高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第三课时三角恒等变换(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第三课时三角恒等变换(原卷版+解析)，共28页。
【回归教材】
1.两角和与差的正余弦与正切
①； ②； ③
2.二倍角公式
①； ②； ③；
3.辅助角公式
（其中）．
3.公式变形
（1）两角和与差正切公式变形
；
．
（2）降幂公式与升幂公式
；
．（3）其他常用变式
．（4）拆分角问题
①；；②；③；
④；⑤．
（5）半角公式
【典例讲练】
题型一 基本公式的应用
【例1-1】求下列各式的值． （1）； （2）； （3）；
【例1-2】求下列各式的值：
(1)； (2) (3)
归纳总结：
【练习1-1】利用二倍角公式求下列各式的值：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【练习1-2】___________.
题型二 辅助角公式的应用
【例2-1】化简
(1) (2)
【例2-2】求值=______
【例2-3】设当时，函数取得最大值，则__________.
归纳总结：
【练习2-1】把化成的形式___________.
【练习2-2】的最大值是________.
【练习2-3】若函数取最小值时，则___________.
题型三 升（降）幂公式的应用
【例3-1】化简的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【例3-2】函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习3-1】化简：（ ）
A．B．C．D．
【练习3-2】已知函数，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
题型四 求值问题
【例4-1】化简，求值
（1） （2） （3）
【例4-2】已知，则______．
【例4-3】设，且，，则（ ）
A．B．C．D．或
归纳总结：
【练习4-1】(1)已知，且是第三象限角，求的值；
(2)已知，求及的值.
【完成课时作业（二十六）】
【课时作业（二十六）】
A组 础题巩固
1．若，则（ ）
A．B．C．7D．
2．已知则（ ）
A．B．C．D．
3．设，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（ ）
A．B．C．D．
8．【多选题】下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
9．的值等于____________．
10．tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.
11．已知，且，求的值为_____．
12．要使有意义，则实数m的取值范围为____________．
13．求解下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值.
B组 挑战自我
1．若，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，则___________.
4．已知，，则______．
5．（1）已知，其中是第三象限角，化简
（2）已知，均为锐角，且，，求的值．
第 3 课时 三角恒等变换
编写：廖云波
【回归教材】
1.两角和与差的正余弦与正切
①； ②； ③
2.二倍角公式
①； ②； ③；
3.辅助角公式
（其中）．
3.公式变形
（1）两角和与差正切公式变形
；
．
（2）降幂公式与升幂公式
；
．（3）其他常用变式
．（4）拆分角问题
①；；②；③；
④；⑤．
（5）半角公式
【典例讲练】
题型一 基本公式的应用
【例1-1】求下列各式的值．
（1）；（2）；（3）；
【答案】（1）；（2）；（3）；
【解析】
(1) =,然后利用正弦的和角公式求解.
(2) 然后利用正弦的和角公式求解.
(3) 然后利用正切的差角公式求解.
【详解】
解：（1）；
（2）；
（3）；
【点睛】
本题考查利用两角和的正弦三角函数公式与两角和差的正切的三角函数公式求解特殊角的三角函数,属于基础题.
【例1-2】求下列各式的值：
(1)；
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
由条件利用两角和差的三角公式、诱导公式，即可求出各题．
(1)
解：；
(2)
解：；
(3)
解：；
归纳总结：
【练习1-1】利用二倍角公式求下列各式的值：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角的正弦公式直接求得；
（2）利用二倍角的余弦公式直接求得；
（3）利用二倍角的余弦公式直接求得；
（4）利用二倍角的正切公式直接求得.
(1)
.
(2)
.
(3)
(4)
【练习1-2】___________.
【答案】
【解析】
【分析】
将原式化切为弦，通分，然后利用两角和正弦公式以及二倍角公式，即可求解.
【详解】
.
故答案为：.
题型二 辅助角公式的应用
【例2-1】化简
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
三角换元之后，逆用和差角公式即可化简
(1)
(2)
【例2-2】求值=______
【答案】.
【解析】
【分析】
利用辅助角公式，即可求解.
【详解】
解：
．
故答案为：.
【例2-3】设当时，函数取得最大值，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简函数解析式，再根据最值情况可得解.
【详解】
由辅助角公式可知，，，，
当，时取最大值，
即，
，
故答案为.
归纳总结：
【练习2-1】把化成的形式___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式可得，再由诱导公式将其转化为的形式即可.
【详解】
，
.
故答案为：.
【练习2-2】的最大值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式将进行化简，即可求解.
【详解】
解：，其中为锐角，且，
故当时，.
故答案为：.
【练习2-3】若函数取最小值时，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数的恒等变换，再利用诱导公式即可求解.
【详解】
，其中
时取最小值，，
故答案为：.
题型三 升（降）幂公式的应用
【例3-1】化简的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二倍角公式化简可得结果.
【详解】
原式
.
故选：D.
【例3-2】函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.
【详解】
，.
故选：C.
归纳总结：
【练习3-1】化简：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由倍角公式结合诱导公式求解即可.
【详解】
故选：A
【练习3-2】已知函数，则的最小正周期为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平方关系、降幂及辅助角公式可得，根据三角函数性质求最小正周期.
【详解】
由题设，，
所以最小正周期为.
故选：B
题型四 求值问题
【例4-1】化简，求值
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）2；（3）；【解析】
【详解】
（1）原式
（2）原式
（3）原式
【点睛】
方法点睛：给角求值型问题，指的是给出了角的大小，化简求三角式的值.解答这种问题，一般是“三看三变”,“三看”指的是看角、看名、看式,“三变”指的是变角、变名、变式.
【例4-2】已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式，二倍角的余弦公式求解作答.
【详解】
因，所以
故答案为：
【例4-3】设，且，，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两角和与差的余弦公式，结合角度的范围求解即可
【详解】
因为，，所以，.易知，，，则，故.
故选：A
归纳总结：
【练习4-1】(1)已知，且是第三象限角，求的值；
(2)已知，求及的值.
【答案】(1)；(2)7，.
【解析】
【详解】
(1)∵，且是第三象限角，∴.
∴.
(2)∵，
∴.
.
∵
∴.
∴.
【完成课时作业（二十六）】
【课时作业（二十六）】
A组 础题巩固
1．若，则（ ）
A．B．C．7D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角恒等式求出以及的值，再根据两角和的正切公式即可得结果.
【详解】
因为，
所以，，
所以，
故选：B.
2．已知则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式和二倍角公式化简计算.
【详解】
解：.
故选：A
3．设，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解，再分析角度范围得到即可
【详解】
因为，所以，且，所以，则
故选：A．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二倍角余弦公式求，再由结合诱导公式求目标函数的值.
【详解】
由，又，
所以.
故选：C．
5．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由平方关系求得，，再由两角差的余弦公式求解即可.
【详解】
由可得，则，，
则.
故选：D.
6．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设，根据辅助角公式与二倍角的余弦公式，结合余弦函数的单调性求解即可；
【详解】
由题设，，
根据二倍角公式，得，又，
因为，所以，故
故选：A
7．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果.
【详解】
.
故选：A.
8．【多选题】下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换公式化简计算可得；
【详解】
解：对于A：
，故A正确；
对于B：
，故B错误；
对于C：，
所以，
所以，故C正确；
对于D：
，故D错误；
故选：AC
9．的值等于____________．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用诱导公式、降次公式进行化简求值.
【详解】
.
故答案为：
10．tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________.
【答案】－1
【解析】
【分析】
逆用两角差的正切公式化简求值．
【详解】
∵tan 25°－tan 70°
＝tan(25°－70°)(1＋tan 25°tan 70°)
＝tan(－45°)(1＋tan 25°tan 70°)
＝－1－tan 25°tan 70°
∴tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝－1.
故答案为：．
11．已知，且，求的值为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】
注意到，利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意范围的确定.
【详解】
，则，注意到
，于是
，不妨记
，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得：
，而，于是
.
故答案为：.
12．要使有意义，则实数m的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式结合正弦函数的性质求出范围，列出不等式求解作答.
【详解】
因，因此，解得，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：
13．求解下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过已知条件求得，从而求得正确答案.
（2）结合诱导公式、降次公式、二倍角公式求得正确答案.
(1)
依题意，
，解得，
所以.
(2)
.
B组 挑战自我
1．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二倍角公式结合已知条件化简求得的值，再利用同角三角函数的基本关系求出的值，代值计算可得的值.
【详解】
因为，
，则，则，且有，则，即，
所以，，即，
即，所以，，故，
因此，.
故选：D.
2．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦、正弦的二倍角公式及其逆用结合角的范围将目标式子化简，然后结合正弦、余弦的齐次式，将之化为正切的式子，然后将条件代入即可得出答案.
【详解】
因为，，所以，，
所以
．
故选: C．
3．若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由诱导公式结合和差角公式求解即可.
【详解】
故答案为：
4．已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析
】
由诱导公式、辅助角公式、倍角公式得出，再由正弦函数的性质结合得出.
【详解】
由题知，则，即，即，即，则或，．因为，所以，所以，解得．
5．（1）已知，其中是第三象限角，化简
（2）已知，均为锐角，且，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用平方关系和是第三象限角化简可得；
（2）利用平方关系和和差公式求，然后结合范围可得.
【详解】
（1）是第三象限角，
，，，
∴
（2）因为均为锐角，，
所以，，
所以
由，均为锐角，则，所以