高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第2课时平面向量的基本定理及坐标表示(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第2课时平面向量的基本定理及坐标表示(原卷版+解析)，共27页。

【回归教材】
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a= .其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 .
2.向量与坐标的关系
设eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，则向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标 就是终点A的坐标；
反过来，终点A的 (x，y)就是向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标．
3.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
设a=（x1，y1） b=（x2，y2）
则a+b= a-b= λa=
(2)向量的坐标求法
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB= ， |AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.
4.向量平行与垂直的条件
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔ =0.
a⊥b⇔a·b=0⇔ =0
【典例讲练】
题型一 平面向量的基本定理及其应用
【例1-1】下列各组向量中，不能作为平面的基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【例1-2】已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ）
A．B．
C．D．
【例1-3】半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上，，若，则______.
归纳总结：
【练习1-1】若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【练习1-2】如图，平面四边形ABCD中，，，，，，则（ ）
A．B．C．D．2
【练习1-3】已知点，，是函数，图象上的动点，若，则的最大值为______.
题型二 平面向量坐标的基本运算
【例2-1】在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，（1，4），若点满足.则点的坐标为_____．
【例2-2】已知，，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M，则点P的坐标为______．
归纳总结：
【练习2-1】已知向量，，，若，则（ ）
A．1B．C．D．3
【练习2-2】已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为_________.
题型三 平面向量平行与垂直的坐标表示
【例3-1】已知向量，，当为何值时，
(1)与垂直？
(2)与平行？平行时它们是同向还是反向？
(3)若，，且A、B、C三点共线，求实数的值．
归纳总结：
【练习3-1】设x，，向量，，，且，，则（ ）
A．B．1C．2D．0
【练习3-2】已知向量，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【完成课时作业（三十三）】
【课时作业（三十三）】
A组 础题巩固
1．下列各组向量中，可以用来表示向量的是（ ）
A． B．
C．， D．
2．已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在正方形网格中，向量，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，若，则角B的大小为（ ）
A．B．C．D．
6．正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（ ）
A．线段B．直线C．射线D．圆
7．已知向量，若，则__________．
8．已知三点、、在一条直线上，点，，且，则点的坐标为______.
9．已知两点M（7，8），N（1，－6），P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为________．
10．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)求点B的坐标； (2)求证：．
11．已知，
(1)当为何值时，与共线；
(2)若直角三角形中，为直角，，求的值.
B组 挑战自我
1．在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则xy的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，
若则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
3．在直角三角形中，在线段上，，则的最小值为___________.
4．已知中，．以为一边向外做等边三角形（如图所示），
且．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的值．
第 2 课时 平面向量基本定理及坐标表示
编写：廖云波
【回归教材】
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.向量与坐标的关系
设eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj，则向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标；
反过来，终点A的坐标(x，y)就是向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标．
3.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
设a=（x1，y1） b=（x2，y2）
则a+b=(x1+x2，y1+y2) a-b=(x1-x2，y1-y2) λa=(λx1，λy1)
(2)向量的坐标求法
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=(x2-x1，y2-y1)， |AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.
4.向量平行与垂直的条件
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔ x1y2-x2y1=0.
a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0
【典例讲练】
题型一 平面向量的基本定理及其应用
【例1-1】下列各组向量中，不能作为平面的基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据基底的定义分别判断各个选项即可得出答案.
【详解】
解：对于A，因为两向量不共线，所以能作为一组基底；
对于B，因为，所以，所以两向量不能作为一组基底；
对于C，因为两向量不共线，所以能作为一组基底；
对于D，因为两向量不共线，所以能作为一组基底.
故选：B．
【例1-2】已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，用坐标表示出、和，并设，联立方程组求出和即可.
【详解】
如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则，，，
设向量，
则，
所以.
故选：A
【例1-3】半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上，，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，由，，可得．由，可得，又，，利用向量相等可得出，，进而得解．
【详解】
建立直角坐标系，如图所示，
，，
，即
，
，即
，
，解得．
．
故答案为：
归纳总结：
【练习1-1】若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】
【分析】
不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可.
【详解】
不共线的向量能作为基底，
因为，所以向量，共线，故排除A；
假设，解得，无解，
所以向量，不共线，故B正确；
因为，所以，共线，故排除C；
因为，所以，共线，故排除D，
故选：B
【练习1-2】如图，平面四边形ABCD中，，，，，，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
法一：构建以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴的直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求x、y即可求值；
法二：过C作交AB的延长线于E，作交AD的延长线于F，利用向量加法的平行四边形法则可得求x、y，进而求值；
法三：应用转化法，结合平面向量数量积的运算律、及已知条件构建方程求x、y即可.
【详解】
法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设，则，由，，则且，
又，，即，
∴，
由，有，解得，故.
法二：如图，过C作交AB的延长线于E，作交AD的延长线于F，
∴.
由，及，易知：B是线段AE的中点，于是.
由，，得，易知，，
∴，则，故，于是，又，
∴，即.
法三：设，由，，得，，
由，得，又，则.
又，
，
∴，于是，故.
故选：B.
【练习1-3】已知点，，是函数，图象上的动点，若，则的最大值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】
由题可得，然后利用向量的坐标关系可得，然后利用函数单调性即得.
【详解】
由题可知，又，，，
∴，
∴，即
∴，
当时，函数与为增函数，
所以在为增函数
∴的最大值为.
故答案为：.
题型二 平面向量坐标的基本运算
【例2-1】在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，（1，4），若点满足.则点的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，结合向量的坐标运算，解方程组即可求解.
【详解】
设，则，，
因，所以，解得，因此点的坐标为.
故答案为：.
【例2-2】已知，，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M，则点P的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设，根据即可求出P的坐标.
【详解】
由题可知，
设，则，
，，
∴.
故答案为：.
归纳总结：
【练习2-1】已知向量，，，若，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算列方程求解，即可.
【详解】
解：由，所以，，解得，，所以，
故选：A．
【练习2-2】已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为___________.
【答案】或
【解析】
【分析】
分点在线段的反向延长线、点在线段上以及点在线段的延长线上三种情况，结合平面向量的线性坐标运算即可求出结果.
【详解】
若点在线段的反向延长线上，又因为，则有，设，则，所以，解得，即；
若点在线段上，又因为，则有设，则，所以，解得，即；
若点在线段的延长线上，又因为，则显然不成立；
故答案为:或.
题型三 平面向量平行与垂直的坐标表示
【例3-1】已知向量，，当为何值时，
(1)与垂直？
(2)与平行？平行时它们是同向还是反向？
(3)若，，且A、B、C三点共线，求实数的值．
【答案】(1)
(2)，反向
(3)
【解析】
【分析】
根据向量垂直和平行的坐标表示，列方程后解出的值
(1)
向量，，∴，
∵，∴
∴，解得，
∴当时，与垂直；
(2)
若与平行，则，解之得，
这时，它们是反向．
(3)
∵A、B、C三点共线，∴，
∴存在实数，使得，
又与不共线，∴，∴．
归纳总结：
【练习3-1】设x，，向量，，，且，，则（ ）
A．B．1C．2D．0
【答案】D
【解析】
【分析】
由题知，进而解方程即可得答案.
【详解】
解：因为向量，，，且，，
所以，解得，
所以.
故选：D
【练习3-2】已知向量，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，可得，再利用同角之间的公式化简，代入即可得解.
【详解】
因为向量，，
，即
故选：A
【完成课时作业（三十三）】
【课时作业（三十三）】
A组 础题巩固
1．下列各组向量中，可以用来表示向量的是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】D
【解析】
【分析】
在平面向量中能作为基底的充分必要条件是一组不平行的非零向量，按照这个条件逐项分析即可.
【详解】
对于A， 是零向量，不可以；
对于B， ，是平行向量，不可以；
对于C， ，是平行向量，不可以；
对于D，不存在实数 使得 成立，是一组不平行的非零向量，可以；
故选：D.
2．已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】
解：因为，，，
所以，又，
所以，解得.
故选：B
3．在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】
因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
4．如图，在正方形网格中，向量，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由向量加减法运算法则，得到所求向量为，再由向量减法的三角形法则，以及向量数乘运算，计算答案.
【详解】
由题意得，
故选：C.
5．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，若，则角B的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量平行列方程，结合正弦定理求得正确答案.
【详解】
由于，
所以，
由正弦定理得，
，
，
，
由于，所以，所以，
由于，所以.
故选：B
6．正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（ ）
A．线段B．直线C．射线D．圆
【答案】D
【解析】
【分析】
可以利用平面向量数量积的运算性质得，即，来确定动点C的轨迹；或者可以利用三角形的特点合理建系，结合向量的坐标运算，设动点C的坐标，利用已知条件计算轨迹方程，来确定C的轨迹.
【详解】
解：方法一：由题可知：，
又
所以，即
所以点C的轨迹是圆.
方法二：由题可知：，
如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，
所以
设 ，
又
所以
整理得：
所以点C的轨迹是圆.
故选：D.
7．已知向量，若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】
因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
8．已知三点、、在一条直线上，点，，且，则点的坐标为______.
【答案】；
【解析】
先设点，再结合向量相等的坐标表示求解即可.
【详解】
解：设点，
由，，
则，，
又，
则 ，解得，
即，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，重点考查了向量相等的坐标表示，属基础题.
9．已知两点M（7，8），N（1，－6），P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的坐标运算即得.
【详解】
由题意可得，
设P（x，y），则（－6，－14）＝3（x－7，y－8），
∴，解得
即.
故答案为：.
10．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)求点B的坐标；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可；
（2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可
(1)
由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为
(2)
由题意，，又，故，且不共线，故
11．已知，
(1)当为何值时，与共线；
(2)若直角三角形中，为直角，，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可；
（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式和性质进行求解即可.
(1)
因为，
所以，，
当 与 共线时，有；
(2)
因为，
所以，
因为为直角，
所以.
B组 挑战自我
1．在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则xy的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】
建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为，
因为，
所以有，
，设，，
因此有
因为，
所以有，
而，
所以，
当时，xy有最大值，当，或时，xy有最小值，
故选：B
【点睛】
关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.
2．如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，设，可表示出点的坐标，根据向量相等的坐标表示，可以用角分别表示出，进而根据三角函数求最值.
【详解】
依题意，以为原点，以分别为轴，建立直角坐标系，如图，
设，则，，
，
，，

，
，其中，
，当且仅当时取等号，
的最大值是.
故选：A.
3．在直角三角形中，在线段上，，则的最小值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
由题可知，，，设，则，将模长和数量积代入由二次函数的性质求出最小值.
【详解】
由题可知，，，设，
则则所以
，
当时，的最小值为.
故答案为：.
4．已知中，．以为一边向外做等边三角形（如图所示），且．
(1)当时，求的值；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，可得出，将用表示，即可得解；
（2）设，设，则，利用正弦定理、诱导公式可求得角的值，可得出，求出、的值，即可得解.
(1)
解：取的中点，连接，则，则，
，
因此，，
因此，.
(2)
解：设，设，则，
在中，，在中，，
所以，，故，
由已知，则，所以，，
若，则，可得，
解得，不合乎题意；
若，则，可得，
解得，则，此时，所以，，，
因此，.