数学九年级上册1.锐角三角函数集体备课ppt课件

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第24章　解直角三角形
24.3　锐角三角函数
第1课时　锐角三角函数
知识点1　锐角三角函数的概念
1.(2024福建泉州德化期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,那么下列 结论错误的是 (　    )A.BC= 　　　    B.BC=AB·sin AC.AB= 　　　    D.AC=BC·tan B
2.(一题多变)(2024四川遂宁船山期末)在△ABC中,∠C=90°, AB=5,BC=4,那么∠B的余弦值是 (　    )A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D. 
解析　∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,∴cs B= = .
[变式1:给出边之间的倍数关系](2024河南驻马店一模)如图, 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2AC,则sin B= (　    ) A. 　　　    B.2　　　    C. 　　　    D. 
[变式2:给出三角函数值](2024湖南常德澧县期末)已知∠A+ ∠B=90°,且cs A= ,则tan B的值为 (　    )A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D. 答案    C
3.在商周时期就有了用来攀登城墙的设备——云梯,后被鲁 国人鲁班加以改进.如图,梯子(长度不变)跟地面所成的锐角 为α,关于α的三角函数值与梯子的倾斜程度,叙述正确的是 (　    ) A.sin α的值越大,梯子越陡　　　    B.cs α的值越大,梯子越陡
C.tan α的值越小,梯子越陡　　　    D.陡缓程度与α的函数值无关
解析　 根据锐角三角函数值的变化规律可知sin α的值越大, α越大,梯子越陡.
4.(一题多解)(2024山东济南市中期末)如图,在8×4的正方形 网格中,每个小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在 图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为 (　    ) A.1　　　    B. 　　　    C. 　　　    D. 
解析　解法1(寻找格点构造直角三角形):如图,延长CB到格 点D,连结AD,由网格的特征易知∠D=90°,在Rt△ACD中,AD =2,CD=6,则tan∠ACB= = = . 解法2(作高构造直角三角形):如图,作BE⊥AC,垂足为点E.由
题意可知AC= =2 ,BC=4,∵S△ABC= ×2 ×BE= ×4×2,∴BE= ,∴CE= = ,∴tan∠ACB= = = .
方法归纳　在网格中构造直角三角形的方法(1)在网格中找一格点,使要求三角函数值的锐角在该直角三 角形中,利用网格求出各边长,进而求出该锐角的三角函数 值;(2)作三角形的高,利用等面积法求出直角三角形的高,进而 求解.
5.(等角转化法)(2024辽宁铁岭四中期末)如图,在Rt△ABC中, ∠C=90°,M是直角边AC上一点,MN⊥AB于点N,AN=3,AM=4, 则cs B的值为　　　    . 
解析　∵∠C=90°,MN⊥AB,∴∠C=∠ANM=90°,∴∠AMN= ∠B.∵AN=3,AM=4,∴MN= = = ,∴cs∠AMN= = ,∴cs B=cs∠AMN= .
6.(2024河南洛阳第二外国语学校月考)已知△ABC中,∠ACB =90°,AC=12,BC=15.(1)求AB的长;(2)求sin A、cs A、tan A的值.
解析    (1)∵∠ACB=90°,AC=12,BC=15,∴AB= =3 .(2)sin A= = = ,cs A= = = ,tan A= = = .
知识点2　锐角三角函数之间的关系
7.(2024福建漳州龙海一中月考)若α为锐角,且sin2α+cs226°= 1,则α=　　　    °.
解析　∵sin2α+cs2α=1,sin2α+cs226°=1,∴α=26°.
8.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对的 边.求证:(1)tan A= ;(2)sin2A+cs2A=1.
证明    (1)∵∠ACB=90°,∴tan A= ,sin A= ,cs A= ,∴ = = =tan A.(2)在Rt△ABC中,sin A= ,cs A= ,a2+b2=c2,∴sin2A+cs2A= + = = =1.
9.(2024山西临汾洪洞期中,3,★☆☆)在△ABC中,∠A=90°,sin C= ,则cs C的值是 (　    )A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D. 
10.(2023四川攀枝花中考,6,★☆☆)△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.已知a=6,b=8,c=10,则cs A的值为 (　    )A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D. 
11.(2023内蒙古包头一模,11,★★☆)如图,△ABC中,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,连结DE,若 = ,则sin A的值为 (　    ) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D. 
解析　∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠ADC=∠BEA=90°,∵∠A=∠A,∴△ABE∽△ACD,∴ = ,∵∠A=∠A,∴△AED∽△ABC,∴ = = ,设AD=2a,则AC=5a,根据勾股定理可得CD= a,∴sin A= = .
12.(2023江苏常州中考,15,★☆☆)如图,在Rt△ABC中,∠A=9 0°,点D在边AB上,连结CD.若BD=CD, = ,则tan B=　　       . 
13.(新考向·代数推理)(2023吉林长春东北师大附中净月实验 学校期末,22,★★☆)在△ABC中,∠B、∠C 均为锐角,其对 边分别为b、c,求证: = .
证明　如图,过A作AD⊥BC于D,在Rt△ABD中,sin B= ,∴AD=AB·sin B,在Rt△ADC中,sin C= ,∴AD=AC·sin C,∴AB·sin B=AC·sin C,∵AB=c,AC=b,∴csin B=bsin C,∴ = .
14.(运算能力)(2024内蒙古包头一模)【实践探究】如图1,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,求tan ∠BAC的值.小邕想构造包含 ∠BAC的直角三角形:延长CA到点D,使DA=AB,连结BD,可得∠D= ∠BAC,问题即转化为求∠D的正切值,请按小邕的思路求tan ∠BAC 的值.
【拓展延伸】如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,tan A= ,求tan 2A的值.
解析　【实践探究】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,∴ AB= = = ,由作图可知AD=AB= ,∴∠D=∠ABD,∴∠BAC=2∠D,∵CD=AD+AC= +2,∴tan ∠BAC=tan D= = -2.【拓展延伸】如图,作AB的垂直平分线交AC于E,连结BE,则 AE=BE,∴∠A=∠ABE,∴∠BEC=2∠A,在Rt△ABC中,∠C=90°,A C =3,tan A= ,∴BC=1,∴AB=  = ,设AE=BE=x,则EC=3-x,在Rt△EBC中,x2=(3-x)2+1,