专题09 充要条件（原卷版+解析版）-【初升高衔接】2023年新高一数学暑假衔接讲义（通用版）

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1、充要条件的判定
充分条件与必要条件：
一般地，用、分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件，同时叫做的必要条件。
例如是充分非必要条件，是的必要非充分条件。
充要条件：
如果既有，又有，即有，那么既是的充分条件又是的必要条件，这时我们就说是的充要条件。
例如或是充分必要条件。
【考向精析】
考向一：充分不必要条件
1．使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】由，即，解得，
因为真包含于，所以是成立的一个充分不必要条件.
故选：A
2．“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若，则，所以，故充分性成立；
若，不妨令，，此时，，满足，
但是，故必要性不成立；
故“”是“”的充分不必要条件．
故选：B
3．已知命题：，，则“”是“是真命题”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由，求出的范围，然后可得“是真命题”对应的的范围，然后可判断出答案.
【详解】由，可得，，
所以“是真命题”对应的的范围是，
所以“”是“是真命题”的充分不必要条件，
故选：A
4．下列四个条件中，是“”的一个充分不必要条件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义与不等式的关系转化为不等式关系的判断进行求解即可．
【详解】若，可能有，无法推出，充分性不成立，故A错误；
若，当时，有，此时不成立，充分性不满足，故B错误；
由得且，此时，成立，反之若，当时，不成立，故C正确；
设，则为增函数，则由得，此时，反之也成立，即是成立的充要条件，故D错误.
故选：C．
5．设，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】依据“且”与“”之间的逻辑关系进行推导即可解决.
【详解】由且，可得,
当，时，满足，但不满足且,
则“且”是“”的充分不必要条件,
故选：A.
考向二：必要不充分条件
6．“”是“”的（ ）条件.
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要
【答案】B
【分析】根据两不等式所表示的集合之间关系结合必要非充分条件的判定即可得到答案.
【详解】根据，
则“”无法推出“”， “”可以推出“”，
故“”是“”的必要非充分条件，
故选：B.
7．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
8．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可.
【详解】由，可得，
则是的必要不充分条件.
故选：B
9．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不允分也不必要条件
【答案】B
【分析】分别求解与，再根据充分性与必要性判断即可.
【详解】由“”解得，由“”解得，故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
10．已知条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】化简两个条件，即可得出结论.
【详解】由题意，
在中，解得：或，
在中，解得：，
∵可以推出，不可以推出，
∴是的必要不充分条件，
故选：B.
11．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的概念判断即可.
【详解】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故选：B.
12．设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先解分式不等式，再结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，得或；由，得，
则“”是“”的必要不充分条件．
故选：C
13．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据绝对值不等式以及一元二次不等式化简不等式，即可由充要条件进行判断.
【详解】由得，由得，所以“”是“”的充要条件，
故选：C
考向三：充要条件
14．设， ，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件
【答案】C
【分析】根据单调性及充要条件的定义来判断即得．
【详解】因为在上为增函数，则可以推出，反之，若，则可推出，
所以“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
15．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分性和必要性的定义即可得出结果.
【详解】当时，，所以成立，
又当时，即，得到，
所以可以得到，
所以“”是“”的充要条件，
故选：C.
16．已知，是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由可得：，
对两边同时平方可得，所以，
所以”是“”的充要条件.
故选：C.
17．已知，命题是一元二次方程的一个根，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分、必要性的定义判断命题间的推出关系，即可得答案.
【详解】对于命题，为方程的根，则，充分性成立；
对于命题，且，则必是题设方程的一个根，必要性成立；
所以是的充分必要条件.
故选：C
18．设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用作差法结合得出的等价条件，即可得出结论.
【详解】因为，，由可得，则，即，
因此，若，，则“”是“”的充要条件.
故选：C.
【巩固检测】
1、设全集为，有以下四个命题：
(1) (2) (3) (4)
其中是命题的充要条件的有______个。 ( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【难度】★★
【答案】C
2、已知 QUOTE 是 QUOTE 的充分不必要条件， QUOTE 是 QUOTE 的必要条件， QUOTE 是 QUOTE 的必要条件，则 QUOTE 是 QUOTE 的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【难度】★★
【答案】A
3、下列命题中正确的是（ ）
①“若，则不全为零”的否命题
②“正多边形都相似”的逆命题
③“若，则有实根”的逆否命题
④“若是有理数，则是无理数”的逆否命题
A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④
【难度】★★
【答案】B
【解析】①的否命题为：若，则，真命题；
②的逆命题为：相似的多边形都是正多边形，假命题；
③中原命题是真命题，故逆否命题也为真命题；
④中原命题是真命题，因为若是有理数，也为有理数，得为有理数，矛盾，故它是真命题，从而它的逆否命题也为真命题．
4、若，，则是的______条件．
【答案】充分非必要
【分析】判断集合和之间的关系，即可判断出答案.
【详解】由于是的真子集，故是的充分非必要条件，
故答案为：充分非必要
5、“”是“”的是__________条件．
【答案】充分不必要
【分析】根据充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】若，则，但不能得到，故“”是“”的是充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
6、方程 有一正一负根的充要条件是_______
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解.
【详解】 有一正一负根
故答案为：
7、充分条件、必要条件与充要条件
【答案】 充分条件 必要条件 p⇒q qp pq q⇒p p⇔q pq qp
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】p⇒q,则称p是q的充分条件,q是p的必要条件；
p是q的充分不必要条件，记作p⇒q且qp；
p是q的必要不充分条件，记作pq且q⇒p ；
p是q的充分必要条件（简称充要条件），记作p⇔q；
p是q的既不充分又不必要条件，记作pq且qp.
故答案为：充分条件 必要条件 p⇒qpq⇒p⇔qqp.
8、设全集，集合，非空集合．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简集合，根据集合的运算法则求，
（2）由条件列不等式求的取值范围．
【详解】（1）由，解得，
∴ ，
当时， ，
∴
（2）“”是“”的充分条件
∴，又集合，
∴，解得
∴实数的取值范围为.
9、已知集合和非空集合
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解集合A中的不等式，得到集合A，求出时集合B，再求；
（2）问题转化为是的真子集，由此列不等式组求出实数m的取值范围．
【详解】（1）不等式解得，则有，
当时，，.
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，故是的真子集，
则有，由于等号不能同时成立，故，
所以实数的取值范围.如果p⇒q，则称p是q的______，q是p的______. 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件；每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件
p是q的充分不必要条件
记作_______且_______
p是q的必要不充分条件
记作_______且_______
p是q的充分必要条件（简称充要条件）
记作_______
p是q的既不充分又不必要条件
记作_______且_______