重庆市部分区2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题卷

这是一份重庆市部分区2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题卷，共9页。试卷主要包含了考试时间，已知复数，则，已知不重合的直线和平面，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.考试时间：120分钟，满分：150分.试题卷总页数：4页.
2.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷､草稿纸上答题无效.
3.需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑.需要书写的地方一律用0.5mm签字笔.
4.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的虚部是（ ）
A. B.1 C. D.
2.某学校有小学生270人，初中生人，高中生810人.为了调查学校学生的近视率，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为360的样本，且从初中生中抽取的人数为120人，则为（ ）
A.270 B.360 C.450 D.540
3.若一个扇形的半径为1，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A.15 B.30 C. D.
4.设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
6.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：
乙：
则下列结论正确的是（ ）
A.甲成绩的平均数较小 B.乙成绩的中位数较小
C.乙成绩的极差较大 D.乙比甲的成绩稳定
7.如图所示的平行四边形中，满足为的中点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是（ ）
①与异面；
②三棱锥的体积为定值；
③平面截正方体所得的截面图形始终是四边形；
④平面与平面所成的角为定值.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，则（ ）
A. B.
C.在复平面内对应的点在第二象限 D.
10.已知不重合的直线和平面，则（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则直线过点
11.已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.的图象关于点对称
B.若在区间单调递增且，则的取值范围为
C.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
D.若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.__________.
13.一个正方体的顶点都在表面积为的球面上，则正方体的棱长为__________.
14.已知中，则外接圆的半径为__________；线段的最大值为__________.
四､解答题：本题共有5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知，且.
（1）求的值：
（2）求向量与向量夹角的余弦值.
16.（15分）
我国是世界上严重缺水的国家，某区为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率直方图.
（1）求直方图中的值；
（2）设该区有70万居民，估计全区居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
（3）若该区政府希望使的居民每月的用水量不超过标准吨，估计的值，说明理由.
17.（15分）
已知函数.
（1）求函数的解析式和周期，并求其图象的对称轴方程；
（2）求函数在上的单调递减区间.
18.（17分）
如图，在平面四边形中，.
（1）求的值；
（2）求的正弦值；
（3）若，求中边上高的长度.
19.（17分）
如图，在五面体中，.
（1）证明：；
（2）给出①；②；③平面平面.试从中选两个作为条件，剩下一个作为结论，可以让推理正确，请证明你的推理；
（3）在（2）中推理正确的前提下，求直线与平面夹角的正切值.
重庆市部分区2023~2024学年度第二学期期末联考
高一数学参考答案及评分标准
一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
三､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共15分.
12.； 13.1； 14.；.（第一问2分，第二问3分）
四､解答题：本题共有5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､演算步骤.
15.（13分）
解：（1）因为，
则
因为，则有，解得.
（2）可知，
设与的夹角为，则
所以，向量与向量夹角的余弦值.
16.（15分）
解：（1）由频率直方图可知，月均用水量在的频率为.
同理在的频率分别为，
.
由，
解得
（2）由（1）知，该区100位居民月均用水量不低于3吨的频率为.
由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
（3）因为前6组的频率之和为，
前5组的频率之和为
所以，由，解得
因此，估计月均用水量标准为2.8吨时，82%的居民每月的用水量不超过标准.
17.（15分）
解：（1）
函数图象的周期
由，解得；
所以，函数图象的对称轴方程为.
（2）当时，有，要使单调递减，
则需要，解得，
故函数在上的单调递减区间为；
18.（17分）
解：（1）在中，由余弦定理得
即，所以.
（2）在中，由正弦定理得，
即，解得，
因为，所以为锐角，所以
所以
（3）由
在中，由余弦定理得
又的面积为，
的边上高的大小为
19.（17分）
解：（1）证明：因为面面，所以面.
又因为面，面面，所以.
（2）解：条件①②，结论③：
证明；且，故四边形是平行四边形，故，
因为，所以，
又平面，
所以面，而面，故平面平面；
条件①③，结论②：
证明：且，故四边形是平行四边形，故，由可得.
因为面面，面面面，
所以面.
而面，因为，故.
若条件②③，结论①：
由于且，故四边形是平行四边形，故，
若，则，由于面面，无法推导平面，
不能推出，
下面求直线和平面夹角的正切值：
连接直线
因为，所以平面
所以为直线和平面所成的角
在中，.
因为，所以平面
所以，
因为平面，所以，
直线和平面夹角的正切值为.1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
C
B
C
D
A
C
9
10
11
ABD
BCD
BCD