[数学][期中]山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份[数学][期中]山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共4页。试卷主要包含了填写答题卡的内容用2B铅笔填写，提前 xx 分钟收取答题卡等内容，欢迎下载使用。
考试时间：分钟 满分：分
姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(共8题；共40分)
1. 在复平面内，复数对应的点为 ， 复数对应的点为 ， 则对应的复数为( )
A . B . C . D .
2. 若是不共线的向量，且 ， ， ， 则( )
A . ．三点共线 B . 三点共线 C . 三点共线 D . 三点共线
3. ( )
A . B . C . D .
4. 已知非零向量 ， ， 则在方向上的投影向量长度为( )
A . B . C . D .
5. 已知 ， 是第二象限的角，则( )
A . B . C . D .
6. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为( )
A . B . C . D .
7. 如图，矩形是水平放置四边形的直观图，若 ， ， 则原四边形的周长是( )
A . B . C . D .
8. 在锐角中，角所对的边分别为 ， 且满足 ， 则的取值范围是( )
A . B . C . D .
二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分．(共3题；共18分)
9. /span> ． 下列有关平行六面体的命题正确的是( )
A . 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 B . 平行六面体的八个顶点在同一球面上 C . 平行六面体的四个侧面不可能都是矩形 D . 平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面
10. 如图， ， ， 线段 ， 相交于点 ， 则( )
A . B . C . D .
11. 相交弦定理是平面几何中关于圆的一个重要定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，已知圆的半径为 ， 弦 ， 相交于点 ． 且 ， 则( )
A . B . C . 当时，为定值 D . 当时，四边形的面积最大值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．(共3题；共15分)
12. 已知函数（），函数的图象关于点对称，且函数图象上相邻最高点和最低点的距离为 ， 则____________________．
13. 已知正三角形与正方形的中心为同一点 ， 的边长为 ， 则____________________．
14. /span>．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 ． 已知点为的费马点，角所对的边分别为 ， 若 ， ， 边上的中线长为 ， 则的值为____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(共5题；共77分)
15. /span>．已知复数 ．
（1） 求；
（2） 若复数是关于的实系数方程的一个根，求的值．
16. /span>6 ． 在等腰梯形中， ， ， ， ．
（1） 若与垂直，求的值；
（2） 若为边上的动点(不包括端点），求的最小值．
17. /span>7 ． 在① ， ②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．
问题：在中，角所对的边分别为 ， 已知____．
（1） 求；
（2） 若 ， 且 ， 求的周长．
18. /span>8 ． 已知为坐标原点，对于函数 ， 称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1） 记向量的相伴函数为 ， 若 ， 且 ，
求的值；
（2） 设 ， 试求函数的相伴特征向量 ， 并求出与方向相同的单位向量；
（3） 已知 ， ， 为函数的相伴特征向量， ， 请问在的图象上是否存在一点 ， 使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为 ， 转盘直径为 ， 设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 ．
（1） 游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为 ， 求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
（2） 证明：；
（3） 若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到）．（参考数据：） 题号
一
二
三
四
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