6，满足每天得分最高不超过6分的条件.所以函数的解析式为y=3log2x15+2-3,0≤x≤906,x>90.（3）由y=3log2x15+2-3≥4.5，log2x15+2≥2.5=log2252，得x15+2≥252=42≈5.656，得x≥54.84，所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.7．（2022·北京朝阳·高三阶段练习）2022年6月5日神舟十四号载人飞船在长征二号F遥十四运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道．我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．根据火箭理想速度公式v=v0⋅lnMm，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位：ms），其中v0（单位：ms）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，Mm应称为总质比．己知A型火箭喷流相对速度为800m/s，根据以上信息：（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为___________ms；（2）若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的15，若要使火箭的最大速度至少增加800m/s，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为___________．（所有结果保留整数，参考数据：ln2≈0.693,ln5≈1.609,e≈2.718）【答案】     3129     68【分析】（1）根据总质比为50，代入v=v0⋅lnMm求解； （2）易知经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为1600m/s，总质比为M5m，然后由1600⋅lnM5m−800⋅lnMm≥800求解.【详解】（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为：v=800⋅ln50=800⋅2ln5+ln2≈800⋅2×1.609+0.693=3128.8≈3129 ms；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为1600m/s，总质比为M5m，要使火箭的最大速度至少增加800m/s，则1600⋅lnM5m−800⋅lnMm≥800，即 2⋅lnM5m−lnMm≥1，即 lnM5m2−lnMm≥1，即 lnM25m≥1，所以Mm≥25e≈67.95≈68，所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68.故答案为:3129；68.函数y＝logax，a>1y＝logax,00，且a≠1)a>100，且a≠1)a>101时，y>0；当01时，y<0；当00