专题12 三个二次之间的关系（原卷版+解析版）-【初升高衔接】2023年新高一数学暑假衔接讲义（通用版）

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“三个二次”指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和广泛的应用，在研究有关于二次曲线的问题时，常常转化成二次方程、二次函数、二次不等式的问题解决。
”三个二次”将等与不等、数与形紧密的结合在一起，对数形结合思想、函数方程思想、等价转化思想有较高的要求。因而在高考试题函数问题中，非常多的试题与“三个二次”问题有关。
初中阶段对函数、方程、不等式的学习都是彼此独立的，但对于“三个二次”的横向联系缺乏认识。升入高中才真正揭开三者的内在联系，逐步形成用函数、方程、不等式“三位一体”的思考方式审视问题、解决问题。
1、二次函数
①二次函数的三种形式
在“三个二次”中一元二次函数是重点，它的一般形式：
它的配方形式：
配方形式中充分反映了函数值y随自变量x的变化而变化的规律，可以容易的观察出何时取最值，也能考查出自变量x取关于对称值时函数值的取值特点。
从而它的对称轴：
它的顶点坐标：
它的因式分解形式：，其中是一元二次方程的两根.
从二次函数的因式分解形式，运用实数运算的符号法则，很容易看出函数y值何时等于0、y何时大于0、y何时小于0等特点。总之一元二次函数反映y与x对应关系的全貌：既包括了方程的根、又包括了不等式等式的解。
②二次函数的最值
设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：
对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：
（1）若，
则，
（2）若，则，
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越小。
二次方程与不等式
2、一元二次方程根分布问题（数形结合法）
说明：找一个一元二次方程根的分布注意三个条件：①判别式②对称轴位置③端点函数值的符号．
3、一元二次不等式的解集
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c