高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第一课时三角函数的基本概念(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第一课时三角函数的基本概念(原卷版+解析)，共36页。

编写：廖云波
【回归教材】
1.角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；
②分类：角按旋转方向分为 、 和 ．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2.象限角
第一象限角的集合为 ；
第二象限角的集合为 ；
第三象限角的集合为 ；
第四象限角的集合为 .
3.弧度制
(1)定义：把长度等于 长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．
正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝ rad,1°＝eq \f(π,180) rad，1 rad＝.
(3)扇形的弧长公式：l＝ ，扇形的面积公式：S＝ ＝ .
4.任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时， 则sin α＝ ，cs α＝ ，tan α＝ (x≠0)．
三个三角函数的性质如下表：
【典例讲练】
题型一 角的有关概念
【例1-1】在与495°角终边相同的角中，用弧度制表示满足下列条件的角.
(1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间内的角.
【例1-2】将下列角度化为弧度，弧度转化为角度
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
【例1-3】设是第四象限的角．
(1)试讨论是哪个象限的角； (2)写出的范围（选讲）； (3)写出的范围．
【例1-4】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).
归纳总结：
【练习1-1】把表示成，的形式，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【练习1-2】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
题型二 三角函数的定义
【例2-1】已知角α的终边与单位圆的交点为P，则＝______．
【例2-2】已知是角终边上一点，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习2-1】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
【练习2-2】已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．C．D．
题型三 利用三角函数的定义解三角不等式
【例3-1】集合A＝[0,2π]，B＝{|sincs}，则A∩B＝_______.
【例3-2】利用单位圆中的三角函数线 ，分别确定角的取值范围.
(1) ; (2).
归纳总结：
【练习3-1】设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【练习3-2】求下列函数的定义域：
（1）； （2）.
题型四 弧度制的应用
【例4-1】已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
(1)若，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
【例4-2】已知半径为6的圆中，弦的长为6.
(1)求弦所对圆心角的大小；(2)求圆心角所在的扇形的弧长及弧所在的弓形的面积
【例4-3】如图，扇环ABCD中，弧，弧，，则扇环ABCD的面积__________．
归纳总结：
【练习4-1】已知一扇形的圆心角为，周长为C，面积为S，所在圆的半径为r．
(1)若，cm，求扇形的弧长；(2)若cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．
【练习4-2】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【练习4-3】已知圆锥的表面积为，其侧面展开扇形的圆心角大小为，则这个圆锥的底面半径为______.
【完成课时作业（二十四）】
【课时作业（二十四）】
A组 础题巩固
1．下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同 C．小于的角是锐角 D．第一象限的角是正角
2．已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．1C．2D．
3．设是第一象限的角，且，则所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．已知角的终边上有一点，则的值是（ ）
A．B．C．或D．不确定
5．《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩膀近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米．“弓”所在圆的半径约为1米．则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）（参考数据：，）
A．1.412米B．1.414米C．1.732米D．1.734米
6．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．设，使且同时成立的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．对于下列四个命题：
①； ②；
③； ④. 其中正确命题的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
9．【多选题】下列说法错误的是（ ）
A．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是 B．若角，则α角为第二象限角
C．若角α为第一象限角，则角也是第一象限角
D．在区间内，函数与的图象有3个不同的交点
10．终边在直线上的角构成的集合可以表示为_________.
11．函数的定义域为____________.
12．和角度制、弧度制一样，密位制也是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：469密位写成“”1周角等于6000密位，记作“”.如果一个扇形的半径为2 ，面积为，则其圆心角可以用密位制表示为________.
13．已知某圆锥的底面周长为4π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为_______．
B组 挑战自我
1．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
2．设地球半径为R，地球上北纬30°圈上有A，B两点，点A在西经10°，点B在东经110°，则点A和B两点东西方向的距离是___________.
3．如图所示，某小区有一个半径为40米、圆心角为的扇形花圃OPQ，点A，B在弧上，且．小区物业计划在弓形ACB区域（阴影部分）种植观赏植物，域种植花卉，其余区域种植草皮，已知种植观赏植物的成本是每平方米80元，种植花卉的成本是每平方米40元，种植草皮的成本是每平方米60元．记，．
(1)用表示弓形ACB的面积； (2)求种植总费用的最小值及相应的值．三角函数
定义域
一象限符号
二象限符号
三象限符号
四象限符号
sin α
R
cs α
R
tan α
{α|α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}
第四章 三角函数
第 1 课时 三角函数的基本概念
编写：廖云波
【回归教材】
1.角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2.象限角
第一象限角的集合为；第二象限角的集合为；
第三象限角的集合为；第四象限角的集合为
3.弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝eq \f(π,180) rad，1 rad＝.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|·r2.
4.任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，
则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
三个三角函数的性质如下表：
【典例讲练】
题型一 角的有关概念
【例1-1】在与495°角终边相同的角中，用弧度制表示满足下列条件的角.
(1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)在区间内的角.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）与495°角终边相同的角为，由且，求出，即可得解；
（2）由且，求出，即可得解；
（3）由且，求出，即可得解.
(1)
∵，∴与495°角终边相同的角为，.
由且，可得，故所求的最大负角为；
(2)
由且，可得，故所求的最小正角为；
(3)
由且，可得，故所求的角为.
【例1-2】将下列角度化为弧度，弧度转化为角度
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
【答案】(1)弧度
(2)π弧度
(3)弧度
(4)
(5)
(6)
【解析】
【分析】
利用弧度即可得出，即角度化弧度乘以，弧度化角度乘以，需注意单位为度．
(1)
解：弧度弧度，
(2)
解：弧度弧度，
(3)
解：弧度弧度．
(4)
解：弧度，
(5)
解：弧度，
(6)
解：弧度．
【例1-3】设是第四象限的角．
(1)试讨论是哪个象限的角； (2)写出的范围； (3)写出的范围．
【答案】(1)第二或第四象限的角
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据是第四象限的角，先表达出与，然后分为偶数和奇数，分别求出此时位于哪个象限；（2）利用的范围，表达出的范围；（3）利用的范围，表达出的范围
(1)
是第四象限的角，即．
，
当，时，，；此时是第二象限角；
当，时，，，此时是第四象限角
所以，是第二或第四象限的角
(2)
因为，所以，故
(3)
因为，所以，故
【例1-4】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).
【答案】，
【解析】
【分析】
先利用弧度制写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角即可.
【详解】
因为，由图（1）知：以射线为终边的角的集合为，
角的终边与即的角的终边相同，
以为终边的角为，
所以终边落在阴影部分内的角的集合为：.
因为，，
由图（2）知：以射线为终边的角为，
以射线为终边的角为，
所以终边在直线上的角为：
，
同理终边在轴上的角为，
所以终边落在阴影部分内的角的集合.
归纳总结：
【练习1-1】把表示成，的形式，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由结合弧度制求解即可.
【详解】
∵，∴
故选：B
【练习1-2】已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用集合的基本关系求解
【详解】
解：因为，，
当时，是奇数，是整数，所以．
故选：．
题型二 三角函数的定义
【例2-1】已知角α的终边与单位圆的交点为P，则＝______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据单位圆求出，然后由三角函数定义求得，再相乘可得．
【详解】
由题意，，
时，，，，
时，，，，
综上，．
故答案为：．
【例2-2】已知是角终边上一点，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，可判断点位于第二象限，利用正弦函数的定义列方程求解即可.
【详解】
解：因为是角终边上一点，，故点位于第二象限，
所以，，
整理得：，因为，所以.
故选：D.
归纳总结：
【练习2-1】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义可得答案.
【详解】
因为角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，
所以，
故选：D
【练习2-2】已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求出，再根据三角函数的定义分别求出，即可得解.
【详解】
解：角的终边经过点，由，
可得，所以，
所以，，
所以.
故选：A．
题型三 利用三角函数的定义解三角不等式
【例3-1】集合A＝[0,2π]，B＝{|sincs}，则A∩B＝_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数值的大小关系确定集合B中的范围，并在单位圆中画出其角度所在象限，再应用集合的交运算求A∩B即可.
【详解】
由题设，，如下图阴影部分所示(不含终边在上的角)：
∴.
故答案为：.
【例3-2】利用单位圆中的三角函数线 ，分别确定角的取值范围.
(1) ; (2).
【答案】(1) .
(2) 或
【解析】
【分析】
（1）按照三角函数的定义画出单位圆，再按图分析即可；
(2)按照三角函数的定义画出单位圆，再按图分析即可.
(1)
下图中阴影部分就是满足条件的角 的范围，
即 ；
(2)
下图中阴影部分就是满足条件的角 的范围，
即 或 ；
故答案为：，
或.
归纳总结：
【练习3-1】设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
在单位圆中做出三角函数线即可比较大小.
【详解】
以为圆心作单位圆，与轴正半轴交于点，作交单位圆第一象限于点，做轴，作轴交的延长线于点，如下图所示：
由三角函数线的定义知，，，，
因为，
∴
∴
故选：C
【点睛】
本题主要考查三角函数值比较大小，借助三角函数线容易得出结果.
【练习3-2】求下列函数的定义域：
（1）； （2）.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，即，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，即可得答案；（2）由题可得即，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，即可得答案.
【详解】
（1）∵，∴，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图①所示，可得.
①
（2）∵∴，在单位圆中作出满足该不等式的角的集合，如图②所示，可得.
②
【点睛】
本题考查借助三角函数线解三角不等式问题，属于基础题.
题型四 弧度制的应用
【例4-1】已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
(1)若，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
【答案】(1)
(2)最大值为25；
【解析】
【分析】
（1）先把角度化为弧度，再利用扇形面积公式求解即可；
（2）由题意可知扇形的面积为，利用二次函数的的性质，结合弧度的定义即可求解
(1)
因为，
所以扇形的面积为；
(2)
由题意可知：，即，
所以扇形的面积为，
当时，扇形面积的最大值为，
此时，
【例4-2】已知半径为6的圆中，弦的长为6.
(1)求弦所对圆心角的大小；
(2)求圆心角所在的扇形的弧长及弧所在的弓形的面积
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据三角形形状得圆心角的大小；（2）根据扇形的弧长以及面积公式求解.
(1)
解：半径为6的圆中，弦的长为6，
所以三角形为正三角形，
所以弦所对圆心角为，
(2)
解：由弧长公式得：
扇形的面积
又，
所以，即弧所在的弓形的面积.
【例4-3】如图，扇环ABCD中，弧，弧，，则扇环ABCD的面积__________．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据弧长公式求出，，再由根据扇形的面积公式求解即可.
【详解】
设,
因为弧，弧，，
所以，，
所以，，
又扇形的面积为，扇形的面积为，
所以扇环ABCD的面积．
故答案为：3
归纳总结：
【练习4-1】已知一扇形的圆心角为，周长为C，面积为S，所在圆的半径为r．
(1)若，cm，求扇形的弧长；
(2)若cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．
【答案】(1)cm；
(2)S的最大值是，此时扇形的半径是4 cm，圆心角为2．
【解析】
【分析】
（1）根据弧长公式即可计算；
（2）将S表示成二次函数形式，利用二次函数性质即可求其最值.
(1)
＝，
扇形的弧长cm；
(2)
设扇形的弧长为l，半径为r，
则，∴，
则，
当时，，cm，，
∴S的最大值是，此时扇形的半径是4 cm，圆心角．
【练习4-2】我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中与弦围成的弓形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设圆的半径为，利用勾股定理求出，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得；
【详解】
解：设圆的半径为，则，，
由勾股定理可得，即，
解得，所以，，
所以，因此.
故选：B
【练习4-3】已知圆锥的表面积为，其侧面展开扇形的圆心角大小为，则这个圆锥的底面半径为______.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据圆锥展开图的特征列出关于半径，母线长的方程组，解出即可.
【详解】
设圆锥的底面半径为，母线长为，
由题意，有①，
由于侧面展开扇形的圆心角大小为，
所以，即②，
由①②得，，
即圆锥的底面半径为2，
故答案为：2.
【完成课时作业（二十四）】
【课时作业（二十四）】
A组 础题巩固
1．下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角相等B．相等的角终边相同
C．小于的角是锐角D．第一象限的角是正角
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角的定义判断．
【详解】
终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于的角是锐角可以是负角，C错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误．
故选：B.
2．已知角的终边经过点，且，则（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由三角函数定义求得值．
【详解】
由题意，解得．
故选：C．
3．设是第一象限的角，且，则所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
由的范围进而得出的范围，结合即可得出结果.
【详解】
因为是第一象限的角，所以，
所以，即为第一或第三象限角，
又因为，即，所以所在的象限是第一象限，
故选：A.
4．已知角的终边上有一点，则的值是（ ）
A．B．C．或D．不确定
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义求出角的正余弦值，再代入计算作答.
【详解】
角的终边上点，则，
于是得，
所以.
故选：B
5．《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩膀近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米．“弓”所在圆的半径约为1米．则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）（参考数据：，）
A．1.412米B．1.414米C．1.732米D．1.734米
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.
【详解】
如图所示，弓形所在的弧长为，
因为“弓”所在圆的半径约为1米，所以弓形所对的圆心角为，
所以两手之间的距离为米.
故选：C.
6．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
作出角的三角函数线，利用三角函数线进行比较即可．
【详解】
作出角的三角函数线如下图所示：
由图象知：，又，.
故选：B.
7．设，使且同时成立的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正弦曲线与余弦曲线分别求出在下的角的范围，再求交集
【详解】
因为，由正弦曲线得：时，
由余弦曲线得：时，，
因为，
所以且同时成立的x的取值范围是
故选：D
8．对于下列四个命题：
①；
②；
③；
④.
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【解析】
【分析】
由在上单调递增可比较①中大小；由诱导公式化简可得②中的值相等；由在上单调递增可比较③中大小；由三角函数线可直观比较④中大小.
【详解】
根据正弦函数的性质，可知：
在上单调递增
，，①正确；
由诱导公式，可得：
，②错误；
根据正切函数的性质，可知：
在上单调递增，
，，③错误；
画出的正弦线和正切线，如下：
,，所以，故④正确.
故
选：B
【点睛】
本题考查了三角函数单调性，诱导公式和三角函数线画法，通过本题可以总结出比较三角函数值大小常用的两种方法：（1）利用函数单调性；（2）利用三角函数线.
9．【多选题】下列说法错误的是（ ）
A．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是
B．若角，则α角为第二象限角
C．若角α为第一象限角，则角也是第一象限角
D．在区间内，函数与的图象有3个交点
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据角的方向可判断A；根据象限角的定义可判断BC；根据区间内的解的个数，可判断D.
【详解】
对于A，将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是，故A错误；
对于B，若角，则α角为第二象限角，故B正确；
对于C，角是第一象限角，但角是第三象限角，故C错误；
对于D，当时，；
当时，，即；
当时，，即，
故在区间内，函数与的图象有且只有一个交点（原点），故D错误.
故选：ACD.
10．终边在直线上的角构成的集合可以表示为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
写出终边落在直线上且在第一、三象限的角的集合，即可得到结果．
【详解】
∵角的终边在直线上，
∴角的终边在一、三象限的角平分线上，
∴．
故答案为：．
11．函数的定义域为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
先将和分别解出来，然后求交集即可
【详解】
要使，则有且
由得
由得
因为
所以原函数的定义域为
故答案为：
【点睛】
解三角不等式的方法：1.在单位圆中利用三角函数线，2.利用三角函数的图像
12．和角度制、弧度制一样，密位制也是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：469密位写成“”1周角等于6000密位，记作“”.如果一个扇形的半径为2 ，面积为，则其圆心角可以用密位制表示为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先用扇形面积公式求出圆心角的弧度制，再转化为密位制.
【详解】
设圆心角为，则扇形面积公式，其中，，代入公式得：，其中1密位=，故，所以其圆心角可以用密位制表示为.
故答案为：.
13．已知某圆锥的底面周长为4π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】
设圆锥的底面半径为r，母线为l，则由题意可得，求出，从而可求出高，进而可求出三棱锥的体积
【详解】
设圆锥的底面半径为r，母线为l，则，
解得，
则该圆锥的高，
故该圆锥的体积为，
故答案为：
B组 挑战自我
1．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】
解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
2．设地球半径为R，地球上北纬30°圈上有A，B两点，点A在西经10°，点B在东经110°，则点A和B两点东西方向的距离是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出的长度，确定的大小，再由弧长公式求得A,B两地的东西方向的距离.
【详解】
如图示，设为北纬30°圈的圆心，地球球心为O，
则 ,故,即北纬30°圈的圆的半径为，
由题意可知,
故点A和B两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的的长，
故的长为,
故答案为：
3．如图所示，某小区有一个半径为40米、圆心角为的扇形花圃OPQ，点A，B在弧上，且．小区物业计划在弓形ACB区域（阴影部分）种植观赏植物，域种植花卉，其余区域种植草皮，已知种植观赏植物的成本是每平方米80元，种植花卉的成本是每平方米40元，种植草皮的成本是每平方米60元．记，．
(1)用表示弓形ACB的面积；
(2)求种植总费用的最小值及相应的值．
【答案】(1)，
(2)当的值为时，总种植费用取最小值元
【解析】
【分析】
(1) 由，利用扇形及三角形面积公式即可;(2)先由题意将利润表示成的函数关系式，再利用导数判断函数单调性求得最大值即可.
(1)
，，
，．
(2)
（2）设种植总费用为元，由题意得，
令，
则，
令得，，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，此时取得最小值，
，
故当的值为时，总种植费用取最小值元．
三角函数
定义域
一象限符号
二象限符号
三象限符号
四象限符号
sin α
R
＋
＋
－
－
cs α
R
＋
－
－
＋
tan α
{α|α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}
＋
－
＋
－