[数学]浙江省北斗星盟2023-2024学年高三下学期适应性联考数学试卷

这是一份[数学]浙江省北斗星盟2023-2024学年高三下学期适应性联考数学试卷，共4页。试卷主要包含了填写答题卡的内容用2B铅笔填写，提前 xx 分钟收取答题卡等内容，欢迎下载使用。
考试时间：分钟 满分：分
姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题)
1. 已知集合 ， ， 则等于（ ）
A . B . C . D .
2. 已知复数满足 ， 则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限
3. 已知向量 ， ， 若与垂直，则等于（ ）
A . B . C . 3 D . 6
4. 已知数列满足 ， 则“为等比数列”是“（ ， ）”的（ ）
A . 充分条件但不是必要条件 B . 必要条件但不是充分条件 C . 充要条件 D . 既不是充分条件也不是必要条件
5. 在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可能为（ ）
A . 11 B . 13 C . 15 D . 17
6. 若 ， 则（ ）
A . B . C . D .
7. 如图，假定两点 ， 以相同的初速度运动.点沿直线作匀速运动，；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（）.令与同时分别从 ， 出发，定义为的纳皮尔对数，用现在的数学符号来叙述，与的对应关系就是（），当点从线段靠近的三等分点移动到靠近的三等分点，经过的时间为（ ）
A . B . C . D .
8. 设双曲线：（ ， ）的左焦点为 ， 过坐标原点的直线与交于 ， 两点， ， ， 则的离心率为（ ）
A . B . C . D .
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题)
9. 已知函数 ， 则（ ）
A . 的最小正周期为 B . 的图像关于对称 C . 在上单调递减 D . 当时，
10. 已知 ， ， 是一个随机试验中的三个事件，且 ， ， 下列说法正确的是（ ）
A . 若与互斥，则与不相互独立 B . 若与相互独立，则与不互斥 C . 若 ， 且 ， 则与相互独立 D . 若 ， 则 ， ， 两两独立
11. 已知正方体的棱长为1，点满足 ， 其中 ， ， 则（ ）
A . 当时，则的最小值为 B . 过点在平面内一定可以作无数条直线与垂直 C . 若与所成的角为 ， 则点的轨迹为双曲线 D . 当 ， 时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题)
12. 若展开式的二项式系数之和为128，则展开式中的系数为____________________.
13. 已知圆：和圆： ， 过圆上一动点作圆的切线，交圆于 ， 两点，当（点为坐标原点）面积最大时，满足条件的切线方程为____________________.（写出一条即可）
14. 已知函数 ， ， 对任意 ， 存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为____________________.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(共5题)
15. 在直角坐标平面内有线段 ， 已知点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，……，点是线段（ ， ）上靠近的三等分点，设点的横坐标为.
（1） 求证：数列为等比数列；
（2） 若 ， ， 求的通项公式.
16. 在四棱锥中， ， ， ， ， 、分别为直线 ， 上的动点.
（1） 若异面直线与所成的角为45°，判断与是否具有垂直关系并说明理由；
（2） 若 ， ， 求直线与平面所成角的最大值.
17. 将除颜色外完全相同的红球2个、白球3个放入一盲盒（一种具有随机属性的玩具盒子），现从中不放回取球.
（1） 若每次取一个球，求：
（ⅰ）前两次均取到红球的概率；
（ⅱ）第2次取到红球的概率；
（2） 若从中取出两个球，已知其中一个球为红球，求：
（ⅰ）另一个也为红球的概率；
（ⅱ）若你现在可以选择从剩下的球中随机取一个球来替换另一个球，如果从提高取到红球的可能性出发，你是选择换还是不换？试说明理由.
18. 在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ， 为动点，满足.
（1） 求动点的轨迹的方程；
（2） 已知过点的直线与曲线交于两点 ， ， 连接 ， .
（ⅰ）记直线 ， 的斜率分别为 ， ， 求证：为定值；
（ⅱ）直线 ， 与直线分别交于 ， 两点，求的最小值.
19. 莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数， ， ），例如： ， 对应 ， ， ， ， ， ， .现对任意 ， 定义莫比乌斯函数.
（1） 求 ， ；
（2） 已知 ， 记（为的质因数个数，为质数， ， ）的所有因数从小到大依次为 ， ， …，.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的值（用（）表示）.题号
一
二
三
四
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