高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究五导数与不等式综合问题(原卷版+解析)

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【例1-1】已知，其中．
（1）若在处取得极值，求实数的值．
（2）若在，上单调递增，求实数的取值范围．
【例1-2】已知函数．
（1）证明：函数在上单调递增；
（2）若，，求的取值范围．
归纳总结：
【练习1-1】已知．
（1）若在上单调，求实数的取值范围；
（2）证明：当时，在，上恒成立．
题型二 导数与数列
【例2-1】已知a>0且函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：.
【例2-2】已知函数.证明：
(1)当，不等式恒成立；
(2)对于任意正整数，不等式恒成立（其中为自然常数）
归纳总结：
【练习2-1】设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：.
题型三 同构法解不等式
【例3-1】已知函数．
(1)求的极值；
(2)若对任意的，恒成立，求正实数a的取值范围．
【练习3-1】已知函数．
(1)设，证明：对，都有恒成立；
(2)若，求证：．
【请完成课时作业（二十三）】
【课时作业（二十三）】
1．函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)当，且.
①证明：有两个极值点；
②证明：对任意的.
2．已知函数，．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)设，若，，都有，求实数的取值范围．
3．已知函数，为的导函数．
(1)若，证明：曲线与轴相切．
(2)证明：对于任意大于1的自然数，不等式恒成立．
4．已知函数．
(1)若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
5．已知函数f(x)＝lnx﹣ax+1（a∈R）．
(1)求函数f(x)在区间[]上的最大值；
(2)证明：．
6．设函数
(1)当时，求的值域；
(2)当时，，求k的取值范围.
专题研究五 导数与不等式综合问题
编写：廖云波
题型一 导数与三角函数
【例1-1】已知，其中．
（1）若在处取得极值，求实数的值．
（2）若在，上单调递增，求实数的取值范围．
【解析】解：（1），（2分）
由可得，；（4分）
经检验，满足题意．（5分）
（2）函数在单调递增．在上恒成立．（7分）
即在上恒成立．即
，（10分）．（11分）
检验，时，，，仅在处取得．所以满足题意．
．（12分）
【例1-2】已知函数．
（1）证明：函数在上单调递增；
（2）若，，求的取值范围．
【解析】解：（1）证明：，
因为，所以，，
于是（等号当且仅当时成立）．
故函数在上单调递增．
（2）由（1）得在上单调递增，
又，所以，
（ⅰ）当时，成立．
（ⅱ）当时，令，则，
当时，，单调递减，
又，所以，
故时，．
由式可得，
令，则
由式可得
令，得在上单调递增，
又，，所以存在使得，
即时，，
所以时，，单调递减，
又，所以，
即时，，与矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是，．
归纳总结：
【练习1-1】已知．
（1）若在上单调，求实数的取值范围；
（2）证明：当时，在，上恒成立．
【解析】解：（1）（1分）
若在上单调递增，则当，恒成立，
当时，，
此时；（4分）
若在上单调递减，同理可得（5分）
所以的取值范围是（6分）
（2）时，（7分）
当，时，在上单调递增，在上单调递减，
（9分）
存在，使得在，上，在，上，
所以函数在，上单调递增，在，上单调递减（11分）
故在，上，，，
所以在，上恒成立（12分）
题型二 导数与数列
【例2-1】已知a>0且函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围；
(3)设，证明：.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）代入，求导分析导函数的正负，进而确定原函数的单调性即可；
（2）求导可得，再分析与1的关系，结合求解即可；
（3）根据（2）可得，整理可得，再累加证明即可.
(1)
代入有，则，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.即在上单调递减，在上单调递增.
(2)
因为，，，令有，，当，即时，在上单调递增，故成立. 当，即时，在上，单调递减. ，不满足.综上有
(3)
由（2）可得，当时，当时，，即，当时，有，即，即，故，…，累加可得，即，即得证
【例2-2】已知函数.证明：
(1)当，不等式恒成立；
(2)对于任意正整数，不等式恒成立（其中为自然常数）
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）要证不等式成立，即证恒成立，令，
利用导数判断单调性求出最值可得答案；
（2）由（1）知，令则转化为，利用放缩法和等比数列求和可得答案.
(1)
要证不等式成立，即证恒成立，
，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，所以恒成立.
(2)
由（1）知，令则，
所以，
即
归纳总结：
【练习2-1】设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）求导，再分，和三种情况讨论，再根据导函数的符号即可得出答案；
（2）由（1）知：当时，在上单调递减，从而有，则有，再令，再利用放缩法及裂项相消法即可得证.
(1)
解：的定义域为，，
令，
当时，恒成立，即恒成立，
故在上单调递增，
当时，有二正根，，，
当，，
在和上单调递减，
当，，在上单调递增，
当时，恒成立，即恒成立，
故在上单调递减；
综上：当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
(2)
证明：由（1）知：当时，在上单调递减，
所以，
所以，当且仅当时取等号，令，
则，
所以
，
所以.
题型三 同构法证明不等式
【例3-1】
【例3-2】
归纳总结：
【练习3-1】
题型四 函数必要性求参数范围
【例4-1】
【例4-2】
归纳总结：
【练习4-1】
【请完成课时作业（二十三）】
【课时作业（二十三）】