高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究四双变量与极值点偏移问题(原卷版+解析)

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【例1-1】已知函数，
(1)讨论的极值点个数；
(2)若在内有两个极值点，，且，求的取值范围.
归纳总结：
【练习1-1】已知函数．
(1)若函数的最小值为，且对，恒成立，求实数的取值范围；
(2)当且时，试比较与的大小．
题型二 极值点偏移
【例2-1】已知函数．
(1)讨论的单调性； (2)证明：若，，则．
【例2-2】已知函数f(x)＝x－alnx
(1)求函数f(x)的极值点；
(2)若方程有2个不等的实根，证明：.
归纳总结：
【练习2-1】已知函数．
(1)若时，，求的取值范围；
(2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：．
【完成课时作业（二十二）】
【课时作业（二十二）】
1．已知函数
(1)若，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
(2)当时，讨论f（x）的单调性；
(3)设f（x）存在两个极值点且，若求证：.
2．已知函数，.若函数在定义域内有两个不同的极值点.
(1)求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：.
3．已知.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且.
4．已知函数的图像在处的切线与直线平行．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且时，，求实数m的取值范围．
5．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，，证明：
6．已知函数为常数，且在定义域内有两个极值点.
（1）求的取值范围；
（2）设函数的两个极值点分别为，求的范围.
专题研究四 双变量与极值点偏移问题
编写：廖云波
题型一 双变量问题
【例1-1】已知函数，
(1)讨论的极值点个数；
(2)若在内有两个极值点，，且，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数导数，令，讨论的正负情况判断函数单调性即可得出；
（2）根据题意可得，构造函数，利用导数求出单调性，不等式化为，求出的范围即可根据求出.
(1)
，令，，
当时，，即，则在上单调递减，无极值点；
当时，有两个零点，，
当，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增，
所以在处取极小值，在取极大值，有2个极值点，
综上，当时，无极值点，当时，有2个极值点；
(2)
由题意可得在有两个零点，故且，所以，
由得，故，同理，
又，所以，
结合知，
令，则，
当时，，单调递增，又，
所以即，所以，则，
因为，所以.
归纳总结：
【练习1-1】已知函数．
(1)若函数的最小值为，且对，恒成立，求实数的取值范围；
(2)当且时，试比较与的大小．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）求导分析函数的单调性，结合函数的最小值为，可以求出的值，再根据题意得，再求函数的最值即可求解；（2）构造函数，分析单调性，结合条件即可判断大小.
(1)
由题可知的最小值为，所以，
当时，，所以在上单调递减，没有最小值，不合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以时，取到最小值，所以，
故，因为恒成立，故，
令，令，解得，
所以在上单调递减，令，解得，所以在单调递增，
故可知，所以实数的取值范围：.
(2)
令，令，解得，
所以在上单调递减，令，解得，所以在上单调递增，
当时，，
综上所述，当时，，所以由得，；
当时，，所以由得，．.
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
题型二 极值点偏移
【例2-1】已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：若，，则．
【答案】(1)时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求定义域，再求导，分与求解函数的单调性；
（2）由得到，即证，构造函数，，求导后得到在上单调递增，
∵，∴，从而证明出成立．
(1)
由题意知：．
当时，当时，，在上单调递增；
当时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增．
(2)
证明：∵，即，
又，∴要证，只需证，
即证 ①
设，，则，
∴在上单调递增，
∵，∴，不等式①成立，即成立．
【点睛】
对于双元问题，要转化为单元问题，构造函数，结合函数单调性和极值等进行求解.
【例2-2】已知函数f(x)＝x－alnx
(1)求函数f(x)的极值点；
(2)若方程有2个不等的实根，证明：.
【答案】(1)时无极值点；a＞0时，极小值点是，无极大值点；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)求f(x)导数，讨论f(x)的单调性即可求函数的极值点；
(2)构造函数，证明g(x)在(0，a)上单调递减，得到，即，即可转化为，再根据f(x)单调性可得结论.
(1)
f(x)的定义域是，求导得，
当，，函数f(x)没有极值点；
当时，令，得
在(0，a)上，，f(x)单调递减，在上，，f(x)单调递增，
∴函数f(x)有极小值点，无极大值点；
(2)
由(1)知方程有2个不等的实根时，f(x)在定义域上不单调，一定有，在(0，a)上f(x)单调递减，在上f(x)单调递增，不妨设，
令，
∵，
∴，
由得，∴，
∴g(x)在(0，a)上单调递减，∴，
即，
结合题设有，
∵，而f(x)在上单调递增，
∴，即.
【点睛】
本题关键点点睛：，联想到，而，则，故构造函数，证明其在(0，a)上单调递减得，即.
归纳总结：
【练习2-1】已知函数．
(1)若时，，求的取值范围；
(2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数，判定单调性，求解最值可得范围；
（2）把双变量问题转化为单变量，结合导数求解单调性和最值，可以证明结论.
（1）∵， ，∴，设 ，，当时，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，与已知矛盾．当时，，∴在上单调递增，∴，满足条件；综上，取值范围是．
（2）证明：当时，，当，，当，，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，不妨设，则，要证，只需证，∵在区间上单调递增，∴只需证，∵，∴只需证．设，则，∴在区间上单调递增，∴，∴，即成立，∴．
【点睛】
方法点睛：恒成立问题的处理方法主要有：
（1）分离参数法：转化为函数最值问题；
（2）直接法：直接求解函数最值，必要时进行分类讨论.
双变量问题一般利用等量代换转化为单变量问题进行求解.
【完成课时作业（二十二）】
【课时作业（二十二）】
1．已知函数
(1)若，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
(2)当时，讨论f（x）的单调性；
(3)设f（x）存在两个极值点且，若求证：.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，进而根据导数的几何意义求出答案；
（2）先得到导函数，进而讨论的零点分布，然后求出答案；
（3）根据题意可以得到存在两个互异的正实数根，然后通过根据根与系数的关系得到，则有，进而可以得到，然后探讨函数的最值，最后证明问题.
(1)
若，则，所以，又，所以，即f（x）在点（1，0）处的切线斜率为2，所以切线方程为.
(2)
f（x）的定义域为（0，+∞），，设，其.
①当时，即时，，即，此时f（x）在（0，+∞）为单调递增函数.
②当时，即时，设两根为.
当时，，即，即f（x）的增区间为，.
当时，，即，即f（x）的减区间为.
综上：当时，f（x）的单增区间为；
当时，f（x）的增区间为
减区间为().
(3)
由（2），
因为f（x）存在两个极值点，所以存在两个互异的正实数根，
所以，则，所以，
所以
.
令，则，
∵，∴，∴在上单调递减，
∴，而，
即，∴.
【点睛】
本题第（3）是典型的双变量问题，可以作为范题，本题的要领在于通过根与系数的关系将双变量问题转化为单变量问题，平常注意归纳总结.
2．已知函数，.若函数在定义域内有两个不同的极值点.
(1)求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)在内有两个不同的极值点、，等价于在内有两个不同的零点、.研究的单调性和零点情况即可求出a的范围；
(2)设，由(1)知且，则，将a=代入要证的不等式，可将不等式化为，令，则不等式化为，问题转化为在(0，1)恒成立即可．
(1)
函数定义域为，
在内有两个不同的极值点、，等价于在内有两个不同的零点、．
设，由，
当时，，在上单调递增，至多只有一个零点，不符题意；
当时，在上，单调递增；在上，单调递减，
∴当时，，函数有两个零点，则必有，
即，解得．
易证，证明如下：
令，，
当时，，单调递减，当时，单调递增，
故，故，得证．
∴，又，
∴在和上各有一个零点、，此时：
故在定义域内有两个不同的极值点时，a的范围为；
(2)
方法1：由(1)可知是的两个零点，不防设，
由且，得．
∵．
令，则，
记，，
则，令，．
又，则，即，
∴在上单调递增，故，即成立．
∴不等式成立．
方法2：欲证，由，，则只需证：．
不妨设，
则且，则，
∴，
令，则，记，，
由，即在上单调递增，故，即成立.故．
【点睛】
本题第一问关键是找到x=1和x=，判断，，从而根据零点存在性定理判断在和上各有一个零点；第二问的关键是利用是的两个零点用替换a，再利用换元将双变量转化为单变量进行证明．
3．已知.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分类讨论并利用导数去判定函数的单调性即可解决；
（2）构造新函数并利用导函数与函数单调性的关系去证明转化后的不等式即可解决.
(1)
的定义域为.
当时，在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
故在上单调递增，在上单调递减.
(2)
当时，，由（1）知，在单调递增，在单调递减，所以
，所以在区间上存在零点，
因为在单调递增，故在区间上存在唯一的零点；
因为，所以在区间上存在零点，
因为在单调递减，所以在区间存在唯一的零点.
所以，函数有且仅有两个零点.
不妨设.
要证，只需证明，
因为在，e）单调递增且，所以只需证明
，又，只需证明
设，
，
当时，，
所以，所以在上单调递增，
所以，所以，
所以成立.故有.
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
4．已知函数的图像在处的切线与直线平行．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且时，，求实数m的取值范围．
【答案】(1)在递增，在递减
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义求出，直接利用导数求单调区间；
（2）根据式子结构构造，由在为增函数，得到在恒成立，令，利用导数求出的最小值，即可求解.
(1)
的导数为，
可得的图象在处的切线斜率为，
由切线与直线平行，可得，即，
，，
由，可得，由，可得，则在递增，在递减．
(2)
因为，若，由，
即有恒成立，设，
所以在为增函数，即有对恒成立，
可得在恒成立，由的导数为，
当，可得，在递减，在递增，
即有在处取得极小值，且为最小值可得，解得
则实数m的取值范围是．
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
5．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，，证明：
【答案】(1)答案不唯一，具体见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）函数求导后，分子为含参的二次三项式，结合，我们可以从和结合开口方向和两根的大小来讨论；
（2），为函数的两个极值点，我们可以通过结合韦达定理，找到，的关系，带入到要证明的不等式中，然后通过整理，化简成一个关于的函数关系，再通过换元，构造函数，通过求解函数的值域完成证明.
(1)
，
设．，，
①当时，，，则，在上单调递增，
②当时，，的零点为，，且，
令，得，或，令，得，
在，上单调递减，在，，单调递增，
③当时，，的零点为，
在上单调递增，在，上单调递减．
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在，上单调递减，在，，单调递增；当时，在上单调递增，在，上单调递减．
(2)
证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，
不妨设，则，
要证：，只要证，
只需要证，
即证，
设，，
设函数，
，
，
，
，
在上单调递减，则，
又，
则，
则，
从而．
【点睛】
(1)含参的二次三项式再进行分类讨论的时候，如果二次项含参数，在讨论有根无根的情况下要兼顾到开口方向以及两根大小的比较；
(2)如果函数在求导完以后，是一个分子上含有二次三项式，不含指数、对数的式子，那么函数的极值点关系，可以使用韦达定理来表示.
6．已知函数为常数，且在定义域内有两个极值点.
（1）求的取值范围；
（2）设函数的两个极值点分别为，求的范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
(1)求出的导函数，由此探讨函数在内有两个不同的零点即可得解；
(2)由(1)中信息确定出并将用表示出，换元构造函数即可作答.
【详解】
(1)函数的定义域为，，
因在定义域内有两个极值点，则有二不等的正实根，
从而得，解得，
所以的取值范围是；
(2)由(1)知，而，则，
，
令，则，，
从而得在上单调递增，即有，的值域是，
所以的范围是.
0
0
↓
极小值
↑
极大值
↓