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华东师大版初中数学九年级上册第22章一元二次方程素养综合检测课件
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这是一份华东师大版初中数学九年级上册第22章一元二次方程素养综合检测课件，共37页。
九年级 上册 华东师大版初中数学第22章 素养综合检测(满分100分, 限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共24分)1.(2024吉林长春五十二中赫行实验学校月考)下列属于一元 二次方程的是 ( )A.x2-3x+y=0 B.x2+2x= C.x2+5x=0 D.x(x2-4x)=3C2.(2024山西晋城模拟)配方法是解一元二次方程的一种基本 方法,其本质是将一元二次方程由一般式ax2+bx+c=0(a≠0) 化为(x+m)2=n(n≥0)的形式,然后利用开方求一元二次方程的 解的过程,这个过程体现的数学思想是 ( )A.数形结合思想 B.函数思想C.转化思想 D.公理化思想C解析 方程的形式发生转变,但其本质未变,体现的是转化思 想.3.(整体思想)(2024重庆一中月考)若x=2是方程ax2-bx-1=0的 解,则代数式2a-b+1的值为 ( )A.- B.0 C. D. D4.(情境题·现实生活)(2024河南周口郸城期中)2023年5月13日,贵州榕江和美乡村足球超级联赛拉开序幕,这个被称为贵 州“村超”的民间足球赛持续升温,吸引全国各地球迷现场 “打卡”.某学校开办学校足球联赛,规定每两个班级之间都 要进行一场比赛,共要比赛15场.设参加比赛的班级有x支,根 据题意,下面列出的方程正确的是 ( )A.x(x+1)=15 B.x(x-1)=15C. x(x+1)=15 D. x(x-1)=15D解析 利用比赛的总场数=参加比赛的班级数×(参加比赛的 班级数-1)÷2,可得到一元二次方程 x(x-1)=15.5.(新考向·新定义试题)(2024福建泉州实验中学期中)定义运算:a☆b=a2+ab-b,例如:3☆2=32+3×2-2=13,则方程x☆2 022=1 的根为 ( )A.x1=1,x2=-2 023 B.x1=1,x2=2 023C.x1=-1,x2=-2 023 D.x1=-1,x2=2 023A解析 根据题中的新定义得x2+2 022x-2 022=1,∴x2+2 022x-2 023=0,分解因式得(x-1)(x+2 023)=0,∴x-1=0或x+2 023=0,解 得x1=1,x2=-2 023.6.(易错题)(2024河南南阳邓州月考)在平面直角坐标系中,若直线y=-x+m不经过第一象限,则关于x的方程mx2+x+1=0的实数根的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.1或2D解析 本题易因漏掉m=0的情况而致错.∵直线y=-x+m不经 过第一象限,∴m≤0.当m=0时,方程mx2+x+1=0是一次方程,有 一个根;当m<0时,关于x的方程mx2+x+1=0中,Δ=12-4m>0,∴关 于x的方程mx2+x+1=0有两个不相等的实数根.故方程有1或2 个实数根.7.(2024河南南阳社旗期中)如果m、n是一元二次方程x2-x=3 的两个实数根,那么多项式2n2-mn+2m的值是 ( )A.13 B.11 C.7 D.5B解析 x2-x=3整理得x2-x-3=0,∵m、n是一元二次方程x2-x-3= 0的两个实数根,∴m+n=1,mn=-3,n2=n+3,∴2n2-mn+2m=2(n+3) -mn+2m=2(m+n)-mn+6=2+3+6=11.8.(新独家原创)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0) 有一根为2 024,则关于x的一元二次方程c(x-1)2+b(x-1)+a=0 (ac≠0)必有一根为 ( )A. B.- C.2 025 D.-2 024A解析 把x=2 024代入一元二次方程ax2+bx+c=0得2 0242a+2 024b+c=0,两边同时除以2 0242得a+ b+ c=0,即 c+ b+a=0.令y=x-1,∴方程c(x-1)2+b(x-1)+a=0可化为cy2+by+a=0(ac≠0),∴该方程有一根为 ,∴x-1= ,解得x= .二、填空题(每小题4分,共20分)9.(2023江苏泰州中考)关于x的一元二次方程x2+2x-1=0的两 根之和为 .-210.(新考向·过程性学习试题)(2024河南信阳浉河三模)小明 在解方程x2-3x+2=0时,发现用配方法和公式法计算量都比较 大,因此他又想到了另外一种方法,快速解出了答案,方法如 下:解:∵x2-3x+2=0,∴x2-2x-x+2=0,①∴x2-2x=x-2,②∴x(x-2)=x-2,③∴x=1.④老师看到后,夸小明很聪明,方法很好,但是有一步做错了,小 明出错的步骤为 (填序号).④解析 ∵x2-3x+2=0,∴x2-2x-x+2=0,∴x(x-2)-(x-2)=0,∴(x-2)(x- 1)=0,∴x-2=0或x-1=0,∴x=2或x=1.11.(2023湖北孝感中考)已知一元二次方程x2-3x+k=0的两个 实数根为x1,x2,若x1x2+2x1+2x2=1,则实数k= .-512.(动点问题)(2024河北唐山遵化期中)如图,在直角三角形 ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=6 cm,点P从点B开始沿BA以1 cm/s的速度向点A运动,同时,点Q从点B开始沿BC以2 cm/s的 速度向点C运动.当运动时间t= 时,四边形ACQP的 面积为△PQB面积的 . 3解析 当运动时间为t s时,BP=t cm,BQ=2t cm,由题意得 ×5×6- ·t·2t= × ·t·2t,整理得t2=9,解得t1=3,t2=-3(不符合题意,舍去),即当t=3时,四边形ACQP的面积为△PQB面积的 .13.(最值问题)(2023江苏连云港中考)若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+ 3(x、y为实数),则W的最小值为 .-2解析 W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3=x2+4x2-4xy+y2-2y+8x+3=4x2-4 xy+y2-2y+x2+8x+3=(4x2-4xy+y2)-2y+x2+8x+3=(2x-y)2-2y+x2+4x+ 4x+3=(2x-y)2+4x-2y+x2+4x+3=(2x-y)2+2(2x-y)+1-1+x2+4x+4-4+ 3=[(2x-y)2+2(2x-y)+1]+(x2+4x+4)-2=(2x-y+1)2+(x+2)2-2,∵x,y 均为实数,∴(2x-y+1)2≥0,(x+2)2≥0,∴原式W≥-2,即W的最小 值为-2.三、解答题(共56分)14.(2024山西长治潞州期中)(9分)按要求解下列方程: (1)x2-2x-24=0(配方法);(2)(2x-3)2=10x-15(因式分解法);(3)3x2+2x-3=0(公式法).解析 (1)移项,得x2-2x=24,配方,得x2-2x+1=24+1,即(x-1)2=25,开平方,得x-1=±5,解得x1=-4,x2=6.(2)整理原方程,得(2x-3)2=5(2x-3),移项,得(2x-3)2-5(2x-3)=0,因式分解,得(2x-3)(2x-3-5)=0,∴2x-3=0或2x-3-5=0,解得x1= ,x2=4.(3)∵a=3,b=2,c=-3,∴b2-4ac=22-4×3×(-3)=40,∴x= = ,即x1= ,x2= .15.(情境题·革命文化)(2024湖南张家界桑植期中)(7分)在全 国各地积极开展“弘扬红色文化,重走长征路”主题教育学 习活动的背景下,位于我县的“红二方面军长征出发地纪念 馆”成为重要的教育学习活动基地.据了解,8月份该基地的 参观人数为10万,10月份的参观人数增加到12.1万.(1)求这两个月参观人数的月平均增长率.(2)按照这个增长率,预计11月份的参观人数能否突破13.5万.解析 (1)设这两个月参观人数的月平均增长率为x,依题意 得10(1+x)2=12.1,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去),故 这两个月参观人数的月平均增长率为10%.(2)12.1×(1+10%)=13.31(万人),13.31<13.5,∴11月份的参观人数不能突破13.5万.16.(最值问题)(2024福建宁德古田期中)(8分)关于x的一元二 次方程x2-4x+k+2=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果x1,x2是方程的两个解,令w=x1 + x2+k,求w的最大值.解析 (1)∵关于x的一元二次方程x2-4x+k+2=0有实数根,∴Δ =b2-4ac=(-4)2-4×1×(k+2)≥0,解得k≤2,∴k的取值范围为k≤2.(2)∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2-4x+k+2=0的两个解,∴x1 +x2=4,x1x2=k+2.∴w=x1 + x2+k=x1x2(x1+x2)+k=4(k+2)+k=5k+8,∴k=2时,w的最大值为5×2+8=18.17.(新考向·开放型试题)(2024吉林长春双阳期中)(10分)阅读 材料,并回答问题.观察方程及其根的特征:①方程39x2+2x- =0的根是x1=- ,x2=- ;方程y2+2y-3=0的根是y1=-3,y2=1.②方程56x2+2x- =0的根是x1=- ,x2=- ;方程y2+2y-8=0的根是y1=-4,y2=2.……猜想:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与方程y2+by+ac=0的根之间 的关系是x= .(1)请你证明材料中的猜想;(2)依照材料中的解题方法,解方程:30x2-3x+ =0.解析 (1)证明:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根为x= ,方程y2+by+ac=0的根为y= ,所以x= · = ·y,即x= .(2)方程30x2-3x+ =0与方程y2-3y+2=0的根的关系为x= ,解方程y2-3y+2=0得y1=1,y2=2,所以x1= ,x2= .18.(2023河南南阳宛城月考)(10分)我区某店销售某品牌置物 架,平时每天平均可售出20个,每个盈利40元.为了扩大销 售、增加盈利,该店在“双十一”期间采取了降价促销措施, 在每个盈利不少于27元的前提下,经过一段时间销售,发现销 售单价每降低1元,平均每天可多售出2个.(1)若每个降价3元,则平均每天的销售量为 个.(2)当每个置物架降价多少元时,该商店每天的销售利润为1 200元?解析 (1)依题意可知,若每个降价3元,则平均每天的销售量 为20+2×3=26(个).(2)设每个置物架降价x元时,该商店每天的销售利润为1 200 元.根据题意,得 (40-x)(20+2x)=1 200,整理得x2-30x+200=0,解 得x1=10,x2=20.∵要求每个盈利不少于27元,∴x=10.答:当每个置物架降价10元时,该商店每天的销售利润为1 200元.19.(新考向·实践探究试题)(2024海南海口龙华模拟)(12分)在 章末活动时间,王老师组织本班数学兴趣小组成员进行了综 合实践活动.【活动方向】把一边长为60 cm的正方形硬纸板,进行适当剪裁,折成一个 长方体盒子(纸板的厚度忽略不计). 【问题解决】(1)如图1,若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正 方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.①要使折成的长方体盒子的底面积为576 cm2,那么剪掉的正 方形的边长为多少?②折成的长方体盒子的侧面积有最大值吗?如果有,求出这 个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有,说明理由.(2)如图2,若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的 矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分正好 折成一个有盖的长方体盒子.若折成的长方体盒子的表面积 为2 800 cm2,求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合 要求的一种情况). 图1 图2解析 (1)①设剪掉的正方形的边长为x cm,则(60-2x)2=576, 即60-2x=±24,解得x1=42(不合题意,舍去),x2=18,故剪掉的正方 形的边长为18 cm.②侧面积有最大值.理由:设剪掉的小正方形的边长为a cm, 盒子的侧面积为y cm2,则y=4(60-2a)a,即y=-8a2+240a=-8(a-15)2+1 800≤1 800,当a=15时,y最大=1 800,即当剪掉的正方形的 边长为15 cm时,长方形盒子的侧面积最大,最大为1 800 cm2.(2)设长方体盒子的高为b cm,则长为60-2b,宽为30-b,表面积 为2(60-2b)(30-b)+2b(30-b)+2b(60-2b)=2 800,整理得b2+30b-400=0,解得b1=-40(不合题意,舍去),b2=10,即长方体盒子的高 为10 cm,则长为60-2b=60-2×10=40(cm),宽为30-b=30-10=20(cm).综上,此时长方体盒子的长为40 cm,宽为20 cm,高为10 cm.(答案不唯一)
九年级 上册 华东师大版初中数学第22章 素养综合检测(满分100分, 限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共24分)1.(2024吉林长春五十二中赫行实验学校月考)下列属于一元 二次方程的是 ( )A.x2-3x+y=0 B.x2+2x= C.x2+5x=0 D.x(x2-4x)=3C2.(2024山西晋城模拟)配方法是解一元二次方程的一种基本 方法,其本质是将一元二次方程由一般式ax2+bx+c=0(a≠0) 化为(x+m)2=n(n≥0)的形式,然后利用开方求一元二次方程的 解的过程,这个过程体现的数学思想是 ( )A.数形结合思想 B.函数思想C.转化思想 D.公理化思想C解析 方程的形式发生转变,但其本质未变,体现的是转化思 想.3.(整体思想)(2024重庆一中月考)若x=2是方程ax2-bx-1=0的 解,则代数式2a-b+1的值为 ( )A.- B.0 C. D. D4.(情境题·现实生活)(2024河南周口郸城期中)2023年5月13日,贵州榕江和美乡村足球超级联赛拉开序幕,这个被称为贵 州“村超”的民间足球赛持续升温,吸引全国各地球迷现场 “打卡”.某学校开办学校足球联赛,规定每两个班级之间都 要进行一场比赛,共要比赛15场.设参加比赛的班级有x支,根 据题意,下面列出的方程正确的是 ( )A.x(x+1)=15 B.x(x-1)=15C. x(x+1)=15 D. x(x-1)=15D解析 利用比赛的总场数=参加比赛的班级数×(参加比赛的 班级数-1)÷2,可得到一元二次方程 x(x-1)=15.5.(新考向·新定义试题)(2024福建泉州实验中学期中)定义运算:a☆b=a2+ab-b,例如:3☆2=32+3×2-2=13,则方程x☆2 022=1 的根为 ( )A.x1=1,x2=-2 023 B.x1=1,x2=2 023C.x1=-1,x2=-2 023 D.x1=-1,x2=2 023A解析 根据题中的新定义得x2+2 022x-2 022=1,∴x2+2 022x-2 023=0,分解因式得(x-1)(x+2 023)=0,∴x-1=0或x+2 023=0,解 得x1=1,x2=-2 023.6.(易错题)(2024河南南阳邓州月考)在平面直角坐标系中,若直线y=-x+m不经过第一象限,则关于x的方程mx2+x+1=0的实数根的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.1或2D解析 本题易因漏掉m=0的情况而致错.∵直线y=-x+m不经 过第一象限,∴m≤0.当m=0时,方程mx2+x+1=0是一次方程,有 一个根;当m<0时,关于x的方程mx2+x+1=0中,Δ=12-4m>0,∴关 于x的方程mx2+x+1=0有两个不相等的实数根.故方程有1或2 个实数根.7.(2024河南南阳社旗期中)如果m、n是一元二次方程x2-x=3 的两个实数根,那么多项式2n2-mn+2m的值是 ( )A.13 B.11 C.7 D.5B解析 x2-x=3整理得x2-x-3=0,∵m、n是一元二次方程x2-x-3= 0的两个实数根,∴m+n=1,mn=-3,n2=n+3,∴2n2-mn+2m=2(n+3) -mn+2m=2(m+n)-mn+6=2+3+6=11.8.(新独家原创)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0) 有一根为2 024,则关于x的一元二次方程c(x-1)2+b(x-1)+a=0 (ac≠0)必有一根为 ( )A. B.- C.2 025 D.-2 024A解析 把x=2 024代入一元二次方程ax2+bx+c=0得2 0242a+2 024b+c=0,两边同时除以2 0242得a+ b+ c=0,即 c+ b+a=0.令y=x-1,∴方程c(x-1)2+b(x-1)+a=0可化为cy2+by+a=0(ac≠0),∴该方程有一根为 ,∴x-1= ,解得x= .二、填空题(每小题4分,共20分)9.(2023江苏泰州中考)关于x的一元二次方程x2+2x-1=0的两 根之和为 .-210.(新考向·过程性学习试题)(2024河南信阳浉河三模)小明 在解方程x2-3x+2=0时,发现用配方法和公式法计算量都比较 大,因此他又想到了另外一种方法,快速解出了答案,方法如 下:解:∵x2-3x+2=0,∴x2-2x-x+2=0,①∴x2-2x=x-2,②∴x(x-2)=x-2,③∴x=1.④老师看到后,夸小明很聪明,方法很好,但是有一步做错了,小 明出错的步骤为 (填序号).④解析 ∵x2-3x+2=0,∴x2-2x-x+2=0,∴x(x-2)-(x-2)=0,∴(x-2)(x- 1)=0,∴x-2=0或x-1=0,∴x=2或x=1.11.(2023湖北孝感中考)已知一元二次方程x2-3x+k=0的两个 实数根为x1,x2,若x1x2+2x1+2x2=1,则实数k= .-512.(动点问题)(2024河北唐山遵化期中)如图,在直角三角形 ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=6 cm,点P从点B开始沿BA以1 cm/s的速度向点A运动,同时,点Q从点B开始沿BC以2 cm/s的 速度向点C运动.当运动时间t= 时,四边形ACQP的 面积为△PQB面积的 . 3解析 当运动时间为t s时,BP=t cm,BQ=2t cm,由题意得 ×5×6- ·t·2t= × ·t·2t,整理得t2=9,解得t1=3,t2=-3(不符合题意,舍去),即当t=3时,四边形ACQP的面积为△PQB面积的 .13.(最值问题)(2023江苏连云港中考)若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+ 3(x、y为实数),则W的最小值为 .-2解析 W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3=x2+4x2-4xy+y2-2y+8x+3=4x2-4 xy+y2-2y+x2+8x+3=(4x2-4xy+y2)-2y+x2+8x+3=(2x-y)2-2y+x2+4x+ 4x+3=(2x-y)2+4x-2y+x2+4x+3=(2x-y)2+2(2x-y)+1-1+x2+4x+4-4+ 3=[(2x-y)2+2(2x-y)+1]+(x2+4x+4)-2=(2x-y+1)2+(x+2)2-2,∵x,y 均为实数,∴(2x-y+1)2≥0,(x+2)2≥0,∴原式W≥-2,即W的最小 值为-2.三、解答题(共56分)14.(2024山西长治潞州期中)(9分)按要求解下列方程: (1)x2-2x-24=0(配方法);(2)(2x-3)2=10x-15(因式分解法);(3)3x2+2x-3=0(公式法).解析 (1)移项,得x2-2x=24,配方,得x2-2x+1=24+1,即(x-1)2=25,开平方,得x-1=±5,解得x1=-4,x2=6.(2)整理原方程,得(2x-3)2=5(2x-3),移项,得(2x-3)2-5(2x-3)=0,因式分解,得(2x-3)(2x-3-5)=0,∴2x-3=0或2x-3-5=0,解得x1= ,x2=4.(3)∵a=3,b=2,c=-3,∴b2-4ac=22-4×3×(-3)=40,∴x= = ,即x1= ,x2= .15.(情境题·革命文化)(2024湖南张家界桑植期中)(7分)在全 国各地积极开展“弘扬红色文化,重走长征路”主题教育学 习活动的背景下,位于我县的“红二方面军长征出发地纪念 馆”成为重要的教育学习活动基地.据了解,8月份该基地的 参观人数为10万,10月份的参观人数增加到12.1万.(1)求这两个月参观人数的月平均增长率.(2)按照这个增长率,预计11月份的参观人数能否突破13.5万.解析 (1)设这两个月参观人数的月平均增长率为x,依题意 得10(1+x)2=12.1,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去),故 这两个月参观人数的月平均增长率为10%.(2)12.1×(1+10%)=13.31(万人),13.31<13.5,∴11月份的参观人数不能突破13.5万.16.(最值问题)(2024福建宁德古田期中)(8分)关于x的一元二 次方程x2-4x+k+2=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)如果x1,x2是方程的两个解,令w=x1 + x2+k,求w的最大值.解析 (1)∵关于x的一元二次方程x2-4x+k+2=0有实数根,∴Δ =b2-4ac=(-4)2-4×1×(k+2)≥0,解得k≤2,∴k的取值范围为k≤2.(2)∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2-4x+k+2=0的两个解,∴x1 +x2=4,x1x2=k+2.∴w=x1 + x2+k=x1x2(x1+x2)+k=4(k+2)+k=5k+8,∴k=2时,w的最大值为5×2+8=18.17.(新考向·开放型试题)(2024吉林长春双阳期中)(10分)阅读 材料,并回答问题.观察方程及其根的特征:①方程39x2+2x- =0的根是x1=- ,x2=- ;方程y2+2y-3=0的根是y1=-3,y2=1.②方程56x2+2x- =0的根是x1=- ,x2=- ;方程y2+2y-8=0的根是y1=-4,y2=2.……猜想:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与方程y2+by+ac=0的根之间 的关系是x= .(1)请你证明材料中的猜想;(2)依照材料中的解题方法,解方程:30x2-3x+ =0.解析 (1)证明:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根为x= ,方程y2+by+ac=0的根为y= ,所以x= · = ·y,即x= .(2)方程30x2-3x+ =0与方程y2-3y+2=0的根的关系为x= ,解方程y2-3y+2=0得y1=1,y2=2,所以x1= ,x2= .18.(2023河南南阳宛城月考)(10分)我区某店销售某品牌置物 架,平时每天平均可售出20个,每个盈利40元.为了扩大销 售、增加盈利,该店在“双十一”期间采取了降价促销措施, 在每个盈利不少于27元的前提下,经过一段时间销售,发现销 售单价每降低1元,平均每天可多售出2个.(1)若每个降价3元,则平均每天的销售量为 个.(2)当每个置物架降价多少元时,该商店每天的销售利润为1 200元?解析 (1)依题意可知,若每个降价3元,则平均每天的销售量 为20+2×3=26(个).(2)设每个置物架降价x元时,该商店每天的销售利润为1 200 元.根据题意,得 (40-x)(20+2x)=1 200,整理得x2-30x+200=0,解 得x1=10,x2=20.∵要求每个盈利不少于27元,∴x=10.答:当每个置物架降价10元时,该商店每天的销售利润为1 200元.19.(新考向·实践探究试题)(2024海南海口龙华模拟)(12分)在 章末活动时间,王老师组织本班数学兴趣小组成员进行了综 合实践活动.【活动方向】把一边长为60 cm的正方形硬纸板,进行适当剪裁,折成一个 长方体盒子(纸板的厚度忽略不计). 【问题解决】(1)如图1,若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正 方形,将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子.①要使折成的长方体盒子的底面积为576 cm2,那么剪掉的正 方形的边长为多少?②折成的长方体盒子的侧面积有最大值吗?如果有,求出这 个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有,说明理由.(2)如图2,若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的 矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分正好 折成一个有盖的长方体盒子.若折成的长方体盒子的表面积 为2 800 cm2,求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合 要求的一种情况). 图1 图2解析 (1)①设剪掉的正方形的边长为x cm,则(60-2x)2=576, 即60-2x=±24,解得x1=42(不合题意,舍去),x2=18,故剪掉的正方 形的边长为18 cm.②侧面积有最大值.理由:设剪掉的小正方形的边长为a cm, 盒子的侧面积为y cm2,则y=4(60-2a)a,即y=-8a2+240a=-8(a-15)2+1 800≤1 800,当a=15时,y最大=1 800,即当剪掉的正方形的 边长为15 cm时,长方形盒子的侧面积最大,最大为1 800 cm2.(2)设长方体盒子的高为b cm,则长为60-2b,宽为30-b,表面积 为2(60-2b)(30-b)+2b(30-b)+2b(60-2b)=2 800,整理得b2+30b-400=0,解得b1=-40(不合题意,舍去),b2=10,即长方体盒子的高 为10 cm,则长为60-2b=60-2×10=40(cm),宽为30-b=30-10=20(cm).综上,此时长方体盒子的长为40 cm,宽为20 cm,高为10 cm.(答案不唯一)
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