辽宁省沈阳市联合体2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

这是一份辽宁省沈阳市联合体2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题，共13页。试卷主要包含了已知随机变量，若，，则，林业部门规定，已知，且，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效.
4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.设数列的前项和为，则“是等差数列”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知函数的定义域为，对任意都有，当时，则（ ）
A.B.1C.2D.
4.已知函数的导函数为，且，则（ ）
A.B.C.D.
5.已知随机变量，若，，则（ ）
A.15B.C.D.
6.某工厂生产零件的尺寸指标，若尺寸指标在内的零件为优等品，从该厂生产的零件中随机抽取10000件，则抽取到的优等品的件数约为（参考数据：若，则，，）（ ）
A.6827B.8186C.8400D.9545
7.已知函数的图象如图所示，经过点，.则函数的解析式可能是（ ）
A..B.
C.D.
8.林业部门规定：树龄在500年及以上的古树为一级，树龄在300～500年之间的古树为二级，树龄在100～299年之间的古树为三级，树龄低于100年不称为古树.林业工作者研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数.由经验知，树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列.现为了评估某棵大树的级别，测量数据如下：树干的周长为，靠近树芯的第5个年轮的宽度为，靠近树皮的第5个年轮的宽度为，则估计该大树属于（取3.14）（ ）
A.一级B.二级C.三级D.不是古树
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.如图，函数的导函数的图象经过点，和，对于函数，下列说法正确的是（ ）
A.在上单调递增B.在上单调递增
C.在处取得极小值D.在处取得极小值
10.已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A.有最小值4B.有最小值
C.有最小值D.的最小值为
11.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意，，，都有，则（ ）
A.是奇函数B.
C.的图象关于对称D.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.若命题“，，”为假命题，则的取值范围是______.
13.端午节期间，小王、小李、小张和小刘四人分别计划去游玩，现有三个出游的景点：沈阳故宫、张学良旧居、辽宁大剧院，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去沈阳故宫的条件下有人去辽宁大剧院的概率为______.
14.已知数列的各项均为1，在其第项和第项之间插入个2（），得到新数列，记新数列的前项和为，则______，______.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知数列的前项和为，，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，证明：.
16.（15分）甲、乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：上一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢球的概率为；若乙开球，则本局甲赢球的概率为，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第一局由甲开球.
（1）求第3局甲开球的概率；
（2）设前4局中，甲开球的次数为，求的分布列及数学期望.
17.（15分）已知数列满足，，数列满足，，.
（1）证明：为等差数列，并求的通项公式；
（2）若，记的前项和为，且对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18.（17分）已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）当时，求在上的最小值；
（3）当时，若在上存在零点，求的取值范围.
19.（17分）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.
（1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由.
①；
②.
（2）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用含字母的式子表示）
2023—2024学年度（下）联合体高二期末检测
数学参考答案及评分标准
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. B 【解析】集合，，
故.
2. A 【解析】由是等差数列，得，满足充分性；
若，则，得不到是等差数列，不满足必要性，
则“是等差数列”是“”的充分不必要条件.
3. C 【解析】因为函数的定义域为，对任意都有，
所以.
4. D 【解析】因为，
所以.
令，则，解得.
5. A 【解析】因为，，
所以，即，所以，所以.
6. B 【解析】由题意可得，
即优等品的概率为0.8186，所以从该厂生产的零件中随机抽取10000件，
抽取到的优等品的件数约为（件）.
7. B 【解析】对于A，，其定义域为，有，函数为偶函数，不符合题意；对于B，，有，，当时，，其导数，在区间上，，函数为减函数，在区间上，，函数为增函数，符合题意；
对于C，，有，，
当时，，其导数，
在区间上，，函数为减函数，
在区间上，，函数为增函数，不符合题意；
对于D，，有，不符合题意.
8. C 【解析】因为树干周长为，
又因为周长，可得.
从树芯到树皮，设第个年轮的宽度是，
则由题可知，，且是等差数列，
则，解得（年），
由树龄在100～299年之间的古树为三级，可知该大树属于三级.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（评分标准：如果正确答案有2个，每个答案3分；如果正确答案有3个，每个答案2分）
9. BD 【解析】由导函数图象可知，
当或时，；
当或时，，
所以在和上单调递减，
在和上单调递增，故选项A错误，B正确；
所以在和处取得极小值，在处取得极大值，故C错误，D正确.故选：BD.
10. ABD 【解析】A选项：由，得，
当且仅当，即，时取等号，故A选项正确；
B选项：，
当且仅当，即，时取等号，故B选项正确；
C选项：由，得，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，故C选项错误；
D选项：由对A选项的分析知且，时取等号，
所以，
当且仅当，即，时取等号，故D选项正确.故选：ABD.
11. BC 【解析】由为奇函数，得，
即函数关于对称，C正确；
由函数关于对称可知.
又因为为偶函数，所以，即函数关于对称，
则，所以，即，
所以，所以是周期为4的周期函数，
所以.
又，所以，所以，所以，B正确；是偶函数，A错误；
对任意的，，且，都有，不妨设，
则，由单调性的定义可得函数在上单调递增，
又由函数关于对称，所以在上单调递增.
又，，，
所以，得，D错误.故选：BC.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
（评分标准：14题第1空2分，第2空3分）
12. 【解析】因为命题“，”为假命题，
所以命题“，”为真命题，
所以，解得，所以的取值范围是.
13. 【解析】至少有两人去沈阳故宫的情况有三种：两人去、三人去、四人去，
其概率为，
至少有两人去沈阳故宫且有人去辽宁大剧院的概率为，
所以在至少有两人去沈阳故宫的条件下有人去辽宁大剧院的概率为.
14. 2 3985 【解析】由题意，将数列的各项按如下数阵排列：其中第（）行有项，则该数阵中，第行最后一项对应数列中的第项.因为，且，所以位于数阵的第63行第9项，故，数列的前2024项中，项的值为1的共63项，项的值为2的项共（项），因此
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15.（1）解：当时，；………………1分
当时，，又，
两式相减，得，………………2分
化简得.………………3分
因为，所以数列是首项为4，公比为16的等比数列，
所以（），………………5分
所以（）.………………7分
（2）证明：由（1）知，
所以.………………8分
当时，成立；………………9分
当时，，
故成立.………………12分
综上所述，（）均成立.………………13分
16.解：（1）设第局甲赢球为事件，则第局乙赢球为事件，其中，
则“第3局甲开球”为事件，
则.………………5分
（2）依题意，
则；………………7分
；……………….9分
；………………11分
，………………13分
所以的分布列为
则.………………15分
17.（1）证明：因为，，
两边同除以，得，………………2分
从而，，………………3分
所以是首项为1，公差为1的等差数列，………………4分
所以（），所以（）………………6分
（2）解：由，，
所以（），………………7分
所以
………………9分
所以，………………10分
则
（），………………13分
所以，
所以，即实数的取值范围是.………………15分
18.解：（1）当时，，定义域是，
………………1分
令，得，变化时，，的变化情况如下表：
则，没有极小值.………………4分
（2）当时，，，
则.………………5分
令，，
则，………………6分
则在上是增函数，则，
所以，即在上是增函数，………………7分
则.………………8分
（3），，
.………………10分
令，，，
当时，，则在上是减函数，
则.
①当时，，则在上是减函数，
，不合题意；………………12分
②当时，，则存在，使，
即，变化时，，的变化情况如下表：
则，………………14分
只需，解得.
综上，的取值范围是.………………17分
19.解：（1）①对任意，，
所以具有性质.………………2分
②对任意，得，
取，则，所以不具有性质.………………5分
（2）由于，函数的定义域为，
.………………6分
若函数具有性质，则对于任意实数，
有，
即，即.………………8分
由于函数在上递增，得，………………10分
即.
当时，得，对任意实数恒成立；………………12分
当时，易得，由，得，
得，得，
由题意得对任意实数恒成立，
所以解得.………………14分
当时，易得，由，得，
得，得.
由题意得对任意实数恒成立，
所以解得.………………16分
综上所述，的取值范围为.………………17分1
2
3
4
＋
0
－
＋
0
－
极大值