2024年福建省中考数学模拟试卷（黑卷）

这是一份2024年福建省中考数学模拟试卷（黑卷），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）24的相反数是
A．B．C．D．24
2．（4分）如图几何体的俯视图是
A．B．C．D．
3．（4分）中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》传播数据创下新纪录，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长．将数据14200000000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
4．（4分）“二十四节气”是我国古代农耕文明的重要成果，对于指导农业生产具有重大意义．下列为小明设计的四个节气的图标（不含文字），其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．芒种B．大雪
C．谷雨D．立秋
5．（4分）化简的结果为
A．B．C．D．
6．（4分）根据福建省统计局数据，福建省2020年的出生人数为38.2万人，2022年的出生人数为29.6万人．设这两年福建省出生人数的年平均下降率为，根据题意可列方程
A．B．
C．D．
7．（4分）如图，内接于，，是的两条切线，若，则等于
A．B．C．D．
8．（4分）某镇持续调整农业产业结构，引导百姓发展鲜切花产业，为当地百姓的增收致富拓宽了渠道．小航家在温室大棚里种植了玫瑰花，他统计了月份每枝玫瑰花的平均成本和平均售价，绘制了如图折线统计图，下列说法错误的是
A．平均利润最大的月份是2月份
B．
C．月份平均售价的中位数为3
D． 月份平均利润为3元
9．（4分）福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图．小明想测量白塔的高度（如图，在离白塔底端正前方8米的处，用高为1.5米的测角仪测得白塔顶部处的仰角为，则白塔的高度为
A．米B．米
C．米D．米
10．（4分）已知抛物线经过，，三点，则下列说法正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）已知反比例函数的图象过点和点，则的值为 ．
12．（4分）将一枚点数为且质地均匀的正方体骰子投掷一次，观察向上一面的点数，则向上一面的点数大于3的概率为 ．
13．（4分）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是 ．
14．（4分）不等式组的解集是 ．
15．（4分）已知任意两个非零实数，满足，小玲说可以得到．
下面为小玲给出的证明过程：
，第一步
，第二步
即，第三步
，第四步
即，第五步
两边开平方，得，第六步
．
以上证明过程中，开始出现错误的是第 步．
16．（4分）如图，在菱形中，，对角线，交于点，动点在边上（不与点重合），连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，，现有以下结论：①点，之间的距离为定值；②；③的值可以是；④或．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：．
18．（8分）如图，在中，延长到点，使得，连接，，若．求证：．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）某校积极倡导人文运动观念，提倡体育与文化、教育的有机结合，提高同学们的身体素质．为了了解本校八、九年级学生每周体育锻炼的时间，随机抽取了八、九年级部分学生，对其每周体育锻炼的时间（单位：进行了统计，汇总得到如下报表（经调查八、九年级学生每周体育锻炼的时间少于
（1）若八年级共有600名学生，估计八年级全体学生中每周体育锻炼时间少于的人数；
（2）通过调查报告能否得出所调查的学生中八年级学生每周体育锻炼总时长大于九年级学生每周体育锻炼总时长？并说明理由；
（3）请写出一条你对学生每周体育锻炼的建议．
21．（8分）如图，已知内接于，是的直径，过点作于点，延长，交于点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
22．（10分）泉州木偶造型优美，彩绘精致，个性鲜明，具有独特的艺术风格和地方色彩．某店销售，两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话：
（1）求两款木偶工艺品的售价各为多少元；
（2）某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的，为使购买总费用最低，应购买款木偶工艺品和款木偶工艺品各多少件？总费用最低为多少元？
23．（10分）阅读下列材料，解决问题．
如图1，已知正六边形ABCDEF，要求在正六边形ABCDEF的内部作一个矩形A1B1C1D1，且矩形A1B1C1D1的顶点在正六边形ABCDEF的边上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
小明利用尺规作图只作了部分，如图2所示．
（1）请你根据小明的作图思路，补画出矩形A1B1C1D1；
（2）在（1）的基础上，连接AC，若AC＝4，则线段A1D1的长为 ，依据是 ；
（3）如图3，已知正五边形A2B2C2D2E2，在其内部作一个矩形MND2C2，使得点M，N分别在边A2B2，A2E2上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
24．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），点E在边AB上，且∠ADE＝45°，将△DBE绕点D顺时针旋转得到△DGH，且点B的对应点G恰好落在边AB上，DH的延长线交AC于点F，连接EF，交AD于点M．
（1）求∠ADF的度数；
（2）求证：；
（3）的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
25．（14分）已知抛物线y＝m（x﹣n）2+n﹣1经过（1，0），（﹣1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若A，B是抛物线上相异的两点，且A，B两点的横坐标之积为﹣1．
①求证：A，O，B三点共线；
②不与y轴平行的直线AC，BC均与抛物线只有一个公共点，CD⊥x轴，且与抛物线相交于点D，连接AD，BD，AB，小聪研究发现：在△ACD，△ABD，△BCD中存在两个三角形的面积始终相等．请指出面积始终相等的两个三角形，并说明理由．
2024年福建省中考数学模拟试卷（黑卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）24的相反数是
A．B．C．D．24
【解答】解：24的相反数是．
故选：．
2．（4分）如图几何体的俯视图是
A．B．C．D．
【解答】解：这个组合体的俯视图是两个同心圆．
故选：．
3．（4分）中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》传播数据创下新纪录，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长．将数据14200000000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【解答】解：，
故选：．
4．（4分）“二十四节气”是我国古代农耕文明的重要成果，对于指导农业生产具有重大意义．下列为小明设计的四个节气的图标（不含文字），其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．芒种B．大雪
C．谷雨D．立秋
【解答】解：．原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
5．（4分）化简的结果为
A．B．C．D．
【解答】解：
．
故选：．
6．（4分）根据福建省统计局数据，福建省2020年的出生人数为38.2万人，2022年的出生人数为29.6万人．设这两年福建省出生人数的年平均下降率为，根据题意可列方程
A．B．
C．D．
【解答】解：依题意得：．
故选：．
7．（4分）如图，内接于，，是的两条切线，若，则等于
A．B．C．D．
【解答】解：连接，，
，是的两条切线，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
8．（4分）某镇持续调整农业产业结构，引导百姓发展鲜切花产业，为当地百姓的增收致富拓宽了渠道．小航家在温室大棚里种植了玫瑰花，他统计了月份每枝玫瑰花的平均成本和平均售价，绘制了如图折线统计图，下列说法错误的是
A．平均利润最大的月份是2月份
B．
C．月份平均售价的中位数为3
D． 月份平均利润为3元
【解答】解：月份平均利润分别为：2元；5元；3元；2元；3元，
平均利润最大的月份是2月份，故选项正确，不符合题意；
从折线图可以看出平均售价的波动比平均成本的波动大，
，故选项正确，不符合题意；
月份平均售价按由小到大排列为：3，4，4，5，6，
月份平均售价的中位数为4，故选项错误，符合题意；
月份平均利润为：（元，
选项正确，不符合题意．
故选：．
9．（4分）福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图．小明想测量白塔的高度（如图，在离白塔底端正前方8米的处，用高为1.5米的测角仪测得白塔顶部处的仰角为，则白塔的高度为
A．米B．米
C．米D．米
【解答】解：过点作，垂足为，
由题意得：米，米，
在中，，
（米，
米，
白塔的高度为米，
故选：．
10．（4分）已知抛物线经过，，三点，则下列说法正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【解答】解：由题意，抛物线为，
对称轴是直线．
若，则，
抛物线开口向上．
此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
经过，，三点，
又，
，故错误，正确．
若，则，
抛物线开口向下．
此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大
经过，，三点，
又，
，故、错误．
故选：．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）已知反比例函数的图象过点和点，则的值为 ．
【解答】解：反比例函数的图象过点和点，
，
解得．
故答案为：．
12．（4分）将一枚点数为且质地均匀的正方体骰子投掷一次，观察向上一面的点数，则向上一面的点数大于3的概率为 ．
【解答】解：一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数大于3的有4，5，6共3个，
向上一面的点数大于3的概率为．
故答案为：．
13．（4分）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数是 ．
【解答】解：，，，
，
是的角平分线，
，
，
故答案为：．
14．（4分）不等式组的解集是 ．
【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
15．（4分）已知任意两个非零实数，满足，小玲说可以得到．
下面为小玲给出的证明过程：
，第一步
，第二步
即，第三步
，第四步
即，第五步
两边开平方，得，第六步
．
以上证明过程中，开始出现错误的是第 六 步．
【解答】解：由可得，
那么他是从第六步出错的，
故答案为：六．
16．（4分）如图，在菱形中，，对角线，交于点，动点在边上（不与点重合），连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，，现有以下结论：①点，之间的距离为定值；②；③的值可以是；④或．其中正确的是 ②④ ．（写出所有正确结论的序号）
【解答】解：如图，连接，由题可得是的中点，是的中点，
是 的中位线，
，
点在平行于的直线上运动，
点，之 间的距离不为定值，
①说法错误；
当点在线段上时，
四边形是菱形，，
，，，
，
；
当点在线段上时，，
或，
④说法正确；
是的垂直平分线，
，
菱形的对角线，交于点，
，
点，，，在以线段为直径的圆上，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
②说法正确；
当点与 点重合时，取最小值，
此时，
点 不与点重合，，
故③说法错误．为定值，
故取最小值时， 得最小值，
最小值大于，故不可能取到．
故答案为：②④．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：．
【解答】解：
．
18．（8分）如图，在中，延长到点，使得，连接，，若．求证：．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
20．（8分）某校积极倡导人文运动观念，提倡体育与文化、教育的有机结合，提高同学们的身体素质．为了了解本校八、九年级学生每周体育锻炼的时间，随机抽取了八、九年级部分学生，对其每周体育锻炼的时间（单位：进行了统计，汇总得到如下报表（经调查八、九年级学生每周体育锻炼的时间少于
（1）若八年级共有600名学生，估计八年级全体学生中每周体育锻炼时间少于的人数；
（2）通过调查报告能否得出所调查的学生中八年级学生每周体育锻炼总时长大于九年级学生每周体育锻炼总时长？并说明理由；
（3）请写出一条你对学生每周体育锻炼的建议．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为（人，
所调查的八年级学生中每周体育锻炼时间少于的人数为（人，
本次抽样调查的八年级学生人数总数为（人，
八年级全体学生中每周体育锻炼时间少于的人数为（人．
（2）不能，理由如下：
若八年级学生每周体育锻炼时间在、、、的区间内都取最小值，九年级学生每周体育锻炼时间在、、、的区间内都取最大整数值，
则所调查的八年级学生每周体育锻炼的总时长为，
所调查的九年级学生每周体育锻炼的总时长为，
，
所调查的学生中九年级学生每周体育锻炼总时长有可能大于八年级学生每周体育锻炼总时长．
（3）学生应该多进行体育锻炼，有助于增强身体素质．
21．（8分）如图，已知内接于，是的直径，过点作于点，延长，交于点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
【解答】（1）证明：为直径，
，
，
又，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
设，则，
在中，，
即：，
解得：，
，
，
，
，
，
，
．
22．（10分）泉州木偶造型优美，彩绘精致，个性鲜明，具有独特的艺术风格和地方色彩．某店销售，两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话：
（1）求两款木偶工艺品的售价各为多少元；
（2）某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的，为使购买总费用最低，应购买款木偶工艺品和款木偶工艺品各多少件？总费用最低为多少元？
【解答】解：（1）设款木偶工艺品的售价为元，款木偶工艺品的售价为元，
根据题意得：，
解得，
答：款木偶工艺品的售价为20元，款木偶工艺品的售价为25元；
（2）设购买款木偶工艺品件，则购买款木偶工艺品件，总费用为元，
根据题意得：，
购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的，
，
解得，
，
随的增大而减小，
当时，最小，最小值为950，
此时，，
答：应购买款木偶工艺品10件和款木偶工艺品30件，总费用最低为950元．
23．（10分）阅读下列材料，解决问题．
如图1，已知正六边形ABCDEF，要求在正六边形ABCDEF的内部作一个矩形A1B1C1D1，且矩形A1B1C1D1的顶点在正六边形ABCDEF的边上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
小明利用尺规作图只作了部分，如图2所示．
（1）请你根据小明的作图思路，补画出矩形A1B1C1D1；
（2）在（1）的基础上，连接AC，若AC＝4，则线段A1D1的长为 2 ，依据是 三角形中位线定理 ；
（3）如图3，已知正五边形A2B2C2D2E2，在其内部作一个矩形MND2C2，使得点M，N分别在边A2B2，A2E2上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【解答】解：（1）如图：
（2）∵A1是AB的中点，D1是BC的中点，
∴A1D1∥AC，A1D1＝AC＝2，
故答案为：2，三角形中位线定理；
（3）如图：
24．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），点E在边AB上，且∠ADE＝45°，将△DBE绕点D顺时针旋转得到△DGH，且点B的对应点G恰好落在边AB上，DH的延长线交AC于点F，连接EF，交AD于点M．
（1）求∠ADF的度数；
（2）求证：；
（3）的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝45°，
由旋转的性质可知，BD＝GD，
∴△BGD为等腰直角三角形，
∴旋转角∠BDG＝90°，
∴旋转角∠EDF＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣∠ADE＝45°；
（2）证明：∵∠EAF＝90°，
∴△AEF的外接圆是以EF为直径的圆，
∵∠EDF＝90°，
∴△DEF的外接圆是以EF为直径的圆，
∴A，E，D，F共圆，
∴∠AEF＝∠ADF＝45°，
∴∠AEF＝∠B＝45°，
∴EF∥BC，
∴＝＝＝＝，
∵BD＝DG，
∴＝；
（3）是定值；
证明如下：设＝＝＝＝＝k，
∴AE＝kAB，FM＝kCD，
∴BE＝（1﹣k）AB，
∴＝+，
∵∠ADE＝∠B＝45°，∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴AD2＝AE•AB＝kAB2，
∴AD＝AB，
过作AN⊥BC于N，如图：
∴AN＝BN＝CN＝AB，
∴DN＝＝AB，
∴CD＝（±）AB，
∴＝（1﹣k）•+±＝＝＝＝．
25．（14分）已知抛物线y＝m（x﹣n）2+n﹣1经过（1，0），（﹣1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若A，B是抛物线上相异的两点，且A，B两点的横坐标之积为﹣1．
①求证：A，O，B三点共线；
②不与y轴平行的直线AC，BC均与抛物线只有一个公共点，CD⊥x轴，且与抛物线相交于点D，连接AD，BD，AB，小聪研究发现：在△ACD，△ABD，△BCD中存在两个三角形的面积始终相等．请指出面积始终相等的两个三角形，并说明理由．
【解答】（1）解：∵抛物线经过（1，0），（﹣1，0）两点，
∴抛物线的对称轴直线为：x＝0，即y轴，
∴n＝0，
将（1，0）代入抛物线解析式得：m﹣1＝0，
∴m＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣1；
（2）①证明：设A（a，a2﹣1），则B（﹣，﹣1），
设AB所在直线的解析式为：y＝kx+b，
则有：，
解得：k＝，b＝0，
∴直线AB过原点O，
∴A，O，B三点共线；
②解：△ACD和△BCD；
理由如下：设直线AC的解析式为：y＝k1x+b1，
将A点坐标代入得：a2﹣1＝k1a+b1，
∴b1＝a2﹣1﹣k1a，
∴y＝k1x+a2﹣1﹣k1a，
将AC的解析式代入抛物线解析式得：
k1x+a2﹣1﹣k1a＝x2﹣1，
∵直线AC与抛物线只有一个交点A，
∴Δ＝+4（k1a﹣a2）＝0，
∴k1＝2a，
∴b1＝﹣1﹣a2，
∴直线AC的解析式为：y＝2ax﹣1﹣a2，
同理可得，直线BC的解析式为：y＝﹣x﹣1﹣，
联立直线AC和BC的解析式：，
解得：x＝，
∴C（，﹣2），D（，0），
∴CD＝2，
∴S△ACD＝|xA﹣xC|×2＝|xA﹣xC|＝，S△BCD＝|xB﹣xC|×2＝|xB﹣xC|＝，
∴S△ACD＝S△BCD恒成立．
调查主题
中学学年学生每周体育锻炼的时间
调查方式
抽样调查
调查对象
本校八、九年级学生
数据的收集、整理与描述
您每周体育锻炼的时间（记为，单位：是_____

建议
调查主题
中学学年学生每周体育锻炼的时间
调查方式
抽样调查
调查对象
本校八、九年级学生
数据的收集、整理与描述
您每周体育锻炼的时间（记为，单位：是_____

建议