高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究二零点问题(原卷版+解析)

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【例1】已知函数，讨论函数的零点的个数.
【练习1】已知函数．
(1)求证：的极小值为0； (2)讨论方程实数解的个数．
题型二 零点问题求参数范围
【例2】已知函数；
(1)若直线与函数的图像相切，求实数的值：
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
题型三 证明零点个数问题
【例3-1】已知函数，.
(1)若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；
(2)证明:方程有且只有一个实数根.
【练习3-1】已知函数，，
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：函数在定义域上只有一个零点.
【完成课时作业（二十）】
【课时作业（二十）】
1．已知函数.
(1)讨论函数f（x）的单调性；
(2)若关于x的方程有3个不等实根，求的取值范围.
2．已知函数
(1)讨论函数的单调性； (2)已知若函数没有零点，求的取值范围.
3．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若存在两个不同的零点，求实数a的取值范围.
4．已知函数，其中.
(1)求的极值点个数； (2)求函数在区间内的零点个数.
5．已知函数，.
(1)若，证明：当时，； (2)讨论零点的个数
6．已知函数，其中为常数，．
(1)求单调区间；
(2)若且对任意，都有，证明：方程有且只有两个实根．
专题研究二 零点问题
编写：廖云波
题型一 零点个数问题
【例1】已知函数，讨论函数的零点的个数.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
设，利用导数判断出单调性并画出图象，结合图象可得答案.
【详解】
由得， 设，
则，
令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减，
即当时，g(x)取得极大值即，
由，单调递增，可得与x轴只有一个交点，
由，单调递减，可得与x轴没有交点，
画出的大致图象如图， 可得m≤0或m=时，有1个零点；
当0时，没有零点.
综上所述，当m≤0或m=时，有1个零点；
当0当m>时，没有零点.
【练习1】已知函数．
(1)求证：的极小值为0；
(2)讨论方程实数解的个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数求解函数的单调性，即可判断的极小值；
（2）由题意可知方程等价于或时，构造函数，利用导数求解函数的单调性及最值，分类讨论的取值范围即可.
(1)
解：由题得，
所以当时，，在单调递增；
所以当时，，在单调递减．
所以，的极小值为．
(2)
解：方程等价于或时．
令，则，由，
随x的变化可得，情况变化如下：
故极大值，
先证明一个结论：当，不等式恒成立.
证明：设，则，
故在上为增函数，故，
故不等式恒成立.
对任意的，则当时，有①.
又当时，方程无实数解；
当时，，，
故在上有一个零点，
而，，，
结合①可得在上有两个零点，故方程有3个实数解；
当时，，，
故在上有一个零点，
而，故在上有一个零点即方程有2个实数解；
当时，同理有在上有一个零点，
而，故在上无零点即方程无实数解；
故方程有1个实数解；
综上：当时，方程有1个实数解；
当时，方程有4个实数解：
当时，方程有3个实数解；
当时，方程有2个实数解；
题型二 零点问题求参数范围
【例2】已知函数；
(1)若直线与函数的图像相切，求实数的值：
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义及点在切线上和曲线上，结合对数方程即可求解；
（2）根据函数的零点的定义，利用导数法求函数的最值，结合函数的单调性进行讨论即可求解.
(1)
的定义域为且
设的图像与直线相切于，则,
所以，所以；
(2)
的定义域为且，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，与已知矛盾，因此；由及，得，由及，得
所以在上单调递增，在上单调递减；
所以即，所以
当时，又，，所以在有一个零点；
令，则，由于在上恒成立，在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，，所以在上有一个零点；
综上知当时函数有两个零点．
题型三 证明零点个数问题
【例3-1】已知函数，.
(1)若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；
(2)证明:方程有且只有一个实数根.
【答案】(1) (2) 见解析
【解析】
【分析】
(1)依题意,得恒成立,由此可求实数的取值范围；
(2)令,即,即 ，也就是证明函数的图象与直线有且只有一个交点. 由，得 ，设 ,讨论的性质，可证方程有且只有一个实数根.
【详解】
(1)由题得,函数的定义域为
由，得，
依题意,得恒成立,
所以在区间内恒成立,所以.
而 ,当且仅当,
即时，等号成立，故，
因此实数的取值范围为.
(2)令,即,
即 ，
也就是证明函数的图象与直线有且只有一个交点.
由，得
记 ,
所以
令 ，
当时, ,在区间内单调递减;
当时, ,在区间内单调递增，
所以当时, 有有极小值 ，故，
因此在区间内单调递增，
又因为当,且时, ,当时, ,
因此函数的图象与直线有且只有一个交点,
故方程有且只有一个实数根.
【练习3-1】已知函数，，
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：函数在定义域上只有一个零点.
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数研究函数单调性，对参数进行分类讨论.
（2）利用第(1)问的结论，借助函数图像研究零点问题.
(1)
，又，
当时，，所以在上单调递减；
当时，有，或，
有，，所以在，上单调递减，
在上单调递增；
当时，有，或，
有，，所以在，上单调递减，
在上单调递增；
综上，当时， 在上单调递减；
当时，在，上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递减，在上单调递增.
(2)
由（1）有：当时， 在上单调递减，
又，，所以在定义域内只有一个零点；
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
又，，
，，
所以在定义域内只有一个零点；
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
又，，
，，
所以在定义域内只有一个零点.
【完成课时作业（二十）】
【课时作业（二十）】
1．已知函数.
(1)讨论函数f（x）的单调性；
(2)若关于x的方程有3个不等实根，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导函数，分a≥0，a<0讨论导函数的符号，得原函数的单调性；
（2）令函数g(x),利用导函数分析函数的单调性，由已知得g（x）有3个不同零点，建立不等式组即可得答案.
(1)
解： ，
当a≥0时，恒成立，故f（x）在R上单调递增；
当a<0时，令，则，
故f（x）在单调递增，在单调递减，在单调递增；
(2)
解：记，
则，.∴g（x）在（-∞，0）和（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增，
由题可知g（x）有3个不同零点，
∴即 ，
.
2．已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知若函数没有零点，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数法求函数单调性的步骤，再分和进行讨论即可求解；
（2）根据（1）可知，当时，函数在上单调递增，只要保证即可求解.
(1)
由题意可知，的定义域为，
，
令，则或，
当时，当或时，，
当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
当时，当或时，，
当时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减.；当时，所以在和上单调递减，在上单调递增.
(2)
当时，由（1）可知，在上单调递增，
若函数没有零点，则
所以实数的取值范围为.
3．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若存在两个不同的零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数求出切线的斜率，得到切线方程；（2）利用分离参数法得到，令，根据存在两个不同的零点，求出实数a的取值范围.
(1)
函数的定义域为，.
当时，，.
所以曲线在点处的切线方程为:，即.
(2)
方程总有两个不相等的实数根,即为,即有两个不相等的实数根.
设，则.
所以当时，,g(x)递增；当0因为时，；时，，
所以a>2e,则a的取值范围是.
4．已知函数，其中.
(1)求的极值点个数；
(2)求函数在区间内的零点个数.
【答案】(1)1
(2)当时，有一个零点；当时，无零点.
【解析】
【分析】
（1）求导分析函数的单调性与极值点即可；
（2）令，得，构造函数，，求导分析函数的单调性可得，从而讨论的范围判断零点个数即可
(1)
由题得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以当时，取得极小值，无极大值，
故的极值点个数为1.
(2)
由题得，
令，得 .
令，，
则，
令，得；令，得.
所以在区间内单调递减，区间内单调递增，
所以，
所以当，即时，直线与的图像有一个公共点，
即有一个零点；
当，即时，直线与的图像无公共点，
即无零点.
5．已知函数，.
(1)若，证明：当时，；
(2)讨论零点的个数
【答案】(1)证明见解析；
(2)若，无零点；若或，有一个零点；若，有两个零点..
【解析】
【分析】
（1）将代入解析式，求导判断单调性，得函数即可证明.
（2）讨论函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数.
(1)
证明：时，，；
令，则，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
的最小值为，故有当时，.
(2)
解：①时，，在R上单调递增，且，，
所以在上有一个零点；
② 时，，无零点；
③时，，由得，
当，，在上单调递减；当，，在上单调递增，所以有最小值
若，，有一个零点；
若，，无零点；
若，，又，可知在和上各有一个零点，故有两个零点.
综上所述：若，无零点；若或，有一个零点；若，有两个零点.
6．已知函数，其中为常数，．
(1)求单调区间；
(2)若且对任意，都有，证明：方程有且只有两个实根．
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，谈论参数的范围，根据导数的正负，可得单调区间；
（2）由已知可解得，构造函数，再根据（1）的结论，可知函数的单调性，结合零点存在定理，可证明结论.
(1)
定义域为，
因为，
若，，所以单调递减区间为，
若，,
当时，，当时，，
所以单调递减区间为，单调递增区间为 ．
(2)
证明：若且对任意，都有，
则在处取得最小值，由（1）得在取得最小值，得，
令，则单调性相同，
单调递减区间为，单调递增区间为，
且，，，
所以在(1e2，1)和上各有且仅有一个零点，
所以在和各有且仅有一个零点，
即方程有且只有两个实根．
2
-
+
0
-
极大值