高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第07课时古典概型(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第07课时古典概型(原卷版+解析)，共22页。

【回归教材】
1.古典概型的定义
试验具有如下共同特征：
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个．
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
2.古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率=，其中和分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数．
【典例讲练】
题型一 古典概型的辨析
【例1-1】下列是古典概型的是（ ）
①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率； ④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.
A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③④
归纳总结：
【练习1-1】下列概率模型中，是古典概型的个数为（ ）
（1）从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；
（2）从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；
（3）在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；
（4）向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.
A．1B．2C．3D．4
题型二 古典概型的计算
【例2-1】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】在全国防控疫情阻击战关键阶段，校文艺团排练了个演唱节目，个舞蹈节目参加社区慰问演出．（结果用数字作答）
(1)若从个节目中选个参加市演出汇报，求3个节目中恰有1个舞蹈节目的选法种数；
(2)现对个节目安排演出顺序，求个演唱节目接在一起的概率；
(3)现对个节目安排演出顺序，求节目甲不在第一个且不在最后一个演出的概率．
归纳总结：
【练习2-1】随机掷一枚骰子，正面向上的点数记为a，则使关于x的方程无实数解的概率为_____．
【练习2-2】某箱脐橙共有18个，其中有少部分是坏果.若从这箱脐橙中任取2个，恰好取到1个坏果的概率为，则这箱脐橙中坏果的个数为（ ）
A．3B．5C．2D．4
题型三 古典概型与统计的综合应用
【例3-1】中国共产党第二十次全国代表大会（简称中共二十大）将于2022年下半年在北京召开.党的二十大相关工作网络征求意见在4月15日至5月16日进行，在此期间，广大人民群众可通过人民日报社､新华社､中央广播电视总台所属官网､新闻客户端以及“学习强国”学习平台开设的专栏提出意见建议.某高校团委为了解本校大学生对此事的关注和参与程度，特地在校园进行了一次抽样调查，得到以下的列联表（单位：人）.
(1)根据列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为是否了解此事与性别有关？
(2)现从对此事不了解的学生中，按性别采用分层抽样的方法选出6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步的调研，求抽取的2人中至多有1人是男生的概率.
附：，其中.

归纳总结：
【练习3-1】某科技人员为了解实验田的产量情况，对某地的50块实验区进行统计，其中A区的亩产量为460公斤，亩产量的频率分布直方图如下：
(1)亩产量在[450，500]的有几个实验区？
(2)从亩产量为[450，500]实验区中任选2个进行推广，则A区被选中的概率是多少？
【练习3-2】某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男、女同学各50人进行研究，对这100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把测评结果转化为个人的素养指标x和y，制成下图，其中“*”表示男同学，“+”表示女同学．
若，则认定该同学为“初级水平”；若，则认定该同学为“中级水平”；若，则认定该同学为“高级水平”．若，则认定该同学为“具备一定艺术发展潜质”；否则为“不具备明显艺术发展潜质”．下列说法中，错误的有（ ）
A．50名参加测试的女同学中，指标的有20人
B．从50名女同学中随机选出1名，则该同学为“初级水平”的概率为
C．50名参加测试的男同学中，“具备一定艺术发展潜质且为中级或高级水平”的有24人
D．从所有“不具备明显艺术发展潜质却为中级或高级水平”的男同学中任选2名，则选出的2名均为“高级水平”的概率为
【完成课时作业（五十九）】
【课时作业（五十九）】
A组 础题巩固
1．下列试验是古典概型的是( )
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为“取中白球”和“取中黑球”
B．在区间上任取一个实数x，使
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶
2．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数含2个数字5”，则（ ）
A．B．C．D．
5．商青铜神树，1986年在四川省广汉市三星堆遗址二号祭祀坑出土，现藏于三星堆博物馆．商青铜神树共有八棵，其中修复完整的一号神树高达3.96米，树干笔直，套有三层枝叶，每层有三根树枝，枝条的中部伸出短枝，短枝上有镂空花纹的小圆圈和花蕾，花蕾上各有一只昂首翘尾的小鸟，小鸟共9只（如图）．现从中任选3只小鸟，则这3只小鸟来自不同层树枝的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
7．小红，小明，小芳，张三，李四共有5名同学参加演讲比赛，在安排出场顺序时，小红、小明排在一起，且小芳与小红、小明都不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
9．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
10．现采用随机模拟的方法估计小张三次射击全部命中十环的概率，先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟，产生了如下20组随机数：
321 426 292 925 274 642 800 478 598 668 531 297 286 026 506
318 240 846 507 965 据此估计，小张三次射击全部命中十环的概率为________．
11．某学校对高一800名学生周末在家上网时间进行调查，抽取其中50个样本进行统计，发现上网的时间（小时）全部介于0至5之间.现将上网时间按如下方式分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)求该样本中上网时间在范围内的人数；
(2)请估计本年级800名学生中上网时间在范围内的人数；
(3)若该样本中第三组只有两名女生，现从第三组中抽两名同学进行座谈，求抽到的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率.
B组 挑战自我
1．对于正方体6个面的中心，甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率等于（ ）
A．B．C．D．
2．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起了大家对冰雪运动的关注．若A，B，C，D，E五人可在自由式滑雪、花样滑冰和跳台滑雪这三项运动中任选一项进行体验，则每项运动至少有一人参加的概率（ ）
A．B．C．D．
3．兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为 ；
(2)若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；
(3)在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．了解
不了解
合计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
合计
70
30
100
第 7 课时 古典概型
编写：廖云波
【回归教材】
1.古典概型的定义
试验具有如下共同特征：
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个．
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
2.古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率=，其中和分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数．
【典例讲练】
题型一 古典概型的辨析
【例1-1】下列是古典概型的是（ ）
①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.
A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】B
【分析】根据古典概型中基本事件的个数是有限的，且每个基本事件等可能这两个特点逐一判断，即可得出结论.
【详解】①②④中的基本事件都是有限个，且每个基本事件都是等可能的，
符合古典概型的定义和特点；③不是古典概型，因为不符合等可能性，
受多方面因素影响.
故选：B.
归纳总结：
【练习1-1】下列概率模型中，是古典概型的个数为（ ）
（1）从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；
（2）从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；
（3）在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；
（4）向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据古典概型的有限性和等可能性逐个辨析即可
【详解】第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”．
第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；
第3个概率模型不是古典概型，在一个正方形ABCD内画一点P，有无数个点，不满足“有限性”；
第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等．
故选：A.
题型二 古典概型的计算
【例2-1】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率.
故选：D.
【例2-2】在全国防控疫情阻击战关键阶段，校文艺团排练了个演唱节目，个舞蹈节目参加社区慰问演出．（结果用数字作答）
(1)若从个节目中选个参加市演出汇报，求3个节目中恰有1个舞蹈节目的选法种数；
(2)现对个节目安排演出顺序，求个演唱节目接在一起的概率；
(3)现对个节目安排演出顺序，求节目甲不在第一个且不在最后一个演出的概率．
【答案】(1)12 (2) (3)
【分析】（1）从2个舞蹈节目选1个，再从4个演唱节目里选2个，可得答案.
（2）求出6个节目全排列共有的排法，再计算将4个演唱节目看作一个整体，内部全排列，和2个舞蹈节目全排列的排法数，根据古典概型的概率公式求得答案;
（3）先排甲，再排其余节目，根据古典概型的概率公式求得答案;
(1)
由题意可得3个节目中恰有1个舞蹈节目的选法种数有（种）；
(2)
6个节目全排列共有 种排法，
将4个演唱节目看作一个整体，内部全排列，和2个舞蹈节目全排列，共有种排法，
因此记“4个演唱节目接在一起的概率”为事件，则，
所以4个演唱节目接在一起的概率；
(3)
节目甲不在第一个且不在最后一个演出,
则中间四个位置上选一个排甲，剩余节目再其余位置全排列，有种排法，
记“节目甲不在第一个且不在最后一个演出”为事件，
故，
所以节目甲不在第一个且节目乙不在最后一个演出的概为 .
归纳总结：
【练习2-1】随机掷一枚骰子，正面向上的点数记为a，则使关于x的方程无实数解的概率为_____．
【答案】
【分析】根据求出符合题意的的值，再根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：依题意的值可以为1，2，3，4，5，6，
若方程无实数解，则，即，即当或时满足方程无实数根，
使方程无实数解的概率为．
故答案为：．
【练习2-2】某箱脐橙共有18个，其中有少部分是坏果.若从这箱脐橙中任取2个，恰好取到1个坏果的概率为，则这箱脐橙中坏果的个数为（ ）
A．3B．5C．2D．4
【答案】A
【分析】设这箱脐橙中坏果的个数为n，则恰好取到1个坏果的概率为，结合题意即可得解.
【详解】解：设这箱脐橙中坏果的个数为n，
则，解得或15，
因为有少部分是坏果，所以.
故选：A.
题型三 古典概型与统计的综合应用
【例3-1】中国共产党第二十次全国代表大会（简称中共二十大）将于2022年下半年在北京召开.党的二十大相关工作网络征求意见在4月15日至5月16日进行，在此期间，广大人民群众可通过人民日报社､新华社､中央广播电视总台所属官网､新闻客户端以及“学习强国”学习平台开设的专栏提出意见建议.某高校团委为了解本校大学生对此事的关注和参与程度，特地在校园进行了一次抽样调查，得到以下的列联表（单位：人）.
(1)根据列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为是否了解此事与性别有关？
(2)现从对此事不了解的学生中，按性别采用分层抽样的方法选出6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步的调研，求抽取的2人中至多有1人是男生的概率.
附：，其中.
【答案】(1)不能 (2)
【分析】（1）计算的值，由此做出判断.
（2）结合分层抽样以及古典概型的概率计算公式，计算出正确答案.
（1），所以不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为是否了解此事与性别有关.
（2）由题意知，按分层抽样方法抽取出来的6人中，有女生（人），记为；有男生（人），记为.则从这6人中抽取2人的取法为：，一共有15种不同的抽取方法，其中抽取的2人中至多1人是男生的抽取方法有14种.所以抽取的2人中至多有1人是男生的概率为.
归纳总结：
【练习3-1】某科技人员为了解实验田的产量情况，对某地的50块实验区进行统计，其中A区的亩产量为460公斤，亩产量的频率分布直方图如下：
(1)亩产量在[450，500]的有几个实验区？
(2)从亩产量为[450，500]实验区中任选2个进行推广，则A区被选中的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据频率直方图即可得到答案.
（2）根据古典概型公式求解即可.
(1)
的频率为，
共有个实验区.
(2)
令事件为：区被选中，
.
【练习3-2】某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男、女同学各50人进行研究，对这100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把测评结果转化为个人的素养指标x和y，制成下图，其中“*”表示男同学，“+”表示女同学．
若，则认定该同学为“初级水平”；若，则认定该同学为“中级水平”；若，则认定该同学为“高级水平”．若，则认定该同学为“具备一定艺术发展潜质”；否则为“不具备明显艺术发展潜质”．下列说法中，错误的有（ ）
A．50名参加测试的女同学中，指标的有20人
B．从50名女同学中随机选出1名，则该同学为“初级水平”的概率为
C．50名参加测试的男同学中，“具备一定艺术发展潜质且为中级或高级水平”的有24人
D．从所有“不具备明显艺术发展潜质却为中级或高级水平”的男同学中任选2名，则选出的2名均为“高级水平”的概率为
【答案】AC
【分析】根据图表，结合选项，正确数出所需数据的个数，即可判断前3个选项；根据古典概型，结合编号列举的方法，即可判断D.
【详解】由图知，在50名参加测试的女同学中，指标的有15人，故A说法错误；
从50名女同学中随机选出1名，则该同学为“初级水平”的概率为，故B说法正确；
由图知，参加测试的男同学中，“具备一定艺术发展潜质且为中级或高级水平”的有26人，故C说法错误；
由图知，“不具备明显艺术发展潜质却为中级或高级水平”的男同学共有6人，其中“中级水平”有3人，分别记为，，，“高级水平”有3人，分别记为，，，则任选2名的样本空间，共有15个样本点，设事件C表示“两人均为高级水平”，则，有3个样本点，所以，故D说法正确.
故选：AC
【完成课时作业（五十九）】
【课时作业（五十九）】
A组 础题巩固
1．下列试验是古典概型的是( )
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为“取中白球”和“取中黑球”
B．在区间上任取一个实数x，使
C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
【答案】C
【详解】A选项中，两个基本事件发生的可能性不同，故不是古典概型．
B选项中，一次试验的结果有无限个，故不是古典概型．
C选项满足古典概型特征．
D选项中，两个基本事件发生的可能性可能不同，故不是古典概型．
故选：C．
2．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.
【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，
其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为.
故选：C.
3．现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.
【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有种方法，
其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以.
故选：B
4．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数含2个数字5”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知基本事件总数为，然后列举出四位数含2个数字5的情况，再利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，每个珠子有两种情况：1和5，所以共有种情况，
其中四位数含2个数字5的有：1155，1515，1551，5511，5115，5151，共6种，
所以，
故选：C
5．商青铜神树，1986年在四川省广汉市三星堆遗址二号祭祀坑出土，现藏于三星堆博物馆．商青铜神树共有八棵，其中修复完整的一号神树高达3.96米，树干笔直，套有三层枝叶，每层有三根树枝，枝条的中部伸出短枝，短枝上有镂空花纹的小圆圈和花蕾，花蕾上各有一只昂首翘尾的小鸟，小鸟共9只（如图）．现从中任选3只小鸟，则这3只小鸟来自不同层树枝的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】从中任选三中小鸟，基本事件总数，三只小鸟来着不同的层树叶包括的基本总数，由此能求出三只小鸟来着不同层树叶的概率.
【详解】从9只小鸟中任选3只，共有种选法，若这3只小鸟来自于不同层树枝，共有种选法
所以这3只小鸟来自不同层树枝的概率．
故选：D
6．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为，
故选：C.
7．小红，小明，小芳，张三，李四共有5名同学参加演讲比赛，在安排出场顺序时，小红、小明排在一起，且小芳与小红、小明都不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用捆绑法和插空法进行求解即可.
【详解】解：由题意得：
5名同学参加演讲比赛出场顺序总的方法：种；
将小红小明捆在一起，然后张三李四两个排列，再后小芳与小红小明组插空，总的方法数有：种
在安排出场顺序时，小红、小明排在一起，且小芳与小红、小明都不相邻的概率为
故选：C
8．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
【答案】##0.3
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.
故答案为：.
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
9．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
【答案】.
【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．
故答案为：．
10．现采用随机模拟的方法估计小张三次射击全部命中十环的概率，先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟，产生了如下20组随机数：
321 426 292 925 274 642 800 478 598 668
531 297 286 026 506 318 240 846 507 965
据此估计，小张三次射击全部命中十环的概率为________．
【答案】
【分析】求出20次试验中事件发生的次数即可求出.
【详解】因为20次试验中有426，642，668，286，846共5次发生了，所以估计小张三次射击全部命中十环的概率为．
故答案为：.
11．某学校对高一800名学生周末在家上网时间进行调查，抽取其中50个样本进行统计，发现上网的时间（小时）全部介于0至5之间.现将上网时间按如下方式分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)求该样本中上网时间在范围内的人数；
(2)请估计本年级800名学生中上网时间在范围内的人数；
(3)若该样本中第三组只有两名女生，现从第三组中抽两名同学进行座谈，求抽到的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率.
【答案】(1)15
(2)256
(3)
【分析】（1）先利用频率和为1求得上网时间在[1，2）范围内的频率，进而求得该样本中上网时间在范围内的人数；
（2）先利用频率分步直方图估计出本年级上网时间在范围内的频率，进而求得本年级800名学生中上网时间在范围内的人数；
（3）利用古典概型去求抽到的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率.
（1）由频率分布直方图知，上网时间在第二组[1，2）范围内的频率为：所以，该样本中上网时间在第二组的人数为：（人）.
（2）由（1）可估计本年级上网时间在范围内的频率为， 所以，可估计本年级学生上网时间在范围内的人数为：（人）
（3）由频率分布直方图知第三组的频率为0.08，可得第三组共有4人. 将第三组的四人记为、、、，其中a 、b为男生， c、d为女生，基本事件列表如下：ab，ac，ad，bc，bd，cd，所以基本事件有6个， 恰为一男一女的事件有ac，ad，bc，bd，共4个， 所以抽到的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率
B组 挑战自我
1．对于正方体6个面的中心，甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先确定甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线的所有结果的个数，再确定所得两条直线相互垂直的选法数，利用古典概型概率公式求概率.
【详解】因为从正方体6个面的中心中任取两点连成直线，可得条直线，
如图所示：
设正方体的边长为2，则，
，,
,
由正方体性质可得平面,平面,平面,
四边形,四边形，四边形均为正方形，
故当甲选时,乙选或或或或或时，甲，乙所选的点的连线垂直，
甲选时，乙选或或时，甲，乙所选的点的连线垂直，
所以甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线共有种选法，
所以甲选相对两个面的中心时，甲乙所选的点的连线垂直的选法有种，
若甲选相邻两个侧面的中心时，满足甲乙所选的点的连线垂直的选法有种，
故甲，乙所选的点的连线垂直的选法共有54种，
所以事件甲乙所选的点的连线垂直的概率,
故选：A.
2．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起了大家对冰雪运动的关注．若A，B，C，D，E五人可在自由式滑雪、花样滑冰和跳台滑雪这三项运动中任选一项进行体验，则每项运动至少有一人参加的概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意知五人在三项运动中任选一项共有243种, 每项运动至少有一人参加，则这三项运动出现的次数可分为：3、1、1；2、2、1；分别求出其种类，即可求出答案.
【详解】5人在自由式滑雪、花样滑冰和跳台滑雪这三项运动中任选一项共有种；
每项运动至少有一人参加可分为：
自由式滑雪3人、花样滑冰1人、跳台滑雪1人，此时有种;
自由式滑雪2人、花样滑冰2人、跳台滑雪1人，此时有种;
自由式滑雪2人、花样滑冰1人、跳台滑雪2人，此时有种;
自由式滑雪1人、花样滑冰3人、跳台滑雪1人，此时有种;
自由式滑雪1人、花样滑冰2人、跳台滑雪2人，此时有种;
自由式滑雪1人、花样滑冰1人、跳台滑雪3人，此时有种;
共有种.
则每项运动至少有一人参加的概率为.
故选：C.
3．兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为 ；
(2)若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；
(3)在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】(1)作图见解析，90°
(2)不同，理由见解析
(3)作图见解析，
【分析】（1）先根据题意补全条形统计图，再由乘以使用现金人数所占比例即可得其对应的圆心角度数.
（2）根据众数的定义求解即可.
（3）画出树状图，共有9种可能的结果，其中嘉嘉和琪琪两人恰好选择同一种支付方式有3种，再有古典概率公式代入即可得出答案.
（1）
补全统计图如图所示：
因为使用银行卡的人数由30人，占，所以使用现金人数有50人，应占，
所以“现金”支付的扇形圆心角的度数为：.
（2）
重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝．
（3）
将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为．
了解
不了解
合计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
合计
70
30
100