广州市第二中学 2023 学年第二学期期末考试高二数学试卷及参考答案

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一、单项选择题： 1. C 2．A 3．D 4.D 5．D 6. B 7.A 8.A
6.【详解】设球的半径为，圆台的上、下底面半径分别为，，
由于，
则圆台的高、母线长分别为，，
设外接球的表面积为，圆台表面积为，
由表面积公式知，
则外接球的体积为，圆台的体积为，.故选：B
8.【详解】因为为偶函数，所以①，
因为，所以，
结合①有②，
因为为奇函数，所以，所以，
结合②有，所以，所以，
所以的周期为8．因为，所以，
同理，由，得，
所以，，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，所以，
所以的周期为8，所以，
由，得，
由，得，所以，
所以．故选：A.
二、多选题：9． BCD 10.ABD 11.BD
10.【详解】由题意得，
当时，，得，
令，得，令，得；
所以在单调递减，在单调递增，所以的极小值点为1，
又是定义在上的奇函数，所以的极大值点为，故A对；
当时，则，所以，
又是定义在上的奇函数，所以，所以
分别画出和的图象，
得函数的零点个数为3，B对；
令，得或或，
令，得，或，
如图，分别画出的图象，
由图可知：函数的零点个数为7， D 对；
令，则，
故C错；
11.【详解】因为双曲线的渐近线为，设双曲线方程为，
代入点，可得，所以双曲线方程为，可得，所以离心率为，故A错误，B正确；
因为，设，因为，且为的角平分线，
所以，且，故C错误；
因为，当时，整理得，
则，可得，
即切点坐标为，切线斜率，
则切线方程为，令，整理得，
又因为，可得，所以点Q的坐标为，故D正确；故选：BD.
三、填空题： 12.60 13. 14.
14【详解】每个班被取出的概率为，取第个班中取三次的方法有种；第三次取出的人为男生的方法，如下四种情况：
男男男：种；
女男男：种；
男女男：种；
女女男：种；
所以，第三次取出为男生的方法数：
，
综上，第个班中第三次取出的人为男生的概率，
所以，任选一个班第三次取出的人恰为男生的概率，
则，即，可得.
四、解答题：
15．【详解】（1）在中，，
由正弦定理得， 1分 ．2分
又，， 3分
，，，，． 6分
（2）在中，，，，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，解得（负值舍去）， 11分
的面积为． 13分
16．【解析】（1）由题可得，因为曲线在处的切线方程为，所以 2分 即则．3分
（2）令，则，令，解得，当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
因此，则，故 6分
（3）因为对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立， 7分
令，，则 10分
由（2）可知当时，恒成立，
令，可得；令，可得，
则在上单调递減，在上单调递增．
因此，则，
故实数的取值范围为． 15分
17. 【解析】（1）在三棱柱中，，，则，
由，，得，
在中，，，，
由余弦定理，
得，，
于是，由平面，平面，得，
而，，平面，因此平面，
又平面，所以， 6分
（2）由（1）知，，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由，，得，
则，，，
于是，，
设为平面的一个法向量，
则，取，得，11分 显然为平面的一个法向量，12分 因此，14分 所以平面和平面夹角的余弦值为. 15分
18.【解析】（1）将点代入双曲线1，可得，解得，所以双曲线的方程为． 2分
（2）设点的坐标为且，则1，即，
又双曲线的两条浙近线分别为，，
则点到两浙近线的距离分别为，，
故，
即点到双曲线的两条浙近线的距离之积为定值．6分
（3）（i）若直线的斜率不存在，此时直线与双曲线右支无公共点，不满足题意，所以直线的斜率存在，7分设直线的方程为，联立方程组整理得，8分
则满足9分
因为恒成立，所以，，
即解得，
所以斜率的取值范围为． 10分
（ii）设，，则，，
设点的坐标为，由可得，13分
整理得，
代入得，解得．
将代入，解得，
则， 16分
所以点恒在一条定直线上． 17分
19. 【解析】（1）是等差数列，
∴设，
令，
则是等差数列，是等比数列，所以数列是“优分解”的．3分
（2）因为数列是“优分解”的，设，
其中，
则．
当时，
当时，是首项为，公比为的等比数列．8分
（3）一方面，数列是“优分解”的，设，
其中，
由（2）知
因为，
所以．
是首项为2，公比为的等比数列．
另一方面，因为是“优分解”的，设，
其中，
是首项为2，公比为的等比数列，
，且，
化简得
即数列是首项，公比为的等比数列．
又，
又
∴解得，
综上所述，． 17分