2024年山东省济南市市中区育秀中学中考数学三模前测试

这是一份2024年山东省济南市市中区育秀中学中考数学三模前测试，共30页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．﹣2B．
C．D．0.1010010001
2．（4分）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）根据中国航天局提供的资料，天和核心舱组合体运行轨道参数是：远地点高度约394900米；近地点高度约384000米；将数据394900用科学记数法可以表示为（ ）
A．39.49×104B．0.3949×106
C．3.949×105D．3.949×106
4．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0B．a+b＞0C．|a|＜|b|D．a+1＜b+1
5．（4分）如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得∠2＝58°，则∠1的度数为（ ）
A．22°B．32°C．42°D．62°
6．（4分）小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC、AD的中点，连接EF，已知BC＝12，则EF的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车？设共有x辆车，则（ ）
A．3（x﹣2）＝2x+9B．3（x+2）＝2x﹣9
C．D．
9．（4分）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1＝10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式，F＝pS，1000Pa＝1kPa），则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12Ω
10．（4分）已知抛物线P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二.填空题（共6小题）
11．（4分）分解因式4xy﹣6x2＝ ．
12．（4分）函数的自变量x的取值范围为 ．
13．（4分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
14．（4分）一个正多边形的一个内角与一个外角的差是90°，则这个多边形的内角和为 ．
15．（4分）如图，把边长为2的菱形ABCD放在平面直角坐标系中，边AB在x轴上，∠DAB＝60°，点A的坐标是（3，0），E是边CD的中点，反比例函数的图象经过点E，则k的值是 ．
16．（4分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC+BD＝10，点M和点N分别是BD和AC的中点，BA和CD的延长线交于点P，则△PMN面积的最大值等于 ．
三.解答题（共10小题）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．
19．（6分）如图，平行四边形ABCD中，E，F是直线AC上两点，且AE＝CF．
求证：DF＝BE．
20．（8分）为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB∥CD∥l，车轮半径为32cm，∠ABC＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为10cm．
（1）求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为84cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin64°≈0.90，cs64°≈0.44，tan64°≈2.05）
21．（8分）为获得中学生对春节习俗的了解情况，某中学分别从八、九年级学生中随机抽取了20名学生进行测试，并对数据（成绩，单位：分）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
八年级学生成绩的统计表和扇形统计图如下：
统计表
八年级学生成绩中C等级的数据分别是：72，75，77，74，75，78．
九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）扇形统计图中C等级所对应圆心角的度数为 ；
（3）根据信息推断，哪个年级的学生对春节习俗了解得更好？并选择一个统计量说明理由；
（4）该中学八、九年级学生各有600名，估计八、九年级学生中对春节习俗的了解达到优秀的共有多少人？
22．（8分）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB边上，以点O为圆心，OA的长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC和AB边于点F和E，连接AD，FD，ED．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）若CD＝1，求图中阴影部分的面积．
23．（10分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？
24．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线与反比例函数的图象交于A（3，m），B两点．
（1）求直线AB的函数表达式及点B的坐标；
（2）如图1，过点A的直线分别与x轴，反比例函数的图象（x＜0）交于点M，N，且，连接BM，求△ABM的面积；
（3）如图2，点D在另一条反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，连接DC交该反比例函数图象于点E，且DE＝2EC，再连接AD，BC，若此时四边形ABCD恰好为平行四边形，求k的值．
25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝4，，E为AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG．
（1）若AB＝EF，BC＝CE，则＝ ；∠AMB＝ ．
（2）在（1）的条件下，证明点M是AF的中点．
（3）如图2，若，AB＝4，连接BE，BF，求2BE+BF的最小值．
26．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）当a＝1时，该函数图象的对称轴为直线x＝1，与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）．
①求该函数的表达式；
②点P是直线BC下方的抛物线图象上的动点，PQ⊥BC于点Q，当PQ取最小值时，求点P坐标；
（2）若，已知点，点，若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点时，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．﹣2B．
C．D．0.1010010001
【解答】解：是无理数；
﹣2，，0.1010010001是有理数．
故选：C．
2．（4分）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（4分）根据中国航天局提供的资料，天和核心舱组合体运行轨道参数是：远地点高度约394900米；近地点高度约384000米；将数据394900用科学记数法可以表示为（ ）
A．39.49×104B．0.3949×106
C．3.949×105D．3.949×106
【解答】解：394900＝3.949×105．
故选：C．
4．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0B．a+b＞0C．|a|＜|b|D．a+1＜b+1
【解答】解：A选项，∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故该选项不符合题意；
B选项，∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，故该选项不符合题意；
C选项，|a|＞|b|，故该选项不符合题意；
D选项，∵a＜b，
∴a+1＜b+1，故该选项符合题意；
故选：D．
5．（4分）如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得∠2＝58°，则∠1的度数为（ ）
A．22°B．32°C．42°D．62°
【解答】解：∵矩形直尺对边平行，
∴∠3＝∠2＝58°，
∴∠1＝90°﹣58°＝32°．
故选：B．
6．（4分）小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种，
∴小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为，
故选：C．
7．（4分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC、AD的中点，连接EF，已知BC＝12，则EF的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，BC＝12，
∴，
∵E、F分别是AC、AD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴，
故选：A．
8．（4分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车？设共有x辆车，则（ ）
A．3（x﹣2）＝2x+9B．3（x+2）＝2x﹣9
C．D．
【解答】解：由题意可得，
3（x﹣2）＝2x+9，
故选：A．
9．（4分）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1＝10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式，F＝pS，1000Pa＝1kPa），则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12Ω
【解答】解：A、由图3可知，水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa，
故A正确，不符合题意；
B、当报警器刚好开始报警时，根据欧姆定律可知此时电路的电阻：R＝＝＝20（Ω），
比时压敏电阻的阻值：R2＝R﹣R1＝20Q﹣10Q＝10Ω，由乙图可知此时压敏电阻受到压力为80N，
故B不正确，符合题意；
C、当报警器刚好开始报警时，则水箱受到的压强为P＝＝＝8000（Pa），
则水箱的深度为h＝＝＝0.8（m），
故C正确，不符合题意；
D、水深为lm时，压敏电阻受到的压强：P＝ρgh＝1.0×103×10×l＝10000（Pa），
此时压敏电阻受到的压力：F＝PS＝10000×0.01＝100（N），
由图2可知此时压敏电阻的阻值为8Ω，
由B知当报警器刚好开始报警时，电路总电阻为20Q，
根据串联电路电阻规律可知选用的定值电阻的阻值：R1＝R﹣R2＝20﹣8＝12．
故D正确，不符合题意．
故选：B．
10．（4分）已知抛物线P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设抛物线P'上任意一点（x，y），
则点（x，y）原点旋转180°后对应的点为（﹣x，﹣y），
∴﹣y＝x2﹣4ax﹣3，
∴抛物线P'的解析式为y＝﹣x2+4ax+3，
∵y＝﹣x2+4ax+3＝﹣（x﹣2a）2+4a2+3，
当x＝2a时，y有最大值4a2+3，
∵1≤x≤3，
①当2a＜1时，即a＜，x＝1时y有最大值，
∴2+4a≤3，
∴a≤，
此时a≤；
②当2a＞3时，即a＞，x＝3时y有最大值，
∴﹣6+12a≤3，
∴a≤，
此时a不存在；
③当1≤2a≤3时，即≤a≤，x＝2a时y有最大值，
∴4a2+3≤3
∴a＝0，
此时a不存在；
综上所述：0＜a≤，
故选：A．
二.填空题（共6小题）
11．（4分）分解因式4xy﹣6x2＝ 2x（2y﹣3x） ．
【解答】解：原式＝2x（2y﹣3x），
故答案为：2x（2y﹣3x）．
12．（4分）函数的自变量x的取值范围为 x≥3 ．
【解答】解：由题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3．
13．（4分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＞﹣且m≠1 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得m＞﹣且m≠1．
故答案为：m＞﹣且m≠1．
14．（4分）一个正多边形的一个内角与一个外角的差是90°，则这个多边形的内角和为 1080° ．
【解答】解：设这个正多边形的一个内角为x°，则一个外角为（180°﹣x°），
根据题意得，x﹣（180﹣x）＝90，
解得：x＝135，
则180°﹣x°＝45°，
135°×（360÷45）
＝135°×8
＝1080°．
故答案为：1080°．
15．（4分）如图，把边长为2的菱形ABCD放在平面直角坐标系中，边AB在x轴上，∠DAB＝60°，点A的坐标是（3，0），E是边CD的中点，反比例函数的图象经过点E，则k的值是 5 ．
【解答】解：连接BD，BE，
∵菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝2，CD∥AB，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是边CD的中点，
∴BE⊥CD，
∴BE＝BC＝，EB⊥AB，
∵点A的坐标是（3，0），
∴OA＝3，
∴OB＝5，
∴E（5，），
∵反比例函数y＝的图象经过点E，
∴k＝5×＝5，
故答案为：5．
16．（4分）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC+BD＝10，点M和点N分别是BD和AC的中点，BA和CD的延长线交于点P，则△PMN面积的最大值等于 ．
【解答】解：连接CM，
∵点M是BD的中点，
∴S△ABM＝，S△BCM＝，
∴S△ABM+S△BCM＝＝，
∵点M是BD的中点，
∴S△CPM＝S△MPD+S△MCD＝＝，
∵点N是AC的中点，
∴S△CPN＝，S△CMN＝，
∴S△PMN＝S△CPM﹣S△CPN﹣S△CMN
＝
＝
＝（S△ABM+S△BCM）
＝
＝S四边形ABCD，
∵AC⊥BD，
∴S四边形ABCD＝AC•BD，
∵AC+BD＝10，
∴AC2+BD2+4AC•BD﹣2AC•BD≥4AC•BD，即AC2+BD2+2AC•BD≥4AC•BD，
∴4AC•BD≤（AC+BD）2，
∴AC•BD≤＝25，
∴S四边形ABCD＝AC•BD＝，
故答案为：．
三.解答题（共10小题）
17．（6分）计算：．
【解答】解：
＝2﹣2×﹣1+
＝2﹣﹣1+
＝1．
18．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．
【解答】解：，
解不等式①得x≥﹣2，
解不等式②得x＜1，
所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，
所以不等式组的所有整数解为：﹣2，﹣1，0．
19．（6分）如图，平行四边形ABCD中，E，F是直线AC上两点，且AE＝CF．
求证：DF＝BE．
【解答】证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD
∴∠ACD＝∠CAB．
在△CFD与△AEB中，
，
∴△CFD≌△AEB（SAS），
∴DF＝BE．
20．（8分）为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB∥CD∥l，车轮半径为32cm，∠ABC＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为10cm．
（1）求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为84cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′，求EE′的长．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin64°≈0.90，cs64°≈0.44，tan64°≈2.05）
【解答】解：过点E作EG⊥CD于点G，
∴∠EGC＝90°．
∵BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为10cm，
∴CE＝70（cm）．
∵∠ABC＝64°，AB∥CD，
∴∠ECD＝64°．
∴EG＝EC•sin64°≈70×0.90＝63（cm）．
∵CD∥l，CF⊥l，l与⊙D相切，车轮半径为32cm，
∴CF＝32（cm）．
∴坐垫E到地面的距离为：63+32＝95（cm）．
答：坐垫E到地面的距离为95cm；
（2）过点E′作E′G′⊥CD于点G′，
∴∠E′G′C＝90°．
∵小明的腿长约为84cm，
∴E′G′＝84×0.8＝67.2（cm）．
∵∠ECD＝64°，
∴CE′＝＝≈74.67（cm）．
∴EE′＝CE′﹣CE＝74.67﹣70＝4.67≈4.7（cm）．
答：EE′长4.7cm．
21．（8分）为获得中学生对春节习俗的了解情况，某中学分别从八、九年级学生中随机抽取了20名学生进行测试，并对数据（成绩，单位：分）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
八年级学生成绩的统计表和扇形统计图如下：
统计表
八年级学生成绩中C等级的数据分别是：72，75，77，74，75，78．
九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ 4 ，b＝ 6 ；
（2）扇形统计图中C等级所对应圆心角的度数为 108° ；
（3）根据信息推断，哪个年级的学生对春节习俗了解得更好？并选择一个统计量说明理由；
（4）该中学八、九年级学生各有600名，估计八、九年级学生中对春节习俗的了解达到优秀的共有多少人？
【解答】解：（1）b＝20×30%＝6，
a＝20﹣2﹣6﹣6﹣2＝4，
故答案为：4，6；
（2）扇形统计图中C等级所对应圆心角的度数为360°×＝108°，
故答案为：108°；
（3）九年级的学生对春节习俗了解得更好，
理由：∵八年级学生的优秀率是×100%＝30%，
30%＜45%，
∴九年级的学生对春节习俗了解得更好；
（3）600×30%+600×45%＝450（人），
答：估计八、九年级学生中对春节习俗的了解达到优秀的共有450人．
22．（8分）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB边上，以点O为圆心，OA的长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC和AB边于点F和E，连接AD，FD，ED．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）若CD＝1，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：如图，连接OD．
∵⊙O与BC相切于点D，
∴∠ODB＝90°＝∠C．
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠CAD．
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA．
∴∠BAD＝∠CAD．
∴AD平分∠BAC；
（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC＝45°．
由（1）可知OD∥AC，
∴∠BOD＝∠BAC＝45°．
∴OD＝BD．
设BD＝x，OB＝x，
∴BC＝AC＝x+1，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴2（x+1）2＝（x+x）2，
∴x＝，即BD＝OD＝，
∴图中阴影部分的面积为S△BOD﹣S扇形EOD＝××﹣＝1﹣．
23．（10分）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？
【解答】解：（1）设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是（x+0.2）万元，
由题意得：＝，
解得：x＝0.6，
经检验，x＝0.6是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.2＝0.6+0.2＝0.8，
答：甲型充电桩的单价是0.8万元，乙型充电桩的单价是0.6万元；
（2）解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为（15﹣m）个，
由题意得：15﹣m≤2m，
解得：m≥5，
设所需费用为w万元，
由题意得：w＝0.8m+0.6×（15﹣m）＝0.2m+9，
∵0.2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝5时，w取得最小值＝0.2×5+9＝10，
答：购买这批充电桩所需的最少总费用为10万元．
24．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线与反比例函数的图象交于A（3，m），B两点．
（1）求直线AB的函数表达式及点B的坐标；
（2）如图1，过点A的直线分别与x轴，反比例函数的图象（x＜0）交于点M，N，且，连接BM，求△ABM的面积；
（3）如图2，点D在另一条反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，连接DC交该反比例函数图象于点E，且DE＝2EC，再连接AD，BC，若此时四边形ABCD恰好为平行四边形，求k的值．
【解答】解：（1）将A（3，m）代入反比例函数y＝得，m＝4，
∴A（3，4），
将点A（3，4）代入y＝﹣x+b得，b＝6，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6，
联立直线y＝﹣x+6与反比例函数y＝得，
，解得，
∴点B的坐标为（6，2）；
（2）过点A作AP⊥x轴于P，过点N作NQ⊥AP于Q，设AB与x轴交于H，
∴MP∥NQ，
∴，
∵A（3，4），
∴AP＝4，
∴PQ＝3，
∴N（﹣4，﹣3），
设线AM的解析式为y＝k′x+b′，
∴，解得，
∴直线AM的解析式为y＝x+1，
令y＝0，则x＝﹣1，
∴M（﹣1，0），
∵直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6，
令y＝0，则x＝9，
∴H（9，0），
∴S△ABM＝S△AHM﹣S△BHM＝×4×（1+9）﹣×2×（1+9）＝10；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴设直线CD的解析式为y＝﹣x+t，
令y＝0，则x＝t，
∴C（t，0），
∵A（3，4），B（6，2），
∴D（t﹣3，2），
∵DE＝2EC，
∴，
过D作DG⊥x轴于G，过点E作EF⊥x轴于F，
∴DG∥EF，
∴△CEF∽CDG，
∴，
∴，，
∴EF＝，OF＝t﹣1，
∴E（t﹣1，），
∵D，E都在另一条反比例函数（k＞0）的图象上，
∴k＝（t﹣1）＝2（t﹣3），
∴t＝，
∴k＝×（×﹣1）＝2．
25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝4，，E为AD上一点，以CE为边，在其右侧作矩形CEFG．
（1）若AB＝EF，BC＝CE，则＝ ；∠AMB＝ 30° ．
（2）在（1）的条件下，证明点M是AF的中点．
（3）如图2，若，AB＝4，连接BE，BF，求2BE+BF的最小值．
【解答】（1）解：如图1，
连接AC，CF，CM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴tan∠ACB＝，
∴∠ACB＝30°，
同理可得：∠ECF＝30°，
∴∠ACB＝∠ECF，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECF+∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACF，
∵，
∴△ACF∽△BCE，
∴，∠CAF＝∠CBE，
∴点A、B、C、M共圆，
∴∠AMB＝∠ACB＝30°，
故答案为：；
（2）由（1）得，
点A、B、C、M共圆，
∴∠AMC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠AMC＝90°，
∴CM⊥AF，
∵AC＝CF，
∴点M是AF的中点；
（3）解：如图2，
以B为原点，OA所在的直线为y轴，以BC所在的直线为x轴建立坐标系，
∵，AB＝4，
∴BC＝4，
作EG⊥BC于G，作FH⊥EG于H，
∴∠H＝∠EGC＝90°，
∴∠EFH＝∠HEF＝90°，
∵∠FEC＝90°，
∴∠HEF+∠CEG＝90°，
∴∠HFE＝∠CEG，
∴△EGC∽△FHE，
∴，
设AE＝m，则CG＝DE＝4，
∵EG＝AB＝4，
∴FH＝EG＝4，EH＝CG＝（4）＝12﹣，
∴AE+EH＝m+4，GH＝EG+EH＝16﹣，
∴F（m+4，16﹣），
∴BE+BF＝＝＝，
如图3，
＝的几何意义是：直角坐标系中，点W（m，0）到V（0，4）和R（3，7）的距离之和，
取R（0，﹣4），连接RT，交x轴于W，此时VW+WT最小，最小值为：＝2，
∵2BE+BF＝2（BE+BF），
∴2BE+BF的最小值为：4．
26．（12分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）当a＝1时，该函数图象的对称轴为直线x＝1，与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）．
①求该函数的表达式；
②点P是直线BC下方的抛物线图象上的动点，PQ⊥BC于点Q，当PQ取最小值时，求点P坐标；
（2）若，已知点，点，若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点时，求a的取值范围．
【解答】解：（1）①当a＝1时，y＝x2+bx+c，
∵函数图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，﹣3），
∴，
解得，
∴该函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
②过P作PH∥y轴交BC于H，如图：
在y＝x2﹣2x﹣3中，令y＝0得0＝x2﹣2x﹣3，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴B（3，0），OB＝3，
∵C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，直线BC解析式为y＝x﹣3，
∴∠BCO＝∠CBO＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠PHQ＝∠BCO＝45°，
∴△PHQ是等腰直角三角形，
∴PQ＝PH，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则H（m，m﹣3），
∴PH＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴PQ＝（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，PH取最小值，
∴P的坐标为（，﹣）；
（2）∵a＝﹣＝，
∴b＝﹣4a，c＝3a，
∴y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，
∴抛物线顶点为（2，﹣a），
在y＝ax2﹣4ax+3a中，令y＝0得x＝1或x＝3，
∴抛物线与x轴交点为（1，0），（3，0），
当抛物线y＝ax2﹣4ax+3a过点M（2，+2）时，+2＝4a﹣8a+3a，
解得a＝﹣，
如图：
根据|a|越大，抛物线y＝ax2+bx+c的开口越小和图可知，当a≤﹣时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点；
当抛物线y＝ax2﹣4ax+3a过点M（4，+2）时，+2＝16a﹣16a+3a，
解得a＝，
如图：
由图可知，当a≥时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点；
综上所述，当a≤﹣或a≥时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点．等级
成绩x（分）
人数
A
90≤x≤100
2
B
80≤x＜90
a
C
70≤x＜80
6
D
60≤x＜70
b
E
60分以下
2
平均数
中位数
众数
优秀率
80
80
77
45%
等级
成绩x（分）
人数
A
90≤x≤100
2
B
80≤x＜90
a
C
70≤x＜80
6
D
60≤x＜70
b
E
60分以下
2
平均数
中位数
众数
优秀率
80
80
77
45%