高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第3课时等比数列(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第3课时等比数列(原卷版+解析)，共28页。
【回归教材】
1.等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于 (不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q表示，定义的表达式为eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒ .
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝ .
(2)前n项和公式：.
3.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am· (n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ ＝ .
(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{aeq \\al(2,n)}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
4.等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．
当或时，是递增数列；当或时，是递减数列；
当时，为常数列；
当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．
【典例讲练】
题型一 等比数列的基本量
【例1-1】在等比数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求和q；
(3)已知，，求；
(4)已知，，求．
【例1-2】已知等比数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A．B．9C．D．27
归纳总结：
【练习1-1】设是公比为的等比数列，且.则（ ）
A．B．C．8D．11
【练习1-2】等比数列的前项和为，若，，则___________.
题型二 等比数列的性质
【例2-1】已知是等比数列，若，且，则（ ）
A．10B．25C．5D．15
【例2-2】等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习2-1】【多选题】在正项等比数列{an}中，已知，，则（ ）
A．B．C．D．n＝12
【练习2-2】已知等比数列，，是方程的两根，则（ ）
A．8B．10C．14D．16
题型三 等比数列的最值问题
【例3-1】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．数列存在最大值D．是数列中的最大值
归纳总结：
【练习3-1】【多选题】等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（ ）
A．B．C．的值是中最大的D．T99的值是Tn中最大的
题型四 等比数列的判定
【例4-1】在数列中，已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明数列为等比数列； (2)若，，求的通项公式.
【例4-2】已知数列满足，且．
(1)若，证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和．
归纳总结：
【练习4-1】记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且．
(1)求的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
【完成课时作业（三十九）】
【课时作业（三十九）】
A组 础题巩固
1．正项等比数列中，，则（ ）
A．1B．C．3D．
2．已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
3．等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．24B．12C．24或－12D．－24或12
4．在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
5．已知数列满足，，则的前10项和等于（ ）
A．B．C．D．
6．已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．在正项等比数列中，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．已知等差数列的前n项和为，若，，成等比数列，则公比为（ ）
A．B．C．D．1
9．等比数列中的项，是函数的极值点，则（ ）
A．3B．C．D．
10．【多选题】已知是数列的前项和，且，则（ ）
A．数列为等比数列 B．数列为等比数列C． D．
11．记等比数列的前n项和为Sn，若，则的公比为 .
12．若等比数列的各项均为正数，且，则 .
13．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：； (2)求集合中元素个数．
14．在数列中，，其中．
(1)设，证明数列是等比数列；(2)记数列的前n项和为，试比较与的大小．
B组 挑战自我
1．【多选题】已知等比数列的公比为，且，记的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，递减B．当时，
C．当时，D．当时，
2．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则______，最小值为______．
3．规定摸球试验规则如下：盒子中装有一个白球和两个红球，每人有放回地任取一个，摸到白球得1分，摸到红球得2分．
(1)已知有n个人参加了这个摸球试验，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求；
(2)已知若干人参加了这个摸球试验，记这些人的合计得分恰为n分的概率为，证明为等比数列，并求数列的通项公式．
4．已知数列中，，．正项等比数列的公比，且满足，．
(1)证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；
(2)如果，求的前n项和为；
(3)若存在，使成立，求实数 的取值范围．
第 3 课时 等比数列
编写：廖云波
【回归教材】
1.等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
2.等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：.
3.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝aeq \\al(2,k).
(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{aeq \\al(2,n)}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
4.等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．
当或时，是递增数列；当或时，是递减数列；
当时，为常数列；
当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．
【典例讲练】
题型一 等比数列的基本量
【例1-1】在等比数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求和q；
(3)已知，，求；
(4)已知，，求．
【答案】(1)；
(2)，，或，；
(3)9；
(4)±4.
【分析】(1)；
(2)根据等比数列通项公式进行计算即可；
(3)；
(4)设等比数列公比为q，根据已知条件和等比数列通项公式列出方程组即可求解.
(1)
等比数列中，，，
；
(2)
等比数列中，，，
，
；
当时，，
当时，，
，或，；
(3)
等比数列中，，，
，
；
(4)
等比数列中，设公比为q，
∵，，
∴，
两式相除并化简得，，
解得或，
当时，，，
当时，，，
综上，或．
【例1-2】已知等比数列的前项和为，且满足，，则（ ）
A．B．9C．D．27
【答案】D
【分析】利用等比数列前项和公式，结合，求出该等比数列的公比，最后利用等比数列的通项公式进行求解即可.
【详解】设该等比数列的公比为，
当时，因为，，所以有，
所以，
当时，，显然不成立，
故选：D
归纳总结：
【练习1-1】设是公比为的等比数列，且.则（ ）
A．B．C．8D．11
【答案】B
【分析】先利用题给条件求得等比数列的首项，再利用等比数列前n项和公式去求的值
【详解】是公比为的等比数列，且.
则 ，解之得，则
故选：B
【练习1-2】等比数列的前项和为，若，，则___________.
【答案】或
【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式，列出方程，求出等比数列的公比，再根据等比数列的通项公式，即可求出结果.
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，所以，
则，解得或，
又，所以或.
故答案为：或.
题型二 等比数列的性质
【例2-1】已知{an}是等比数列，若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝（ ）
A．10B．25C．5D．15
【答案】C
【分析】根据等比数列的性质，由题中条件，可求出.
【详解】因为是等比数列，，
所以，即，
因为，
所以.
故选：C
【例2-2】等比数列的前n项和为，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据为等比数列可求的值.
【详解】因为且为等比数列，故为等比数列，
故，解得，
故选：B.
归纳总结：
【练习2-1】【多选题】在正项等比数列{an}中，已知，，则（ ）
A．B．C．D．n＝12
【答案】BD
【分析】由题可得，再由，得到，即可求解.
【详解】设数列的公比为q，
由，
可得，
又由，所以AC错误；
因为
可得，
所以，解得，所以BD正确.
故选：BD.
【练习2-2】已知等比数列，，是方程的两根，则（ ）
A．8B．10C．14D．16
【答案】B
【分析】根据韦达定理写出 ，再根据等比数列的性质即可得到答案
【详解】 ，是方程的两根

根据等比数列的性质有：
故选：B
题型三 等比数列的最值问题
【例3-1】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．数列存在最大值D．是数列中的最大值
【答案】D
【分析】根据题意可得，，所以在等比数列中，从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于.再分析每一个选项即可求解.
【详解】因为是公比为的等比数列，且，，，
所以，，所以，所以在等比数列中，
从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于.
对于A：因为，所以，故A不正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：根据上面的分析，等比数列中每一项都为正值，所以无最大值，
所以数列无最大值，故C不正确；
对于D：因为在等比数列中，从到的每一项都大于，
从开始后面所有的项的值都小于且大于，所以是数列中的最大值，故D正确.
故选：D.
归纳总结：
【练习3-1】【多选题】等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（ ）
A．B．C．的值是中最大的D．T99的值是Tn中最大的
【答案】ABD
【分析】运用等比数列的定义和等比数列的性质根据题目条件逐项分析即得.
【详解】对于A，，，即，
，又，又，
，且，
，故A正确；
对于B，，，即，故B正确；
对于C，由于，而，故有，故C错误；
对于D，由题可知，
所以当时，，即，当时，，即，
∴T99的值是Tn中最大的，故D正确.
故选：.
题型四 等比数列的判定
【例4-1】在数列中，已知各项都为正数的数列满足.
(1)证明数列为等比数列；
(2)若，，求的通项公式.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）根据等比数列的定义分析即可.
（2）由（1）可得的通项公式，构造求.
（1）各项都为正数的数列满足，得，即所以数列是公比为的等比数列；
（2）因为，，所以，由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列，所以，于是，又因为，所以，即.
【例4-2】已知数列满足，且．
(1)若，证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意得，根据等比数列的定义，即可得证.
（2）由（1）可得，根据分组求和法，结合等差数列、等比数列求和公式，即可得答案.
（1）因为，所以，所以，即，又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）可得，所以，所以前项和
归纳总结：
【练习4-1】记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）设公差为，结合等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，进而得到；
（2）由已知递推关系式可得，由此可得证得数列为等比数列；结合等比数列通项公式推导可得；
（3）分别验证时，不等式成立；当时，采用放缩法可得，依此对不等式进行放缩，结合等比数列求和公式可证得当时不等式成立，由此可得结论.
(1)
设等差数列的公差为，
由得：，解得：，
.
(2)
由（1）知：，则，
由得：，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，.
【完成课时作业（三十九）】
【课时作业（三十九）】
A组 础题巩固
1．正项等比数列中，，则（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】C
【分析】由等比数列的性质知：，即可求出答案.
【详解】由等比数列的性质知：，
因为为正项等比数列，所以.
故选：C.
2．已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
3．等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．24B．12C．24或－12D．－24或12
【答案】A
【分析】根据等比数列片段和性质得到方程，求出，再检验即可；
【详解】解：因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，
因为，，所以，
解得或，因为，
所以，则．
故选：A
4．在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】B
【分析】利用成等比数列列方程，化简求得的值.
【详解】，
由于是等比数列，所以，
即.
故选：B
5．已知数列满足，，则的前10项和等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用等比数列求和公式计算即可.
【详解】由题，，所以，
所以 是公比 的等比数列， ，
；
故选：C.
6．已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得出关于、的值，可求得、的值，再利用等比数列的求和公式可求得.
【详解】由等比数列的性质可知，因为，则，
由已知可得，可得，，则，
因此，.
故选：B.
7．在正项等比数列中，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据给定的等式，利用等比数列的性质计算作答.
【详解】在等比数列中，，
于是得，而，所以.
故选：C
8．已知等差数列的前n项和为，若，，成等比数列，则公比为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】利用等差数列的性质及等比中项可得，进而可得，即得.
【详解】设等差数列的公差为，则
，，，
∴，
∴，解得，
∴，即公比为1.
故选：D.
9．等比数列中的项，是函数的极值点，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到，然后根据等比中项求得答案.
【详解】由题意，，则时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，于是x=1和x=3是函数的两个极值点，故，是的两个根，所以，所以，又，所以，，设公比为，，所以.
故选：D.
10．【多选题】已知是数列的前项和，且，则（ ）
A．数列为等比数列
B．数列为等比数列
C．
D．
【答案】AB
【分析】由，分别得到，，然后逐项判断.
【详解】由，得，
又，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，则正确；
由，得，
又，
所以数列是首项为7，公比为4的等比数列，则正确；
，相减可得，
所以，则错误；
，
，则错误．
故选：AB．
11．记等比数列的前n项和为Sn，若，则的公比为______
【答案】-1
【分析】先将公比假设为，接着对与1进行讨论，分别求出的值即可求出答案
【详解】因为是等比数列，设的公比为，
若时，
由可得，
整理得，因为，所以即，
解得(舍去)或，因为，所以，
若时，，，所以舍去，
综上所述，，
故答案为：-1
12．若等比数列的各项均为正数，且，则 .
【答案】.
【详解】由得，
所以
【点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
13．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
14．在数列中，，其中．
(1)设，证明数列是等比数列；
(2)记数列的前n项和为，试比较与的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由已知得，代入给定等式并变形，再利用等比数列定义判断作答.
（2）利用分组求和法求出，作与的差，构造新数列并判断其单调性即可推理作答.
(1)
，由得：，而，
则，整理得，而，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.
(2)
由（1）知，，于是得，，
因此，，
令，显然数列是递增数列，而，
即时，，，当时，，
所以，当时，，当时，.
B组 挑战自我
1．【多选题】已知等比数列的公比为，且，记的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，递减B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】BCD
【分析】由，，得到，即可判断A错误；利用等比数列的通项公式和基本不等式求解，可判定B正确；分类讨论与1的大小关系，可判定C正确；分析出的特征，得到，可判定D正确.
【详解】对于A中，因为，，所以，所以递增，所以A错误.
对于B中，当时，
，
当且仅当时等号成立，所以B正确.
对于C中，当时，递增，因为，所以当时，；
当时，，所以当或时，最小，
所以，故C正确.
对于D中，当时，是摆动数列，偶数项为正，奇数项为负，递减，
因为，所以当或时，最大，的前2022项中有1011项为正，1011项为负，所以，所以恒成立，所以D正确.
故选：BCD.
2．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则______，最小值为______．
【答案】 2 8
【分析】根据等差中项可求出；利用，，成等比数列，结合基本不等式可得最小值.
【详解】因为，，成等差数列，所以，所以，
又因为各项均为正数的等比数列的前n项和为，
所以，，成等比数列，
所以，
所以，
当且仅当即时取“＝”．
故答案为：；.
3．规定摸球试验规则如下：盒子中装有一个白球和两个红球，每人有放回地任取一个，摸到白球得1分，摸到红球得2分．
(1)已知有n个人参加了这个摸球试验，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求；
(2)已知若干人参加了这个摸球试验，记这些人的合计得分恰为n分的概率为，证明为等比数列，并求数列的通项公式．
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）首先根据题意得到，再利用错位相减法求解即可.
（2）在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n分或分，记“合计得n分”为事件A，“合计得分”为事件B，则A与B为对立事件．得到，，从而得到，再构造数列证明即可.
(1)
若这个人的合计得分为分，则其中有且只有1个人抽到红球，
所以．
设，
则，
两式相减，得，
所以．
(2)
（2）在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，
则这些人的合计得分可能为n分或分，记“合计得n分”为事件A，
“合计得分”为事件B，则A与B为对立事件．
因为，，
所以，
即．
因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即．
4．已知数列中，，．正项等比数列的公比，且满足，．
(1)证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；
(2)如果，求的前n项和为；
(3)若存在，使成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，，
(2)
(3)
【分析】（1）由，可得，进而求得，即可得到数列为等差数列，进而求得，又由，，结合等比数列的通项公式，求得.
（2）由（1）知，，得到，结合裂项求和，即可求解；
（3）：由，求得，得到，根据题意转化为存在，使成立，设，结合，求得数列的单调性，求得的最小值，即可求解.
(1)
解：因为，可得，
可得，所以，
即，
又因为，可得，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，
所以，所以，
由，，可得，，
因为，所以，所以.
(2)
解：由（1）知，，可得，
所以.
(3)
解：由，可得，
则，
存在，使成立，
即存在，使成立，即存在，使成立，
设，则
令，
当时，，即
当时，，即，
当时，可得，即的最小值为，
所以，即实数k的取值范围．