[数学]湖南省邵阳市2024届高三下学期第三次联考数学试卷

这是一份[数学]湖南省邵阳市2024届高三下学期第三次联考数学试卷，共6页。试卷主要包含了填写答题卡的内容用2B铅笔填写，提前 xx 分钟收取答题卡等内容，欢迎下载使用。
考试时间：分钟 满分：分
姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(共8题；共40分)
1. 已知复数满足： ， 其中是虚数单位，则的值为（ ）
A . B . 1 C . 2 D . 4
2. 已知全集 ， 集合 ， ， 如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A . B . C . D . 或
3. “”是“函数（且）在上单调递减”的（ ）
A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件
4. 下列函数对于任意 ， 都有成立的是（ ）
A . B . C . D .
5. 已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（ ）
A . 0 B . C . 1 D . 0或1
6. 甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为 ， 乙加工的次品率为 ， 加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的 ， ， 任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ）
A . B . C . D .
7. 已知双曲线的焦点在圆上，且圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A . B . C . D .
8. 已知函数及其导函数的定义域均为 ， 记 ， 函数的图象关于点对称．若对任意 ， 有 ， 则下列说法正确的是（ ）
A . 不为周期函数 B . 的图象不关于点对称 C . D .
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．(共3题；共18分)
9. 下列说法正确的有（ ）
A . 若角的终边过点 ， 则角的集合是 B . 若 ， 则 C . 若 ， 则 D . 若扇形的周长为 ， 圆心角为 ， 则此扇形的半径是
10. 如图所示，点为正方体形木料上底面的动点，则下列结论正确的有（ ）
A . 三棱锥的体积为定值 B . 存在点 ， 使平面 C . 不存在点 ， 使平面 D . 经过点在上底面上画一条直线与垂直，若与直线重合，则点为上底面中心
11. 英国数学家泰勒发现了如下公式：
， ，
某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（ ）
A . B . （精确到小数点后两位） C . D . 当时，
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．(共3题；共15分)
12. 的展开式中常数项是____________________．（用数字作答）
13. 宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似地用函数的图象来描述，如图所示，则____________________．
14. 已知分别为三个内角的对边，且 ， 则____________________；若 ， ， ， ， 则的取值范围是____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(共5题；共77分)
15. 已知函数 ．
（1） 求函数的单调递增区间；
（2） 若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．
16. 如图所示，四棱锥中，平面 ， ， ， ， 为棱上的动点．
（1） 求证：；
（2） 若 ， 求直线与平面所成角的正弦值．
17. 如图所示，已知点 ， 轴于点 ， 点为线段上的动点（不与端点重合），轴于点 ， 于点 ， 与相交于点 ， 记动点的轨迹为 ．
（1） 求的方程；
（2） 点是上不同的两点，关于轴对称的点为 ， 记直线与轴的交点为 ， 直线与轴的交点为 ． 当为等边三角形，且时，求点到直线的距离的取值范围．
18. 某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中 ， ．
参考公式： ， ， ， 其中 ．
（1） 依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2） 依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程．
（3） 为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
19. 已知数列 ， ， 函数 ， 其中 ， 均为实数．
（1） 若 ， ， ， ， ，
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设数列的前项和为 ， 求证： ．
（2） 若为奇函数， ， ， 且 ，
问：当时，是否存在整数 ， 使得成立．若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．（附： ， ）题号
一
二
三
四
评分
阅卷人
得分
阅卷人
得分
阅卷人
得分
阅卷人
得分
5.5
8.7
1.9
301
385
79.75
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
性别
佩戴头盔
合计
不佩戴
佩戴
女性
8
12
20
男性
14
6
20
合计
22
18
40