高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究平面向量的综合应用(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究平面向量的综合应用(原卷版+解析)，共33页。
【知识提炼】
1.三角形的“四心”
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.
2.三角形“四心”的向量表示
在中，角所对的边分别为.
（1）三角形的重心：是的重心.
（2）三角形的垂心：是的垂心.
（3）三角形的内心：是的内心.
（4）三角形的外心：是的外心.
题型一 向量在物理、几何中的应用
【例1-1】如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（ ）
A．1000JB．C．2000JD．500J
【例1-2】一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（ ）
A．B．C．D．
【例1-3】如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.
(1)用表示；
(2)如果，用向量的方法证明：.
归纳总结：
【练习1-1】一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是___________.
【练习1-2】在中，，对任意，有.
（1）求角； （2）若，，且、相交于点.求证：.
题型二 向量与三角函数
【例2-1】已知向量，设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）在中，分别是角的对边，若，且，求的面积.
【例2-2】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量，.
(1)若，，求A； (2)若，，为锐角，求的值.
【例2-3】已知分别为内角的对边，.
（1）求 （2）已知且，求的长.
归纳总结：
【练习2-1】在等腰直角三角形中，已知，点D，E分别在边，上，.
(1)若D为的中点，三角形的面积为4，求证：E为的中点； (2)若，求的面积.
题型三 “四心”问题
【例3-1】点O，N，P满足，，，则点O，N，P依次是△ABC的（ ）
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，内心
【例3-2】若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件，则O是△ABC的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
归纳总结：
【练习3-1】如图，O为的外心，，，则________.
【练习3-2】【多选题】下列说法中，正确的是（ ）
A．在中，若，则为的垂心
B．若是内心，且满足，则这个三角形一定是锐角三角形
C．在中，若，则为的重心
D．若O是△所在平面上一定点，动点P满足，，则直线一定经过△的内心
【请完成课时作业（三十五）】
【课时作业（三十五）】
一、单选题
1．定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（ ）
A． B． C．或 D．
2．一只鹰正以与水平方向成角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰在地面上影子的速度是50m/s，则鹰的飞行速度为（ ）
A．B．C．D．
3．已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为（ ）（）
A．，B．，C．，D．，
4．在△中，是三角形内一点，如果满足，，则点的轨迹一定经过△的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
5．已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
6．若O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若点P满足+λ(λ∈(0，+∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
7．已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
二、多选题
8．已知O，N，P，I在△ABC所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O是△ABC的外心 B．若，则P是△ABC的垂心
C．若，则N是△ABC的重心 D．若，则I是△ABC的垂心
三、填空题
9．是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则的值 .
10．在中，，，分别为内角，，的对边，点为的重心.若，则的内角的大小为______；若时，则的面积为______.
11．设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
四、解答题
12．在中，，分别为边上的点，且．
求证：．
13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A： (2)若，，且，求．
14．设向量，，.
(1)若与垂直，求的值； (2)求的取值范围.
15．已知向量．
(1)当时，求的值；
(2)设函数，已知在△ ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若，求 ()的取值范围．
专题研究 平面向量的综合应用
编写：廖云波
【知识提炼】
1.三角形的“四心”
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.
2.三角形“四心”的向量表示
在中，角所对的边分别为.
（1）三角形的重心：是的重心.
（2）三角形的垂心：是的垂心.
（3）三角形的内心：是的内心.
（4）三角形的外心：是的外心.
题型一 向量在物理、几何中的应用
【例1-1】如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向（的方向）的夹角为，则力做的功为（ ）
A．1000JB．C．2000JD．500J
【答案】A
【解析】
【分析】
利用功的计算公式以及向量数量积定义，列式求解即可．
【详解】
解：因为且与小车的位移方向的夹角为，
又力作用于小车，使小车发生了40米的位移，
则力做的功为．
故选：A．
【例1-2】一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小．
【详解】
解：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：
，，在中，有，
所以，，，
所以，
所以，
所以小货船航行速度的大小为，
故选：C.
【例1-3】如图，在平行四边形中，点是的中点，是的三等分点（，）.设，.
(1)用表示；
(2)如果，用向量的方法证明：.
【答案】(1)，.
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量基本定理表示出；
（2）利用数量积为0证明.
(1)
因为点是的中点，所以.
因为，,所以.
所以，.
(2)
由（1）可得： ，.
因为，
所以，
所以.
归纳总结：
【练习1-1】一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6，则当小货船的航程最短时，小货船航行的速度大小是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货船航行速度的大小.
【详解】
由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，
设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下：
因为一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东，
，在中，有，
所以，
所以，
所以，
所以小货船航行速度的大小为．
故答案为：
【练习1-2】在中，，对任意，有.
（1）求角；
（2）若，，且、相交于点.求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）将不等式两边平方可得，可得出，求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）将、用、表示，利用平面向量数量积的运算性质计算得出，即可证得结论成立.
【详解】
（1）等价于，
等价于，等价于.
所以，
因为，所以，又因为，所以；
（2）先证明结论：已知为直线外一点，、、为直线上三个不同的点，若，则.
因为、、为直线上三个不同的点，则，
可设，即，所以，，
所以，，结论成立.
本题中，由（1）知，是边长为的等边三角形，.
因为在上，设，
又因为在上，所以，
所以，，解得.
因为，，
所以
.
故，得证.
题型二 向量与三角函数
【例2-1】已知向量，设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）在中，分别是角的对边，若，且，求的面积.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)由平面向量数量积的坐标运算及三角函数的恒等变换可得，根据公式即可求最小正周期；
(2)由可求，根据余弦定理可求，利用三角形面积公式即可求解.
【详解】
解：（1），
函数
.
故函数的最小正周期.
（2）由得，，即.
，
，解得.
由余弦定理得：，
且，
，解得.
.
【例2-2】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量，.
(1)若，，求A；
(2)若，，为锐角，求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过两向量平行的判定条件和正弦定理进行边角转换即可得到结果
（2）通过两向量数量积和正弦定理进行边角转换，再通过三角形内角和为以及两角的余弦和公式即可得到结果
（1）∵，，， ∴，∴由正弦定理边角互化得 ，即，∵，∴或，∵，∴，，∴在中，，∴.
（2）∵，，∴，∴由正弦定理得，∵， ∴， ∵，∴，∵，∴，∴
【例2-3】已知分别为内角的对边，.
（1）求
（2）已知且，求的长.
【答案】（1）；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理得，再利用余弦定理结合的范围可得答案；
（2），两边平方得，
令由求得，由余弦定理得到.
【详解】
（1）由余弦定理得，
整理可得，
，
.
（2），
，
，
令得得，或（舍去），
所以，
由余弦定理，
可得，
所以.
归纳总结：
【练习2-1】在等腰直角三角形中，已知，点D，E分别在边，上，.
(1)若D为的中点，三角形的面积为4，求证：E为的中点；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用条件及三角形面积公式可得，即证；
（2）利用条件可得，再利用向量模长公式可求，即得.
(1)
∵在等腰直角三角形中，已知，D为的中点，，
∴
又三角形的面积为4，
∴
∴，又
∴E为的中点.
(2)
∵在等腰直角三角形中，，，
∴，又，
∴，
解得，
∴.
题型三 “四心”问题
【例3-1】点O，N，P满足，，，则点O，N，P依次是△ABC的（ ）
A．重心，外心，垂心B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心D．外心，重心，内心
【答案】C
【解析】
【分析】
由三角形四心的性质判断
【详解】
，则到三个顶点距离相等，是△ABC的外心，
，设中点为，则，在中线上，同理得在其他两条中线上，故N是△ABC的重心，
，则，故，同理得，P是△ABC的垂心，
故选：C
【例3-2】若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件，则O是△ABC的（ ）
A．垂心B．重心C．内心D．外心
【答案】C
【解析】
【分析】
由得，即可得平分，
同理证得平分，平分，即可得出答案.
【详解】
且，，
化简得，设，又与分别为和方向上的单位向量，
平分，又共线，故平分，同理可得平分，平分，故O是△ABC的内心.
故选：C.
归纳总结：
【练习3-1】如图，O为的外心，，，则___________.
【答案】10
【解析】
【分析】
利用向量的数量积的运算法则可得，然后利用数量积的定义和圆的弦的性质计算.
【详解】
如图，过圆心作的垂线，则垂足分别为的中点，
∵，，∴,
,
故答案为：10
【练习3-2】【多选题】下列说法中，正确的是（ ）
A．在中，若，则为的垂心
B．若是内心，且满足，则这个三角形一定是锐角三角形
C．在中，若，则为的重心
D．若O是△所在平面上一定点，动点P满足，，则直线一定经过△的内心
【答案】ACD
【解析】
【分析】
是内心时，证明即得，由此结合余弦定理判断B，由向量的线性运算证明是三角形重心判断C，利用向量数量积的运算法则，证明向量垂直，从而得是垂心判断D．
【详解】
中，若，
则，所以，
同理，所以是的垂线，A正确．
如下图是内心，延长线交于，设，，，
是外心
，是三角形内角平分线，，
，
又，
所以．
所以，
所以，
设内切圆半径为，，
则，所以 ，
若
，则，
设，则，为钝角，B错；
如下图，是中点，则，
又，所以，
所以共线，且，所以是外心，C正确；
由是，方向上的单位向量，则为的角平分线上的向量，又，故直线一定经过△的内心，D正确；
故选：ACD．
【请完成课时作业（三十五）】
【课时作业（三十五）】
一、单选题
1．定义：，其中为向量与的夹角，若，，，则等于（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面向量数量积的定义以及同角三角函数的基本关系可求得的值，结合题中定义可求得的值.
【详解】
由已知可得，，则，
因此，.
故选：A.
2．一只鹰正以与水平方向成角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰在地面上影子的速度是50m/s，则鹰的飞行速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意知水平速度为50m/s，然后由 求解.
【详解】
解：如图所示：
由题意知：，
所以，
故选：C
3．已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为（ ）（）
A．，B．，C．，D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
结合物理知识，求解力在水平方向及竖直方向的分量，进而得出摩擦力，利用做功公式即可求解.
【详解】
解：由题可知，以木块运动的方向为正方向，
则力在水平方向的分量为：，在竖直方向的分量为：，
则摩擦力为：，
则力做功为,摩擦力做功.
故选：A.
4．在△中，是三角形内一点，如果满足，，则点的轨迹一定经过△的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
【答案】A
【解析】
【分析】
根据的含义，结合数乘运算的几何意义，即可判断和选择.
【详解】
表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
故表示起点为，终点在的平分线上的向量，
又，，与共起点，且为同向的向量，
则点也在的角平分线上，故点的轨迹一定经过三角形的内心.
故选：A.
5．已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】D
【解析】
【分析】
计算的值，可得出结论.
【详解】
因为，
，
，因此，点的轨迹经过的垂心，
故选：D.
6．若O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若点P满足+λ(λ∈(0，+∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．外心B．内心
C．重心D．垂心
【答案】C
【解析】
【分析】
设的中点为，通过向量的线性运算求得，由此判断出的轨迹经过三角形的重心.
【详解】
设线段BC的中点为D，则有)，
因此由已知得+λ，即=λ，于是=λ，则，
因此P点在直线AD上，又AD是△ABC的BC边上的中线，
因此点P的轨迹一定经过三角形ABC的重心．
故选：C
7．已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
设的中点为，两端同时点乘，由可得答案.
【详解】
设的中点为，
因为，
所以，
即，两端同时点乘，
所以
，
所以，
所以点在的垂直平分线上，即经过的外心.
故选：B.
二、多选题
8．已知O，N，P，I在△ABC所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O是△ABC的外心
B．若，则P是△ABC的垂心
C．若，则N是△ABC的重心
D．若，则I是△ABC的垂心
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
根据三角形外心、垂心、重心和内心的定义，结合平面向量的运算即可求得答案.
【详解】
对A，根据外心的定义，易知A正确；
对B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正确；
对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意，则，同理可得：，则N是重心，故C正确；
对D，由题意，，则I是垂心，故D正确
故选：ABCD.
三、填空题
9．若是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则的值为___________.
【答案】##-1.5
【解析】
【分析】
已知是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，则，，又，然后结合平面向量数量积的运算求解即可．
【详解】
解：已知是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，
则，，
又，
则，
故答案为：．
10．在
中，，，分别为内角，，的对边，点为的重心.若，则的内角的大小为______；若时，则的面积为______.
【答案】 ## ##
【解析】
【分析】
取边的中点，则由重心的性质知，进而根据向量关系得，同理得，，再代入已知整理得，进而得，再根据
余弦定理与面积公式求解即可.
【详解】
解：如图，取边的中点，则由重心的性质知，
所以，
同理，，，
因为，
所以，
整
理得：，
因为，
所以，
整理得：，
所以，即，
所以，，
因为
，所以.
当时，，
所以.
故答案为：；
11．设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．
【详解】
以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：．
四、解答题
12．在中，，分别为边上的点，且．求证：．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
选择、为基向量，将和用基向量表示，再利用且，可得，则可得.
【详解】
因为，
．
由且，
得，
所以.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量垂直问题，考查了平面向量的数量积，属于基础题.
13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A：
(2)若，，且，求．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)结合根据余弦定理角化边化简即可得csA，从而求出A；
(2)根据向量加法法则，用和表示，根据向量数量积的运算方法即可计算.
(1)
∵，
∴由余弦定理得，，
化简得，，
∵A是三角形内角，∴；
(2)
，
则
＝＝.
14．设向量，，.
(1)若与垂直，求的值；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题知，进而结合和角公式整理求解即可；
（2）由题知，进而得，再根据三角函数求最值即可.
(1)
解：∵，，，与垂直，
∴，即，
∴，
即，
则，即.
(2)
解：∵，，
∴，
∴
，
∴当时，取得最大值为；
当时，取得最小值为，
∴的最大值为，最小值为，
∴的取值范围为.
15．已知向量．
(1)当时，求的值；
(2)设函数，已知在△ ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若，求 ()的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，可得，化简可得，再代值计算即可，
（2）由题意利用向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式化简可得，再利用正弦定理可求得，从而可得，由，得，再利用正弦函数的性质可求得其范围
(1)
因为，，
所以，所以，
所以
(2)
因为，
所以，
所以
，
在△ ABC中，，
所以由正弦定理得，，得，
因为，所以角为锐角，所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以 ()的取值范围为