高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究一三角函数的最值与值域(原卷版+解析)

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【例1-1】已知，，则的最大值为_________.
【例1-2】已知函数．
(1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在区间上的值域．
归纳总结：
【练习1-1】当时，函数取得最大值，则__________.
【练习1-2】已知向量.
(1)若，求x的值； (2)记，求的最大值和最小值以及对应的x的值.
题型二 二次函数模型
【例2-1】已知函数．
(1)求； (2)求函数的最值及相应的x值．
【例2-2】函数，若的最大值和最小值是____．
归纳总结：
【练习2-1】函数的最大值为（ ）
A．B．3
C．D．4
【练习2-2】函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
题型三 最值的应用
【例3-1】已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是________．
【例3-2】已知实数x，y满足方程，则的最大值为________．
【例3-3】已知圆心角为的扇形的半径为，是弧上一点，作矩形，如图所示这个矩形的面积最大值为__________．
归纳总结：
【练习3-1】已知函数的最大值为2，则使函数在区间上至少取得两次最大值，则取值范围是_______
【练习3-2】已知圆锥的高为1，母线长为，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A．2B．C．D．3
【完成课时作业（二十九）】
【课时作业（二十九）】
一、单选题
1．函数，的最大值和最小值分别为（ ）
A．1，-1B．，C．1，D．1，
2．已知函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
3．若函数取最小值时，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数在区间上恰有两个最小值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6．已知，则的最大值为_ ______．
7．函数的值域为_________.
8．若奇函数在其定义域上是单调减函数，且对任意的，不等式恒成立，则取值范围是_________.
三、解答题
9．已知函数的最小正周期为
(1)求的值 (2)求在区间上的最大值和最小值.
10．在锐角△中，角A，B，C的对边分别是．已知．
(1)求; (2)求 的取值范围．
11．在中，角A､B､C､对应的边分别为a､b､c，，，
(1)求； (2)求的最小值.
12．已知函数．
(1)若，求的值； (2)求的最大值．
专题研究 三角函数的最值与值域
编写：廖云波
题型一 y＝Asin(ωx＋φ)型函数值域
【例1-1】已知，，则的最大值为_________.
【答案】
【分析】根据数量积的坐标表示及辅助角公式计算可得；
【详解】解：因为，，
所以，其中、，
因为，
所以.
故答案为：
【例1-2】已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)，.
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式及和（差）角公式将函数解析式化简，再根据正弦函数的性质计算可得.
（2）由的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
(1)
解：
，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
(2)
解：，
，
．
即函数在区间上的值域为．
归纳总结：
【练习1-1】当时，函数取得最大值，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式得出，分析可得出，利用诱导公式及两角和的正切公式可求解.
【详解】
利用辅助角公式，其中
当时，函数取得最大值，则，
所以，
所以
又，
所以
故答案为：.
【练习1-2】已知向量.
(1)若，求x的值；
(2)记，求的最大值和最小值以及对应的x的值.
【答案】(1)或
(2)当时，有最大值，最大值为；当时，有最小值，最小值0
【解析】
【分析】
（1）由可得，从而可求出x的值；
（2）由向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式可得，由得，再利用正弦函数的性质可求出函数的最值
(1)
∵
∴
当时，
当时，，又
∴
∴或
(2)
∵，
∴
∵∴
∴，
∴
当，即时，有最大值，最大值为；
当，即时，有最小值，最小值0.
题型二 二次函数模型
【例2-1】已知函数．
(1)求；
(2)求函数的最值及相应的x值．
【答案】(1)
(2)，时，或，时，
【解析】
【分析】
（1）将代入函数即可得出答案.
（2）化简，结合二次函数求最值的方法即可得出答案.
(1)
.
(2)
因为，
所以当，即，时，
当，即或，时，
【例2-2】函数，若的最大值和最小值是____．
【答案】，
【解析】
【分析】
注意sinx+csx与sinx•csx之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解．
【详解】
令t＝sinx+csx＝sin（x+），当x∈[0，]时，则t∈[1，]，
所以2sinxcsx＝t2﹣1，
则y＝t2+t+1＝（t+）2+，在t∈[1，]上单调递增，
此时y的最大值是，而最小值是3．
故答案为：，
归纳总结：
【练习2-1】函数的最大值为（ ）
A．B．3
C．D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
令，则，将原函数变形为，再根据的取值范围及二次函数的性质计算可得；
【详解】
解：根据题意，设，
则，
则原函数可化为，，
所以当时，函数取最大值.
故选：C.
【练习2-2】函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二倍角公式化简，转化成一个二次型的函数，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
，令，则．因为在上单增，所以当时，．
故选：C．
题型三 最值的应用
【例3-1】已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先分两种情况讨论，，，然后利用三角函数的性质即可求解.
【详解】
显然，，分两种情况：
若，当时，，
因函数在区间的最小值为，
所以，解得
若，当时，，
因函数在区间的最小值为，
所以，解得
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：
【例3-2】已知实数x，y满足方程，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角换元法，再用辅助角公式，结合三角函数的性质可求出答案.
【详解】
因为，所以
令，
则，
所以的最大值为.
故答案为：
【例3-3】已知圆心角为的扇形的半径为，是弧上一点，作矩形，如图所示这个矩形的面积最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查解三角在平面几何的应用，由三角形的知识易得，由三角函数公式化简以及三角函数的最值可得答案．
【详解】
解：设，扇形的半径为，圆心角为，所以，，
所以矩形面积
，
，；
当即即为弧的中点时，取最大值.
故答案为：.
归纳总结：
【练习3-1】已知函数的最大值为2，则使函数在区间上至少取得两次最大值，则取值范围是_______
【答案】##
【解析】
【分析】
结合辅助角公式先求出，函数化简为，取得最值时由整体法得，要满足题设条件，只需满足当时，对应取值即可.
【详解】
，因为，，故，原式为，当取到最大值时，，当，取得前两次最大值时，分别为0和1，时，，，此时需满足，解得.
故答案为：
【练习3-2】已知圆锥的高为1，母线长为，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据圆锥的高和母线，求出顶角范围，结合面积公式可得最大值.
【详解】
如图是圆锥的轴截面，
由题意母线，高，
则，是锐角，
所以，于是得轴截面顶角，
设截面三角形的顶角为，则过此圆锥顶点的截面面积，
当两条母线夹角为时，截面面积为为所求面积最大值，
故选：D.
【完成课时作业（二十九）】
【课时作业（二十九）】
一、单选题
1．函数，的最大值和最小值分别为（ ）
A．1，-1B．，C．1，D．1，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正弦型函数的性质求区间最值即可.
【详解】
由题设，，故，
所以最大值和最小值分别为1，.
故选：D
2．已知函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令，将函数转化为，利用二次函数的性质求解.
【详解】
解：令，
则函数为，
，
所以，
所以的值域为，
故选：B
3．若函数取最小值时，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简整理，得到辅助角与的关系，利用三角函数的图像和性质分析函数的最值，计算正弦值即可.
【详解】
，其中，
因为当时取得最小值，所以，
故.
故选：B.
4．函数在区间上恰有两个最小值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
运用换元法，结合正弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
令，因为，所以，
问题转化为函数在时恰有两个最小值点，
所以有，因为，所以，
故选：A
5．已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析
】
【分析】
可得在内有解，令，利用二次函数的性质即可求出.
【详解】
方程在内有解，即在内有解，
令，，则，
所以，解得.
故选：C.
二、填空题
6．已知，则的最大值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
消元，转化为求二次函数在闭区间上的最值
【详解】
，
，

时，取到最大值，
故答案为：．
7．函数的值域为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
令，函数化为，利用二次函数的性质即可求出.
【详解】
由于，
令，则，
于是函数化为，
而 ，
所以当时，函数取最小值，
当时，函数取最大值，故值域为.
故答案为：.
8．若奇函数在其定义域上是单调减函数，且对任意的，不等式恒成立，则取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件，脱去法则“f”，再利用含的二次函数求解作答.
【详解】
因奇函数在上单调递减，则，
，令，
而，因此当时，，即有，
所以取值范围是.
故答案为：
【点睛】
思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.
三、解答题
9．已知函数的最小正周期为
(1)求的值
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)1
(2)最大值为；最小值为
【解析】
【分析】
（1）将函数化简，根据最小正周期即可得解；
（2）整体考虑，，即可得解.
(1)
由三角函数公式化简可得：
因为的最小正周期，解得.
(2)
由（1）知，
当,即时,取得最大值是;
当,即时,取得最小值是.
在区间的最大值为，最小值为
10．在锐角△中，角A，B，C的对边分别是．已知．
(1)求;
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解角即可；
（2）利用正弦定理边化角，再利用两角差的正弦公式恒等变形，根据△为锐角三角形及（1）的结论求出角的范围，最后利用正弦三角函数的性质求出范围即可.
(1)
在△中由正弦定理得,
由余弦定理得，
∵，∴；
(2)
设△外接圆半径为，
，
∵△为锐角三角形，
∴，即，∴，∴，
∴，
即.
11．在中，角A､B､C､对应的边分别为a､b､c，，，
(1)求；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理结合已知条件可得，从而可求出，再利用两角和的正弦公式可求得答案，
（2）由（1）可求出，从而可得，进而可求出其最小值
(1)
由正弦定理得，代入解得.
由可知，所以为锐角，所以.
故.
(2)
在中，.
于是.
所以，
因为，
所以当时，的最小值为﹣2.
12．已知函数．
(1)若，求的值；
(2)求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知条件结合辅助角公式可得出，其中为锐角，且，，结合诱导公式可求得、的值，再利用二倍角的正弦公式可求得结果；
（2）设，可得出，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.
(1)
解：因为，可得，
其中为锐角，且，，
所以，，则，
所以，，
，
因此，.
(2)
解：因为，
，
令，则，
则
，
当且仅当时，取最大值.